专项突破一 添加辅助线构造全等三角形-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

(2)AC'=√32+32=√18。 解得BP=8。此时点P的横坐标为10或-6； 18.解：(1)点A可能与原点重合。理由如下： 当点P在y轴上时， 令a-3=0,解得a=3。 所以6-2a=6-2×3=0。 △ABP的面积=0B·AP=4,即子×2XP=4, 所以点A的坐标为(0,0)，即点A与原点重合。 解得AP=4。此时点P的纵坐标为5或-3。 (2)因为点A在x轴下方，且AB∥y轴，AB=7, 综上，点P的坐标为(10,0)或(-6,0)或(0,5)或(0，-3)。 所以6-2a=3-7,解得a=5。 22.解：(1)55【解析】因为a2-2ab+b2+(b-5)2=0, 所以a-3=5-3=2。 所以(a-b)2+(b-5)2=0。 所以点A的坐标为(2，-4)。 因为(a-b)2≥0，(b-5)2≥0， 因为AB∥y轴，所以b=2。 所以a=b,b-5=0。所以a=5,b=5。 19.解：(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为 (2)①如图，过点A,B作OC的垂 y轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示。 线，垂足分别为D,E。 因为∠BE0=∠ODA=∠AOB=90° 北 所以∠OAD+∠AOD=90° =∠BOE+∠AOD。 c同学家 B同学家 所以∠OAD=∠BOE。 因为OB=A0, 所以△ADO≌△OEB(AAS). 学校 所以OD=BE。 0 因为∠BPC=30°，所以BP=2BE=2OD。 A同学家 因为AP=OB=A0,AD⊥OP, 所以OD=DP,∠OAD=∠PAD。 (2)B同学家的坐标为(200,150)。 所以∠PAO=2∠OAD=2∠BOC。 (3)C同学家的位置在平面直角坐标系中如图所示。 ②如图，过点P作PF⊥OB于点F。 20.解：(1)5【解析】因为1-51=5,131=3,5>3， 因为OD=DP,BP=2OD,所以BP=OP。 所以点A(-5,3)的“长距”为5。 (2)根据题意，得14a-11=7。 所以008=名，即点P的以坐标为 所以4a-1=7或4-1=-7，解得a=2或a=-1.5。 选做题 (3)根据题意，得19-2b1=1-51=5。 B【解析】A1(0,1),A2（1,1),A3(1,0),A4(2,0) 所以9-2b=5或9-2b=-5,解得b=2或b=7。 A5(2,1),A6(3,1),… 当b=2时，点C的坐标为(-5,4)。 因为2029÷4=507…1， 因为1-51=5,141=4,5>4，所以“长距”为5； 所以点A229的坐标为(507×2,1)，即(1014,1)。 当b=7时，点C的坐标为(-5,19)， 专项突破一添加辅助线构造全等三角形 因为1-51=5,1191=19,19>5，所以“长距”为19。 1.证明：方法一：如图1，连接BC。 综上，点C的“长距”为5或19。 AB=DC. 21.解：(1)如图所示，△ABC即为所求作。 在△ABC和△DCB中， AC=DB, y BC=CB, 5 所以△ABC≌△DCB(SSS)。 所以∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC。 C 所以∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB, 即∠AB0=∠DC0。 A -5 -41-31-2-10 12B345 -1 1-3 -4 图1 图2 -5 方法二：如图2，连接AD。 2*2x4 (2)△ABC的面积=3x4 2*2x3、1 *2x1 [AB=DC. 在△ABD和△DCA中，BD=CA, =12-4-3-1=4。 AD=DA, (3)当点P在x轴上时， 所以△ABD≌△DCA(SSS)。 △ABP的面积=)0A·BP=4,即)×1xBP=4, 所以∠ABO=∠DCO。 ·66· 。全程复习大考卷·数学·八年级上册 2.证明：如图，连接AC,AD。 5.证明：如图，延长AE,BC交于点M,标注各角。 因为AF垂直平分CD,所以AC=AD。 B 又因为AB=AE,BC=ED, 因为E是CD的中点，所以DE=CE。 所以△ABC≌△AED(SSS)。所以∠B=∠E。 因为AP∥BC,所以∠1=∠M。 3.(1)证明：如图，连接BD,CD。 r∠1=∠M, 在△ADE和△MCE中，∠2=∠3， DE=CE, 所以△ADE≌△MCE(AAS)。所以AD=MC,AE=ME。 因为AD+BC=AB,所以MC+BC=AB,即MB=AB。 所以AE⊥BE。 6.解：(1)2<AD<8 【解析】因为AD是中线，所以BD=CD。 D AD=ED. 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, 在△ACD和△EBD中， ∠ADC=∠EDB, 所以DE=DF,∠BED=∠CFD=90°。 CD=BD 因为DG垂直平分BC,所以BD=CD。 所以△ACD≌△EBD(SAS)。所以AC=EB=6。 在宽△BD与数ACD中，D0, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 即10-6<2AD<10+6,所以2<AD<8。 所以Rt△BED≌Rt△CFD(HL)。 (2)如图1，延长FD到点G,使DG=DF,连接BG,EG。 所以BE=CF。 因为D是BC的中点，所以BD=CD。 ∠AED=∠AFD, DF=DG, (2)解：在△AED和△AFD中，∠DAE=∠DAF, 在△CDF和△BDG中，{ ∠CDF=∠BDG, AD=AD. CD=BD, 所以△AED兰△AFD(AAS)。所以AE=AF。 所以△CDF≌△BDG(SAS)。所以CF=BG。 设BE=x,则CF=x。 因为DE⊥DF,DF=DG,所以EF=EG。 因为AB=5,AC=3, 在△BEG中，BE+BG>EG,所以BE+CF>EF。 所以AE=AB-BE=5-x,AF=AC+CF=3+x。 E 所以5-x=3+x,解得x=1。 所以BE=1。所以AE=AB-BE=5-1=4。 4.解：(1)补全图形如图所示。 D G F 图1 图2 (2)AE=CD。证明如下： (3)如图2，延长AD到点G,使DG=AD,连接BG。 如图，延长AB到点F,使BF=AB,连接DF。 同理可得△ACD≌△GBD(SAS). (AB=FB, 所以AC=GB,∠CAD=∠G。 在△ABE和△FBD中， ∠ABE=∠FBD, 因为AC=BE,所以BE=BG。 BE=BD, 所以∠BED=∠G=∠CAD。 所以△ABE≌△FBD(SAS)。所以AE=FD。 7.证明：如图，过点C作CE⊥OW于点E,CF⊥OM于点F。 因为BF=AB,所以AF=2AB。 因为OC平分∠MON, 0 因为AC=2AB,所以AF=AC。 所以CE=CF。 因为AD平分∠BAC,所以∠DAF=∠DAC。 因为AC=BC,∠CEB=∠CFA=90°。 rAF=AC. 所以Rt△CFA≌Rt△CEB(HL)。 在△DAF和△DAC中， ∠DAF=∠DAC, 所以∠ACF=∠BCE。 LAD=AD, 所以∠ACB=∠ECF。 所以△DAF≌△DAC(SAS)。所以FD=CD。 因为∠ECF+∠MON 又因为AE=FD,所以AE=CD。 =360°-90°-90°=180°， 所以∠ACB+∠AOB=180° 所以∠OAC+∠OBC=180°。 8.证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DF⊥ AB交AB的延长线于点F, 则∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°。 因为∠DBF=∠CBG,BD=BC, 所以△DBF≌△CBG(AAS)。 E 所以DF=CG。 因为DE=AC, G- 所以Rt△DEF≌△CAG(HL)。 所以∠BED=∠BAC。 ◇B 9.证明：如图，过点D作DG⊥CF交CF的延长线于点G。 因为∠ACB=∠ABD=∠CBE=90°， C 所以∠ABC+∠DBG=90° =∠BDG+∠DBG。 7 所以∠ABC=∠BDG。 因为AB=BD, 所以△ABC≌△BDG(AAS)。 所以BC=DG。 因为BC=BE,所以BE=DG。 因为∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG, 所以△BEF≌△GDF(AAS)。所以EF=DF。 10.(1)证明：如图1，过点P作FP∥BC交AC于点F。 因为△ABC是等边三角形，所以△APF是等边三角形。 因为AP=CQ,所以AP=FP=AF=CQ。 因为FP∥BC,所以∠DFP=∠DCQ。 r∠PDF=∠ODC 在△PDF和△QDC中，∠DFP=∠DCQ, FP=CQ, 所以△PDF≌△QDC(AAS)。所以DP=DQ。 A 图1 图2 (2)解：如图2，过点P作FP∥BC交AC于点F。 由(1)知，△PDF≌△QDC。所以DF=DC。 因为PE⊥AC,△APF是等边三角形，所以AE=EF。 所以AE+CD=EF+DF=DE。 1 所以DE=2AC=)AB=3 21 11.解：(1)DM=EM。证明如下： 如图1，过点E作EF∥AB交BC于点F。 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C。 因为EF∥AB,所以∠ABC=∠EFC,∠ADM=∠FEM。 所以∠EFC=∠C。所以FE=CE。 因为BD=CE,所以FE=BD。 r∠BMD=∠FME, 在△DBM和△EFM中，∠BDM=∠FEM, BD=FE. 所以△DBM≌△EFM(AAS)。所以DM=EM。 M/B E D 图1 图2 (2)成立。证明如下： 如图2，过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F。 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C。 因为EF∥AB,所以∠ABC=∠EFC,∠ADM=∠FEM。 所以LEFC=LC。所以FE=CE。 因为BD=CE,所以FE=BD。 r∠BMD=∠FME, 在△DBM和△EFM中，{∠BDM=∠FEM, BD=FE, 所以△DBM≌△EFM(AAS)。所以DM=EM。 2.解：(1)①补全图形如图1。 AE=BF【解析】因为BA=BC,∠DBE=60°， 所以△ABC是等边三角形。 所以AD=BD,∠BAD=∠ABD=60°。 所以∠DAE=∠DBF=120°。 因为DE=DF,所以∠E=∠F。 r∠E=∠F, 在△AED与△BFD中，{∠DAE=∠DBF, AD=BD. 所以△AED≌△BFD(AAS)。所以AE=BF。 D(C) D B E GA B 图1 图2 ②证明：如图2，过点D作DG∥AC交EF于点G。 因为△ABC是等边三角形， 所以△GBD是等边三角形。所以AG=CD。 同(1)，得△DGE≌△DBF(AAS)。 所以GE=BF。所以AE=EG+AG=BF+CD。 (2)如图3，过点D作DG∥AC交EF于点G。 由(1)知，GE=BF,AG=CD, 所以AE=EG-AG=BF-CD: D E AG B G 图3 图4 如图4，过点D作DG∥AC交EF于点G。 由(1)知，GE=BF,AG=CD, 所以AE=AG-EG=CD-BF。 北 13.(1)证明：①因为∠ADE=∠C=90°， 所以∠BDE+∠ADC=90°，∠A+∠ADC=90°。 所以∠BDE=∠A。 ②如图1，在AC上截取CF=CD,连接DF。 因为AC=BC,所以AF=BD。 B 因为∠C=90°，所以∠CFD=∠CDF=45°。 所以∠AFD=135°=∠DBE。 图1 图2 「∠A=∠BDE, 实际应用：320海里 在△AFD和△DBE中，{AF=DB, 【解析】如图2，连接EF,延长AE,BF相交于点C。 L∠AFD=∠DBE, 因为∠A0B=30°+90°+20°=140°， 所以△AFD≌△DBE(ASA)。所以AD=DE。 所以LE0F=70= 2∠A0B。 A 又因为0A=0B,∠0AC+∠0BC=60°+120°=180°， 所以探索延伸的结论成立。 所以EF=AE+BF=2×(70+90)=320(海里)。 专项突破二分式化简求值的方法技巧 1.解： 二2xx=x(x-2.(x-1=--2 D D x-11-xx-1 图1 图2 由分式有意义的条件可知，x≠1和0。 (2)解：如图2，在AC上截取CM=CD,连接DM。 因为-2<x<2,x为整数，所以x=-1。 因为AC=BC,所以AM=BD。 当=-1时，原式=12=-3。 -1 因为LADB=∠A+∠C=∠ADE+∠BDE,∠ADE=∠C, 所以∠A=∠BDE。 3-x x-x 因为CM=CD, 2解：2-6+9(x-3-1) 1 3-x.x2-x-(x+1)(x-3) 所t以LCMD=LCDM=2(180°-∠C)=90°-2∠C。 (x-3)2 x-3 1x+31.8-3 1 所以∠AMD=180°-∠CMD=90+2∠C。 Γ3-xx-33-xx+3x+3 由分式有意义的条件可知，x≠-3和3。 当∠DBE=90+2∠C时， 11 △AMD≌△DBE(ASA)。所以AD=DE。 当x=2时，原式=2+35 14.解：问题背景：EF=BE+DF 当x=-2时，原式= 1 =-1。 -2+3 【解析】因为△AEF≌△AGF,DG=BE, 小斗总结 所以EF=FG=DF+DG=BE+DF。 选择字母的值代入求值时，代入的字母的值不能使原代数式的分 探索延伸：仍然成立。 母的值等于零，也不能使原代数式的除数等于零。 理由：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG。 因为LB+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， 所以∠B=∠ADG。 3A【解析】因为6=2，c二6ac3 a+b3'b+c5’a+c4 AB=AD. 所以4+63,6+c_5a*e。4 在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG, ab2’bc6’ac3° BE=DG, 1.1.1111.1.11.1 所以二+ 所以△ABE≌△ADG(SAS)。 a b c 2 a b c a b c 所以AE=AG,∠BAE=∠DAG。 1a+b,a+c,b+c、13,4,5、11 )= 因为LBMF=LBMD, 1 4.- 【解析】因为x2+x-1=0,所以x2+x=1。 所以LGMF=LDAF+LDAG=∠DAF+∠BME=1 6 ∠BAD。 x2+x 所以 rAE=AG 3+2x2-7x(x2+x)+x2-7 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF, 111 AF=AF, x+x2-71-7-6 所以△AEF≌△AGF(SAS)。 所以EF=FG=DG+DF=BE+DF。 5解因为}3 。全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·67·专项突破一添加辅助线构造全等三角形 类型一添加公共边（或对应边）构造全等三角形 1.如图，已知AB=CD,AC交BD于点O,且AC=BD。试用两种方法证明∠ABO=∠DCO。 备用图 训 2.如图，AB=AE,BC=ED,AF垂直平分CD,求证：∠B=∠E。 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。 (1)求证：BE=CF 救 (2)若AB=5,AC=3,求AE,BE的长。 E B D 类型二倍长中线构造全等三角形 4.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分∠BAC,延长CB到点E,使BE=BD,连接AE。 (1)依题意补全图形； (2)试判断AE与CD的数量关系，并进行证明。 5.如图，已知AP∥BC,E是CD的中点，且AD+BC=AB,求证：AE⊥BE。 6.（1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC上的中线AD的取值范围。解决此问题可 以用如下方法：延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三 角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是 (2)解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接 EF,求证：BE+CF>EF; (3)问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC的中点，延长DA到点E,连接BE,使AC=BE,求证： ∠CAD=∠BED。 E D 图1 图2 图3 类型三作垂线构造全等三角形 7.如图，OC平分∠MON,A,B分别是OM,ON上的点，且OB>OA,AC=BC,求证：∠OAC+∠OBC=180°。 B 8.如图，D是CB延长线上一点，且BC=BD,E是AB上一点，DE=AC,求证：∠BAC=∠BED。 E 9.如图，∠ACB=∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD,BC=BE,连接AD,CE,DE,延长CB交DE于点F。 求证：EF=DF。 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·37· 类型四作平行线构造全等三角形 10.如图1，P是等边三角形ABC的边AB上一点，Q是BC延长线上一点，AP=CQ,连接PQ交边AC于 点D。 (1)证明：DP=DQ; (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E,若AB=6,求DE的长。 图1 图2 11.在等腰三角形ABC中，AB=AC,在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连接DE,DE 所在直线交直线BC于点M。请探究： (1)如图1，当点E在线段AC上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE,请判断线段DM和线段EM 的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE,则(1)中的结论还成立 吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 E BA 图1 图2 12.在△DEF中，DE=DF,点B在边EF上，且∠DBE=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合， 且BC≠BE),在射线BE上截取BA=BC,连接AC。 (1)当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系： ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD; (2)当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系（直接写出结果， 不需要证明)。 D(C E 图1 图2 备用图 ·38· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 类型五截取或延长构造全等三角形 13.如图，已知AC=BC,D是BC上一点，∠ADE=∠C。 （1)如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°，求证： ①∠BDE=∠A; ②AD=DE; (2)如图2，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有AD=DE成立。 A D 图1 图2 14.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法如 下：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG。先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结 痴 论，他的结论应是 探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 ∠BAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由： 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥 中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 70海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心 观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离 为 0 A 东 E E 图1 图2 图3