2026届高考数学 一轮复习讲义 第3讲-等式性质与不等式性质

第3讲　等式性质与不等式性质 课前必备知识 课标要求 1.了解不等式的概念，掌握等式性质，理解不等式性质.2.会比较两个代数式的大小.3.能应用不等式的性质解决有关问题． 知识梳理 1．不等式的定义 用不等号“>”“≥”“<”“≤”“≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较 (1)作差法 设a，b∈R，则a－b>0⇔　a>b　；a－b<0⇔　a<b　；a－b＝0⇔　a＝b　． (2)作商法 设a>0，b>0，则>1⇔　a>b　；＝1⇔　a＝b　；<1⇔　a<b　． 3．等式的基本性质 (1)对称性：a＝b⇔　b＝a　． (2)传递性：a＝b，b＝c⇒　a＝c　． (3)可加性：a＝b⇒　a±c＝b±c　． (4)可乘性：a＝b⇒　ac＝bc　． (5)可除性：a＝b，c≠0⇒　＝　． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔　b<a　． (2)传递性：a>b，b>c⇒　a>c　． (3)可加性：a>b⇒　a＋c>b＋c　． (4)不等式加法：a>b，c>d⇒　a＋c>b＋d　． (5)可乘性：a>b，c>0⇒　ac>bc　；a>b，c<0⇒　ac<bc　． (6)不等式乘法：a>b>0，c>d>0⇒　ac>bd　． (7)不等式乘方：a>b>0⇒　an>bn　(n∈N，n≥2). (8)不等式开方：a>b>0⇒　>　(n∈N，n≥2). 常用结论 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<. 2．分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0). (2)假分数性质：>；<(b－m>0). 课前训练 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　因为M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以M>N.故选A. 2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C. 3．(教材母题必修习题2.1T8改编)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 解析：C　对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，所以A不成立； 对于B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，所以B不成立； 对于C，因为c2＋1≥1，且a>b，所以>恒成立，所以C成立； 对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．故选C. 4．下列不等式正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> 解析：D　对于A，当c＝0，a＝－1，b＝2时满足ac2≥bc2，但a<b，A错误； 对于B，当c＝－1，a＝－2，b＝－3时，满足>，但a>b，B错误； 对于C，当a＝－1，b＝，c＝2时满足a＋b>0，c－b>0，但a<c，C错误； 对于D，－＝＝>0，所以>，D正确．故选D. 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为____________________． 解析：(x，y，z∈N*) 由题意可得(x，y，z∈N*) 课堂核心考点 考点1　不等式的基本性质 【例1】 (1)(多选)若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则> B．若a>b，则ac2>bc2 C．若a<b<0，则> D．若ac2<bc2，则a<b (2)(多选)若实数a，b，c，d满足a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ad<bc D．> 解析：(1)ACD　对于A，若a>b，则a－b＝()3－()3＝(－)[()2－＋()2]>0， 而()2－＋()2＝(－)2＋()2>0， 因此－>0，即>，A正确； 对于B，若a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，B错误； 对于C，若a<b<0，有ab>0，两边同时除以ab，则有<，C正确； 对于D，若ac2<bc2，则c≠0，此时c2>0，于是a<b，D正确．故选ACD. (2)ACD　因为a>b>0>c>d，所以c2<cd，A正确； 令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b>0>c>d，此时a－c＝b－d，B错误； 因为a>b>0>c>d，所以ad<bd，bd<bc，所以ad<bc，C正确； 因为a>b>0>c>d，则－＝，因为cb－ad>0，ab>0，所以－＝>0，即>，D正确． 故选ACD. (1)要判定一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判定一个不等式成立，一般需要证明． (2)判定大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象． 变式探究 1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．＜ B．ab＜b2 C．－ab＜－a2 D．－＜－ 解析：D　由于a＜b＜0，不妨令a＝－2，b＝－1，可得＝－，＝－1，所以＞，A错误； 可得ab＝2，b2＝1，所以ab＞b2，B错误； 可得－ab＝－2，－a2＝－4，所以－ab＞－a2，C错误； －＝，因为ab>0，a－b<0，所以－<0，即－<－，D正确．故选D. 2．(多选)设a<b<c，且a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac<bc C．< D．<1 解析：BC　因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，A错误； 因为a<b，c>0，所以ac<bc，B正确； 因为a<0<c，所以<，C正确； 因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，D错误．故选BC. 考点2　数(式)的大小比较 【例2】 (1)(2025·河南开学考试)已知a>b>c>0，A＝ab＋bc，B＝ac＋b2，C＝a2＋b2，则A，B，C的大小关系是　　　　　　． (2)如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2 (3)已知a>0，试比较与的大小． 解析：(1)C>A>B　由a>b>c>0，得a2>ab，b2>bc，因此C＝a2＋b2>ab＋bc＝A， 显然A－B＝(ab＋bc)－(ac＋b2)＝(a－b)(b－c)>0，则A>B， 所以A，B，C的大小关系是C>A>B. (2)D　x2－y2＝(x－y)(x＋y)，因为x＋y<0，且y>0，所以x<0，所以x－y<0， 所以x2－y2>0，所以x2>y2， 又xy＋y2＝y(x＋y)， 因为x＋y<0，y>0，所以y(x＋y)<0，所以y2<－xy. 又x2＋xy＝x(x＋y)>0，所以x2>－xy. 综上，x2>－xy>y2. 故选D. (3)因为－＝＝，可得a≠1， (ⅰ)当a>1时，－2a<0，a2－1>0， 则<0，即<； (ⅱ)当0<a<1时，－2a<0，a2－1<0， 则>0，即>. 综上，当a>1时，<；当0<a<1时，>. 比较大小的常用方法 (1)作差法：作差→变形→判断符号→结论．其关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较． (2)作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论(作商前一般需判断符号). (3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系． 变式探究 3．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为　　　　　． 解析：M<N　因为M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，所以M<N. 4．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是　　　　.(填序号) ①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2. 解析：②③　当a>0，b<0时，>0>，故①不正确； 由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确； 当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确． 5．设p＝(a2＋a＋1)-1，q＝a2－a＋1，则(　　) A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q 解析：D　因为p＝(a2＋a＋1)-1＝＝>0，q＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0， 则＝＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1. 故p≤q，当且仅当a＝0时，取等号，故选D. 考点3　不等式性质的综合应用 【例3】 (1)已知下列三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成　　　　个正确命题． (2)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最小值是　　　　　. 解析：(1)3　对②变形：>⇔>0. (ⅰ)由ab>0，bc>ad得②成立，所以①③⇒②. (ⅱ)若ab>0，>0，则bc>ad，所以①②⇒③. (ⅲ)若bc>ad，>0，则ab>0，所以②③⇒①. 综上所述，可组成3个正确命题． (2)　设＝(xy2)m·()n，即xy-3＝xm+2n·y2m－n， 所以解得所以＝(xy2)-1·. 因为3≤xy2≤8，4≤≤9，所以≤(xy2)-1≤. 由不等式性质可知≤(xy2)-1·≤3，即≤≤3. 综上可知，的最小值为. 求代数式的取值范围的方法 (1)待定系数法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围． (2)换元法：设已知范围的式子分别为a，b，将所求式子用a，b表示，再通过a，b的范围“一次性”得到所求式子的范围． 变式探究 6．已知a，b∈R且满足则4a＋2b的取值范围是(　　) A．[0，12] B．[4，10] C．[2，10] D．[2，8] 解析：C　设4a＋2b＝A(a＋b)＋B(a－b)， 可得解得 则4a＋2b＝3(a＋b)＋a－b， 因为可得 所以2≤4a＋2b≤10，故选C. 7．已知正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，ln b≥a，则的取值范围是　　　　　　. 解析：[e，7]　因为正数a，b满足5－3a≤b≤4－a， 所以5－3a≤4－a，所以a≥. 因为5－3a≤b≤4－a， 所以－3≤≤－1，从而≤7. 因为ln b≥a，所以≥(b≥e)， 设f(x)＝(x≥e)， 则f ′(x)＝， 当e≤x＜e时，f′(x)＜0，当x＞e时，f′(x)＞0，当x＝e时，f′(x)＝0， 所以当x＝e时，f(x)取到极小值，也是最小值． 所以f(x)min＝f(e)＝e，所以≥e， 所以的取值范围是[e，7]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　等式性质与不等式性质 课前必备知识 课标要求 1.了解不等式的概念，掌握等式性质，理解不等式性质.2.会比较两个代数式的大小.3.能应用不等式的性质解决有关问题． 知识梳理 1．不等式的定义 用不等号“>”“≥”“<”“≤”“≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较 (1)作差法 设a，b∈R，则a－b>0⇔　a>b　；a－b<0⇔　a<b　；a－b＝0⇔　a＝b　． (2)作商法 设a>0，b>0，则>1⇔　a>b　；＝1⇔　a＝b　；<1⇔　a<b　． 3．等式的基本性质 (1)对称性：a＝b⇔　b＝a　． (2)传递性：a＝b，b＝c⇒　a＝c　． (3)可加性：a＝b⇒　a±c＝b±c　． (4)可乘性：a＝b⇒　ac＝bc　． (5)可除性：a＝b，c≠0⇒　＝　． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔　b<a　． (2)传递性：a>b，b>c⇒　a>c　． (3)可加性：a>b⇒　a＋c>b＋c　． (4)不等式加法：a>b，c>d⇒　a＋c>b＋d　． (5)可乘性：a>b，c>0⇒　ac>bc　；a>b，c<0⇒　ac<bc　． (6)不等式乘法：a>b>0，c>d>0⇒　ac>bd　． (7)不等式乘方：a>b>0⇒　an>bn　(n∈N，n≥2). (8)不等式开方：a>b>0⇒　>　(n∈N，n≥2). 常用结论 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<. 2．分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0). (2)假分数性质：>；<(b－m>0). 课前训练 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(教材母题必修习题2.1T8改编)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 4．下列不等式正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为____________________． 课堂核心考点 考点1　不等式的基本性质 【例1】 (1)(多选)若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则> B．若a>b，则ac2>bc2 C．若a<b<0，则> D．若ac2<bc2，则a<b (2)(多选)若实数a，b，c，d满足a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ad<bc D．> (1)要判定一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判定一个不等式成立，一般需要证明． (2)判定大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象． 变式探究 1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．＜ B．ab＜b2 C．－ab＜－a2 D．－＜－ 2．(多选)设a<b<c，且a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac<bc C．< D．<1 考点2　数(式)的大小比较 【例2】 (1)(2025·河南开学考试)已知a>b>c>0，A＝ab＋bc，B＝ac＋b2，C＝a2＋b2，则A，B，C的大小关系是　　　　　　． (2)如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2 (3)已知a>0，试比较与的大小． 比较大小的常用方法 (1)作差法：作差→变形→判断符号→结论．其关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较． (2)作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论(作商前一般需判断符号). (3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系． 变式探究 3．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为　　　　　． 4．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是　　　　.(填序号) ①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2. 5．设p＝(a2＋a＋1)-1，q＝a2－a＋1，则(　　) A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q 考点3　不等式性质的综合应用 【例3】 (1)已知下列三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成　　　　个正确命题． (2)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最小值是　　　　　. 求代数式的取值范围的方法 (1)待定系数法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围． (2)换元法：设已知范围的式子分别为a，b，将所求式子用a，b表示，再通过a，b的范围“一次性”得到所求式子的范围． 变式探究 6．已知a，b∈R且满足则4a＋2b的取值范围是(　　) A．[0，12] B．[4，10] C．[2，10] D．[2，8] 7．已知正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，ln b≥a，则的取值范围是　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $