第5章 勾股定理与实数 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

第5章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.9的算术平方根为 训 写 B.3 C.-3 D时 2.在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是 A. B. C. D.SeD 3在号21年，m这四个数中，最大的致是 22 B.19-271 C.4 D.m 4.下列各组数中，不能构成直角三角形的是 加 A.8,W7,1 B.5,12,13 C.9,40,41 D.1.5,2.5,2 5.下列说法正确的是 A.4的平方根是±2 B.8的立方根是±2 C.-64没有立方根 D.81的平方根是9 6.如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为 A.-√5 B.1-√5 C.-1+√5 D.-1-√5 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 13 123 是有理数 12 第6题图 第8题图 第9题图 第10题图 7.下列各数中，与2互为相反数的是 4对 B.1-21 C.W(-2) D.(-2) 8.如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值为 A./3 B.9 C.3 D.-√5 9.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积为 ( A.16 B.25 C.144 D.169 料 10.新素养〔几何直观〕如图是由四个全等的直角三角形镶嵌成的正方形，已知大正方形的面积为36，小 正方形的面积为4。若用x,y表示直角三角形的两条直角边(x>y),则下列式子错误的是（) A.x-y=2 B.x2+y2=36 C.x+y=8 D.xy=16 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用 有理数表示，从而发现了无理数，请你写出一个无理数： d 12.若√/a+2与1b-√21互为相反数，则b“= 13.新考法〔数学文化〕“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈=10尺，1尺=10寸。《九章 算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何。”大意如 下：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x 尺，根据题意，可列方程为 14.如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为a。若4-a的 整数部分和小数部分分别为x,y,则x-y= 主题情境参加小岛探宝节目请完成第15~16题 15.原创题李丽准备参加一期小岛探宝节目，节目组给她寄来了参加海选的地图，地图上显示从她家到 集合点的距离为“√81的算术平方根”千米，则她实际需要走 千米才能到达集合点。 16.新情境〔实际情境〕如图，李丽入选了小岛探宝节目，她先从点P处登陆小 北 岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅 十东 走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离 、D 为」 千米。 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分)如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网格 格点上。求证：BC⊥CE。 A B D 18.(6分)求下列各式中x的值： (1)3(x-2)2=27; (2)2(x-1)3+16=0。 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·25· 19.(8分)已知2m+1的算术平方根是5，m+2n的立方根是-2。 (1)求m和n的值； (2)求3m-5n的平方根。 20.(8分)新素养〔运算能力〕计算： (1)4+lW3-11+-1: 22-0s+ 21.(12分)新素养〔数据观念〕求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如√4，有些数则不能直 接求得，如√5，但可以通过计算器求。还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请 同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … √a 2 2 200 (1)求表格中的两个值：x= ,y= (2)描述你发现的规律，并探究下列问题：已知√2.06≈1.435，求下列各数的算术平方根： ①w√0.0206≈ ②/206≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根。已知2≈1.260，则2000≈ 22.(12分)新素养〔几何直观〕综合探究： “在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为√5，√10，√13，求这个三角形的面积。” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格 点三角形ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不用求△ABC的高， 而借用网格就能计算出它的面积。我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法。 ·26· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 (1)求图1中△ABC的面积； (2)若△MNP的边长分别为√m2+16n2,√9m2+4n2,√4m+4n2(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法 在图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积； (3)拓展应用：求√x2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值。 图1 图2 选做题 请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x就叫作a的算术平方根，记作 √a(即√a=√x2=x),如32=9,3叫作9的算术平方根。 (1)计算下列各式的值： √4= ,√25= ,√100= (2)观察(1)中的结果，w4,√25，√100之间存在怎样的关系？ (3)由(2)的猜想：√a·√b= (a≥0，b≥0)； (4)根据(3)计算： 4 ①√2x√8； ②3× W27日名贸号线未透华花： 9B【解析】如图，AB=EF。 4 13 3 33273 C√-38√g2,故本选项结论正确： B12 D.a2的算术平方根是Ial,故本选项结论错误。 由勾股定理，得AB2=AC2-BC2,EF2=EP2+FP2 18.±√/36=±619.416 所以阴影部分面积=132-122=25。 20.3【解析】因为(a-2)2+1b+v√31+√30-c=0, 10.C【解析】大正方形面积：四个三角形面积+4=36， 所以a-2=0,b+√3=0,30-c=0。 即4×2y+4=36,所以y=16。故选项D正确； 所以a=2,b=-√3，c=30。所以c-b=30-(-√/3)2=27。 因为27的立方根是3，所以c-b的立方根是3。 小正方形边长：由x-y构成，所以x-y=2。 …小斗总结 故选项A正确； 几个非负数的和等于零，则这几个非负数都等于零。 x2+y2的计算：由勾股定理，得x2+y2=36。 故选项B正确； 21解：(1)因为2+(-2)=0,23+(-2)3=8+(-8)=0， x+y的计算：由平方和公式，得(x+y)2=x2+2xy+y2=36 所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互 2×16=68。所以x+y≠8。故选项C错误。 为相反数”是成立的。 11.√2（答案不唯一） (2)由(1)知，1-2x+3x-5=0, 解得x=4。所以1-√=1-2=-1。 【解析】根据题意，得√a+2+lb-√21=0。 22.D23.A24.B 所以a+2=0,b-√2=0。所以a=-2,b=√2。 25.A【解析】第-步：102=100；第二步：1000.01： 所以6=(2)2=1 20 第三步：√0.01=0.1；第四步：0.12=0.01； 13.x2+(x-6.8)2=102 第五步：0.01 =100;第六步：√100=10； 14.-2+√6【解析】S影= 22x2x2+ 2×2x2=6。 … 所以a2=6。 所以显示的结果是六步一个循环。 因为a>0,所以a=√6。 因为2026÷6=337…4，所以显示的数是0.01。 26.C 因为2<√6<3，所以4-a=4-√6=1+3-√6。 2}3 所以x=1,y=3-√6。所以x-y=1-3+√6=-2+√6。 15.3 28.解：(1)√25-1-11+8=5-1+2=6。 16.13【解析】如图，连接PQ,延长PA,CQ交于，点D, C B 北 (2)-1225+2-√/5+lW5-21=-1+2-√5+√5-2=-1。 0 →东 ，9/164 29.解：(1)0√125√255 ②3-0.125 31 =-0.5+0.25=-0.25。 D W64 A 则CD⊥PD。 (2)①原式子整理，得(x+1)2=9。 因为AP=9千米，AB=CD=6千米，BC=AD=3千米 所以x+1=±3。所以x=2或x=-4。 ②原式子整理，得x3=0.027。所以x=0.3。 CQ=1千米，所以DQ=CD-CQ=6-1=5千米，DP=AP 第5章学业水平测试 AD=9+3=12千米。 在△PDQ中，由勾股定理，得 1.B2.B3.A4.A PQ=DQ2+DP2=52+122=169。所以PQ=13千米。 5.A【解析】A.4的平方根是±2，故本选项说法正确； 17.证明：如图，连接BE。 B.8的立方根是2，故本选项说法错误； C.-64的立方根是-4，故本选项说法错误； D.81的平方根是±9，故本选项说法错误。 6.B7.D 8.A【解析】第一次输入的x的值为81， 则√81=9，是有理数； D 第二次输入的x的值为9，则√9=3，是有理数； 由勾股定理，得BC2=CE2=32+12=10, 第三次输入的x的值为3，则√3不是有理数。 BE2=22+42=20。 所以输出的y的值为√3。 ·62· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 所以BC2+CE2=BE。所以∠BCE=90°。 所以BC⊥CE。 18.解：(1)原式子整理，得(x-2)2=9。 所以x-2=±3。所以x=5或x=-1。 (2)原式子整理，得(x-1)3=-8。 所以x-1=-2。所以x=-1。 根据题意，得AC=1,BD=2,CD=4,CP=x,DP=4-x。 19.解：(1)因为2m+1的算术平方根是5，m+2n的立方根 求√x2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值， 是-2， 就是求AP+BP的最小值。 所以2m+1=5,m+2n=-8,解得m=2,n=-5。 当AP与BP共线时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长。 (2)因为m=2,n=-5,所以3m-5n=3×2-5×(-5)=31。 在Rt△ABE中，AE=AC+CE=1+2=3,BE=CD=4。 所以3m-5n的平方根是±√/31。 由勾股定理，得AB=√AE+BE=√32+42=5。 20.解：(1)W4+13-11+-1 所以Wx2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值为5。 =2+√3-1-1=√3。 选做题 27--召a5+图 解：(1)2510 W164 (2)W4×√25=√/100。 11+1=-2 (3)√ab 224 4 (4)①V2×√8=√/2×8=√/16=4； 21.解：(1)0.220【解析】因为0.22=0.04， ②5× -3x4-4-2 4 所以√0.04=0.2。 W27W⊙27-N9-3 因为202=400，所以√/400=20。 阶段性检测（二） (2)0.143514.35【解析】被开方数扩大或缩小102 1.A2.C3.C 倍，算术平方根就相应的扩大或缩小10”倍（或者说被 4.C 【解析】如图，过点C作CM⊥AB于点M。 开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的 D 小数点就相应的向左或向右移动n位)。 因为√2.06≈1.435， 150° Q 所以0.0206≈0.1435，/206≈14.35。 A B (3)12.60【解析】类比算术平方根中被开方数的小数 因为∠ABC=150°，所以∠CBM=180°-∠ABC=30°。 点变化规律可得被开方数扩大或缩小10”倍，立方根就 因为BC=10m,所以h=CW=78C=5m。 相应的扩大或缩小10”倍（或者说被开方数的小数点向 左或向右移动3n位，立方根的小数点就相应的向左或 5.D【解析】如图，连接AC, 向右移动n位)。 则AC与AB,BC构成直角三角形。 因为2≈1.260，所以2000≈12.60。 在Rt△ABC中，由勾股定理， 22.解：(1)△ABC的面积=3×3- 得AC=√WAB2+BC 21x2 21x3 22x =√12+22=√5≈2.236。 3=9-1-1.5-3=3.5。 四个选项中只有D的宽2.2<2.236。 (2)如图所示，△MNP即为所求作。 6.D7.C n 8.A【解析】A.设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x。 N 因为∠A+∠B+∠C=180°，所以3x+4x+5x=180°， 解得x=15°。所以C=5×15°=75°。 所以此三角形不是直角三角形； B.因为52+122=132，所以此三角形是直角三角形； C.因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C, 所以∠A=90°。所以此三角形是直角三角形； △MNP的面积=3m×4n- 2x2m×2n- 2×3mx2n- D.因为a2=b2-c2,所以a2+c2=b2。 所以此三角形是直角三角形。 2×mx4n=12mn-2mn-3mn-2mn=5mn。 9.B【解析】因为大正方形的面积为32+32=18， 所以大正方形的边长为√18。 (3)√x2+1可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP 因为√16<√/18<√4.5，所以4<√18<4.5。 的斜边长，√(4-x)2+4可看作两直角边分别为4-x和2 10.D【解析】因为△ABC和△DCE都是等边三角形， 的Rt△BDP的斜边长，构造图形如下： 所以∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC,CE=CD。 所以∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,