精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

西北师大附中 2025-2026学年第一学期第一次月考考试试题 高三数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是奇函数，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 已知函数的最大值为2025，则的值为（ ） A. B. -1 C. 1 D. 或-1 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为函数零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设， 已知(e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则 _______ . 13. 若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 14. 已知f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． （2）若，求的取值范围； 16. 已知函数（），其中． （Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值； （Ⅱ）若最小值为1，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中为奇函数，为偶函数． （1）求与的解析式； （2）当时，有解，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）． 19. 已知函数 （I）讨论单调性； （II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025-2026学年第一学期第一次月考考试试题 高三数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 由于，则． 故选：B 4. 若函数是奇函数，则实数（ ） A 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】的定义域为, 由于为奇函数，故，解得， 当时，， 故符合题意， 故选：B 5. 已知函数的最大值为2025，则的值为（ ） A. B. -1 C. 1 D. 或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 7. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析易得在上单调递增，，进而结合单调性解不等式即可求解. 【详解】的定义域为，所以在上单调递增， 而， 所以， 由， 则，由的单调性可得， ，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】令，则，注意到不恒为， 故，故A正确； 因为的图象关于点(2，0)对称，所以， 令，得， 故，故B错误； 令，得， 令，得，故， 从而，故, 令，得，化简得，故C正确； 令，得，而，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据极值点情况，分析的根的情况，得出的范围；选项B：对正负分类讨论的单调性，根据零点情况，即可得出的解；选项C：求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；选项D：转化为关于的一次函数的零点情况，即可判断D. 【详解】，令，解得，， 选项A：为的极小值点，，，故A正确； 选项B：， 当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点； 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上取得极小值，也是最小值， 即， 在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 切线过点，代入切线方程即，即，解得， 有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 选项D：设，， 则， 设，由于，故为单调递增一次函数， 存在使得符合题意，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设， 已知(e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则 _______ . 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可得，然后结合导数的几何意义列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是偶函数，即， 即， 整理可得， 即对成立， 因为不恒为，所以，即. 即，且， 则曲线在点处的切线斜率为， 其中直线的斜率为， 由切线与直线垂直可得， 化简可得， 令，则，即，化简可得， 即或（舍）， 即，两边取对数可得. 故答案为： 13. 若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将的两个极值点均为正数转化为有两个正根，由一元二次方程根的分布可求得结果. 【详解】由，则， 由的两个极值点均为正数，得有两个正根，显然， 故需满足，解得. 故答案为：. 14. 已知f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 分析】由画出图象，求出值域，令，则，再结合分类讨论法和数形结合法即可求解参数取值范围. 【详解】当时，，；当时，，，故，图象如图所示，令，， 故，， ， 当时，，时，，当时，只有一个解，故此时函数g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有一个零点； 当时，令得或，当即时，由图象可知，有两解，又时有一解，故g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点； 当时，，令得或2，此时对应图象只有两解，故g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有两个零点； 当时，令得，此时g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有1个零点； 当时，令得或，结合图象可知，此时g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有两个零点， 综上所述，当时，g(x)＝[f(x)]2 -(a+2)f(x)+2a有三个零点. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． （2）若，求的取值范围； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，利用周期性与奇偶性可得，代入即得答案； （2）求出的解析式以及定义域，再根据对数函数的单调性解不等式即可求解. 【小问1详解】 设 ，则 ，， 由周期性得：， 再由奇函数性质得：， 当时，有，且， 所以，. 【小问2详解】 代入得：， 即 ， 即， 得：， 解得：. 16. 已知函数（），其中． （Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值； （Ⅱ）若的最小值为1，求实数的取值范围． 【答案】（1） (2) 【解析】 【分析】（I）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意.（II）对函数求导.对分成，两类，结合函数的单调性以及最小值为，通过讨论，求得的取值范围. 【详解】（Ⅰ）求导函数可得． ∵在处取得极值，∴，∴ ，解得； 经检验，时在处取得极小值，符合题意，所以 （Ⅱ）， ∵，，∴，． 当时，在区间上，递增，的最小值为. 当时，由，解得；由，解得． ∴的单调减区间为，单调增区间为． 于是，在处取得最小值，不符合题意． 综上可知，若f（x）的最小值为1，则实数的取值范围是． 【点睛】本小题主要考查已知函数的极值求函数的解析式，考查已知函数的最小值求参数的取值范围.属于中档题. 17. 已知函数，其中为奇函数，为偶函数． （1）求与的解析式； （2）当时，有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性的定义，解方程可得所求解析式； （2）由参数分离和换元法，结合对数的运算性质和基本不等式可得所求范围． 【小问1详解】 因为， ① 所以， 又因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以， ② 联立①②得，解得． 【小问2详解】 有解，即有解， 令， 设，则， 因为，且在上为单调递增函数，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以， 故实数的取值范围为． 18. 已知函数，． （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知在上恒成立，然后再根据分离参数法结合导数在函数单调性中的应用，即可求出结果； （2）设公切线在上的切点为，在上的切点为，根据导数的几何意义，求出切线方程为，和，根据公切线的含义化简可得，又，可得，令，再利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果. 【小问1详解】 解：由题意，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，则， 所以在上单调递增． 于是，所以． 【小问2详解】 解：当时，设公切线在上的切点为， 则切线方程为：． 设公切线在上的切点为， 则切线方程为：， ， 又，． 令．． 又在上单调递减，而，， 满足，即， 在区间上单调递增，在区间上单调递减． ， ． 19. 已知函数 （I）讨论的单调性； （II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值． 【答案】（I）见解析；（II）或或 【解析】 【详解】（I）， 当时，，当且仅当时，， 所以是上增函数； 当时，的两个根为， ，， ， 综上所述，当时，单调递增区间是； 当时，单调递增区间是， 单调递减区间是； （II）由题设知，是方程的两个根， 故有，， 因此 ， 同理， 因此直线的方程为， 设直线与轴的交点为，得， ， 由题设知，点在曲线上，故， 解得或或 所以的值为. 【点睛】本试题考查了导数在研究函数中的运用．第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间．另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $