第1讲 集合的概念与基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合的概念 元音字母 a,e,i,o,u 集合 物态变化 熔化、凝固、液化、汽化、升华、凝华 稀有气体 氦气(He)、氖气(Ne)、氩气(Ar)、 氪气(Kr)、氙气(Xe)、氡气(Rn) 在我们曾经的学习中，集合的例子也非常多 【集合的概念】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）. 我们通常用大写拉丁字母A,B,C，···表示集合，用小写字母a,b,c,···表示集合中的元素. 集合的概念 亚洲国家的首都 √ 视力好的同学 帅气的男生 漂亮的女生 × × 集合中元素的特性：确定性 1米8以上的男生 √ 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 例题讲解1 （1）在数轴上与π的距离小于1的整数能否构成一个集合？ （2）在数轴上与π的距离小于1的实数能否构成一个集合？ （3）在数轴上与π比较接近的实数能否构成一个集合？ 集合的概念-确定性 2 3 π 4 课堂练习1 ①中国著名的数学家； ⑥所有无理数； ②中国古代四大发明； ⑦2024年参加两会的代表； ③我们班个子高的同学； ⑧所有很大的实数组成的集合； ④所有的APEC成员国； ⑨未来世界的高科技产品； ⑤2025年高考数学难题； ⑩在平面直角坐标系中，到定点（0,0）的距离等于1的所有点. 上述各组对象不能构成集合的是： 集合的概念-确定性 ①③⑤⑧⑨ 【集合的概念】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）. 我们通常用大写拉丁字母A,B,C，···表示集合，用小写字母a,b,c,···表示集合中的元素. 集合的概念 一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素的不重复出现的. 集合中元素的特性：互异性 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 例题讲解2 由方程x2-4x+4=0的解构成的集合. 集合的概念-互异性 思考1：方程x2-4x+4=0有几个解？ 答：有2个相等的实数解. 思考2：由方程x2-4x+4=0的解构成的集合有几个元素？ 答：有1个元素. 课堂练习2-1 若集合M中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 集合的概念-互异性 D 课堂练习2-2 由实数x,-x,|x|,,,所组成的集合，最多可含有的元素个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 集合的概念-互异性 B 思考：下面的两个集合是一样的集合吗？ 元音字母 a,e,i,o,u 元音字母 u,o,i,e,a 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 【集合的概念】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）. 我们通常用大写拉丁字母A,B,C，···表示集合，用小写字母a,b,c,···表示集合中的元素. 集合的概念 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 集合中元素的特性：无序性 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 【集合的概念】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）. 我们通常用大写拉丁字母A,B,C，···表示集合，用小写字母a,b,c,···表示集合中的元素. 【集合中元素的特性】确定性、互异性、无序性. 集合的概念 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 集合的概念-元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于（belong to）集合A，记作a∉A. 例题讲解3 （1）设A为所有有理数组成的集合，请用∈和∉填空： ①3 A,②π A，③ A,④ A. 所有整数与整数的比都是有理数 ∈ ∈ ∉ ∉ 思考：方程的所有实数根能否构成一个集合？ 集合的分类 答：能构成集合，只是这个集合中没有元素。 我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为∅. 按照元素个数可分为：空集、有限集、无限集. 集合的分类 例如 有限集：在数轴上与π的距离小于1的整数构成的集合 无限集：在数轴上与π的距离小于1的实数构成的集合 集合的分类 按照元素种类可分为：数集、点集，···. 例如 数集：有理数集 点集：在平面直角坐标系中，到定点（0,0）的距离等于1的所有点. 复数集：C 实数集：R 有理数集：Q 整数集：Z 自然数集：N 集合的概念-常用数集 正整数集：N*或N+ 正整数集 非负整数集（自然数集） 整数集 有理数集 实数集 N*或N+ N Z Q R 有没有无理数集？ 例题讲解4 用符号“∈”或“∉”填空 π N， 0 N， R， 3.1 Z， Q， 2 Q. 集合的概念-常用数集 ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ 1.下面给出的四类对象中，能构成集合的是（ ） A.某班视力好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 集合的概念-课堂练习 D 2.设不等式3-2x<0的解集为M，下列关系中正确的是（ ） A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M 集合的概念-课堂练习 B 3.（多选）集合A中含有3个元素2,4,6，若a∈A，且6-a∈A，那么a为（ ） A.2 B.-2 C.4 D.0 集合的概念-课堂练习 AC 4.以方程和方程的根为元素的集合共有 个元素. 5.(多选)由b2,2-b,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数b的取值不可能是（ ） A.1 B.-2 C.-1 D.2 集合的概念-课堂练习 3 ABD 【集合的概念】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）.我们通常用大写拉丁字母A,B,C，···表示集合，用小写字母a,b,c,···表示集合中的元素. 【集合中元素的特性】确定性、互异性、无序性. 【元素与集合的关系】如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（belong to）集合A，记作a∉A. 【集合的分类】按照元素个数可分为：空集、有限集、无限集；按照元素种类可分为：数集、点集. 【空集】我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为∅. 【一些常用数集】 集合的概念 正整数集 非负整数集（自然数集） 整数集 有理数集 实数集 N*或N+ N Z Q R 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 集合的概念 集合的表示 由单词 queen 和 nature 的字母构成的集合如何表示 集合的概念-集合的表示 由单词 queen 和 nature 的字母构成的集合 集合的概念-集合的表示 q,u,e,n,a,t,r {q,u,e,n,a,t,r} 集合的表示-列举法 {q,u,e,n,a,t,r} 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意：元素与元素之间由“，”隔开 课堂练习1-1 表示出由方程的实数根组成的集合 课堂练习1-2 方程组的解构成的集合为（ ） A.{x=3,y=0} B.{(3,0)} C.{3,0} D.{0,3} 集合的表示-列举法 {-3，3} B 不等式 2x-3>0 的解集如何表示 集合的概念-集合的表示 {2,3,4,5,6,7,8,···} {2.1,2.01,2.001,···} {x∈R|x>1.5} {x∈R|x>1.5} 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为： {x∈A|P(x)} 这个表示集合的方法称为描述法. 集合的表示-描述法 不等式2x-3>0的解集如何表示 集合的概念描述法 {x∈R|x>1.5} 符合不等式2x-3>0的整数集如何表示 {x∈Z|x>1.5} {x|x>1.5} {x|x>1.5,x∈Z} 例题讲解1 下列三个集合：①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③B={(x,y)|y=x2+1}. (1)他们是不是相同的集合？ (2)他们各自的含义分别是什么？ 集合的表示-描述法 不是 ①y=x2+1中x的取值范围，集合表示还可表示为：R ②y=x2+1中y的取值范围，集合表示还可表示为：{y|y≥1} 思考:B集合能否表示为：{x|x≥1} 能！ ③是点的集合 1.已知集合M={x|x∈N},则( ) A.0∈M B.π∈M C.∈M D.1∉M 2.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 集合的表示-课堂练习 A C 用适当的方法表示下列集合： （1）方程x(x2+2x+1)=0的解集； 作业 【列举法】像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意：元素与元素之间由“，”隔开. 【描述法】一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为：{x∈A|P(x)}这个表示集合的方法称为描述法. 集合的表示法 集合这个词与我们日常所熟悉的一类、整体、全体的意思相近，例如所有高中课本的全体，所有中国人的全体，所有文具的全体，都可以看做一些对象的集合，我们所有听到的看到的闻到的想到的各种事物，或是抽象的符号都可以看做对象，一般地，我们把能够确定的不同对象看做一个整体，这个整体就是集合，那么问题就来了，啥是能够确定的对象呢？课本中是这样解释的：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，例如：“亚洲国家的首都”会构成一个集合，北京、东京、新德里等都在这个集合中，但是，视力好的同学，是不能构成集合的，因为无法界定什么是视力好，再比如帅气的男生，漂亮的女生，这些都不能构成一个集合。 集合间的基本关系 观察以下两组集合：​ 第一组：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}；​ 第二组：C = {x|x是等边三角形}，D= {x|x是两条边相等的三角形}.​ 集合间的基本关系 请用集合的语言归纳概括上述两个具体例子的共同特点。 集合A中的任何一个元素都是集合B的元素 集合C中的任何一个元素都是集合D的元素 【子集】一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作AB(或B),读作“A包含于B”(或“B包含A”). 集合间的基本关系 观察以下两组集合：​ 第一组：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}；​ 第二组：C = {x|x是等边三角形}，D= {x|x是两条边相等的三角形}.​ AB,CD B A Venn图 例题讲解1 判断集合A是否为集合B的子集，若是则在( )打√，若不是则在( )打× ①A={x|x是菱形},B={x|x是平行四边形}0 ( ) ②A={1,3,5},B={1,3,6,9}0 ( ) ③A={0},B={x|x2+2=0} ( ) ④A={a,b,c,d},B={c,b,d,a}0 ( ) 集合间的基本关系 【子集】一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作AB(或B),读作“A包含于B”(或“B包含A”). 集合间的基本关系 观察以下两组集合：​ 第一组：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}；​ 第二组：C = {x|x是等边三角形}，D= {x|x是两条边相等的三角形}.​ AB,CD B A Venn图 AB且BA CD且DC A=B C=D 【子集】一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作AB(或B),读作“A包含于B”(或“B包含A”). 集合间的基本关系 观察以下两组集合：​ 第一组：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3}；​ 第二组：C = {x|x是等边三角形}，D= {x|x是三条边相等的三角形}.​ 【集合相等】一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 也就是说，若AB，且BA，则A=B. 集合间的基本关系 【真子集】一般地，对于两个集合A与B，如果集合AB，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subser），记作A⫋B（或B⫌A）. 观察以下两组集合：​ 第一组：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}；​ 第二组：C = {x|x是等边三角形}，D= {x|x是两条边相等的三角形}.​ 【例题讲解2】 判断集合A是否为集合B的子集，如果是，A是否为集合B的真子集 ①A={x|x是正方形},B={x|x是矩形} ②A={x|x是偶数},B={x|x=2k，k∈Z}； ③A={0},B={(0,1)} ④A={0},B={(0,1)，0} ⑤A={质数},B={奇数} ⑥A=∅,B={0,1,2} 集合间的基本关系 【一些结论】 ①空集是任何集合的子集； ②空集是任何非空集合的真子集； ③任何一个集合是它本身的子集； ④对于集合A,B,C，如果A⊆B,且B⊆C,则A⊆C. 集合间的基本关系 【例题讲解3】 ①写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集 ②写出集合{a,b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集 集合间的基本关系 【一些结论】 ⑤如果集合A是一个n元集合，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2. 集合间的基本关系 1.给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A，则A≠∅. 其中正确的说法有 （ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 集合间的基本关系-课堂练习 2.下面五个式子中：①a{a}；②∅{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}{a}；⑤a∈{b,c,a},正确的有（ ） A.②③④ B.②③④⑤ C.②④⑤ D.①⑤ 3.若集合A={1,2,4,6}，B={2,3,5}，设集合M={x|x∈B且x∉A}，则集合M的子集个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.4 集合间的基本关系-课堂练习 【子集】一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作AB(或B),读作“A包含于B”(或“B包含A”). 【集合相等】一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 也就是说，若AB，且BA，则A=B. 【真子集】一般地，对于两个集合A与B，如果集合AB，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subser），记作A⫋B（或B⫌A）. 【一些结论】 ①空集是任何集合的子集； ②空集是任何非空集合的真子集； ③任何一个集合是它本身的子集； ④对于集合A,B,C，如果A⊆B,且B⊆C,则A⊆C. ⑤如果集合A是一个n元集合，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2. 集合间的基本关系 已知集合A满足{1,2}A{1,2,3,4,5},{2,3}A{1,2,3,5,6},写出所有满足条件的集合A. 作业 谢谢大家 $