2.1第2课时等式性质与不等式性质导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 知识归纳 知识点一　等式性质 性质1:如果a=b,那么b=a. 性质2:如果a=b,b=c,那么a=c. 性质3:如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4:如果a=b,那么ac=bc. 性质5:如果a=b,c≠0,那么=. 知识点二　不等式的基本性质 序号 性质 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔ ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒ ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c b+c ⇔ 4 可乘性 ⇒ac bc c的符号 ⇒ac bc 5 同向可 加性 ⇒a+c b+d ⇒ 6 同向同正 可乘性 ⇒ac bd ⇒ 7 可乘方性 a>b>0⇒ (n∈N,n≥2) 同正 (1)倒数性质:若a>b>0,则0<<;若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. 基础自测 1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　) [A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b [C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b 2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是(　　) [A]a+d>b+c [B]a+c>b+d [C]ad>bc [D]ac>bd 3.与a>b等价的不等式是(　　) [A]|a|>|b| [B]a2>b2 [C]>1 [D]a3>b3 4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为 ,最小值为 .  题型一　利用不等式的基本性质判断命题真假 [例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是(　　) [A]若a>b,c≠0,则ac>bc [B]若ac2>bc2,则a>b [C]若a<b<0,则a2>ab>b2 [D]若a>b>0,c>d,则ac>bd 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可. (2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. [变式训练] (多选)下列说法正确的是(　　) [A]若a>b,则< [B]若b<a,则b2<a2 [C]若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2 [D]若<,则a<b 题型二　利用不等式的基本性质证明不等式 [例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d. (2)已知a>b,ab>0,求证:<. (3)已知a>b>0,0<c<d,求证:>. (1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件. (2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂. [变式训练] 已知c>a>b>0,求证:>. 题型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 [例3] 已知-6<a<8,2<b<3,分别求2a+b,a-b,的取值范围. (1)根据不等式的性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘. (2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负. (3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. [变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4. (1)求实数a,b的取值范围; (2)求2a-5b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 知识归纳 知识点一　等式性质 性质1:如果a=b,那么b=a. 性质2:如果a=b,b=c,那么a=c. 性质3:如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4:如果a=b,那么ac=bc. 性质5:如果a=b,c≠0,那么=. 知识点二　不等式的基本性质 序号 性质 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可 加性 ⇒a+c>b+d ⇒ 6 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 (1)倒数性质:若a>b>0,则0<<;若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. 基础自测 1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　) [A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b [C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b 【答案】 C 【解析】 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,0>b>-a,所以a>-b>b>-a.故选C. 2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是(　　) [A]a+d>b+c [B]a+c>b+d [C]ad>bc [D]ac>bd 【答案】 B 【解析】 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a+c>b+d,故B正确;其余选项都可以举反例说明是错误的.故选B. 3.与a>b等价的不等式是(　　) [A]|a|>|b| [B]a2>b2 [C]>1 [D]a3>b3 【答案】 D 【解析】 可利用赋值法.令a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,a2<b2,<1,故A,B,C都不正确. 故选D. 4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  【答案】 11　5 【解析】 因为3≤x≤7,1≤y≤2,则2≤2y≤4,所以5≤x+2y≤11,所以x+2y的最大值为11,最小值为5. 题型一　利用不等式的基本性质判断命题真假 [例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是(　　) [A]若a>b,c≠0,则ac>bc [B]若ac2>bc2,则a>b [C]若a<b<0,则a2>ab>b2 [D]若a>b>0,c>d,则ac>bd 【答案】 BC 【解析】 对于A,当a>b,c<0时,ac<bc,即A错误;对于B,若ac2>bc2,可得c2>0,则a>b,即B正确;对于C,由a<b<0可得a·a>b·a,即a2>ab,由a<b<0可得a·b>b·b,即ab>b2,因此a2>ab>b2,即C正确;对于D,若a=2>b=1>0,c=-1>d=-2,则ac=bd=-2,即D错误.故选BC. 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可. (2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. [变式训练] (多选)下列说法正确的是(　　) [A]若a>b,则< [B]若b<a,则b2<a2 [C]若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2 [D]若<,则a<b 【答案】 CD 【解析】 对于A,当a=1,b=-1时,=1>-1=,故A错误;对于B,当a=1,b=-1时,a2=b2=1,故B错误;对于C,若a>b>c,则a-c>b-c>0,所以(a-c)2>(b-c)2,故C正确;对于D,若<,则a<b,故D正确.故选CD. 题型二　利用不等式的基本性质证明不等式 [例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d. (2)已知a>b,ab>0,求证:<. (3)已知a>b>0,0<c<d,求证:>. 【证明】 (1)因为a>b,c<d,所以a>b,-c>-d, 所以a-c>b-d. (2)因为ab>0,所以>0. 又a>b,所以a·>b·, 即>,因此<. (3)因为0<c<d,根据(2)的结论,得>>0. 又a>b>0,所以a·>b·,即>. (1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件. (2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂. [变式训练] 已知c>a>b>0,求证:>. 【证明】 法一　因为c>a>b>0,所以0<c-a<c-b,所以>>0,又a>b>0,所以>. 法二　因为a>b>0,所以<,又c>0,所以<,所以-1<-1,即<,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,所以>. 法三　-===,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以>. 题型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 [例3] 已知-6<a<8,2<b<3,分别求2a+b,a-b,的取值范围. 【解】 因为-6<a<8,所以-12<2a<16,又2<b<3,所以-10<2a+b<19. 因为2<b<3,所以-3<-b<-2,又-6<a<8,所以-9<a-b<6. 因为2<b<3,所以<<.当0≤a<8时,0≤<4;当-6<a<0时,0<-a<6,所以0<<3,所以-3<<0,所以-3<<4. 综上,-10<2a+b<19,-9<a-b<6,-3<<4. (1)根据不等式的性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘. (2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负. (3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. [变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4. (1)求实数a,b的取值范围; (2)求2a-5b的取值范围. 【解】 (1)因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4, 所以4≤(a+b)+(a-b)≤12, 即4≤2a≤12,所以2≤a≤6. b=[(a+b)-(a-b)]=[(a+b)+(b-a)],因为3≤a-b≤4, 所以-4≤b-a≤-3,又1≤a+b≤8, 所以-3≤(a+b)-(a-b)≤5, 所以-≤[(a+b)-(a-b)]≤, 即-≤b≤. (2)设2a-5b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则解得 所以2a-5b=-(a+b)+(a-b), 因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4, 所以-12≤-(a+b)≤-,≤(a-b)≤14, 所以-≤2a-5b≤. 学科网（北京）股份有限公司 $