精品解析：广西南宁市广西大学附属中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级（上）第1次大作业数学科试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般式的定义，熟悉掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 化为一般式后即可得出结果． 【详解】解：∵化为一般式后为：， ∴一次项系数为：；常数项为：； 故选：A． 3. 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的解析式是． 故选：A． 5. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内角四边形，根据圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵E为延长线上一点， ∴； 故选C． 6. 如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是点 B. 旋转角是 C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D. 旋转角是 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：A、△ABC通过旋转可得到△DCE，它的旋转中心是点C，错误；  B、AC⊥CD旋转的旋转角为90°，错误；  C、既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转，正确；  D、旋转角是∠ACD或者是360°−∠ACD，错误．  故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 7. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14． 【详解】先移项得x2+6x=5， 方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9， 所以（x+3）2=14． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 8. 如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理． 根据垂径定理得到，，然后根据圆周角定理得，，而对于与的大小关系不能判断． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，，，故B，D正确，不符合题意； ∴，故A正确，不符合题意； 而无法比较的大小，故C错误，符合题意； 故选：C． 9. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 10. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. B. =10 C. D. =10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，即可列出方程． 【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手次； 依题意，可列方程为：； 故选：B． 11. 关于二次函数的说法，下列正确的是（    ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 函数有最大值为2 C. 函数图象对称轴为 D. 函数图象开口向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 当时，， ∴图象与y轴的交点坐标为； 综上，正确的只有选项C； 故选C． 12. 二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， 那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则c的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念：使一元二次方程两边相等的未知数的值，掌握这个概念是关键．把方程解代入一元二次方程中，即可求得c的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴把代入，得， 解得：， 故答案为：1． 14. 如图，在中，为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理与直径所对的圆周角为，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对的圆周角相等，由此可得，再根据直径所对的圆周角为，可得，由此可求． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理可得， ∵为直径， ∴， 在中，， 则的大小为． 故答案为： ． 15. 已知二次函数y＝3x2＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将一次函数解析式代入到二次函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根的判别式即可得出关于c的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中， 得：4x=3x2+c,即3x2−4x+c=0. ∵两函数图象只有一个交点， ∴方程3x2−4x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=(−4)2−4×3c=0， 解得：c=. 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与运算法则. 16. 如图，是等边内的一点，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，证明，得，即可说明可以由绕点B逆时针旋转得到，可知是等边三角形，则，由勾股定理逆定理可判断是直角三角形，得，则可得． 【详解】\解：∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴ ∵ ∴， ∴． 如图，连接，则是等边三角形， ∴， ， 在中，， ∴是直角三角形，． ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法与提取公因式是解决本题的关键． （1）将该方程进行因式分解求解即可． （2）先进行移项，再提取公因式，由此求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 提取公因式，得， 即， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求，点的坐标为； （2） 解：如图所示，为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）此残片所在圆的半径为10． 【解析】 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 20. 已知关于的一元二次方程两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1）实数的取值范围为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由，得到关于的方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得， 实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 21. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ （3）在（2）的条件下，每件商品售价降价多少元时，商场每天利润最多？最大利润是多少元？ 【答案】（1）两次下降的百分率为 （2）每件商品应降价3元 （3）每件商品的降价2元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可； （3）设每件商品应降价元，获得利润为，根据题意得到函数解析式，即可得到最大值． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为． ， 解得或不符合题意，舍去）． 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得， 解得：，， 有利于减少库存， ． 答：要使商场每天销售这种商品的利润达到504元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价3元； 【小问3详解】 解：设每件商品应降价元，获得利润为， 由题意得，， 当时，即每件商品的降价为2元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元． 22. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【答案】（1）22 （2） ①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； ②2 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图3所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）第1次大作业数学科试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是点 B. 旋转角是 C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D. 旋转角是 7. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 8. 如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. B. =10 C. D. =10 11. 关于二次函数的说法，下列正确的是（    ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 函数有最大值为2 C. 函数图象对称轴为 D. 函数图象开口向上 12. 二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则c的值是___________． 14. 如图，在中，为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为___________． 15. 已知二次函数y＝3x2＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________． 16. 如图，是等边内的一点，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 19. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：，．求（1）中所作圆的半径． 20. 已知关于的一元二次方程两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 21. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ （3）在（2）的条件下，每件商品售价降价多少元时，商场每天利润最多？最大利润是多少元？ 22. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $