2026届高考数学一轮复习讲义第4讲-基本不等式

第4讲　基本不等式 课前必备知识 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际问题中的应用． 知识梳理 1．基本不等式≥ (1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　． (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时不等式取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数；叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥　2ab　(a，b∈R)； (2)＋≥　2　(a，b同号)； (3)ab≤()2(a，b∈R)； (4)　≥　()2. 3．基本不等式求最值 (1)两个　正数　的和为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其积最大． (2)两个　正数　的积为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 课前训练 1．(教材母题必修习题2.2T2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 2．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 3．(2025·广东深圳期末)下列不等式恒成立的是(　　) A．＋≥2 B．ab≥()2 C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥－2ab 4．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则(　　) A．v＝ B．v＝ C．<v< D．b<v< 5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是　　　　． 课堂核心考点 考点1　利用基本不等式求最值 【例1】 (1)若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 (2)y＝(x>1)的最小值为__________________． (3)已知a>0，b>0且a＋b＝1，求＋的最小值． (1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，采用“乘1”“加0”等策略，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式． 变式探究 1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 2．已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则＋的最小值为　　　　　. 3．(2025·江苏南通期中)已知正实数x，y满足x＋y＝m，函数f(x，y)＝(x＋)(y＋)的最小值为，则实数m的取值集合为　　　　　． 考点2　基本不等式的综合应用 【例2】 (1)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，则ab的最小值为　　　　． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝2，则＋的最小值为　　　　． (3) 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤(a>0，b>0) (1)应用基本不等式求解时，要注意合理地进行变形、转化，提供应用基本不等式的条件与情境． (2)求解参变量范围或最值时，要注意结合问题的特征进行变形，利用基本不等式求得参变量范围或最值．同时注意等号成立的条件而得到参变量的值． 变式探究 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，则△ABC的周长的最大值是(　　) A．3 B．3＋ C．2＋ D．4＋ 5．(2025·山西太原阶段练习)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　) A．3 B．8 C．4 D．9 6．(2024·北京顺义模拟)若数列{an}为等比数列，则“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点3 基本不等式在实际问题中的应用　 【例3】 (2024·安徽池州模拟预测)1471年，米勒向诺德尔教授提出一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大)？后人将其称为“米勒问题”，这是载入数学史的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB(或直线l上两点A，B)，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为(0，a)，(0，b)(0<b<a)，设点C的坐标为(c，0)，当∠ACB最大时，c＝(　　) A．2ab B．ab C．2 D． 应用基本不等式解决实际问题的一般步骤： (1)理解题意，把实际问题抽象为最值问题； (2)建立目标函数(可以是一元，也可以是二元)关系式，设变量时一般把要求最大(小)值的变量定为函数； (3)利用基本不等式求最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件； (4)回到实际问题中，写出正确答案． 变式探究 7．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用15年的太阳能板，其工本费为(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为(k为常数)万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和，则y关于x的函数关系式为　　　　　　　．当y取最小值时，所安装太阳能板的面积为　　　　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　基本不等式 课前必备知识 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际问题中的应用． 知识梳理 1．基本不等式≥ (1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　． (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时不等式取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数；叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥　2ab　(a，b∈R)； (2)＋≥　2　(a，b同号)； (3)ab≤()2(a，b∈R)； (4)　≥　()2. 3．基本不等式求最值 (1)两个　正数　的和为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其积最大． (2)两个　正数　的积为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 课前训练 1．(教材母题必修习题2.2T2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：A　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选A. 2．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 解析：C　对于A，x＝－1时，y＝－5<4；对于B，t＝－1时，y＝－3<4；对于C，y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立；对于D，t＝－1时，y＝－2<4.故选C. 3．(2025·广东深圳期末)下列不等式恒成立的是(　　) A．＋≥2 B．ab≥()2 C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥－2ab 解析：D　对于A，若a＝1，b＝－1时，＋＝－2，A错误； 对于B，因为(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，所以≥ab，即()2≥ab，当且仅当a＝b时取等号，B错误； 对于C，若a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2<2＝2，C错误； 对于D，因为(a＋b)2≥0，所以a2＋b2＋2ab≥0，即a2＋b2≥－2ab，当且仅当a＝b时取等号，D正确．故选D. 4．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则(　　) A．v＝ B．v＝ C．<v< D．b<v< 解析：D　设从甲地到乙地的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2， 则t1＝，t2＝，v＝＝＝， 所以v＝>＝b， v＝＝<＝.故选D. 5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是　　　　． 解析：　因为a＋b＝2，所以＝1. 所以＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a＝时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为. 课堂核心考点 考点1　利用基本不等式求最值 【例1】 (1)若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 (2)y＝(x>1)的最小值为__________________． (3)已知a>0，b>0且a＋b＝1，求＋的最小值． 解析：(1)C　依题意ab＝a＋b，所以a＋b＝ab≤()2，即a＋b≤， 所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号， 所以a＋b的最小值为4.故选C. (2)8　由题意，y＝＝(x－1)＋＋2， 因为x>1，所以x－1>0， 所以y≥2＋2＝6＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立， 故y的最小值为8. (3)因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以a＋1＋b＝2， 则＋＝(＋)[(a＋1)＋b] ＝(4＋＋) ≥(4＋2)＝2＋， 当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝2－，b＝－1时取等号， 故其最小值为2＋. (1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，采用“乘1”“加0”等策略，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式． 变式探究 1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：C　因为＋＝，所以a＞0，b＞0，所以＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2，故选C. 2．已知x>0，y>0，x＋2y＝6，则＋的最小值为　　　　　. 解析：　由x＋2y＝6，得＋＝1， 所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号， 所以＋的最小值为. 3．(2025·江苏南通期中)已知正实数x，y满足x＋y＝m，函数f(x，y)＝(x＋)(y＋)的最小值为，则实数m的取值集合为　　　　　． 解析：{}　因为m＝x＋y≥2， 所以xy≤，f(x，y)＝xy＋1＋1＋＝xy＋＋2， 令xy＝t，t∈(0，]，g(t)＝t＋＋2. 当≥1时，g(t)min＝4，与已知矛盾； 当<1时，g(t)在(0，]上单调递减， 所以g(t)min＝g()＝＋＋2＝， 解得m＝或－(舍去)， 所以m的取值集合为{}． 考点2　基本不等式的综合应用 【例2】 (1)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，则ab的最小值为　　　　． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝2，则＋的最小值为　　　　． (3) 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤(a>0，b>0) 解析：(1)2　因为b>0，直线b2x＋y＋1＝0与直线ax－(b2＋2)y＋3＝0互相垂直，所以b2×a＋1×[－(b2＋2)]＝0，所以a＝，所以ab＝·b＝b＋≥2＝2，当且仅当b＝时取等号． 则ab的最小值为2. (2) 　因为a＋b＋c＝2， 所以＋＝(＋)[(a＋b)＋c] ＝(5＋＋) ≥(5＋2)＝， 当且仅当＝，即a＋b＝2c时等号成立，故＋的最小值为. (3) D　由题可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝， OC＝OB－BC＝－b＝. 在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝()2＋()2＝， 因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D. (1)应用基本不等式求解时，要注意合理地进行变形、转化，提供应用基本不等式的条件与情境． (2)求解参变量范围或最值时，要注意结合问题的特征进行变形，利用基本不等式求得参变量范围或最值．同时注意等号成立的条件而得到参变量的值． 变式探究 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，则△ABC的周长的最大值是(　　) A．3 B．3＋ C．2＋ D．4＋ 解析：A　因为b sin B＋c sin C＝a sin A＋c sin B，所以由正弦定理得b2＋c2＝a2＋bc， 所以a2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3()2＝， 又a＝，得b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时等号成立， 所以△ABC的周长的最大值是3.故选A. 5．(2025·山西太原阶段练习)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　) A．3 B．8 C．4 D．9 解析：A　因为a＝6，b＋c＝8，p＝＝＝7， 所以S2＝7×(7－6)×(7－b)(7－c) ＝7[bc－7(b＋c)＋49]＝7(bc－7) ≤7×[()2－7]＝7×9， 当且仅当b＝c＝4时取等号． 所以S≤3，即三角形面积的最大值为3.故选A. 6．(2024·北京顺义模拟)若数列{an}为等比数列，则“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　因为数列{an}为等比数列，不妨设公比为q，则q≠0， 由a3≥1可得a1q2≥1，故a1>0，而a1＋a5＝a1(1＋q4)， 由1＋q4≥2q2知a1＋a5≥2a1q2，当且仅当q2＝1时取等号， 而a1q2≥1，故a1＋a5≥2， 此时q＝±1，a1＝1， 故“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分条件． 由a1＋a5＝a1(1＋q4)≥2可得a1≥， 则a3＝a1q2≥，而＝≤1， 故不一定能得到a3≥1. 如q＝，a1＝2时，满足a1＋a5≥2， 但是a3＝a1q2＝2×()2＝<1， 故“a3≥1”不是“a1＋a5≥2”的必要条件． 即“a3≥1”是“a1＋a5≥2”的充分不必要条件．故选A. 考点3 基本不等式在实际问题中的应用　 【例3】 (2024·安徽池州模拟预测)1471年，米勒向诺德尔教授提出一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大)？后人将其称为“米勒问题”，这是载入数学史的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB(或直线l上两点A，B)，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为(0，a)，(0，b)(0<b<a)，设点C的坐标为(c，0)，当∠ACB最大时，c＝(　　) A．2ab B．ab C．2 D． 解析：D　由题意可知∠ACB是锐角，且∠ACB＝∠OCA－∠OCB， 而tan ∠OCA＝，tan ∠OCB＝， 所以tan ∠ACB＝tan (∠OCA－∠OCB)＝＝， 而c＋≥2，当且仅当c＝，即c＝时取等号． 因为∠ACB是锐角，所以当c＝时，tan ∠ACB＝≤最大，此时∠ACB最大．故选D. 应用基本不等式解决实际问题的一般步骤： (1)理解题意，把实际问题抽象为最值问题； (2)建立目标函数(可以是一元，也可以是二元)关系式，设变量时一般把要求最大(小)值的变量定为函数； (3)利用基本不等式求最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件； (4)回到实际问题中，写出正确答案． 变式探究 7．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用15年的太阳能板，其工本费为(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为(k为常数)万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和，则y关于x的函数关系式为　　　　　　　．当y取最小值时，所安装太阳能板的面积为　　　　　　　． 解析：y＝＋，x≥0　55平方米 因为公司每年的燃料费为(k为常数)万元， 取x＝0，得＝24，则k＝2400. 所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为 y＝15×＋＝＋，x≥0. 因为y＝＋＝＋－ ≥2－ ＝57.5， 当且仅当＝，即x＝55时取等号． 所以安装太阳能板的面积为55平方米时，y的最小值为57.5万元． 学科网（北京）股份有限公司 $