精品解析：湖北省襄阳市襄州区襄阳高新技术产业开发区第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

高新一中9月数学月考卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 4. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（ ）． A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在二次函数图象上，则（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若是以x为自变量的二次函数，则______． 12. 二次函数的图象开口向下，则m值为_________． 13. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了_____个人． 14. 抛物线的开口向______，对称轴是______，顶点是______． 15. 已知二次函数，当时，y的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 18. 先化简，再求值． （1﹣）÷ ，其中x是方程x2﹣5x+6=0的根． 19. 受疫情影响，某种蔬菜的价格快速上涨，是原价的1.5倍，同样用48元能买到的蔬菜比原来少了2千克． （1）求这种蔬菜的原价是每千克多少元？ （2）政府采取增加采购渠道、财政补贴等多种措施，降低特价，方便老百姓的生活．这种蔬菜的批改价两次下调后，由每千克10元降为每千克6.4元．求平均每次下调的百分率． 20. 已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3． （1）求a，n的值； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21. 某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． （1）求这个花圃的长和宽． （2）该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 22. 某商店决定销售一批商品，经市场调研：该商品进价每个为10元，在试销阶段发现每件售价x（元）与产品的日销售量y（件）始终存在下表的数量关系， 请回答以下问题： 每件售价x（元） 12 15 18 每日销售量y（件） 180 150 120 （1）请你根据上表所给数据求出日销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式．（） （2）该商店为了减少库存，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ 23. 抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B（点A在点B的左边）． （1）求m的值及顶点坐标． （2）此抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ （3）点P是抛物线上的一个动点，若，求点P的坐标． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； （3）若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高新一中9月数学月考卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟练掌握此定义是解题的关键． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可. 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选D 3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14． 【详解】先移项得x2+6x=5， 方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9， 所以（x+3）2=14． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个， 依题意，得：， 解得： （舍去），． 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵a=-2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为：x=1，本选项正确， D、∵抛物线的开口向下且对称轴为直线x=1，∴当时，随的增大而减小，本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论 7. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 8. 若点都在二次函数图象上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 9. 已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数，根据题意，求解即可. 【详解】根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数， 在对称轴的右边随的增大而增大，则， 故选：D． 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数的图象得到，的正负，然后相比较解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相吻合； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾. D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若是以x为自变量的二次函数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数定义可得：，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 12. 二次函数的图象开口向下，则m值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意可得且，解之即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得或，且， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象与性质的应用能力，关键是能准确理解以上知识并进行正确的计算． 13. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了_____个人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到答案． 【详解】解：依题意，得：， 即． 解得： (不合题意，舍去)． 故答案为：． 14. 抛物线的开口向______，对称轴是______，顶点是______． 【答案】 ①. 上 ②. 直线 ③. 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数一般式化为顶点式.将抛物线化为顶点式，即可看出开口方向、对称轴、顶点坐标. 【详解】解：将抛物线解析式化为顶点式 ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为. 故答案为：上，直线， 15. 已知二次函数，当时，y的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查用适当方法解一元二次方程； （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可. 【小问1详解】 解： 移项： 因式分解： 解得，. 【小问2详解】 解： 移项： 因式分解： 解得，. 【小问3详解】 解： 方程化简： 直接开平方： 即或 解得，. 【小问4详解】 解： 左边展开： 移项合并： 因式分解： 解得，. 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤ （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【17题详解】 解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0， 解得m≤； 【18题详解】 根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4， ∵（x1-3）（x2-3）=m2-1， ∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1， ∴2m-4-3×1+9=m2-1， ∴m2-2m-3=0， 解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）． 故m的值是-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式． 18. 先化简，再求值． （1﹣）÷ ，其中x是方程x2﹣5x+6=0的根． 【答案】,. 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,求出方程的解得到x的值,代入计算即可求出值. 【详解】原式=•=， 方程x2﹣5x+6=0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0， 解得：x=2（舍去）或x=3， 当x=3时，原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟悉掌握运算法则是关键. 19. 受疫情影响，某种蔬菜的价格快速上涨，是原价的1.5倍，同样用48元能买到的蔬菜比原来少了2千克． （1）求这种蔬菜的原价是每千克多少元？ （2）政府采取增加采购渠道、财政补贴等多种措施，降低特价，方便老百姓的生活．这种蔬菜的批改价两次下调后，由每千克10元降为每千克6.4元．求平均每次下调的百分率． 【答案】（1）这种蔬菜的原价是每千克8元；（2）平均每次下调的百分率是20% 【解析】 【分析】（1）设蔬菜的原价为每千克元，根据“同样用48元能买到的蔬菜比原来少了2千克”列分式方程求解即可； （2）设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到6.4列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）设蔬菜的原价为每千克元， 依题意列方程得：， 解得：x=8， 当x =8时，公分母1.5x≠0，则x=8是原方程的解，且符合题意， ∴x =8， 答：这种蔬菜的原价是每千克8元； （2）设平均每次下调的百分率为y． 由题意得：． 解得：y1=0.2，y2=1.8（不符合题意，舍去）， ∴y=0.2=20%． 答：平均每次下调的百分率是20%． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意分式方程要检验． 20. 已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3． （1）求a，n的值； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）， （2）抛物线开口向上、对称轴为直线、顶点坐标 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换的应用； （1）两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，再由开口方向相反，可求出a，由已知即，得到抛物线上离x轴最近的点是抛物线的顶点，据此可求出n； （2）根据解析式求出各个结果即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， 又∵开口方向相反， ∴， ∵抛物线的顶点为， 又∵图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3，且， ∴抛物线上离x轴最近的点是抛物线的顶点， ∴， 故，. 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线为， ∴其开口向上、对称轴为直线、顶点坐标. 21. 某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． （1）求这个花圃的长和宽． （2）该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【答案】（1）这个花圃的长为10米，宽为8米 （2）购进A种树苗棵， B种树苗棵 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论． （2）设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得：， 整理，得： 解得． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． 【小问2详解】 解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 答：购进A种树苗棵， B种树苗棵． 22. 某商店决定销售一批商品，经市场调研：该商品进价每个为10元，在试销阶段发现每件售价x（元）与产品的日销售量y（件）始终存在下表的数量关系， 请回答以下问题： 每件售价x（元） 12 15 18 每日销售量y（件） 180 150 120 （1）请你根据上表所给数据求出日销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式．（） （2）该商店为了减少库存，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ 【答案】（1） （2）16元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确分析题意找出数量关系，列出相应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据利润=单件利润×销售量列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格可知：每件售价涨3元，每日销售量减少30件，则产品的日销售量y（件）是每件售价x（元）的一次函数， 设函数解析式为， 把，；，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，，符合题意， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，， 当时，， 当时，， ∵要减少库存， ∴， 答：售价应定为16元． 23. 抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B（点A在点B的左边）． （1）求m的值及顶点坐标． （2）此抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ （3）点P是抛物线上的一个动点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）此抛物线是由先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到 （3）P点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线图像的平移变换，二次函数综合中的面积问题； （1）待定系数法求二次函数解析式直接将点代入解析式即可求得m的值； （2）将抛物线解析式化为顶点式，再根据抛物线平移口诀：左加右减，上加下减，即可求得； （3）由抛物线解析式可得点A，B的坐标，再由可得P点纵坐标，代入解析式可求出P点的坐标. 【小问1详解】 解：将点代入解析式得：. 故. 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线解析式为 化为顶点式 根据抛物线平移口诀：左加右减，上加下减，可得： 可由先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到. 【小问3详解】 解：∵抛物线为 令，即 解得， 又∵点A在点B的左边 ∴， ∴ 设P点纵坐标为， ∴ 解得 当时 即 ∴此方程没有实数根 当时 即 解得，. ∴P点坐标为或. 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； （3）若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为；直线的解析式为 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； 【小问3详解】 解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $