第4章 图形的轴对称 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

第4章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.新考法〔跨学科〕下列四个运动图案是轴对称图形的是 A玉 2.等腰三角形的一个底角为40°，这个等腰三角形的顶角为 A.50° B.65° C.80° D.100° 3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，则边BC上的高AD的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 D D T 第3题图 第5题图 4.下列说法错误的是 A.若两个图形全等，则它们一定关于某条直线对称 B.桥梁的斜拉钢索建成三角形的结构，主要是利用三角形的稳定性 C.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D.三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若CD=3,AB=10,则△ABD的面积为（) A.15 B.30 C.45 D.无法确定 主题情境居民小区基础设施建设请完成第6~7题 6.如图，某居民小区在三栋住宅楼A,B,C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一 个凉亭P。若点P到点A,B,C的距离相等，则点P是△ABC的 () A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D三条中线的交点 B B E 第6题图 第7题图 7.新情境〔实际情境〕修建绿道时占用了原来电线杆的位置，如图是该居民小区新加的电线杆，为了让电 线杆垂直于地面，工程人员的操作方法如下：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳 AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等，且点B,E,C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC。工程 人员这种操作方法的依据是 A.等角对等边 B.等腰三角形三线合一的性质 C.两点之间线段最短 D垂线段最短 8.如图，在等边三角形ABC中，BC=8,D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于 点E,则BE的长为 () A.3 B.4 c.5 D.6 E E 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=9cm,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC交 AB于点D,交AC于点E,则△ADE的周长等于 () A.12 cm B.14 cm C.15 cm D.18 cm 10.如图，某同学用一个等边三角形ABC和一个正五边形BCDEF设计了一个宝石徽章，其中BC为两个 图形的公共边，连接AE,CF交于点G,下列说法错误的是 () A.AC⊥CF B.DE∥CF C.△EFG是等腰三角形 D.AE垂直平分BC 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.如图，从标有数字1,2,3,4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则可以拿走的小正方 形的标号是 B D 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC,CD=5,△BCE的周长为22，则BE= 13.若△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC,∠BAD+∠BCD=180°，则∠B= 14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AB=8,AC=6,则S△ABD:S△AcD= d EDC℉ B D C C 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在4×4的正方形网格中，直线a外，有A,B两点。在直线a上求一点P,使PA+PB最短，则点 P的位置应选在点 处。（填图中的字母） 16.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,且A,C,B三点在同一 直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠CBD。其中正确的 有 。（填序号) ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·21· 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分)如图，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出α，b的长度，并求出∠G的度数。 1 a B4cm 口d A80° [135° F D G 18.(6分)如图，AB=AC,BD=CD,点E在AD上，求证：BE=CE。 A D 19.(8分)新素养〔几何直观〕如图，在△ABC中，∠C=90°。 (1)作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)； (2)若CD=3,AB+BC=16,求△ABC的面积。 20.(8分)新素养〔推理能力〕如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD= AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F。 (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：BE=AF。 ·22· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 21.(12分)如图，已知在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D,边AC的垂直平分线l2交BC 于点E,l1与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为8cm,△OBC的周长为18cm。 (1)求线段BC的长； (2)连接OA,求证：OB=OC; (3)求线段OA的长。 B 22.(12分)如图1和图2，在四边形ABCD中，∠BAD=,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC。 (1)如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD,这个性质是 (2)如图2，求证：AD=CD; (3)如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC,求证：BD+AD=BC。 图1 图2 图3 选做题 M 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,M,N分别为边AB,BD上的动点，BC=12, D S△ABc=60,则MN+AN的最小值为 B第4章考点梳理与复习 因为直线I是线段AB的垂直平分线，所以AD=BD。 1.C2.B3.A 因为BD+CD>BC,所以AD+CD>BC。 2×4×5=10。 当点D在线段BC上时，AD+CD=BC。 4.解：(1)10【解析】△ABC的面积 所以AD+CD≥BC。 (2)如图所示，△DEF即为所求作。 11.D12.B 13.D【解析】由作图可知，AD平分∠BAC,DE⊥AC。 因为∠B=90°，所以BD=DE,∠CDE=∠CAB。 在题AD为AMD中，D奶， 所以Rt△ABD≌Rt△AED(HL)。 所以AB=AE。所以AC=AE+CE=AB+CE。 14.证明：因为D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC 所以BD=CD,∠BED=∠AED=∠CFD=∠AFD=90°。 在△B0E和△cD中，BC 5.解：(1)点A与点D关于直线MW成轴对称， 所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)。所以DE=DF。 线段AD被直线MN垂直平分。 在△ADE和△A0F中，0， (2)因为△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称， 所以Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)。 所以△ABC≌△DEF。所以∠F=∠C=90°。 所以∠DAE=∠DAF,即AD是△ABC的角平分线。 因为∠E=50°，所以∠D=180°-∠F-∠E=40°。 15.(1)证明：如图，连接AD,BD。 6.D 7.18 ◇ 8.40°【解析】如图，连接0A。 D E 因为DP垂直平分AB,所以AD=BD: 因为DF⊥AC,DE⊥BC,CD平分∠ACE, 因为∠B0C=80°，所以∠OBC+∠OCB=100°。 所以∠AFD=∠BED=90°，DE=DF。 所以∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA=80°。 在AA0F和△B0E中，PC, 因为OD是边AB的垂直平分线， 所以AD=BD,∠ADO=∠BDO=90°。 所以Rt△ADF≌Rt△BDE(HL)。所以AF=BE。 因为OD=OD,所以△AOD≌△BOD(SAS)。 (2)解：在Rt△CDF和Rt△CDE中，E二E’ 所以∠OAB=∠OBA。同理可得∠OAC=∠OCA。 所以∠A=∠OAB+∠OAC=40°。 所以Rt△CDF≌Rt△CDE(HL)。所以CF=CE。 「∠A=∠C, 设CE=CF=x,则BE=6+x,AF=10-x。 9.证明：在△AOB与△C0D中，{0A=0C, 因为AF=BE,所以10-x=6+x,解得x=2,即CE=2。 L∠AOB=∠COD, 16.B17.D18.D 所以△AOB≌△COD(ASA)。 19.B【解析】如图，连接BD。 所以OB=OD。所以点O在线段BD的垂直平分线上。 因为∠BCE=120°， 因为BE=DE,所以点E在线段BD的垂直平分线上。 所以∠BCD=180°-∠BCE=60°。 所以OE垂直平分BD。 因为CD=BC, 10.(1)证明：如图1，连接PA,PB,AM。 所以△BCD是等边三角形。 因为直线I是线段AB的垂直平分线，所以AM=BM。 所以BD=CD=45cm, 所以PB=PM+BM=PM+AM。 即此时B,D两，点之间的距离为45cm。 因为PM+AM>PA,所以PA<PB。 20.B【解析】因为△ADE是等边三角形， 所以∠DAE=∠E=60°。 当DE∥AB时，如图1，∠BAE=∠E=60°； D 图1 图2 (2)解：AD+CD≥BC。理由如下： 图1 如图2，当点D不在线段BC上时，连接BD。 当AD∥BC时，如图2，∠BAD+∠B=180°。 。60 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 所以∠BAE=180°-∠DAE-∠B=75°； 因为点P到点A,B,C的距离相等，所以PA=PB=PC。 D 所以，点P是△ABC的三边垂直平分线的交点。 7.B 8.C【解析】因为△ABC是等边三角形， 所以∠A=∠C=60°，AB=AC=BC=8。 因为DF⊥AC,EF⊥BC,所以∠AFD=∠CEF=90°。 图2 图3 当DE∥BC时，如图3， 所以LA0F=∠CFB=30。所以AF=AD,CB=CP。 因为BC⊥AC,所以DE⊥AC。所以∠CAE=90°-∠E=30°。 因为D是AB的中点，所以AD=4。所以AF=2。 所以∠BAE=∠BAC-∠CAE=15°。 所以CF=6。所以CE=3。 21.(1)证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F。 所以BE=BC-CE=8-3=5, 9.C【解析】因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O, 所以∠AB0=∠OBC,∠AC0=∠OCB。 因为DE∥BC,所以∠BOD=∠OBC,∠COE=∠OCB。 C 所以∠AB0=∠BOD,∠AC0=∠COE。 因为AB=AC,AD=AE,所以BF=CF,DF=EF。 所以BD=OD,CE=OE。 所以BF+EF=CF+DF,即BE=CD。 因为AB=6cm,AC=9cm, (2)解：因为AD=AE=DE,所以△ADE是等边三角形。 所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+ 所以∠DAE=∠ADE=60°。 BD+CE+AE=AB+AC=6+9=15 cm 因为AD=BD,所以∠BAD=∠ABD。 10.A【解析】A.因为五边形BCDEF是正五边形， 因为∠BAD+∠ABD=∠ADE,所以∠BAD= -ㄥADE=30°。 所以∠CBF=∠BFE=∠DEF=108°，BC=BF。 所以∠BFC=∠BCF=(180°-108)÷2=36°。 所以∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°。 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60° 22.B【解析】如图，过，点P作PE⊥OB于点E。 所以∠ACF=∠ACB+∠BCF=96°≠90°。 所以AC不垂直于CF。故选项说法错误； B.因为∠CFE=∠BFE-∠BFC=72°. 所以∠CFE+∠DEF=180°。所以DE∥CF。 故选项说法正确； 0 D C如图，连接BE,CE。 因为OP是∠AOB的平分线，所以∠AOP=∠BOP=15°。 因为五边形BCDEF是正五边形， 因为OD=DP,所以∠OPD=∠B0P=15°。 △ABC是等边三角形， 所以LPDE=30°。所以PE=2PD=2。 所以EF=BF=CD=DE=AB=AC, ∠BFE=∠CDE=108°。 因为PC⊥OA,PE⊥OB,所以PC=PE=2。 rBF=CD, 23.解：因为立柱AD垂直平分横梁BC, 在△BFE和△CDE中， ∠BFE=∠CDE, 所以AB=AC=4m。 EF=ED, 因为EF=3m,∠B=30°，所以BE=2EF=6m。 所以△BFE≌△CDE(SAS)。 所以AE=BE-AB=6-4=2m。 所以∠BEF=∠CED,BE=CE。 所以斜梁增加部分AE的长为2m。 同理可证△ABE≌△ACE(SSS)。所以∠AEB=∠AEC。 第4章学业水平测试 所以∠BEF+∠AEB=∠CED+∠AEC。 1.B2.D3.B4.A 所以∠AEF=∠AED=108°÷2=54°。 5.A【解析】如图，过，点D作DE⊥AB。 因为∠FGE=180°-∠CFE-∠AEF=54°，所以FG=FE。 因为∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， 所以△EFG是等腰三角形。故选项说法正确； 所以DE=CD=3。 D.因为BE=CE,AB=AC,所以AE是BC的垂直平分线。 因为AB=10, 故选项说法正确。 11.212.6 所以△ABD的面积=2AB·DE=15。 13.90°【解析】因为△ABC与△ADC关于AC所在直线成 6.C【解析】如图，连接PA,PB,PC。 轴对称， 所以∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA。 又因为∠BAD+∠BCD=180°， P 所以∠BAC+∠BCM=2(∠BAD+∠BCD)=90°。 叵▣回 所以∠B=180°-（∠BAC+∠BCA)=90°。 ▣▣ 14.4:3【解析】如图，过点D作DMLAB于点M, DN⊥AC于，点N。 因为AD平分∠BAC, 所以DM=DN。 因为AB=8,AC=6, 所以S AABD:SAACD= (AB.DM):(分Ac.DNW =AB:AC=4:3。 15.C【解析】如图，作点B关于直线a的对称，点N,连接 AW交直线a于点C。故点P的位置应该在点C处。 D N 小斗总结 对称轴是两个对称点连线的垂直平分线，所以对称轴上的任 意一点到这两个对称点的距离都相等。 16.①②④【解析】因为△DAC和△EBC均是等边三角形， 所以AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°。 所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, 即∠ACE=∠BCD。 所以△ACE≌△DCB(SAS)。故①正确； 由①，得∠CEA=∠CBD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°。 所以∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°=∠BCE。 所以△BCN≌△ECM(ASA)。 所以CM=CN。故②正确； 假设AC=DN,即CD=DN, 所以△CDN是等边三角形，∠CDB=60°。 因为∠ACD=∠CDB+∠CBD=60°， 所以假设不成立。故③错误； 因为∠CBD+∠CDB=60°，∠DAE+∠CAE=60° 而∠CAE=∠CDB,所以∠DAE=∠CBD。故④正确。 17.解：因为两个四边形关于直线1对称， 所以a=5cm,b=4cm,∠H=∠C=90°， ∠F=∠A=80°，∠B=∠E=135°。 所以∠G=360°-∠H-∠E-∠F=55°。 18.证明：因为AB=AC,BD=CD, 所以AD是线段BC的垂直平分线。 因为点E在AD上，所以BE=CE。 19.解：(1)∠ABC的平分线如图所示。 D\ (2)如图，过点D作DH⊥AB于点H。 因为BD平分∠ABC,∠C=90°，DH⊥AB, 所以DH=CD=3。 所以△Ac的面积=S。w5w8C.C0+B:0H =7x3(Bc+MB)=7X3x16=24。 20.证明：(1)因为AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°， 所以∠BAD=∠CAD=7∠B4C=60。 因为AD=AB,所以△ABD是等边三角形。 (2)因为△ABD是等边三角形， 所以∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。 因为∠EDF=60°，所以∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠AD 即∠BDE=∠ADF。 LDBE=∠DAF, 在△BDE与△ADF中，BD=AD, ∠BDE=∠ADF, 所以△BDE≌△ADF(ASA)。所以BE=AF。 1.(1)解：因为11是边AB的垂直平分线， 所以AD=BD。 因为l2是边AC的垂直平分线，所以AE=CE。 因为△ADE的周长为8cm, 所以BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=8cm。 (2)证明：如图， 0 因为l1是边AB的垂直平分线，所以OA=OB: 因为l2是边AC的垂直平分线，所以OA=OC。 所以OB=OC。 (3)解：因为△OBC的周长为18cm, 所以OB+OC+BC=18cm。 因为BC=8cm,所以OB=OC=5cm。 因为OA=OB,所以OA=5cm。 2.解：(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)如图1，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点 DF⊥BC于点F。 因为BD平分∠EBF,所以DE=DF。 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， 所以∠DAE=∠C。 r∠DAE=∠C, 在△DEA和△DFC中，∠DEA=∠DFC, DE=DF 所以△DEA≌△DFC(AAS)。所以AD=CD。 D 图1 图2 (3)如图2，在BC上截取BK=BD,连接DK。 因为AB=AC,∠A=100°，所以∠ABC=∠C=40°。 因为BD平分∠ABC,所以∠DBK=分LABC=20。 因为BD=BK,所以∠BKD=∠BDK=8O°。 所以∠A+∠BKD=180°。 由(2)，得AD=DK。 因为∠BKD=∠C+∠CDK,所以∠CDK=40°=∠C。 由勾股定理，得AE2=AD2-DE2=AC2+CD2-(BD2-BE2)= 所以DK=CK。所以AD=CK。 AC2+BE2。 所以BD+AD=BK+CK=BC。 9.解：把圆柱体沿着AC所在直线剪开，得到如图所示的长 选做题 方形， 10【解析】如图，在BC上截取BE=AB,过点E作EF1 E. AB于点F,过点A作AG⊥BC于点G,则EF=AG。 因为AB=BE,BD平分∠ABC, 所以BD是AE的垂直平分线。 连接EM,EN,则AN=EN。 所以MN+AN=MW+EW≥EM≥EF。 所以MN+AW的最小值为EF的长。 则AB的长度即为所求的最短距离。 因为BC=12,S AABC=60, 根据题意可知，圆柱的高为40cm,底面周长为60cm, 所以AG=10。 所以AC=40cm,BC=30cm, 所以EF=10,即MW+AN的最小值为10。 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=402+302=502, 第5章考点梳理与复习 所以AB=50cm。 1.B2.A3.D4.C 答：蚂蚁沿侧面至少要爬行50cm路程才能吃到食物。 5.A【解析】A.因为82+162≠17， 10.解：(1)△ADC是直角三角形。证明如下： 所以不是直角三角形； 因为AE⊥BC,E是BC的中点， B.因为a2-b2=c2,所以a2=c2+b2。 所以AE垂直平分BC。所以AC=AB=30。 所以是直角三角形； 因为CD=16,AD=34,所以CD2+AC2=AD2。 C.因为a2=(b+c)(b-c),所以a2+c2=b2。 所以△ADC是直角三角形。 所以是直角三角形； (2)在Rt△ABE中，AB=30,AE=18。 D.设a=13n,则b=5n,c=12n。 由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=302-182=576=242。 因为(5n)2+(12n)2=(13n)2,所以b2+c2=a2。 所以BE=24。 所以是直角三角形。 因为AE垂直平分BC,所以BC=2BE=48。 6.C【解析】设AB=xcm,则AC=(x+2)cme 所以四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=8cm。 =30+48+16+34=128。 由勾股定理，得AB2+BC2=AC2,即x2+82=(x+2)2。 解方程，得x=15,即AB段的长度为15cm。 1解：(1)梯形8cD的面积为(a+b)(a+b) 7.D【解析】如图，过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于 点F。 ab宁，可以表示为 。 2 ab+ 因为CB平分∠ACD, 所以BE=BF。 2 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=20cm, (2)设AB=AC=x千米， AB=16cm。 由勾股定理，得BC2=AC2-AB2=202 则AH=AB-BH=(x-0.6)千米。 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=C+A, 162=144。 即x2=0.82+(x-0.6)2。 所以BC=12cm。 解得x≈0.83，即AC≈0.83千米。 因为SAuc=2AC·BF=2AB·BC, 所以AC-CH=0.83-0.8=0.03千米。 所以BF=1B·BC_16x12 所以，新路CH比原路AC少约0.03千米。 (3)因为AH=x,所以BH=AB-AH=21-x。 AC 20 9.6(cm)。 因为CH⊥AB,AC=10,BC=17,AB=21, 所以BE=BF=9.6cm,即，点B到CD的距离为9.6cm。 在Rt△ACH中，由勾股定理，得C=AC2-A 小斗总结 在Rt△BCH中，由勾股定理，得C=BC2-B, “等面积法”就是两种计算同一个图形的面积的方法，其面积 所以AC2-A=BC2-B,即102-x2=172-(21-x)2。 是相等的。 解得x=6,即AH=6. 8.证明：如图，连接AD。 所以C=102-62=64。所以CH=8。 12.C13.C14.B15.C 16.D【解析】因为x是5的算术平方根， 所以x=√5。所以x2-13=5-13=-8。 因为-8的立方根是-2， D B 所以x2-13的立方根是-2。 因为D是BC的中点，所以BD=CD。 17.C【解析】A√9=3，即3的平方根是±√3，故本选项结 在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB。 论错误； ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·61·