专项突破五 勾股定理及其逆定理的应用-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

专项突破五 勾股定理及其逆定理的应用 类型一平面图形中的勾股定理 1.民生大院入口的正上方A处装有感应器（如图所示），感应器离地面的距离AB=2.4米，当人体进入 感应范围内时，灯自动点亮。当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即 BC=0.8米)，则人头顶离感应器的距离AD等于 A.1.0米 B.1.2米 C.1.25米 D.1.5米 30 cm 60 cm 书柜 孙 地面 D 感应器4 L33 cm DO x cm 扫地机 衣柜 60 cm 底座 B B 60 cm 90 cm 第1题图 第2题图 第3题图 2.教改题“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问：水深几何？”这是我国数学史 上的“葭生池中”问题，即AC=5,CD=1,BD=AB,则BC的长为 A.8 B.10 C.12 D.13 救 3.如图，龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移 动)。若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的x至少为 A.60-√189 B.√189 C.√/189+60 D.w/189-60 4.如图，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD,公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，∠D= 90°，AD=7m,CD=24m,AB=20m,BC=15me (1)求小路AC的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点B开始以2/s的速度在小路上沿B→ C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇 的距离最近？ 5.新情境〔趣味情景〕如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为 3米的香樟树AE,活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗 杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离。 D B 6.学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC,计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计 花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 13米 15米 14米 7.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的 长为13m,此人以0.5/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假 设绳子是直的，结果保留根号) 5 m A 类型二立体图形中的勾股定理 8.如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4cm,宽为3cm,其高为12cm,在它的一角处开一个插吸 管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为1cm,则此吸管的总长度为（) A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm 图1 图2 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9.新素材〔传统文化〕临汾是帝尧之都，有着尧都之称。尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长 城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志。如图，在底面周长约为6米且带有层层回 环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C,B 是AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 () A.20米 B.25米 C.30米 D.15米 10.如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为8cm的正方形，且深 为4cm,两个格子之间的隔断厚1cm。图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂 蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距 离为 () A.(8√2+17)cm B.353 cm C.8√10cm D.√689cm 11.如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B,若它运动的路径是最 短的，则AB的长为 () A.0 B.210 C.√/10 D.2 3 3 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·43· 12.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间过长而变形，中间形成一个半圆柱的凸 16 起，半圆柱的底面直径为已m,已知AE+BF=17m,BC=10m,一只蚂蚁从点A爬到点C,且必须翻过 T 半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程。 H G 13.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5dm,3dm和1dm,A和B是这个台阶的两个相 对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到，点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程 为多少？ A 14.如图，长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上，且CM=5cm。一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,那么它需要爬行的最短距离为多少？ 15.如图1，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2c与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外 壁A处沿着最短路径到达内壁B处。 (1)如图2是容器的侧面展开图，请在容器沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A一P一B路线爬行，距离 最短； (2)结合图2，求出蚂蚁爬行的最短路径长。 蚂蚁A B蜂蜜 图1 图2 ·44· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 类型三折叠中的勾股定理 16.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠ACD=90°，BC=6cm,AB=10cm,将斜边AB翻折，使点B落在 直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则CE的长为 A.2 cm B.3 cm C.4cm D.5 cm B E 第16题图 第17题图 第18题图 17.如图，长方形ABCD的边BC和AB的长分别为4和5，把它的左上角按如图所示折叠，点A恰好落在 边CD上的点F处，折痕为BE,则DE的长为 3 B c D.4 18.如图，△AOB在平面直角坐标系中，OA=√2，OB=2,点C在线段OB上，点D在线段AB上，将△BCD 沿直线CD折叠后，点B与点A重合，则点C的坐标为 19.如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E。 (1)求证：△ACE是等腰三角形； (2)若AB=8,BC=16,求△ACE的面积。 E D B 20.同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否成轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性 质解决下列问题： (1)如图1，将△ACB沿着AB翻折到△ADB,则∠ADB= BD= (2)如图2，将长方形ABCD对折，使得边AB、边CD重合，折痕与边BC、边AD交于点E,F,AB=3, BC=10,P是边AB上一点，将∠B沿着PE折叠得到∠M,线段PM、线段EM分别交边AD于点 N,Qo ①当点M,N重合时，线段PB的长为多少？ ②当点P,A重合时，H是边CD上一点，将∠C沿着线段EH折叠，使得点C落在边AD上的点G 处，线段QG的长为多少？ F D C 图1 图2所以∠AP2C=180°-∠BP2C=115°； 当CB=CP3时，∠BP3C=∠B=50°， 所以BH=4B,BC_20X15=12m AC 25 所以∠AP3C=180°-∠BP3C=130°； 所以CH=√BC2-B=√152-122=9m。 当AP4=CP4时，∠ACP4=∠A=20° 所以BC+CH=15+9=24m。所以24÷2=12(s)。 所以∠AP4C=180°-∠ACP4-∠A=140°； 所以，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑12秒与 当BP与=CP,时，∠BCP,=∠B=50°， 淇淇的距离最近。 所以∠APC=∠B+∠BCP,=100°。 5.解：根据题意，得AE=3米，AB=20米，BD=13米。 综上所述，∠APC的度数为80°或115°或130°或140° 如图，设该位置为点C,且AC=x米， 或100°。 则BC=(20-x)米。 专项突破五勾股定理及其逆定理的应用 D 1.A【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E。 因为AB=2.4米，BE=CD=1.8米， 感应器4 DE=BC=0.8米， 所以AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6米。 DO 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AD=√JAE2+DE=√0.62+0.82=1.0米 2.C【解析】设BC=x,则AB=BD=x+1。 根据题意，得CE=CD 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2,即(x+1)2=x2+52。 由勾股定理，得32+x2=(20-x)2+132,解得x=14。 解方程，得x=12,即BC=12。 所以BC=20-14=6米。 3.C【解析】如图，连接AB,过点A作AC∥DE交DB的延 所以，该位置与旗杆之间的距离为6米。 长线于点C, 6.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D。 设BD=x米，则CD=(14-x)米。 30 cm 由勾股定理，得 13米 15米 132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5。 60 cm 书柜 ,地面 所以AD2=132-52=122。 所以AD=12米。 D14米 A G 33cm: ×14×12×30=2520(元)。 2 x cm 扫地机 所以，学校修建这个花园需要投资2520元。 衣柜 7.解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=13m,AC=5m。 底座 D 所以AB=√BC2-AC=√132-52=12m。 E 60cm- 90 cm- 因为CD=13-0.5×10=8(m)。 则AC=60-30=30cm,BC=(x-60)cm。 所以AD=√CD2-AC2=√82-52=√/39m。 由题意可知，AB=33cm。 所以BD=AB-AD=(12-√39)m。 在Rt△ABC中， 所以，船向岸边移动了(12-√39)m。 BC=√AB2-AC=√332-302=√/189cm 8.C【解析】如图，连接BD。 所以x-60=√189，即x=√189+60。 因为饮料盒的底面长为4cm,宽为3cm, 4.解：(1)因为∠D=90°，AD=7m,CD=24m, 其高为12cm, 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√72+242=25m。 所以BD=√AD2+AB2=√32+42=5cm。 所以，小路AC的长为25m。 所以BE=√BD2+DE=√52+122=13cm。 (2)如图，过点B作BH⊥AC于点H。 因为露在外面的长度为1cm, B 所以EF=1cm。 所以BF=BE+EF=13+1=14cm。 9.A【解析】如图，雕龙把大长方形均分 为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨 龙的最短长度为2个小长方形的对角 当小狗跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近。 线的和。 因为AB=20m,BC=15m,AC=25m, 因为底面周长约为6米， 所以AB2+BC2=202+152=252=AC2。所以∠ABC=90°。 柱身高约16米， 因为S AABC= ,BC=4c·m, 所以AE=6米，BE=。AC=。×16=8米。 2 2 70· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 所以AB=√BE2+AE2=√6+82=10米。 所以AM=√(20+5)2+102=√725cm; 所以雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20（米）。 长方体的上面与左面形成一个长方形，如图3。 10.D【解析】把托盘展开得到如下图形： 所以AM=√(20+10)2+5=√925cm。 B 因为25<√/725<√925， 所以蚂蚁爬行的最短距离为25cm。 8cm 15.解：(1)如图所示，点P即为所求。 A D 则AC=8×2+4×2+1=25cm,BC=8cm,∠ACB=90°。 所以AB=√AC2+BC2=√252+82=√689cm, 即蚂蚁爬行的最短距离为√689cm。 11.C【解析】如图，将正方体展开，右边与后面的正方形 与前面的正方形放在一个面上。 (2)如图，过点B作BE⊥AC于点E。 在Rt△A,BE中，A,E=2+(18-4)=16cm, BE=24÷2=12cm。由勾股定理，得 A,B=/A1E2+BE2=√/162+122=20cm, 即蚂蚁爬行的最短路径长为20cm。 此时AB最短，AB=√32+12=√10。 16.A【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm, 12.√725【解析】如图，将中间半圆柱的凸起展平，连 AB=10cm,由勾股定理，得 接AC, AC=√AB2-BC2=√J102-6=8cm。 G 根据折叠的性质可知，AE=AB=10cm。 所以CE=AE-AC=10-8=2cm。 17A【解析】因为四边形ABCD是长方形， 所以CD=AB=5,AD=BC=4。 根据题意，得AE=EF,BF=AB=5。 E 所以CF=√BF2-BC=√/52-42=3。 则EF=16Xm×)=8m,AB=AE+EF+BF=17+8=25m T 所以DF=CD-CF=5-3=2。 所以AC=√AB2+BC2=√252+102=√725m, 因为DE2+DF2=EF2,所以(4-EF)2+22=EF2, 即它至少要走√725m的路程。 解得EF= F2。所以DE=AD-AE=AD-EF=4 53 22 13解：如图所示， 因为三级台阶平面展开图为长方形，且 18(分，0)【解折】设0C=a,则BG=0n-0G=2-a。 宽为5dm,长为(3+1)×3=12(dm), 所以蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短 3 由折叠可知，AC=BC=2-a。 路程是AB的长。 1 在Rt△A0C中，0A2+0C2=AC2, 由勾股定理，得AB=√52+122=13(dm), 即(2)2+a2=(2-a)2。 即蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路 1 解得a=分，即0C=分所以点C的坐标为（宁，0）。 .1 程为13dm。 14.小斗提示：有三种不同的展开方式，可以得出三种“最短”路线， 19.(1)证明：因为四边形ABCD是长方形， 都求出来后，再进行比较，找出最短距离。 所以AB=CD,∠B=∠D=90°。 解：长方体的右面与前面形成一个长方形，如图1。 根据题意，得∠F=∠B,AB=AF。 所以AF=CD,∠F=∠D。 所以AM=√202+(10+5)2=25cm; r∠AEF=∠CED, 在△AEF与△CED中，∠F=∠D, LAF=CD. D D D 所以△AEF≌△CED(AAS)。所以AE=CE。 所以△ACE是等腰三角形。 (2)解：由(1)知，AE=CE。 因为AB=8,BC=16, B B 所以AD=BC=16,CD=AB=8。 图1 图2 图3 所以CE=AE=AD-DE=16-DE。 长方体的前面与上面形成一个长方形，如图2。 由勾股定理，得DE2+CD2=CE2, 即DE2+82=(16-DE)2。 解得DE=6。所以AE=AD-DE=16-6=10。 7解：+9c5x+1,0 1x>a+1,② 所以△ACE的面积=B·CD=×10x8=40。 解不等式①，得x>2。 因为不等式组的解集为x>2, 20.解：(1)∠ACB BC 所以a+1≤2。所以a≤1。 (2)①如图1，设PB=PM=x,则PA=3-x。 8.解： 2x-a<1,① A下 M() D x-2b>3,② 解不等式①，得x< 20 解不等式②，得x>2b+3。 E 因为不等式组的解集为-3<x<2, 图1 根据题意，得AF=1 所以空=2,26+3=-3. AD=BC=5-BE=ME 所以a=3,b=-3。 EF=AB=3。 所以(b-1)*1=(-3-1)3+1=(-4)4=256。 在Rt△MEF中，MF=√ME2-EF=√52-32=4。 所以MA=AF-MF=5-4=1。 9B【解析】解不等式3x-m+1>0,得xm 在Rt△PAM中，PM2=PA2+MA2, 因为不等式的最小整数解为3， 即2=(3-)+1。解得x=,即P8 3。 所以2≤"<3。所以7≤m<10。 ②如图2，设QE=y,有LAEQ=∠AEB。 m+2 M 10.0【解析】解不等式组，得> 5 Ly≤2。 A(P) 因为不等式组有且仅有2个整数解， 所以0sm+2 <1。所以-2≤m<3。 所以m=-2,-1,0,1,2。 E 所以满足条件的整数m的和为-2+(-1)+0+1 图2 11.解：解不等式-k-x+6>0,得x<6-k。 因为AD∥BC,所以∠QAE=∠AEB。 因为不等式的正整数解为1,2,3， 所以∠QAE=∠AEQ。 所以3<6-k≤4。所以2≤k<3。 所以QA=QE=y。所以QM=ME-QE=BE-QE=5-y。 「x+1.1 在Rt△QAM中，QA2=QM2+MA2,即y2=(5-y)2+32。 3+2>0,① 解得y=3.4,即QA=QE=3.4。 12.解： 5a+4.4 在Rt△EFG中，FG=√EG-EF2=√52-32=4。 x+ 3>3(x+1)+a,② 所以QG=QF+FG=AF-QA+FG=5-3.4+4=5.6。 5 专项突破六含有字母系数的一元一次不等式（组） 解不等式①，得之-2 1.D 解不等式②，得x<2a。 2.3 因为不等式组的正整数解为1,2， 3.C 所以2<2a≤3。 3 4.C【解析】解不等式3x<a+5,得xa+ 所以1<a≤2· 因为不等式的解集为x<1, 13.解：(1) √493-125 =√/49×1-2x-125 2 1 所以+5 1。所以a=-2。 =7-2×(-5)=17。 3 5子【解析】部不等元2(-0)a+6,得< 3a+6 2因为514 ≥4+k, 20 所以4(x+1)-3(x-1)≥4+k。 解不等式2x-4<0,得x<2。 解不等式，得x≥k-3。 根据题意，得62，解得0=-子 2 因为不等式的负整数解为-1，-2，-3， 所以-4<k-3≤-3。所以-1<k≤0。 6解：由图可知，不等式的解集为x≥-1， 14.A15.D 所以23-1。所以a=1。 16.B【解析】2a>3,① 12x+8>4a。② 解不等式①，得x<2a-3。 根据题意，得800x-200(50-x)=16000。 解不等式②，得x>2a-4。 解方程，得x=26。 所以原不等式组的解集为2a-4<x<2a-3。 因为50-26=24 因为不等式组的解集中每一个值均不在-1≤x≤5的范 所以，此次训练任务中，处理了26个文字数据集，24个 围中，所以2a-4≥5或2a-3≤-1， 图片数据集。 解得a≥4.5或a≤1。 (2)设处理y个文字数据集 17.解：(1)因为不等式组无解， 所以-1≥1-k。所以k≥2。 根据题意，得800≥200(100-y), 13y+2(100-y)≤221。 (2)因为不等式组恰好有2028个整数解， 解不等式组，得20≤y≤21。 所以2027≤1-k<2028。 因为y为正整数，所以y可以为20,21。 所以-2027<k≤-2026： 所以共有2种处理方案， 专项突破七一元一次不等式（组）的应用 方案1：处理20个文字数据集，80个图片数据集； 1.C【解析】设商店可打x折销售。 方案2：处理21个文字数据集，79个图片数据集。 根据题意，得60×0.1x-40≥40×5%。 7.A【解析】设小舞一年游泳x次，则办会员卡一年付费 解不等式，得x≥7。 (400+10x)元，不办会员卡一年付费30x元。 所以，最低可打七折。 当400+10x>30x时，解得x<20; 2.40【解析】设购进x盒蛋黄肉粽。 当400+10x=30x时，解得x=20; 根据题意，得10x+20(100-x)≥1600。 当400+10x<30x时，解得x>20。 解不等式，得x≤40。 所以一年去游泳的次数超过20，办会员卡比较合适； 所以，最多能购进蛋黄肉粽40盒。 一年去游泳的次数少于20，不办会员卡比较合适； 3.解：设该商家购进m件甲种纪念品。 一年去游泳的次数为20，两种方式费用一样。 根据题意，得(160-80)m+(110-50)(100-m)≥7200。 8.(1)2【解析】设搭配一、搭配二、搭配三的数量分别为 解不等式，得m≥60。 x,y,zc 所以，该商家最少购进甲种纪念品60件。 根据题意，得500x+450y+430z=2260。 4解：(1)设每千克桂味荔枝的进价为x元，每千克糯米糍 当x=1时，450y+430z=1760,此时y=2,z=2; 荔枝的进价为y元。 当x=2时，450y+430z=1260,此时y,z无整数解； 2=0。 根据题意，得3x+y=90, 当x=3时，450y+430z=760,此时y,z无整数解。 Lx+2y=60. 综上所述，搭配三的数量为2。 解方程组，得x=24, (2)3【解析】设搭配二的数量为m。 y=18。 所以，每千克桂味荔枝的进价为24元，每千克糯米糍荔 根据题意，得200m≤100， 枝的进价为18元。 1250m≤800。 解不等式组，得m≤3.2。 (2)设购进m千克桂味荔枝。 根据题意，得24m+18(100-m)≤2040。 所以搭配二的数量最多为3。 解不等式，得m≤40。 9.解：设小志的体重为xkg 当m=40时， 根据题意，得x+2x<150-x-2x。 (40-24)×40+(30-18)×(100-40)=1360(元)。 解不等式，得x<25。 所以，桂味荔枝最多可以购进40千克，该商贩把全部荔 所以，小志的体重应小于25kg。 枝售出时获得的总利润为1360元。 专项突破八易错题专练 5.解：(1)设小海和小华购买x个A种魔方。 易错典例一 根据题意，得30-x≥x。 解：①能判定△ABC≌△A'B'C。证明如下： 解不等式，得x≤15。 如图1，因为AD=A'D',∠B=∠B,∠ADB=∠A'D'B', 所以，小海和小华最多购买15个A种魔方。 所以△ABD≌△A'B'D'(AAS)。所以AB=A'B'。 (2)设小海和小华购买x个A种魔方。 因为∠B=∠B',∠C=∠C', 根据题意，得16x+22(30-x)≤582。 所以△ABC≌△A'B'C'(AAS); 解不等式，得x≥13。 因为x是正整数，且x≤15， 所以x=13,14,15。 所以共有3种购买方案， 方案1：购买13个A种魔方，17个B种魔方； D' 方案2：购买14个A种魔方，16个B种魔方； 图1 图2 方案3：购买15个A种魔方，15个B种魔方。 ②不能判定△ABC≌△A'B'C',对应的反例如图2所示； 6.解：(1)设处理了x个文字数据集。 (只要点C在射线B'D'上，且B'C'≠BC均可) ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·71·