12.2因式分解的方法 讲义2025-2026学年沪教版 （五四制）数学七年级上册

该初中数学单元复习教案系统梳理了因式分解的四种基本方法：提取公因式法、公式法、分组分解法及综合应用，通过清晰的知识脉络图将各方法的适用条件、操作步骤与典型例题有机串联，帮助学生理解从简单到复杂、从单一到综合的逻辑演进过程，建立结构化的知识网络。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，设计“辨析—推理—表达”三阶复习活动，如引导学生观察多项式特征识别公因式（数学眼光），通过例题6的分步拆解训练逻辑推理能力（数学思维），再以综合练习3的变形题强化模型意识（数学语言）。练习分层明确，基础题巩固方法，拓展题提升思维，既满足不同学情需求，又助力教师精准诊断教学难点，显著提升复习效率。

12.2 因式分解的方法 一、提取公因式法 提取公因式法是因式分解中最基本的方法，适用于多项式中各项含有相同因式的情况。 方法步骤： 1. 找出多项式中各项的公因式 2. 提取公因式作为因式分解后的一个因式 3. 用原多项式除以公因式，得到的商作为另一个因式 例题1： 分解因式：6x²y + 9xy² - 3xy 解析： 观察各项，公因式为 3xy 提取公因式：6x²y + 9xy² - 3xy = 3xy(2x + 3y - 1) 答案： 3xy(2x + 3y - 1) 例题2： 分解因式：4a(x-y) + 6b(y-x) 解析： 注意：(y-x) = -(x-y)，所以原式可化为：4a(x-y) - 6b(x-y) 提取公因式 2(x-y)：2(x-y)(2a - 3b) 答案： 2(x-y)(2a - 3b) 二、公式法 利用乘法公式进行因式分解的方法，常用的有平方差公式和完全平方公式。 1. 平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b) 例题3： 分解因式：16x² - 9y² 解析： 原式可写为：(4x)² - (3y)² 应用平方差公式：(4x + 3y)(4x - 3y) 答案： (4x + 3y)(4x - 3y) 2. 完全平方公式 a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² 例题4： 分解因式：x² + 6x + 9 解析： 原式可写为：x² + 2·x·3 + 3² 应用完全平方公式：(x + 3)² 答案： (x + 3)² 三、分组分解法 当多项式项数较多，不能直接使用上述方法时，可尝试分组分解法。 方法步骤： 1. 将多项式适当分组 2. 对每组进行因式分解 3. 提取各组之间的公因式 例题5： 分解因式：ax + ay + bx + by 解析： 分组：(ax + ay) + (bx + by) 分别提取公因式：a(x + y) + b(x + y) 提取公因式 (x + y)：(x + y)(a + b) 答案： (x + y)(a + b) 四、综合应用 在实际解题中，往往需要多种方法结合使用。 例题6： 分解因式：3x³ - 12x 解析： 先提取公因式：3x(x² - 4) 再用平方差公式：3x(x + 2)(x - 2) 答案： 3x(x + 2)(x - 2) 例题7： 分解因式：x⁴ - 16 解析： 应用平方差公式：(x²)² - 4² = (x² + 4)(x² - 4) 继续分解：(x² + 4)(x + 2)(x - 2) 答案： (x² + 4)(x + 2)(x - 2) 综合练习 1. 分解因式：a⁴ - 81 2. 分解因式：x³y - 2x²y² + xy³ 3. 分解因式：a² - b² - 4a + 4 解析： 1. a⁴ - 81 = (a²)² - 9² = (a² + 9)(a² - 9) = (a² + 9)(a + 3)(a - 3) 2. x³y - 2x²y² + xy³ = xy(x² - 2xy + y²) = xy(x - y)² 3. a² - b² - 4a + 4 = (a² - 4a + 4) - b² = (a - 2)² - b² = (a - 2 + b)(a - 2 - b) 因式分解方法总结 · 提取公因式法：各项有公因式时使用 · 公式法：平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b)；完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² · 分组分解法：四项或以上多项式使用 · 综合应用：多种方法结合使用 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2 因式分解的方法 一、提取公因式法 提取公因式法是因式分解中最基本的方法，适用于多项式中各项含有相同因式的情况。 方法步骤： 1. 找出多项式中各项的公因式 2. 提取公因式作为因式分解后的一个因式 3. 用原多项式除以公因式，得到的商作为另一个因式 例题1： 分解因式：6x²y + 9xy² - 3xy 例题2： 分解因式：4a(x-y) + 6b(y-x) 二、公式法 利用乘法公式进行因式分解的方法，常用的有平方差公式和完全平方公式。 1. 平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b) 例题3： 分解因式：16x² - 9y² 2. 完全平方公式 a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² 例题4： 分解因式：x² + 6x + 9 三、分组分解法 当多项式项数较多，不能直接使用上述方法时，可尝试分组分解法。 方法步骤： 1. 将多项式适当分组 2. 对每组进行因式分解 3. 提取各组之间的公因式 例题5： 分解因式：ax + ay + bx + by 四、综合应用 在实际解题中，往往需要多种方法结合使用。 例题6： 分解因式：3x³ - 12x 例题7： 分解因式：x⁴ - 16 综合练习 1. 分解因式：a⁴ - 81 2. 分解因式：x³y - 2x²y² + xy³ 3. 分解因式：a² - b² - 4a + 4 因式分解方法总结 · 提取公因式法：各项有公因式时使用 · 公式法：平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b)；完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² · 分组分解法：四项或以上多项式使用 · 综合应用：多种方法结合使用 学科网（北京）股份有限公司 $