专项突破四 有关等腰三角形的分类讨论问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

专项突破四 有关等腰三角形的分类讨论问题 类型一 与边有关的分类讨论 1.长度分别为3,1，x的三条线段能组成一个等腰三角形，x的值可以是 A.1 B.3 C.1或3 D.不存在 2.已知等腰三角形的两边a,b满足√a-4+(b-8)2=0,则等腰三角形的周长为 A.12 B.16 C.20 D.16或20 : 3.用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为 咖 A.5 cm B.10 cm C.4 cm D.8 cm 4.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”。若等腰三角形的周 长为13cm,AB=5cm,则它的“优美比”k为 4月 B号 5 3 45 C.A D.或 类型二 与角有关的分类讨论 5.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角为 A.80° B.20° C.100° D.80°或20° 6.在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，点D在线段BC上，若△ADC有一个角为90°，则∠ADB的度数为 救 A.90° B.60° C.90°或60° D.90°或120° 7.若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的一半，则称这个三角形是“差半角三角形”。若一个等 腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数为 8.在等腰三角形中，若一个内角比另一个内角的3倍还多20°，则该等腰三角形中最小的内角的度数 为 类型三与中线有关的分类讨论 9.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为4cm,则该等腰三 角形的腰长为 A.1 cm B.5 cm C.9 cm D.5cm或9cm 10.在等腰三角形ABC中，AB=AC,边AC上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，求底 边BC的长。 类型四与高有关的分类讨论 11若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则该等腰三角形顶角的度数为 12.在等腰三角形ABC中，BC为一腰，∠A,∠B,∠C都是锐角，AD是边BC上的高，AD=3,BC=5,则边 AB的长为 13.已知BD是等腰三角形ABC一腰上的高，且∠ABD=40°，求△ABC的顶角度数。（画出符合题意的 图形，求出结果) 类型五与垂直平分线有关的分类讨论 14.在等腰三角形ABC中，AB=AC,两腰的垂直平分线交于点P,已知∠BPC=100°，则等腰三角形的顶 角度数为 15.在等腰三角形ABC中，腰AB的垂直平分线交AC所在直线于点D,垂足为0，若∠AD0=40°， 则∠DBC的度数为 类型六与动点有关的分类讨论 16.如图，∠AOB=60°，C是B0延长线上的一点，OC=10cm,动点P从点C出发沿CB方向以2cm/s的 速度移动，动点Q从点O出发沿OA方向以1cm/s的速度移动，若点P,Q同时出发，用t(单位：s) 表示移动的时间，当t= s时，△POQ是等腰三角形。 C P O B C D B 第16题图 第17题图 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm,AC=2cm,在射线BC上有一动点D,从点B出发，以1cm/s 的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以点A,D,B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t的值 为 18.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B,C重合），连接AD, 作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E。 (1)当∠ADB=115时，∠CDE= ,∠CED= ;点D从点B向点C运动时，∠ADB逐 渐变（填“大”或“小”）； (2)若CD=2,求证：△ABD≌△DCE; (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠ADB的度 数；若不可以，请说明理由。 40人40 B D ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·41 类型七与构造三角形有关的分类讨论 19.在平面直角坐标系中，已知点A(2,2),在y轴确定点P,使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 20.如图，每个小方格的边长均为1，在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条 腰，这样的点C一共有 () A A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 21.已知△ABC的三边长分别为2,2,3，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形， 使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 () A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 22.在等腰三角形ABC中，∠A为顶角，过点A的一条直线将该等腰三角形分成的两个小三角形均为等 腰三角形，则∠B的度数为 23.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，求∠OEC的 度数。 B 24.在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另 一个是直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线。如图1，在Rt△ABC中，∠A= 90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且∠CBD=20°，则直线BD是△ABC的关 于点B的二分割线。如图2，已知∠C=18°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的 二分割线，求∠A的度数。 图1 图2 ·42· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 25.(1)操作实践：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰 三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可） (2)分类探究：已知△ABC中的最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请直 接写出△ABC中最大内角的所有可能值。 B2250 22.50 B 备用图 26.(1)如图1，如果OA与直线1所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P 在直线l上，这样的等腰三角形能画 个； (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角 形，试求∠B的度数； (3)想一想：如图3，在△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，过顶点C作一条直线交线段AB于点P,直线 CP能把△ABC分割出一个等腰三角形，直接写出∠APC的度数。 A 人60° P A20 A120 50° B 图1 图2 图3所以y-x=3xy,即x-y=-3xy。 所以c=k2=ck3。 所以2+3y-2_2x(-3)+3y=-3型3 由题意可知abc≠0，所以k3=1。所以k=1。 x-2xy-y -3xy-2xy -5xy59 6解：2m-3m+2-5)m-3m-45 所以a=b=c。所以the=1。 a-b+c 3m2-6m m-23m2-6m、m-2 专项突破三分式方程的应用 m-3 m-2 1 1.C2.B 3m(m-2)(m+3)(m-3)3m(m+3)3(m2+3m) 3.解：设第一批跳绳每根的进价为x元。 当x=m时，整式x2+3x-3的值为0， 所以m2+3m-3=0。所以m2+3m=3。 根据题意，得30_360 xx+20 所以原式=门1 解方程，得x=10 3x39 经检验，x=10是原分式方程的解。 1 所以，第一批跳绳每根的进价为10元。 7.解：因为x-5+1=0,所以x+=5。 4解：设每件乙商品的进价为x元。 1 两边同时平方，得+2+京=25。 根装意0测。四-0 1 解方程，得x=50。 所以+京25-2=23。 经检验，x=50是原分式方程的解。 因为(1+50%)×50=75， 两边同时平方，得+2+529。 所以，每件甲商品的进价为75元，每件乙商品的进价为 50元。 所以+=529-2=527 5.B 6.B【解析】设小敏通过AB路段时的速度为x米/秒。 8.解：因为x+=3,所以x≠0。 1212=22 根据题意，得+12x 两边同时平方，得x2+2+ 9,所以量7。 解方程，得x=1。 经检验，x=1是原分式方程的解。 取倒数，得++1=+1+ =7+1=8。 1 7.解：设走路线1到达B地所需的时间为x小时。 x2 50355 所以、 1 根据题意，得1xX3 x4+x2+180 x一 6 9解类比探究】由31，知0， 7 解方程，得x=6° 所以一3+1山，即-3女山。所拟士2 7 经检验，x6是原分式方程的解。 1 .12 九斤方x一7x+127士=(x十—)一2一三2一2—7三一5。 所以，走路线1到达B地所需的时间为？小时。 x2 1 8.B 所以72+15° 9.解：设甲工程队单独完成这项工程需x天，乙工程队单独 完成这项工程需y天。 【拓展延伸】因为 1,111,111,11 为a+6=6'b+e=9'ae=15 24,24=1, 商以2.5动且k0 根据题意，得 y 1818,10=1。 所以1+1,131 (x y x abc180° 因为o6+hc+ac=11131 解方程组，得x=40, abc 180 y=60。 ac,abtc180所以 ab+bctac 31 经检验， 0解设号号号 是脱分式方程的解。 =k,则a=2k,b=3k,c=5k。 所以，甲工程队单独完成这项工程需40天，乙工程队单 所以b+26c-3ae_62+302-30k2.6k.6 独完成这项工程需60天。 a2+2b2-3c24k2+18k2-75k253k253° 10.解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩。 L锯设号名后=则a=,成6=政 根据题意，得300600=20。 x 6x 解方程，得x=10。 68· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 经检验，x=10是原分式方程的解。 当∠B=∠C为底角时， 因为6×10=60， 2(3x+20°)+x=180°，解得x=20°。 所以无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩。 故三个角的度数分别为20°，80°，80°； 专项突破四有关等腰三角形的分类讨论问题 当∠A=∠B时，x=3x+20°，此种情况不存在。 1.B 9.C【解析】设腰长为2x。 2.C【解析】因为√a-4+(b-8)2=0, 当含底边部分较短时， 所以a-4=0,b-8=0,解得a=4,b=8。 (2x+x)-(5+x)=4,解得x=4.5。 当底边长为4时，腰长为8， 此时三角形三边长分别为9,9,5。 4+8>8,能组成三角形，故周长为4+8+8=20； 5+9>9,能组成三角形： 当底边长为8时，腰长为4， 当含底边部分较长时， 4+4=8,不能组成三角形。 3.D【解析】设较短的边长为xcm。 (5+)-(2x+)=4,解得= 20 当较长的边为底边，较短的边为腰时， 此时三角形三边长分别为1,1,5。 2x+x+x=20,解得x=5。 1+1<5,不能组成三角形。 此时三角形三边长分别为5cm,5cm,10cm。 10.解：如图， 5+5=10,不能组成三角形； 1 当AB+AD=AC+。AC=15时，AC=10, 当较短的边为底边，较长的边为腰时， x+2x+2x=20,解得x=4。 此时三角形三边长分别为4cm,8cm,8cm, 所以6c=卫×10=7， 4+8>8,能组成三角形。 10+7>10,能组成三角形； 4.C【解析】当等腰三角形的腰长为5cm时， 当AB+AD=AC+。AC=12时，AC=8, 等腰三角形的底边长=13-5-5=3(cm), 2 此时能组成三角形， 3 所以BC=15×8=1山，8+8>1，能组成三角形。 所以这个等腰三角形的“优美比”= 所以底边BC的长为7或11。 当等腰三角形的底边长为5cm时， 11.30°或150° 【解析】如图1，当高BD在三角形的内 等腰三角形的腰长=135=4(cm), 部时， 2 因为高BD是腰长AB的一半，所以∠A=30°； 此时能组成三角形， 所以这个等腰三角形的“优美比”= 5 49 5.D 6.D【解析】在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 所以∠B=∠C=30°。 如图1，当∠CAD=90°时，∠ADB=120°； 图1 图2 A 如图2，当高CD在三角形的外部时， 因为高CD是腰长AC的一半，所以∠CAD=30°。 D D 所以∠BAC=180°-30°=150°。 图1 图2 12.5或√10【解析】边AB是腰，AB=BC=5; 如图2，当∠ADC=90°时，∠ADB=90°。 边AB是底，AC=BC=5。 7(39)或72°【解析1设底商为a(a<90)。 因为AD=3,所以CD=√AC2-AD2=4。 所以BD=1。所以AB=√BD+AD2=√10。 当(180°-2a)-a=受时， 13.解：当顶角是锐角时，腰上的高在内部。 如图1，当∠A是顶角时，顶角度数为90°-40°=50°； 360 解得a=())°<90°，符合题意； 如图2，当∠C是顶角时， 顶角为180°-(90°-40)×2=80°； 当&-(180-2a)=受时. 解得α=72°<90°，符合题意。 8.32°或20°【解析】设∠A=x,∠B=3x+20°。 当∠A=∠C为底角时， 2x+(3x+20°)=180°，解得x=32°。 图1 图2 图3 故三个角的度数分别为32°，32°，116°； 当顶角是钝角时，腰上的高在外部。 如图3，顶角为90°+40°=130°。 AB=√BC+AC2=√16+4=√20cm。 14.50°或130°【解析】当点P在△ABC的内部时，连接 当AB为底时，如图1，AD=BD,则AD+CD=BC=4cm。 AP,如图1。 由勾股定理，得AD2=(4-AD)2+2, 因为两腰的垂直平分线交于点P,所以AP=BP=CP。 5 所以∠CAP=∠ACP,∠BAP=∠ABP。 解得AD=5。 2cm,即BD=2cm。所以t= 2 因为∠BAP+∠CAP=∠BAC, 所X∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP=2∠BAC, 因为∠BPC=100°， 所以∠BPA+∠CPA=360°-∠BPC=260°。 因为∠BPA+∠CPA+2∠BAC=360°，所以∠BAC=50°； D 图1 图2 当AB为腰时，如图2，BD=AB=√/20cm,所以t=√/20； 如图3，AD=AB,BC=4cm。 C 图1 图2 当，点P在△ABC的外部时，连接AP,如图2。 图3 因为BD=2BC=8cm,所以t=8。 同理可得∠PAC=∠PCA,∠PBA=∠PAB。 18.解：(1)25°115°小 所以∠PBA+∠PAB+LPCA+∠PAC=2∠BAC: 所以2∠BAC=360°-∠BPC=260°。所以∠BAC=130°。 【解析】因为∠ADB=115°，∠ADE=40°， 所以∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE=25°。 15.75°或15°【解析】因为D0垂直平分AB, 因为AB=AC,所以∠C=∠B=40°。 所以BD=AD。所以∠BAD=∠ABD。 所以∠CED=180°-∠CDE-∠C=115。 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。 观察可得，点D从点B向点C运动时，∠ADB逐渐变小。 当△ABC是钝角三角形时，如图1。 (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B=40°。 因为∠AD0=40°，所以∠BAD=∠ABD=50°。 因为∠BAD=∠ABC+∠ACB,所以50°=2∠ABC。 所以∠CED+∠CDE=140°。 所以∠ABC=25°。所以∠CBD=∠ABD+LABC=75°； 因为∠ADE=40°，所以∠ADB+∠CDE=140°。 D 所以∠ADB=∠CED。 T∠ADB=∠DEC, 在△ABD和△DCE中，{ ∠B=∠C, AB=DC, 所以△ABD≌△DCE(AAS). (3)当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， 所以∠ADB=∠DAE+∠C=110°； 图1 图2 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40, 当△ABC是锐角三角形时，如图2。 所以∠DAE=100°。此时点D与点B重合，不符合题意； 因为∠AD0=40°，所以∠A=∠ABD=50°。 当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°， 所以∠ABC=∠4CB=(180-50)=65°。 所以∠AED=100°。所以∠CDE=∠AED-∠C=60°。 所以∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE=80°。 所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°。 综上，当∠ADB的度数为110°或80°时，△ADE的形状 160或10【解析】当点P在线段0C上时 是等腰三角形。 19.C20.C 0P=0C-CP=0Q,即10-2t=t,解得t=?; 21.B【解析】设AB=AC=2,BC=3。 因为BC>AB,所以有以下四种情况： 当，点P在C0的延长线上时， ①如图1，以，点B为圆心，以AB为半径作孤交BC于，点 此时经过C0时的时间已用5s。 D,作直线AD,则AB=BD=2; 当△POQ是等腰三角形时， 因为∠P0Q=60°，所以△P0Q是等边三角形。 所以0P=0Q,即2(t-5)=t,解得t=10。 17或，20或8【解折】在△MBC中，因为∠G=90, BC=4 cm,AC=2 cm, D 图1 图2 ②如图2，以点C为圆心，以AC为半径作孤交BC于点 如图3，∠A=54°。 E,作直线AE,则AC=CE=2; ③如图3，作线段AB的垂直平分线交BC于点F,作直 549 36° D 线AF,则AF=BF; 18° B 图3 所以∠A的度数为36°或45°或54°。 25.解：(1)如图所示（画出其中一种即可）。 H A 4 22.59 图3 图4 67.5d ×J45° ④如图4，作线段AC的垂直平分线交BC于点H,作直 22.5° 67.5 22.5° B 2255 线AH,则AH=CH。 22.36°或45°【解析】如图1， (2)设分割线为AD。 因为AB=AC,BD=AD,AC=CD, A 所以∠B=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD。 39 因为∠CDA=2∠B,所以∠BAC=3∠B。 24o 39 124° 48 48 D D 因为∠BAC+∠B+∠C=180°， 所以5∠B=180°。所以∠B=36°； 图1 图2 y 249669 2448 24° 66△ 24° 人48° B D D D 图3 图4 图1 图2 图1中的最大角=39°+78°=117°； 如图2，因为AB=AC,AD=BD=CD, 图2中的最大角=24°+(180°-2×48)=108°； 所以∠B=∠C=∠CAD=∠BAD,所以∠BAC=2∠B。 图3中的最大角=24°+66°=90°； 因为∠BAC+∠B+∠C=180°， 图4中的最大角=180°-2×48°=84°。 所以4∠B=180°，所以∠B=45°。 综上，最大内角为117°或108°或90°或84°。 23.解：因为∠A0B=60°，0C平分∠A0B, 26.解：(1)2 所以∠A0C=30°。 (2)如图1，当AD=CD时，∠ACD=∠A=20°， 如图，当OE1=CE1时， 所以∠CDB=40°。 当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°； ∠0CE1=∠A0C=30°， 所以∠0E,C=180°-∠A0C-∠0CE, 当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°； 当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°； =120°； 0 当0C=0E2时， E E2 E3 1 ∠0E,C=L0CE,=2(180°-30)=75； 20 A200 D 当0C=CE3时，∠OE2C=∠A0C=30°。 图1 图2 所以∠0EC的度数为120°或75°或30°。 如图2，当AC=AE,CE=BE时，因为∠A=20°， 24.解：如图1，∠A=36°； 所以∠ACE=∠AEC=80°。所以∠B=∠BCE=40°； D 如图3，当AC=CE,CE=BE时，∠AEC=∠A=20°。 所以∠B=10°。 369 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°。 18 B 图1 A⊥20° 20°50 如图2，∠A=45°； P:P.PaPsP B 图3 图4 45 D (3)如图4， 1 当AC=AP时，∠AP,C=2×(180°-∠A)=80°； 729 18° 图2 当BC=BP,.时，LBP,C2XI80°-LB=69 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·69· 所以∠AP2C=180°-∠BP2C=115°； 当CB=CP3时，∠BP3C=∠B=50°， 所以BH=4B,BC_20X15=12m AC 25 所以∠AP3C=180°-∠BP3C=130°； 所以CH=√BC2-B=√152-122=9m。 当AP4=CP4时，∠ACP4=∠A=20° 所以BC+CH=15+9=24m。所以24÷2=12(s)。 所以∠AP4C=180°-∠ACP4-∠A=140°； 所以，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑12秒与 当BP与=CP,时，∠BCP,=∠B=50°， 淇淇的距离最近。 所以∠APC=∠B+∠BCP,=100°。 5.解：根据题意，得AE=3米，AB=20米，BD=13米。 综上所述，∠APC的度数为80°或115°或130°或140° 如图，设该位置为点C,且AC=x米， 或100°。 则BC=(20-x)米。 专项突破五勾股定理及其逆定理的应用 D 1.A【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E。 因为AB=2.4米，BE=CD=1.8米， 感应器4 DE=BC=0.8米， 所以AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6米。 DO 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AD=√JAE2+DE=√0.62+0.82=1.0米 2.C【解析】设BC=x,则AB=BD=x+1。 根据题意，得CE=CD 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2,即(x+1)2=x2+52。 由勾股定理，得32+x2=(20-x)2+132,解得x=14。 解方程，得x=12,即BC=12。 所以BC=20-14=6米。 3.C【解析】如图，连接AB,过点A作AC∥DE交DB的延 所以，该位置与旗杆之间的距离为6米。 长线于点C, 6.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D。 设BD=x米，则CD=(14-x)米。 30 cm 由勾股定理，得 13米 15米 132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5。 60 cm 书柜 ,地面 所以AD2=132-52=122。 所以AD=12米。 D14米 A G 33cm: ×14×12×30=2520(元)。 2 x cm 扫地机 所以，学校修建这个花园需要投资2520元。 衣柜 7.解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=13m,AC=5m。 底座 D 所以AB=√BC2-AC=√132-52=12m。 E 60cm- 90 cm- 因为CD=13-0.5×10=8(m)。 则AC=60-30=30cm,BC=(x-60)cm。 所以AD=√CD2-AC2=√82-52=√/39m。 由题意可知，AB=33cm。 所以BD=AB-AD=(12-√39)m。 在Rt△ABC中， 所以，船向岸边移动了(12-√39)m。 BC=√AB2-AC=√332-302=√/189cm 8.C【解析】如图，连接BD。 所以x-60=√189，即x=√189+60。 因为饮料盒的底面长为4cm,宽为3cm, 4.解：(1)因为∠D=90°，AD=7m,CD=24m, 其高为12cm, 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√72+242=25m。 所以BD=√AD2+AB2=√32+42=5cm。 所以，小路AC的长为25m。 所以BE=√BD2+DE=√52+122=13cm。 (2)如图，过点B作BH⊥AC于点H。 因为露在外面的长度为1cm, B 所以EF=1cm。 所以BF=BE+EF=13+1=14cm。 9.A【解析】如图，雕龙把大长方形均分 为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨 龙的最短长度为2个小长方形的对角 当小狗跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近。 线的和。 因为AB=20m,BC=15m,AC=25m, 因为底面周长约为6米， 所以AB2+BC2=202+152=252=AC2。所以∠ABC=90°。 柱身高约16米， 因为S AABC= ,BC=4c·m, 所以AE=6米，BE=。AC=。×16=8米。 2 2 70· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 所以AB=√BE2+AE2=√6+82=10米。 所以AM=√(20+5)2+102=√725cm; 所以雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20（米）。 长方体的上面与左面形成一个长方形，如图3。 10.D【解析】把托盘展开得到如下图形： 所以AM=√(20+10)2+5=√925cm。 B 因为25<√/725<√925， 所以蚂蚁爬行的最短距离为25cm。 8cm 15.解：(1)如图所示，点P即为所求。 A D 则AC=8×2+4×2+1=25cm,BC=8cm,∠ACB=90°。 所以AB=√AC2+BC2=√252+82=√689cm, 即蚂蚁爬行的最短距离为√689cm。 11.C【解析】如图，将正方体展开，右边与后面的正方形 与前面的正方形放在一个面上。 (2)如图，过点B作BE⊥AC于点E。 在Rt△A,BE中，A,E=2+(18-4)=16cm, BE=24÷2=12cm。由勾股定理，得 A,B=/A1E2+BE2=√/162+122=20cm, 即蚂蚁爬行的最短路径长为20cm。 此时AB最短，AB=√32+12=√10。 16.A【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm, 12.√725【解析】如图，将中间半圆柱的凸起展平，连 AB=10cm,由勾股定理，得 接AC, AC=√AB2-BC2=√J102-6=8cm。 G 根据折叠的性质可知，AE=AB=10cm。 所以CE=AE-AC=10-8=2cm。 17A【解析】因为四边形ABCD是长方形， 所以CD=AB=5,AD=BC=4。 根据题意，得AE=EF,BF=AB=5。 E 所以CF=√BF2-BC=√/52-42=3。 则EF=16Xm×)=8m,AB=AE+EF+BF=17+8=25m T 所以DF=CD-CF=5-3=2。 所以AC=√AB2+BC2=√252+102=√725m, 因为DE2+DF2=EF2,所以(4-EF)2+22=EF2, 即它至少要走√725m的路程。 解得EF= F2。所以DE=AD-AE=AD-EF=4 53 22 13解：如图所示， 因为三级台阶平面展开图为长方形，且 18(分，0)【解折】设0C=a,则BG=0n-0G=2-a。 宽为5dm,长为(3+1)×3=12(dm), 所以蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短 3 由折叠可知，AC=BC=2-a。 路程是AB的长。 1 在Rt△A0C中，0A2+0C2=AC2, 由勾股定理，得AB=√52+122=13(dm), 即(2)2+a2=(2-a)2。 即蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路 1 解得a=分，即0C=分所以点C的坐标为（宁，0）。 .1 程为13dm。 14.小斗提示：有三种不同的展开方式，可以得出三种“最短”路线， 19.(1)证明：因为四边形ABCD是长方形， 都求出来后，再进行比较，找出最短距离。 所以AB=CD,∠B=∠D=90°。 解：长方体的右面与前面形成一个长方形，如图1。 根据题意，得∠F=∠B,AB=AF。 所以AF=CD,∠F=∠D。 所以AM=√202+(10+5)2=25cm; r∠AEF=∠CED, 在△AEF与△CED中，∠F=∠D, LAF=CD. D D D 所以△AEF≌△CED(AAS)。所以AE=CE。 所以△ACE是等腰三角形。 (2)解：由(1)知，AE=CE。 因为AB=8,BC=16, B B 所以AD=BC=16,CD=AB=8。 图1 图2 图3 所以CE=AE=AD-DE=16-DE。 长方体的前面与上面形成一个长方形，如图2。 由勾股定理，得DE2+CD2=CE2,