2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

034 第2课时 等式性质与不等式性质 教材梳理明要点 日情境导入 在我们喝的糖水中加些糖后会变得更甜：炒菜中加些盐后会变得更 咸，…，此类生活现象如何用数学式子来表示呢？ ●[提示] 白新知初探 知识点一 等式的性质 性质1如果a=b,那么 [提示] 性质2如果a=b,b=c,那么 修水不学式烟》 性质3如果a=b,那么 性质4如果a=b,那么 8其中b>a0且m 性质5如果a=b,c≠0，那么 >0. 知识点二不等式的性质 性质1a>b曰 ;(对称性) 性质2a>b,b>c→ ;(传递性) 性质3a>b→ ;(可加性) 性质4a>b,c>0→ ,a>b,c<0→ac<bc;(可乘性) 性质5a>b,c>d→ :(同向可加性) 性质6a>b>0,c>d>0→ ;(同向同正可乘性) 性质7a>b>0→ (n∈N,n≥2).（可乘方性） ●[知识点反思] 预习自测 [知识点反思] 1.已知a>b,c>d,且c,d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() 两个不等式只有同向 A.ad >bc B.ac bd 加法和同向同正乘法 C.a-cxb-d D.a+c>b+d 运算，没有减法和除2.用“<”或“>”填空： 法运算. （1)如果a>6>0,那么分 (2)如果a>b,那么-2a -2b. (3)如果a>b>0,那么a0 b0. (4)如果a>-b,那么c-a c+b. 题型探究提技能 题型一不等式性质的应用 例1(I)对于实数a,bc,下列命题中为真命题的是 A.若a>b,则ac2>bc2 B若a>6>0,则> C.若a<b<0,则b>a a b D.若a>b,士> 1>,则a>0,b<0 035 (2)(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题错误的是 A.若a<b,c<d,则ac<bd [方法总结1] R若b>0.k-d>0.则后-号≥0 判断关于不等式的命 题真假的两种方法 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c 1.直接法：直接运用 D.若a>b,c>d>0,则g>b 不等式的性质进行推 >[方法总结1] d c 理判断； )》跟踪训练1 2.特殊值验证法：给 不等式中涉及的变量 (多选)给出下列四个条件：①2>；2②t>:③x2>y:④0<1<1其 取一些特殊值，然后 中能成为x>y的充分条件的是 进行比较、判断 A.① B.② C.③ D.④ 题型二利用不等式的性质证明不等式 [方法总结2] 应用不等式的性质进 例2设a>b>,求证nb+。e+,1a>0 行推导时，应注意紧 ●[方法总结2] 扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略 条件或跳步推导，更 不能随意构造性质与 法则. 〉跟踪训练2 已知a>6>0.求i证：没> [方法总结3] a 利用不等式的性质求 取值范围的策略 /建立待求范围的整 体与已知范围的整体 的关系，最后利用一 题型三利用不等式的性质求范围 次不等式的性质进行 例3(1)已知1≤a≤2，且2≤b≤4，求4a-2b的取值范围， 运算，求得待求的 范围； (2)已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围. 2.求解这种代数式范 」此处a+b与a-b分别看作-个整体，将4a-2b 围问题要特别注意不 用这两个整体式子表示出来 能简单地分别求出单 个变量的范围，再去 ●[方法总结3] 求其他不等式的范 围，要把已知条件中 的代数式看作整体来 处理 〉跟踪训练3 (1)已知-5<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是 (2)已知1≤a-b≤2，且2≤a+b≤4，则4a-2b的取值范围是 036 随堂检测 重反馈 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 ( A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 2.已知a∈R,则“a>1"”是“1<1"的 条件 ( A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 3.给定下列命题： ①0>a>b→a2>b:②a2>b2a>b>0:③a>b=6<1:④a>b→a3>b. 其中真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为 x的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 2.2 基本不等式 新课程标准解读 学科核心素养 理解基本不等式的几何意义及其推导过程， 数学抽象、直观想象 能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式， 逻辑推理、数学运算 会运用基本不等式解决生活中的问题 数学建模 第1课时 基本不等式 教材梳理 明要点 ●情境导入 某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放人左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右 边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除 [提示] 以2作为黄金的最终质量出售.这样称得的质量是黄金的真实质量吗？ 不是，可利用基本不 [提示] 等式知识进行计算并 证明. 白新知初探 知识点一基本不等式 如果a>0,6>0,则，≤，当且仅当 时，等号成立.其中， a+b叫做正数a,b的 平均数，√ab叫做正数a,b的 平均 数：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平 均数2.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， .a-b≥0即a≥b,故选C. 又：a>6>0,两边同乘正数站得方>。>0. ② 3.D“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，x≥ 95,y>380,z>45. 由08得>会 4.10y+x>70该两位数可表示为10y+x,∴.10y+x>70. 例3：(1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8. ① 因为2≤b≤4，所以-8≤-2b≤-4 ② 第2课时等式性质与不等式性质 由①+②，得-4≤4a-2b≤4. 教材梳理 明要点 (2)方法一：设u=a+b,=a-b得a=“”,b=“” 2 2 新知初探 知识点 .4a-2b=2u+2m-u+v=u+3. 1≤u≤4，-1≤v≤2，.-3≤3v≤6 b=aa=ca±c=b±cac=bca=b c c 则-2≤u+3m≤10，即-2≤4a-2b≤10. 知识点二 方法二：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b). b<a azc a+czb+c aczbe a+c>b+d aczbd a" ..4a-26=(x+y)a+(x-y)b. >b" [x+y=4,x=1,又1≤a+b≤4， 预习自测 x-y=-2,y=3.又{-3≤3(a-b)≤6. 1.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式 .∴.-2≤4a-2b≤10. 的性质5知，D一定成立 跟踪训练3：(1){x-2yl-11<x-2y<0 2.(1)>(2)<(3)>(4)< (2){4a-2b15≤4a-2b≤10} 【解析】(1)如果a>b>0,那么0<L<上， ，即>>0 【解析】(1)因为2<y<3,所以-6<-2y<-4.所以-5+ 6> a (-6)<x-2y<4+(-4),即-11<x-2y<0. (2)如果a>b,那么-2a<-2b: (2)令a+b=4,a-b=v,则2≤u≤4,1≤u≤2.由 (3)如果a>b>0,那么a0>b10 (4)如果a>-b,那么-a<b,所以c-a<c+b. a+b=,解得 a=utu 2, 题型探究提技能 a-b=v; 则40-2b=4ד生-2ד2号 2 例1：(1)D(2)AD 【解析】（1)方法一：c2≥0，.c=0时，有ac2=bc2,故A 2u+2v-u+=u+3.而2≤u≤4,3≤3≤6，则5≤u+3u≤ 为饭命通：由a6>0,有的>0→品>流行>。故B为 10.故5≤4a-2b≤10 随堂检测重反馈 假命题： 0x6<03-a>-b20=-方>-7043 1.B.x<a<0,.x2>a2.x2-ax=x(x-a)>0,.x2>ax 又ax-a2=a(x-a)>0,..ax>a2..x2>ax>a2.故选B. La<b<0=-a>-b>0 ra>b→b-a<0, 2A若a>1,则0<人<1，故<1，所以“a>1”能推出“ {>6→->062>0=b< 。,故C为假命题；1>11 a ab <1”.取a=-1,则<1成立，但a>1不成立，故“a>1”是 0.:a>b,.a>0且b<0,故D为真命题 方法二：特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A错误；取a “上<1”的充分非必要条件，故选A a =2,b=1,则1 =分石=1，有行<方，故B辑误；取a=3B对于①.由0>0>6可知，0≤a<-6,则由性质7可知。 11 -26=-1,则台=分号=2，有台号故c错说 (-b)2>(-a)2,即62>a2,故①错误；对于②，性质7不具有 可逆性，故②错误：对于③，当0>4>b时，>1，故③错误： (2)若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误；若ab>0,bc a以>0，则片-号>0故B三确：若6>d则-d> 对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3-b=(a-b)(a2+ -c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确；若a=-1,b=-2,c 山+)=(a-6)[(a+)广+]>0，放d>6,④正确 =2,d=1,则号-1，兰=-1，号=名故D错说 4.{x-yl27<x-y<56} 28<y<33, 跟踪训练1：AD①由2>t可知2>0，所以x>y,故2> -33<-y<-28.又：60<x<84,.27<x-y<56.由 t→x>y;②当t>0时，x>y,当t<0时，x<y,故xt>t台x >y;③若x=-2,y=-1,则虽有x2>y2,但是x<y,故x2>y 28<y<33,得 3 为>④由0<士<知，>0，所以0<上<10< 1 y 2.2 基本不等式 ·y<·yx>y 第1课时基本不等式 例2：因为a>b>c,所以-c>-b. 所以a-6>8-6>0所以。6>>06.2>0， 教材梳理 明要点 a-b a-c 新知初探 即1 1>0.又b-c>0, 知识点一 即a-6+e-a a=b算术几何不小于 所以，>0所以。6+6e+。>0 知识点二 跟踪训练2：.a>b>0,∴.a>b>0. ① 22p 4 -316-