专题12.2 因式分解的方法1（提取公因式法、公式法）（10大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.2 因式分解的方法（1） 知识点一、提取公因式法 1.公因式 把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. （3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点二、公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 要点： （1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解. （2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止. 2、完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 3、公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 题型01：找公因式 【例1】单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，写成，，即可． 【解析】解：∵，， ∴，，的公因式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键． 【例2】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【解析】解：； 多项式的公因式为 故选B 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【例3】在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（　　） A．m B．m（a﹣x） C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x） 【答案】C 【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）， ＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b）， ＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n） ＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n）， 故选：C． 【例4】整式与整式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个整式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴整式与整式的公因式是， 故选：B． 【例5】式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解：；， 式子与的公因式是， 故选：A． 题型02：用提公因式法分解因式 【例6】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来； （2）利用提公因式法解答，注意符号的变化． 【解析】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，找准多项式的公因式是解题的关键． 【例7】分解因式： （1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． 【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x） ＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（a+b）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． ＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）] ＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y） ＝﹣2xy（x+y）． 【例8】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【例9】用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可： （2）提取公因式分解因式即可： （3）提取公因式分解因式即可： （4）提取公因式分解因式即可： 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 题型03：已知公因式求另一个因式 【例10】把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【答案】A 【分析】适当变形后提公因式，可得答案． 【解析】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 【例11】把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 【例12】把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型04：根据提公因式法求参数或代数式的值 【例13】已知多项式有一个因式是，则k的值为 ． 【答案】-9 【分析】令=（x+3）A的形式，当x=-3时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值． 【解析】令=（x+3）A， 当x=-3时，-27+27+9+k=0， 解得k=-9， 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了因式分解—提公因式法，令x+3=0，则x=-3，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键． 【例14】先因式分解，再求值；已知，，求的值． 【答案】10 【分析】先将代数式用提公因式法因式分解，然后代入已知条件即可求值． 【解析】解：， 将，代入， 原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【例15】已知，求的值． 【答案】 【解析】解：，， ， ． 【变式5】（2022•播州区二模）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 　　． 【答案】30 【解答】解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6， 整理得：m+n＝5，mn＝6， 则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30． 故答案为：30． 题型05：运用平方差公式分解因式 【例16】多项式4﹣x2分解因式，其结果是（　　） A．（﹣x+2）2 B．（x+2）2 C．（4﹣x）（4+x） D．（2+x）（2﹣x） 【解答】解：4﹣x2＝（2+x）（2﹣x）． 故选：D． 【例17】因式分解：m2﹣4n2＝（　　） A．（m﹣2n）2 B．（m﹣2n）（m+2n） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（2m﹣n）2 【解答】解：原式＝m2﹣（2n）2 ＝（m+2n）（m﹣2n）． 故选：B． 【例18】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了公式法进行因式分解．根据平方差公式进行因式分解分别判断即可． 【详解】解：不能进行因式分解，故选项A不符合题意； 不能因式分解，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； 不能因式分解，故选项D不符合题意， 故选：C． 【例19】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【答案】C 【分析】根据平方差公式判断即可； 【详解】A．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C．能运用平方差公式分解，故此选项正确； D．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选： C． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键． 【例20】因式分解： ． 【答案】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 【例21】分解因式：（1）（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．（2）． 【详解】（1）原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）． （2）． 【例22】将下列整式分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）整理后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）整理后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）整理后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型06：运用完全平方公式分解因式 【例23】分解因式4y2+4y+1结果正确的是（　　） A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2 【答案】A 【解答】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2． 故选：A． 【例24】若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11 【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解， ∴k+1＝±12， 解得：k＝﹣13或11， 故选：C． 【例25】已知x2±kxy+64y2＝（x+8y）2，则k的值是（　　） A．±16 B．16 C．±8 D．8 【解答】解：∵x2±kxy+64y2＝（x+8y）2＝x2+16xy+64y2， ∴±k＝16， ∴k＝±16． 故选：A． 【例26】下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 【例27】已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①不能用完全平方公式进行因式分解； ②，能用完全平方公式进行因式分解； ③不能用完全平方公式进行因式分解； ④，能用完全平方公式进行因式分解； 因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④． 故选：C． 【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【例28】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平方差公式，完全平方公式的结构即可判断． 【详解】①不能用公式法因式分解； ②原式＝， ③不能用公式法因式分解； ④原式＝（b-a）（b+a）， ⑤原式＝ 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，涉及平方差公式，完全平方公式． 【例29】因式分解： ． 【答案】 【分析】原式提取n，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【例30】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 【例31】分解因式：（1）． （2）： （3） 【详解】（1） （2）原式= =（x+y）2（x-y）2； （3）设 ∴ ． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握的运用． 题型07：利用因式分解法进行简便运算 【例32】利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 【例33】计算： ． 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例34】简便计算： 【答案】16 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 【例35】计算：＋等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先提公因式，再计算即可． 【解析】解：原式 故选：C 【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式 【例36】计算： 【答案】80 【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【例37】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型10：综合运用公式法和提公因式法分解因式 【例38】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例】因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案． 【详解】解： ． 【例39】分解因式：． 【答案】 【分析】利用提公因式和平方差法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法因式分解，是解题的关键． 【例40】分解因式： （1）x2（x﹣y）+（y﹣x）； （2）2x2y﹣4xy2+2y3． 【解答】解：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x） ＝x2（x﹣y）﹣（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣1） ＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）； （2）2x2y﹣4xy2+2y3 ＝2y（x2﹣2xy+y2） ＝2y（x﹣y）2． 【例41】分解因式： （1）a3﹣10a2b+25ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． （3）25x2（a﹣b）+49y2（b﹣a）． 【解答】解：（1）a3﹣10a2b+25ab2 ＝a（a2﹣10ab+25b2） ＝a（a﹣5b）2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． （3）原式＝25x2（a﹣b）﹣49y2（a﹣b） ＝（25x2﹣49y2）（a﹣b） ＝（5x+7y）（5x﹣7y）（a﹣b）． 【例42】因式分解： （1）x3﹣2x2y+xy2 （2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x） 【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2 ＝x（x2﹣2xy+y2） ＝x（x﹣y）2； （2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x） ＝（x﹣3y）（a2﹣9b2） ＝（x﹣3y）（a+3b）（a﹣3b）． 【例43】因式分解：． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【详解】解： 【例44】因式分解：（1)（2）． 【答案】【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，利用完全平方公式把后三项分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． (2)： ． 【例45】因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解： （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型11：配方法 【例46】如果，那么的值为 ． 【答案】/0.25 【知识点】完全平方公式分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解、非负数的性质、代数式求值，根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方式的非负性求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：由得， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【例47】已知：，求的值 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解及偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意等式可变形为，则有，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【例48】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值； a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1； ∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________； (2)用配方法因式分解：a2－12a＋35． (3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________； (4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________； 【答案】(1)25； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可； （2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可； （4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：25； （2）解： ； （3）解： ， 当，即时，取最小值，最小值为； 故答案为：； （4）解：， ， 即， ，，， ，，， 解得：，， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． 题型12：综合提升 【例49】若a, b, c 满足，则 【答案】 【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可. 【解析】因为 所以 ，即 因为 所以 因为 所以 因为 所以 即 因为 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键. 【例50】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 【答案】(1)提取公因式法；2 (2) (3)2023； 【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次； （2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案； （3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次， 故答案为：提公因式法；2； （2）解：原式 ； （3）解：，提1次公因式 ，提2次公因式 ，提3次公因式 …… ∴依次类推，，提n次公因式， ∴，提2023次公因式， 故答案为：2023；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 一、选择题 1．（2023秋·上海七年级阶段练习）因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 【答案】D 【分析】数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低. 【解析】解：该多项式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac， 故选择D. 【点睛】本题考查了提公因式时公因式的确定. 2．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（     ） A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9 【答案】C 【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式． 【详解】解：， ， ， 公因式是． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 3.（2023秋·上海浦东新·七年级期中）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（　　） A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2 【答案】D 【解答】解：原式＝（x﹣2）2． 故选：D． 4．（2024-25上海宝山·七年级校考期末）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个． ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行判断即可． 【详解】解：①不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，可以用平方差公式分解因式，符合题意； ③不能用公式法分解因式，不符合题意； ④不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键． 5.（2023秋·上海浦东新·七年级期中）因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．4 【解答】解：根据题意得：x2﹣ax+4＝b2x2+4bx+4， ∴b2＝1，﹣a＝4b， ∴b＝±1，a＝﹣4b， 当b＝1时，a＝﹣4，a+b＝﹣3； 当b＝﹣1时，a＝4，a+b＝3； 故选：A． 6．（2024-25上海闵行·七年级校考期末）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 2、 填空题 7．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 8（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解 ． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 9．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解析】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该多项式的公因式为2y， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 10．（2024-25上海徐汇七年级校考期末）把多项式分解因式，结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据提公因式法：提取﹣3xn，可得答案． 【解析】原式=﹣3xn（xn+2），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式．掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． 11．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 【答案】24 【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可． 【解析】 x＋y＝6，xy＝4， x2y＋xy2 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．（2024-25上海黄浦七年级校考期末）计算+等于(   ) A．-23999 B．-2 C．-22024 D．22023 【答案】D 【分析】把分解成×，然后再提取公因式，然后得出答案. 【详解】+ =+× =×(1-2) =×(-1) = 故选：D． 【点睛】此题考核知识点：同底数幂乘法公式运用. 解题的关键：借助公式，灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果． 13．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14.（2022春•福田区校级期末）分解因式：y2+6y+9＝　 ． 【解答】解：y2+6y+9＝（y+3）2， 故答案为：（y+3）2． 15.（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 16．（2024-25上海宝山·七年级校考期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 17．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 由平方差公式进行因式分解，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 18．（2024-25大同中学七年级期末）已知，则的值为________ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把所求式子先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 三、解答题 19．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可： （2）提取公因式分解因式即可： （3）提取公因式分解因式即可： （4）提取公因式分解因式即可： 【解析】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 20．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． （7）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 21．（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）分解因式： 【答案】 【分析】先根据完全平方公式将前三项分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查了根据公式法因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．注意：因式分解要分到不能再分为止． 22．（2022秋·上海·七年级期末）因式分解： 【答案】(a-1)2(a-3)(a+1) 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和十字交叉法进行因式分解． 【详解】 ＝ = = = =(a-1)2(a-3)(a+1) 【点睛】考查了利用公式法因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点和将 23（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 24．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5． 【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式． 【解析】解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝， ∴a﹣1＝﹣5， 解得：a＝﹣4； 故答案是：﹣4 （2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6， ∴b＝﹣1． 故答案是：﹣1． （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n）， 则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n， ∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n， 解得n＝5，k＝5， ∴另一个因式为x+5，k的值为5． 【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.2 因式分解的方法（1） 知识点一、提取公因式法 1.公因式 把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1）提取公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用提取公因式法分解因式的关键是准确找出整式各项的公因式. （3）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （4）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点二、公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 要点： （1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解. （2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止. 2、完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 3、公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 题型01：找公因式 【例1】单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【例3】在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（　　） A．m B．m（a﹣x） C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x） 【例4】整式与整式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【例5】式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型02：用提公因式法分解因式 【例6】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【例7】分解因式： （1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． 【例8】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【例9】用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03：已知公因式求另一个因式 【例10】把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【例11】把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【例12】把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 题型04：根据提公因式法求参数或代数式的值 【例13】已知多项式有一个因式是，则k的值为 ． 【例14】1.先因式分解，再求值；已知，，求的值． 2.已知，求的值． 【例15】如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 　　． 题型05：运用平方差公式分解因式 【例16】多项式4﹣x2分解因式，其结果是（　　） A．（﹣x+2）2 B．（x+2）2 C．（4﹣x）（4+x） D．（2+x）（2﹣x） 【例17】因式分解：m2﹣4n2＝（　　） A．（m﹣2n）2 B．（m﹣2n）（m+2n） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（2m﹣n）2 【例18】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【例19】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【例20】因式分解： ． 【例21】分解因式：（1）（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．（2）． 【例22】将下列整式分解因式： (1) (2) (3) 题型06：运用完全平方公式分解因式 【例23】分解因式4y2+4y+1结果正确的是（　　） A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2 【例24】若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11 【例25】已知x2±kxy+64y2＝（x+8y）2，则k的值是（　　） A．±16 B．16 C．±8 D．8 【例26】下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【例27】已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【例28】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例29】因式分解： ． 【例30】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例31】分解因式：（1）． （2）： （3） 题型07：利用因式分解法进行简便运算 【例32】利用平方差公式计算：= ． 【例33】计算： ． 【例34】简便计算：=_______ 【例35】计算：＋等于（   ） A． B． C． D． 【例36】计算： 【例37】用简便方法计算： (1)； (2)． 题型08：综合运用公式法和提公因式法分解因式 【例38】因式分解： ． 【例】因式分解：． 【例39】分解因式：． 【例40】分解因式： （1）x2（x﹣y）+（y﹣x）； （2）2x2y﹣4xy2+2y3． 【例41】分解因式： （1）a3﹣10a2b+25ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． （3）25x2（a﹣b）+49y2（b﹣a）． 【例42】因式分解： （1）x3﹣2x2y+xy2 （2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x） 【例43】因式分解：． 【例44】因式分解：（1)（2）． 【例45】因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09：配方法 【例46】如果，那么的值为 ． 【例47】已知：，求的值 ． 【例48】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值； a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1； ∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________； (2)用配方法因式分解：a2－12a＋35． (3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________； (4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________； 题型10：综合提升 【例49】若a, b, c 满足，则 【例50】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 一、选择题 1．（2023秋·上海七年级阶段练习）因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 2．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（     ） A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9 3.（2023秋·上海浦东新·七年级期中）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（　　） A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2 4．（2024-25上海宝山·七年级校考期末）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个． ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ A．2 B．3 C．4 D．5 5.（2023秋·上海浦东新·七年级期中）因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．4 6．（2024-25上海闵行·七年级校考期末）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 2、 填空题 7．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式： ． 8（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解 ． 9．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）多项式各项的公因式是 ． 10．（2024-25上海徐汇七年级校考期末）把多项式分解因式，结果为_______ 11．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 12．（2024-25上海黄浦七年级校考期末）计算+等于______ 13．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）因式分解： ． 14.（2022春•福田区校级期末）分解因式：y2+6y+9＝　 ． 15.（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 16．（2024-25上海宝山·七年级校考期末）计算的值为=__ 17．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）若，，则的值为 ． 18．（2024-25大同中学七年级期末）已知，则的值为________ 三、解答题 19．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（2023秋·上海浦东新·七年级期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 21．（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）分解因式： 22．（2022秋·上海·七年级期末）因式分解： 23（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 24．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $