专项突破二、三 分式化简求值的方法技巧 分式方程的应用-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

=360°-90°-90°=180°， 所以∠ACB+∠AOB=180° 所以∠OAC+∠OBC=180°。 8.证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DF⊥ AB交AB的延长线于点F, 则∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°。 因为∠DBF=∠CBG,BD=BC, 所以△DBF≌△CBG(AAS)。 E 所以DF=CG。 因为DE=AC, G- 所以Rt△DEF≌△CAG(HL)。 所以∠BED=∠BAC。 ◇B 9.证明：如图，过点D作DG⊥CF交CF的延长线于点G。 因为∠ACB=∠ABD=∠CBE=90°， C 所以∠ABC+∠DBG=90° =∠BDG+∠DBG。 7 所以∠ABC=∠BDG。 因为AB=BD, 所以△ABC≌△BDG(AAS)。 所以BC=DG。 因为BC=BE,所以BE=DG。 因为∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG, 所以△BEF≌△GDF(AAS)。所以EF=DF。 10.(1)证明：如图1，过点P作FP∥BC交AC于点F。 因为△ABC是等边三角形，所以△APF是等边三角形。 因为AP=CQ,所以AP=FP=AF=CQ。 因为FP∥BC,所以∠DFP=∠DCQ。 r∠PDF=∠ODC 在△PDF和△QDC中，∠DFP=∠DCQ, FP=CQ, 所以△PDF≌△QDC(AAS)。所以DP=DQ。 A 图1 图2 (2)解：如图2，过点P作FP∥BC交AC于点F。 由(1)知，△PDF≌△QDC。所以DF=DC。 因为PE⊥AC,△APF是等边三角形，所以AE=EF。 所以AE+CD=EF+DF=DE。 1 所以DE=2AC=)AB=3 21 11.解：(1)DM=EM。证明如下： 如图1，过点E作EF∥AB交BC于点F。 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C。 因为EF∥AB,所以∠ABC=∠EFC,∠ADM=∠FEM。 所以∠EFC=∠C。所以FE=CE。 因为BD=CE,所以FE=BD。 r∠BMD=∠FME, 在△DBM和△EFM中，∠BDM=∠FEM, BD=FE. 所以△DBM≌△EFM(AAS)。所以DM=EM。 M/B E D 图1 图2 (2)成立。证明如下： 如图2，过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F。 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C。 因为EF∥AB,所以∠ABC=∠EFC,∠ADM=∠FEM。 所以LEFC=LC。所以FE=CE。 因为BD=CE,所以FE=BD。 r∠BMD=∠FME, 在△DBM和△EFM中，{∠BDM=∠FEM, BD=FE, 所以△DBM≌△EFM(AAS)。所以DM=EM。 2.解：(1)①补全图形如图1。 AE=BF【解析】因为BA=BC,∠DBE=60°， 所以△ABC是等边三角形。 所以AD=BD,∠BAD=∠ABD=60°。 所以∠DAE=∠DBF=120°。 因为DE=DF,所以∠E=∠F。 r∠E=∠F, 在△AED与△BFD中，{∠DAE=∠DBF, AD=BD. 所以△AED≌△BFD(AAS)。所以AE=BF。 D(C) D B E GA B 图1 图2 ②证明：如图2，过点D作DG∥AC交EF于点G。 因为△ABC是等边三角形， 所以△GBD是等边三角形。所以AG=CD。 同(1)，得△DGE≌△DBF(AAS)。 所以GE=BF。所以AE=EG+AG=BF+CD。 (2)如图3，过点D作DG∥AC交EF于点G。 由(1)知，GE=BF,AG=CD, 所以AE=EG-AG=BF-CD: D E AG B G 图3 图4 如图4，过点D作DG∥AC交EF于点G。 由(1)知，GE=BF,AG=CD, 所以AE=AG-EG=CD-BF。 北 13.(1)证明：①因为∠ADE=∠C=90°， 所以∠BDE+∠ADC=90°，∠A+∠ADC=90°。 所以∠BDE=∠A。 ②如图1，在AC上截取CF=CD,连接DF。 因为AC=BC,所以AF=BD。 B 因为∠C=90°，所以∠CFD=∠CDF=45°。 所以∠AFD=135°=∠DBE。 图1 图2 「∠A=∠BDE, 实际应用：320海里 在△AFD和△DBE中，{AF=DB, 【解析】如图2，连接EF,延长AE,BF相交于点C。 L∠AFD=∠DBE, 因为∠A0B=30°+90°+20°=140°， 所以△AFD≌△DBE(ASA)。所以AD=DE。 所以LE0F=70= 2∠A0B。 A 又因为0A=0B,∠0AC+∠0BC=60°+120°=180°， 所以探索延伸的结论成立。 所以EF=AE+BF=2×(70+90)=320(海里)。 专项突破二分式化简求值的方法技巧 1.解： 二2xx=x(x-2.(x-1=--2 D D x-11-xx-1 图1 图2 由分式有意义的条件可知，x≠1和0。 (2)解：如图2，在AC上截取CM=CD,连接DM。 因为-2<x<2,x为整数，所以x=-1。 因为AC=BC,所以AM=BD。 当=-1时，原式=12=-3。 -1 因为LADB=∠A+∠C=∠ADE+∠BDE,∠ADE=∠C, 所以∠A=∠BDE。 3-x x-x 因为CM=CD, 2解：2-6+9(x-3-1) 1 3-x.x2-x-(x+1)(x-3) 所t以LCMD=LCDM=2(180°-∠C)=90°-2∠C。 (x-3)2 x-3 1x+31.8-3 1 所以∠AMD=180°-∠CMD=90+2∠C。 Γ3-xx-33-xx+3x+3 由分式有意义的条件可知，x≠-3和3。 当∠DBE=90+2∠C时， 11 △AMD≌△DBE(ASA)。所以AD=DE。 当x=2时，原式=2+35 14.解：问题背景：EF=BE+DF 当x=-2时，原式= 1 =-1。 -2+3 【解析】因为△AEF≌△AGF,DG=BE, 小斗总结 所以EF=FG=DF+DG=BE+DF。 选择字母的值代入求值时，代入的字母的值不能使原代数式的分 探索延伸：仍然成立。 母的值等于零，也不能使原代数式的除数等于零。 理由：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG。 因为LB+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， 所以∠B=∠ADG。 3A【解析】因为6=2，c二6ac3 a+b3'b+c5’a+c4 AB=AD. 所以4+63,6+c_5a*e。4 在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG, ab2’bc6’ac3° BE=DG, 1.1.1111.1.11.1 所以二+ 所以△ABE≌△ADG(SAS)。 a b c 2 a b c a b c 所以AE=AG,∠BAE=∠DAG。 1a+b,a+c,b+c、13,4,5、11 )= 因为LBMF=LBMD, 1 4.- 【解析】因为x2+x-1=0,所以x2+x=1。 所以LGMF=LDAF+LDAG=∠DAF+∠BME=1 6 ∠BAD。 x2+x 所以 rAE=AG 3+2x2-7x(x2+x)+x2-7 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF, 111 AF=AF, x+x2-71-7-6 所以△AEF≌△AGF(SAS)。 所以EF=FG=DG+DF=BE+DF。 5解因为}3 。全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·67· 所以y-x=3xy,即x-y=-3xy。 所以c=k2=ck3。 所以2+3y-2_2x(-3)+3y=-3型3 由题意可知abc≠0，所以k3=1。所以k=1。 x-2xy-y -3xy-2xy -5xy59 6解：2m-3m+2-5)m-3m-45 所以a=b=c。所以the=1。 a-b+c 3m2-6m m-23m2-6m、m-2 专项突破三分式方程的应用 m-3 m-2 1 1.C2.B 3m(m-2)(m+3)(m-3)3m(m+3)3(m2+3m) 3.解：设第一批跳绳每根的进价为x元。 当x=m时，整式x2+3x-3的值为0， 所以m2+3m-3=0。所以m2+3m=3。 根据题意，得30_360 xx+20 所以原式=门1 解方程，得x=10 3x39 经检验，x=10是原分式方程的解。 1 所以，第一批跳绳每根的进价为10元。 7.解：因为x-5+1=0,所以x+=5。 4解：设每件乙商品的进价为x元。 1 两边同时平方，得+2+京=25。 根装意0测。四-0 1 解方程，得x=50。 所以+京25-2=23。 经检验，x=50是原分式方程的解。 因为(1+50%)×50=75， 两边同时平方，得+2+529。 所以，每件甲商品的进价为75元，每件乙商品的进价为 50元。 所以+=529-2=527 5.B 6.B【解析】设小敏通过AB路段时的速度为x米/秒。 8.解：因为x+=3,所以x≠0。 1212=22 根据题意，得+12x 两边同时平方，得x2+2+ 9,所以量7。 解方程，得x=1。 经检验，x=1是原分式方程的解。 取倒数，得++1=+1+ =7+1=8。 1 7.解：设走路线1到达B地所需的时间为x小时。 x2 50355 所以、 1 根据题意，得1xX3 x4+x2+180 x一 6 9解类比探究】由31，知0， 7 解方程，得x=6° 所以一3+1山，即-3女山。所拟士2 7 经检验，x6是原分式方程的解。 1 .12 九斤方x一7x+127士=(x十—)一2一三2一2—7三一5。 所以，走路线1到达B地所需的时间为？小时。 x2 1 8.B 所以72+15° 9.解：设甲工程队单独完成这项工程需x天，乙工程队单独 完成这项工程需y天。 【拓展延伸】因为 1,111,111,11 为a+6=6'b+e=9'ae=15 24,24=1, 商以2.5动且k0 根据题意，得 y 1818,10=1。 所以1+1,131 (x y x abc180° 因为o6+hc+ac=11131 解方程组，得x=40, abc 180 y=60。 ac,abtc180所以 ab+bctac 31 经检验， 0解设号号号 是脱分式方程的解。 =k,则a=2k,b=3k,c=5k。 所以，甲工程队单独完成这项工程需40天，乙工程队单 所以b+26c-3ae_62+302-30k2.6k.6 独完成这项工程需60天。 a2+2b2-3c24k2+18k2-75k253k253° 10.解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩。 L锯设号名后=则a=,成6=政 根据题意，得300600=20。 x 6x 解方程，得x=10。 68· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 经检验，x=10是原分式方程的解。 当∠B=∠C为底角时， 因为6×10=60， 2(3x+20°)+x=180°，解得x=20°。 所以无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩。 故三个角的度数分别为20°，80°，80°； 专项突破四有关等腰三角形的分类讨论问题 当∠A=∠B时，x=3x+20°，此种情况不存在。 1.B 9.C【解析】设腰长为2x。 2.C【解析】因为√a-4+(b-8)2=0, 当含底边部分较短时， 所以a-4=0,b-8=0,解得a=4,b=8。 (2x+x)-(5+x)=4,解得x=4.5。 当底边长为4时，腰长为8， 此时三角形三边长分别为9,9,5。 4+8>8,能组成三角形，故周长为4+8+8=20； 5+9>9,能组成三角形： 当底边长为8时，腰长为4， 当含底边部分较长时， 4+4=8,不能组成三角形。 3.D【解析】设较短的边长为xcm。 (5+)-(2x+)=4,解得= 20 当较长的边为底边，较短的边为腰时， 此时三角形三边长分别为1,1,5。 2x+x+x=20,解得x=5。 1+1<5,不能组成三角形。 此时三角形三边长分别为5cm,5cm,10cm。 10.解：如图， 5+5=10,不能组成三角形； 1 当AB+AD=AC+。AC=15时，AC=10, 当较短的边为底边，较长的边为腰时， x+2x+2x=20,解得x=4。 此时三角形三边长分别为4cm,8cm,8cm, 所以6c=卫×10=7， 4+8>8,能组成三角形。 10+7>10,能组成三角形； 4.C【解析】当等腰三角形的腰长为5cm时， 当AB+AD=AC+。AC=12时，AC=8, 等腰三角形的底边长=13-5-5=3(cm), 2 此时能组成三角形， 3 所以BC=15×8=1山，8+8>1，能组成三角形。 所以这个等腰三角形的“优美比”= 所以底边BC的长为7或11。 当等腰三角形的底边长为5cm时， 11.30°或150° 【解析】如图1，当高BD在三角形的内 等腰三角形的腰长=135=4(cm), 部时， 2 因为高BD是腰长AB的一半，所以∠A=30°； 此时能组成三角形， 所以这个等腰三角形的“优美比”= 5 49 5.D 6.D【解析】在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 所以∠B=∠C=30°。 如图1，当∠CAD=90°时，∠ADB=120°； 图1 图2 A 如图2，当高CD在三角形的外部时， 因为高CD是腰长AC的一半，所以∠CAD=30°。 D D 所以∠BAC=180°-30°=150°。 图1 图2 12.5或√10【解析】边AB是腰，AB=BC=5; 如图2，当∠ADC=90°时，∠ADB=90°。 边AB是底，AC=BC=5。 7(39)或72°【解析1设底商为a(a<90)。 因为AD=3,所以CD=√AC2-AD2=4。 所以BD=1。所以AB=√BD+AD2=√10。 当(180°-2a)-a=受时， 13.解：当顶角是锐角时，腰上的高在内部。 如图1，当∠A是顶角时，顶角度数为90°-40°=50°； 360 解得a=())°<90°，符合题意； 如图2，当∠C是顶角时， 顶角为180°-(90°-40)×2=80°； 当&-(180-2a)=受时. 解得α=72°<90°，符合题意。 8.32°或20°【解析】设∠A=x,∠B=3x+20°。 当∠A=∠C为底角时， 2x+(3x+20°)=180°，解得x=32°。 图1 图2 图3 故三个角的度数分别为32°，32°，116°； 当顶角是钝角时，腰上的高在外部。专项突破二 分式化简求值的方法技巧 类型一 选数代入求值 1先化简：并在-2<x<2选择一个合适的整数代入求值。 p 3-x÷( x2-x 2先化简6x+9(x3x-1),再从-2,2，-3,3中选择-个合适的数作为x的值代入求值。 类型二整体代入求值 ab 2 bc6 ac3 .111 a+b3'6+e5'ate4,则。+ 3.已 +二的值为 a b'c ( 9 1 6 11 6:3 c唱 6 4若+x-1=0,则3，的值为 5.已知 1-3,求 2x+3y-2y的值。 x-2xy-y 6先再求值m+2中当m时整式+3a-3的值为0 类型三平方类 7.已知x-5+=0,则x+1的值为多少？ 荞 类型四倒数类 8已知十-3，则，云的值为多少 1 x4+x2+1 9.【阅读学习】阅读下面的解题过程。 已知七、1 2 +13求 的值。 x4+1 由1写知x≠0，所以1-3，即+-3。 解：由x1 +(x+)2-2=3-2=7。所以 1 1 x4+17 【类比探究】 上述的解题方法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解题。 已2-31s -1,求，子 的值； 示x4-7x2+1 【拓展延伸】 m1,1_111_11.1-1 包知+。6。ga。5求c的值 ab+bc+ac 类型五设参类 10.已知%=b=c」 兮号号求次的位 1已知-后 =三，求+6的值0 'a-b+c" ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·39. 专项突破三 分式方程的应用 类型一 销售问题 1.小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒。设第一次购 买时该药品的价格为x元/盒，则可列方程为 () A.300300-=2 B.300300 2 300300=2 C D.300-300-2 xx+5 xx+5 x-5x “-5x 2.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”。为了大力弘扬中华优秀传统文 化，某校决定开展名著阅读活动。用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生 吹 的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数 只比第一批少4套。设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是() 4.36003600 =4 B.36002400 c.24003600 =4 D.24002400 4 0.8x x0.8x “0.8xx 0.8xx 3.新考法〔跨学科〕阳光体育，快乐课间，近年来，某县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此 活动，助力学生健康成长。某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用 360元购进了第二批该种跳绳，但这次每根跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第 一批所购进数量相同，求第一批跳绳每根的进价为多少元？ g 4某公司会计欲查询甲、乙两商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染。 商品 进价/（元/件） 数量/件 总金额/元 甲 9300 2 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 量 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%。 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件。 问：每件甲、乙商品的进价分别为多少元？ 类型二行程问题 5.新素材〔传统文化〕“孔子周游列国”是流传很广的故事。有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站 12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行速度的1.5倍，孔 崭 子和学生们同时到达书院。设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是() 1212 A. +1 B.12=12+ +1 c.12-12-1 12=1-12 D 1.5xx x1.5x x1.5x 1.5x ·40 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 6.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度。如图，某路口 的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路 段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的12倍，则小敏通过AB路段时的速度为() T11111 C山BA A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒 7.某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有如下两条路线可供选择： 路线1：全程35km,路况复杂，易出现拥堵。 路线2：全程50km,路况较好，红绿灯少。 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的3倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分 钟，求走路线1到达B地所需的时间。 类型三工程问题 8.某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3h,只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙燕 车，两车合作1.2h清理完另一半垃圾，设乙车单独清理全部垃圾的时间为xh,根据题意可列出方程为 () 1.2.1.2 A. +1.2=1 B.12,121 一十一 c.212=1 3+x D.12121 6x2 3+x=2 9.有一项工程，甲、乙两工程队合作24天可完成。若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天 也恰好完成。原来甲和乙单独完成这项工程各需多少天？ 10.新素材〔科学技术〕无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可 以提高效率。已知无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6 倍，若无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求无人机每小时 对茶园打药的作业面积。