专题12.2 因式分解的方法2（十字相乘法、分组分解法）（10大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上学期同步培优讲义

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.2 因式分解的方法2（十字相乘法与分组分解法） 知识点一 十字相乘法 1.定义：一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式; （2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. 3.用十字相乘法分解因式的符号规律 （1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; （2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; （3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 知识点二 分组分解法 1. 分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. (2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 题型01：二次项系数为1的十字相乘法 【例1】将下列多项式分解因式： （1）x2+7x+10＝　 　； （2）x2﹣2x﹣3＝　 　； （3）y2﹣7y+12＝　 　； （4）x2+7x﹣18＝　 　． 【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）； （2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）； （3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）； （4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）． 故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）． 【例2】分解因式： （1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3． 【解答】解：（1）x2﹣10x+16 ＝（x﹣8）（x﹣2）； （2）x2﹣2x﹣3 ＝（x﹣3）（x+1）． 【例3】用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； 【解析】（1）原式． （2）原式 ． 【例4】将下列各式用十字相乘法进行因式分解： （ （ （ （ （； （； （ （ （ （ 答案：（ （ （ （ （ （ （ （ （ 【例5】分解因式：（1）；（2）． 【详解】解：（1）； （2）． 题型02：二次项系数不为1的十字相乘法 【例6】因式分解：（1） （2）． 解：（1） =． （2） 故答案为：； 【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，能够熟练运用十字相乘法是解题的关键 【例7】运用十字相乘法分解因式： （1） ； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； 解：（1）． （2）． （3）． 【例8】分解因式：（1）；（2）． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 题型03：整体思想下的十字相乘法 【例9】分解因式：（1）； （2）． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【例10】分解因式：（1）．（2）． （3）． 【详解】解：（1）原式． （2） ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解题的关键． 【例11】分解因式：（1）．（2）．（3）． 【答案】 【分析】先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3） ． 【例12】分解因式：（1）．（2）． 【详解】解：原式 ． （2）原式 ． 题型04：十字相乘法求参数 【例13】如果，那么　　． 【详解】解：， ， ． 故本题答案为：． 【例14】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为　　 A． B．5 C．1 D． 【详解】解：设能分解成两个一次因式与的积， ，即， ，， ，． 故本题选：． 【例15】已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是 【答案】或 【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的也有4种情况． 【详解】解：，或， ①或，即， ②或，即， 故答案为：或． 【安静】此题主要考查了分解因式十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：，即常数项与一次项系数之间的等量关系． 【例16】要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 【答案】±1或±19或±8 【分析】把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案． 【详解】解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8， 当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1， 当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19， 综上所述：整数a的值为±1或±19或±8． 故答案为：±1或±19或±8． 【点睛】本题主要考查对因式分解−十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键． 题型05：“看错”问题 【例17】小明、小颖两名同学将关于的二次三项式分解因式，小明因看错了一次项系数而分解成，小颖因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【详解】解：小明因看错了一次项系数而分解成， ， ， 小颖因看错了常数项而分解成， ， ， 原二次三项式为：． 【例18】因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案． 【详解】解：∵甲看错了a的值， ∴， ∴； ∵乙看错了b的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 【例19】在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【答案】 6 9 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答． 【详解】解：依题意，由甲的结果得：， 由乙的结果得：， 可得，， 故答案为：． 题型06：多解问题 【例20】若能分解成两个因式的积，则整数的取值可能有　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 【详解】解：， 或或或或或． 故本题答案为：． 【例21】二次三项式能在整数范围内分解因式，则为 ． 【答案】或 【分析】把分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，即可得到答案． 【详解】解：， 或或或， 为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是利用十字相乘法分解因式，对常数正确分解是解题关键． 【例22】已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 题型07：分组分解法因式分解 【例23】分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝　　．ax﹣by+ay﹣bx＝　 【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1， ＝（a﹣b）2﹣1， ＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【解答】解：ax﹣by+ay﹣bx ＝（ax﹣bx）+（ay﹣by） ＝x（a﹣b）+y（a﹣b） ＝（a﹣b）（x+y）． 故答案为：（a﹣b）（x+y）． 【例24】因式分解：（1）．（2）a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．（3）x2﹣y2﹣2x﹣2y． 【详解】解：（1） ； （2）原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2） ＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2） ＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2） ＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）． （3）原式＝（x2﹣y2）﹣（2x+2y） ＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y） ＝（x+y）（x﹣y﹣2）． 【例25】因式分解：（1）x2+4y2+4xy﹣1．（2）4﹣m2﹣9n2﹣6mn．（3）1﹣a2﹣4b2+4ab．（4）． 【解答】解：（1）原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1 ＝（x+2y）2﹣1 ＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）． （2）原式＝4﹣（m2+9n2+6mn） ＝22﹣（m+3n）2 ＝（2+m+3n）（2﹣m﹣3n）． （3）1﹣a2﹣4b2+4ab ＝1﹣（a2+4b2﹣4ab） ＝1﹣（a﹣2b）2 ＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）] ＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法以及分组分解法是解决本题的关键． （4）解： ． 【点睛】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键． 题型08：根据分组分解法求代数式的值 【例26】已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（    ） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定 【答案】A 【分析】把代数式利用完全平方公式和平方差公式分解因式，根据三角形中任意两边之和大于第三边即可进行判断． 【详解】解： ∵a，b，c是三角形的三边． ∴，． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式及三角形中三边之间的关系，熟练运用完全平方公式、平方差公式是解题关键． 【例27】已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 【答案】或 【分析】，得，移项后因式分解得到，由a，b，c三个数两两不等，则，得到①，同理可得②，③，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴， ∴①， 同理可得②，③， 当时， ①＋②＋③得，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴a，b，c三个数中至少一个不是0， 设， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上可知，m的值为或． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键． 题型09：用适当的方法因式分解 【例28】分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可； （3）将作为一组，作为一组，利用分组分解法因式分解即可； （4）将作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 【例29】分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （4）先分组，进而得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型10：材料题 【例30】因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法． 请解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可； （2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状． 【详解】（1） ； （2）是等腰三角形．理由如下： ， ， ，，是的三边， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键． 【例31】阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【例32】阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的整式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如整式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个整式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的整式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下整式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式 (2)， (3) 【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键． （1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解； （2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解； （3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式； （2）解：，前两项为一组，后一项为一组， ∴原式， ，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组， ∴原式， 故答案为：，． （3）解： ． 【例33】阅读下面的材料： 材料一：当时，，或． 材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如， 所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或， 所以，． 根据以上材料回答下列问题： （1）因式分解：　　； （2）解方程：； （3）若，则与的关系式是　　； （4）若整式是的因式，求常数，的值． 【详解】解：（1）， 故本题答案为：； （2）分解方程得：， 即或， 解得：，； （3）等式左边分解得：， 即或， 或， 故本题答案为：或； （4）是的因式， 存在一个整式，使得， 当时，，则①， 当时，，则②， 联立①②得：，． 一、选择题 1．（2024-25七年级上海闵行期中）将多项式分解因式后正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 2．（2022春•宝山区校级月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（　　） A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣8 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【解答】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5）， ∴x2+px+q＝x2﹣8x+15， 故p＝﹣8，q＝15， 则p+q＝﹣8+15＝7． 故选：B． 【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键． 3.（2024-25七年级上海奉贤期中）若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：二次三项式可分解成即， ， 解得：，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 4.（2024-25七年级上海黄浦期中）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 解： 故选：D． 【点拨】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 5．（2024-25七年级上海松江期中）下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【详解】解：A. ，正确；     B. ，错误，所以此选项符合题意； C. ，正确； D. ，正确 故选B. 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6.（2022·上海·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（  ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形边的关系. 【详解】解： =0 （a-b）（b-c）=0 即：a=b或b=c，则三角形一定为等腰三角形； 故答案为B. 【点睛】本题考查了三角形形状的判定，其关键在于对等式的变形，推导出a、b、c的关系. 2、 填空题 7.（2023秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝　　． 【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）． 故答案为：（x﹣6）（x+2）． 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 8．（2024-25七年级上海嘉定期中）若多项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开是解题关键．首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果为， ∴， 故，， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘方运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键． 9.（2024-25七年级上海青浦期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 10．（2024-25七年级上海浦东期中）分解因式：= 【答案】 【分析】先分组，再根据提取公因式法进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键熟练掌握提取公因式法． 11．（2023春•长宁区校级期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝　　． 【分析】直接将后三项分组，结合完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而得出答案． 【解答】解：原式＝x2﹣（y2﹣4y+4） ＝x2﹣（y﹣2）2 ＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）． 故答案为：（x+y﹣2）（x﹣y+2）． 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 12．（2024春•徐汇区校级期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝　　． 【分析】将“2x﹣ay+ax﹣2y”分成两组，然后利用提取公因式法进行因式分解． 【解答】解：2x﹣ay+ax﹣2y ＝（2x﹣2y）+（ax﹣ay） ＝2（x﹣y）+a（x﹣y） ＝（x﹣y）（2+a）． 故答案是：（x﹣y）（2+a）． 【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组． 13．（2023春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝　　． 【分析】把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答． 【解答】解：am+an﹣bm﹣bn ＝（am+an）﹣（bm+bn） ＝a（m+n）﹣b（m+n） ＝（m+n）（a﹣b）， 故答案为：（m+n）（a﹣b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解﹣分组分解法是解题的关键 14.（2024-25七年级上海杨浦期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 15.（2024-25七年级上海宝山期中）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝ ． 【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2+b2﹣2ab正好符合完全平方公式，应考虑为一组． 解：a2﹣1+b2﹣2ab ＝（a2+b2﹣2ab）﹣1 ＝（a﹣b）2﹣1 ＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 故答案为（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【点拨】此题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解． 16.（2023秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 　±2　． 【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和． 【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3， ∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2， ∴整数k的值为：±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键． 三、解答题 17．（2024-25七年级上海阶段练习）将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可； （2）用十字相乘法，分解因式即可； （3）用十字相乘法，分解因式即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：∵，即， ∴； （3）解：， ∵，即， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上． 18．（2024-25七年级上海阶段练习）因式分解：（1）．（2）． 【详解】解：（1） （2）． 19．（2024-25七年级上海阶段练习）分解因式：． 【答案】． 【分析】设 ，将原式转化为 ， y代回利用十字相乘法分解即可求解. 【详解】解：设， 原式 , , , , ． 故答案为． 【点睛】本题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法分解因式以及换元思想的运用. 20．（2022·上海·七年级期末）因式分解： 【答案】 【分析】利用分组分解法、完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】 = = =． 【点睛】考查了综合因式分解法，其中分组分解法适用于多项式不能直接使用提取公因式法、公式法与十字相乘法的多项式分解情况，但分组分解法又比较灵活，其分解的关键在于分组要适当，因而我们需要牢记它的分组原则：①分组后能直接提取公因式； ②分组后能直接运用公式． 21．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解： 【答案】 【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键． 22．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式： 【答案】 【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 23．（2022·上海·七年级期末）分解因式：． 【答案】 【分析】先利用十字相乘法分解，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：（x-1)(x+1)(x-3)(x+3) 【点睛】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法和平方差公式是解题关键． 24．（2022·上海·七年级专题练习）已知有因式，求a的值，并将其因式分解． 【答案】，原式 【分析】首先根据题意“有因式”，可得出，进而得出当时，，然后把代入，即可算出的值，然后把的值代入，即可得到，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出结果． 【详解】解：∵有因式， ∴，即， ∴时，， ∴把代入， 可得：， 解得：， ∴把代入， 可得：， ∴ ． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握因式分解． 25．（2024-25七年级上海阶段练习）阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题 【阅读材料】 对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解． 【解决问题】 (1)求式子中的值； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据x3-5x2+x+10=（x-2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程求出即可； （2）由把x=-1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案． (1)解：因为＝， 所以＝， 于是得， 解得； (2)解∶ 当x＝－1时，的值为0， 因此设＝， 所以得＝， 于是得， 解得， 所以＝＝． 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型，同学们应熟练掌握获取正确信息的方法． 26．（2022·上海宝山·七年级期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】利用因式分解得出三边长的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：是等边三角形 证明：∵， ∴． ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.2 因式分解的方法2（十字相乘法与分组分解法） 知识点一 十字相乘法 1.定义：一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式; （2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. 3.用十字相乘法分解因式的符号规律 （1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; （2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; （3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 知识点二 分组分解法 1. 分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. (2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 题型01：二次项系数为1的十字相乘法 【例1】将下列多项式分解因式： （1）x2+7x+10＝　 　； （2）x2﹣2x﹣3＝　 　； （3）y2﹣7y+12＝　 　； （4）x2+7x﹣18＝　 　． 【例2】分解因式： （1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3． 【例3】用十字相乘法分解因式： (1)；(2)； 【例4】将下列各式用十字相乘法进行因式分解： （ （ （ （ （； （； （ （ （ （ 【例5】分解因式：（1）；（2）． 题型02：二次项系数不为1的十字相乘法 【例6】因式分解：（1） （2）． 【例7】运用十字相乘法分解因式： （1） ； （2）； （3）； 【例8】分解因式：（1）；（2）． 题型03：整体思想下的十字相乘法 【例9】分解因式：（1）； （2）． 【例10】分解因式：（1）．（2）． （3）． 【例11】分解因式：（1）．（2）．（3）． 【例12】分解因式：（1）．（2）． 题型04：十字相乘法求参数 【例13】如果，那么　　． 【例14】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为　　 A． B．5 C．1 D． 【例15】已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是 【例16】要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 题型05：“看错”问题 【例17】小明、小颖两名同学将关于的二次三项式分解因式，小明因看错了一次项系数而分解成，小颖因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【例18】因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【例19】在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 题型06：多解问题 【例20】若能分解成两个因式的积，则整数的取值可能有　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 【例21】二次三项式能在整数范围内分解因式，则为 ． 【例22】已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 题型07：分组分解法因式分解 【例23】分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝　　．ax﹣by+ay﹣bx＝　 【例24】因式分解：（1）．（2）a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．（3）x2﹣y2﹣2x﹣2y． 【例25】因式分解：（1）x2+4y2+4xy﹣1．（2）4﹣m2﹣9n2﹣6mn．（3）1﹣a2﹣4b2+4ab．（4）． 题型08：根据分组分解法求代数式的值 【例26】已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（    ） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定 【例27】已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 题型09：用适当的方法因式分解 【例28】分解因式： (1) (2) (3) (4) 【例29】分解因式： (1) (2) (3) (4)． 题型10：阅读理解题 【例30】因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法． 请解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 【例31】阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【例32】阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的整式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如整式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个整式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的整式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下整式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【例33】阅读下面的材料： 材料一：当时，，或． 材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如， 所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或， 所以，． 根据以上材料回答下列问题： （1）因式分解：　　； （2）解方程：； （3）若，则与的关系式是　　； （4）若整式是的因式，求常数，的值． 一、选择题 1．（2024-25七年级上海闵行期中）将多项式分解因式后正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2022春•宝山区校级月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（　　） A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣8 3.（2024-25七年级上海奉贤期中）若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 4.（2024-25七年级上海黄浦期中）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024-25七年级上海松江期中）下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 6.（2022·上海·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（  ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 2、 填空题 7.（2023秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝　　． 8．（2024-25七年级上海嘉定期中）若多项式因式分解的结果是，则 ． 9.（2024-25七年级上海青浦期中）因式分解： ． 10．（2024-25七年级上海浦东期中）分解因式：= 11．（2023春•长宁区校级期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝　　． 12．（2024春•徐汇区校级期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝　　． 13．（2023春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝　　． 14.（2024-25七年级上海杨浦期中）分解因式： ． 15.（2024-25七年级上海宝山期中）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝ ． 16.（2023秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 　　． 三、解答题 17．（2024-25七年级上海阶段练习）将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 18．（2024-25七年级上海阶段练习）因式分解：（1）．（2）． 19．（2024-25七年级上海阶段练习）分解因式：． 20．（2022·上海·七年级期末）因式分解： 21．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解： 22．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式： 23．（2022·上海·七年级期末）分解因式：． 24．（2022·上海·七年级专题练习）已知有因式，求a的值，并将其因式分解． 25．（2024-25七年级上海阶段练习）阅读以下材料，根据 【阅读材料】 对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解． 【解决问题】 (1)求式子中的值； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 26．（2022·上海宝山·七年级期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 1 学科网（北京）股份有限公司 $