第3章 分式 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

第3章考点梳理与复习 考点一 分式及其基本性质 【训练目的】了解分式的概念，会求分式的值。理解分式有意义、无意义、值为0的条 件。归纳并掌握分式的基本性质，会利用分式的基本性质对分式进行变形。 1.下列各式是分式的是 A写 B T D 2.若代数式- 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 咖 A.x≠1 B.x≠0 C.x>0 D.x>1 3若分式-9 的值为0，则x的值为 2x+6 A.3 B.-3 C.±3 D.0 4根据分式的基本性质，分式4-可 ⊙可变形为 2x-3 2x-3 -3-2x 3-2x A.- B.- x-4 4-x C. D. x-4 5.下列等式成立的有 救 (( b1(3)2=0(4)% y+2 b+mb A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知分式2-4x+a x+2 ,当x=1时，分式无意义，则a的值为」 考点二 约分与最简分式 【训练目的】理解约分的依据，能对分式进行约分，理解最简分式的意义及特征。 7.若分式x-)(+2)可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是 ( (x2-A)x A.1 B.x C.-x D.4 8.下列各分式中，最简分式是 ( A 6(x-y) B.-a C.ty2 D.y 8(x+y) x-Y x2y+2 （x+y)2 考点三分式的乘法与除法 【训练目的】掌握分式的乘除法及乘方的运算法则，能运用法则进行分式的乘、除、 乘方的混合运算。 9.计算a÷】的结果为 A.0 B.1 C.a2 x3-% 料 10.计算分式2-2x+1 )的结果为单项式，则“( )”上填的式子可以是 A.1 B.1 x+1 C x+1 x-1 D 算-2一m的结果为，号则a的值为 1.若计算。 () A.-4 B.4 C.-2 D.2 12.计算号·（2 y的结果为 13.新素养〔运算能力〕计算： (1) x+3x+1 2-1`2+3x (2)-6y+9y22-6y x2-9y2x2+3xy 考点四分式的加法与减法 【训练目的】理解最简公分母和通分的意义，掌握分式的加减法法则，会进行分式的 加、减、乘、除、乘方的混合运算。 14下列三个分式的最简公分母是 “2x2'4(m-n)’x A.4x(m-n) B.2x2(m-n) D.4x2(m-n) “4x2(m-n） 15将分式与通分5 的分母变为(1+a)(1-a)2,则，2的分子变为 1-a A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a 16.在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评 价为 21 2 x+1 2 甲同学1x-1(x+1)(x-1)(x+1)(x-1 1 乙同学：2-1-1x+0(x-1)1 2-x+1 x+1 =(x+1)(x-1） =(x+1)(x-1)）(x+1)(x-1） =3- =2-x+1 x2-1° =3-x0 A.两人都错 B两人都对 C.甲对乙错 D.乙对甲错 n已知a=2-6,那么（分合（分合的值为 ,11、 18.新素养〔运算能力〕计算： Q a-1a-1; (1 (2)(24、、 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·11· 19,先化简，再求值：att30t2其中a=-5。 a+1a2-1a2-2a+1' 考点五分式方程 【训练目的】了解分式方程的概念，掌握分式方程的解法。了解产生增根的原因，会 检验方程的根。能根据实际问题中的等量关系列出分式方程并求解。 20.下列各式中，是分式方程的是 6x1 A. 2_1 B.x-2 C.y 1 “49=0 22x 25m D. 21.解方程 1,-2=3批 -1 ，去分母时，方程两边都乘(x-1)后的式子为 ( 1-x A.1-2=-3x B.1-2(x-1)=-3x C.1-2(1-x)=-3x D.1-2(x-1)=3x 22.关于x的分式方程x+2 =2的解为x=2,则α的值为 x-a A.0.5 B.1 C.1.5 D.2.5 23.对于关于x的分式方程2m+“-1=2 以下说法错误的是 x-3 A.分式方程的增根是x=0或3 B.若分式方程有增根，则m=-3 2 C若分式方程无解，则m7或m三3 2 D.分式方程的增根是x=3 24.如图是学习分式方程的应用时，老师板书的题目和两名同学所列的方程。 甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所 嘉嘉.600400 20。 用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天 400600 修路的长度。 淇淇： xx+20° 下列判断正确的是 A.嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B.淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度 C.甲队每天修路的长度为40米 D.乙队每天修路的长度为40米 25.为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘公交车。已知小李家距上班地点20km,他乘 公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12k。他从家出发到上班地 点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的号，小李乘公文车上班平均每小时行驶 () A.30 km B.36 km C.40 km D.46 km 26.解方程： (1)x= 2x 241 +1; x+13x+ (2) -2x2-4x+29 ·12. ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 主题情境全民健身运动请完成第27-28题 27.为落实全民健身国家战略，聚焦省委做实“有一种叫云南的生活”，全力打造新时代“昭通印象”，真正 让“在云南一样样好、在昭通一越来越好”成为新时代“昭通印象”的鲜明标志。昭通市人民政府 为丰富广大市民的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，于2024年12月15日在昭通体育中心体 育馆举行“博联经纪·2024昭通”马拉松，吸引世界各地1.2万名参赛选手齐聚昭通。某体育俱乐部 准备为学员制作如图所示的A,B两种纪念章。经了解，每枚A种纪念章比每枚B种纪念章多4元，用 1000元订制A种纪念章的数量与用800元订制B种纪念章的数量相同，求A,B两种纪念章的单价。 A纪念章 B纪念章 28.新素养〔模型观念〕在马拉松比赛举办前几天，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距 A地60k的昭通体育中心体育馆附近的旅馆，已知甲骑行的速度是乙骑行速度的1.2倍。 (1)若乙先骑行6km,甲才开始从A地出发，则甲出发1.5h恰好追上乙，求甲骑行的速度； (2)若甲、乙同时从A地出发，则乙到达昭通体育中心体育馆附近的旅馆比甲晚了40min,求甲骑行 的速度。 考点六分式与比 【训练目的】了解比的意义，会化简比。了解比例的意义，了解比例的基本性质。了 解成比例线段的意义。了解连比的意义。 29若3a=2b,则公的值为 5 A.3 B 2 3 30.若4是x和5的比例中项，则x的值为 5 6 B 4 C. D 31.已知a,b,c,d是成比例线段。若a=5cm,b=10cm,d=8cm,则c的长为 A.2.5 cm B.4 cm C.10 cm D.16 cm 32.已知只=6=c 23=4,且a+b+c=27,则a+6-c= 0 3.已知线段a,b满足。-，且a-26=6。 a 4 (1)求线段a,b的长； (2)若线段c是线段a,b的比例中项，求线段c的长。1 .1 j所以Saca=SaMc2Saac=2Sac。 所以面积为△ABC一半的是△ACD,△BCD,△ABE △CBE。 22.解：(1)因为∠ACB=90°，∠A=50°， 所以∠ABC=90°-∠A=40°。 因为BG平分∠ABC,所以∠CBG=20°。 B 因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD=90°。 18.证明：假设a∥b, 因为DG平分∠ADE,所以∠CDF=45°。 则根据两直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2=180°。 所以∠CFD=45°。所以∠G=∠CFD-∠CBG=25°。 这与已知矛盾， (2)∠A=2∠G。证明如下： 故假设不成立，a与b不平行。 因为BG平分∠ABC, 19.(1)证明：因为P是AB的中点，所以PA=PB。 所以∠ABC=2∠FBG=2∠ABG。 「∠A=∠B, 因为DG平分∠ADE,所以∠CDF=∠EDF。 在△APM和△BPN中，PA=PB, 因为DE∥BC,所以∠CFD=∠EDF。 L∠APM=∠BPN, 所以∠CDF=∠CFD。 所以△APM≌△BPN(ASA)。所以PM=PN。 设∠ABG=x,∠CDF=y (2)解：因为LA=50°， 因为∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD,即∠A+2x=2y。 所以当△APM是直角三角形时， ∠APM=90°或∠AMP=90°。 所以y=2∠A+。同理可得∠A+LABG=LG+LCDF。 当∠APM=90时，=∠APM=90°； 当∠AMP=90时， 2人A+。 所以LA+x=LG+y,即LA+x=∠G+ a=∠APM=180°-∠AMP-∠A=40°。 所以∠A=2∠G。 综上所述，当△APM是直角三角形时，α的度数为90° (3)证明：因为EF∥AD,所以∠DFE=∠CDF。 或40°。 由(2)知，∠CFD=∠CDF。 20.解：(1)因为∠A与∠B互为“友爱角”，∠A>∠B, 因为∠CFD=∠FBG+∠G。 所以∠B=分A,即人A=2∠B 1 所以LDFE=LFBG+LG=2LABC+LG。 在△ABC中，∠ACB=90°， 23.解：(1)90【解析】因为∠DAE=∠BAC, 所以∠A+∠B=2∠B+∠B=90°。 所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE。 所以∠B=30°。所以∠A=2∠B=60°。 rAB=AC, (2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”。理由如下： 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, 因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°。 LAD=AE. 在Rt△ACD中，∠A=60°， 所以△ABD≌△ACE(SAS)。所以∠B=∠ACE 所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=180°- 所以LACD=90-∠A=30°。所以∠ACD=2∠A。 ∠BAC=90°。 所以∠ACD与∠A互为“友爱角”。 (2)①同(1)，得∠BAD=∠CAE。 所以△ACD是“友爱三角形”。 [AB=AC, 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 在Rt△BCD中，∠B=30°， AD=AE. 所以∠BCD=90°-∠B=60°。所以∠B= 2∠BCD. 所以△ABD≌△ACE(SAS)。所以∠B=∠ACE: 因为∠BAC+∠B+∠ACB=∠BAC+∠ACE+∠ACB=18O°， 所以∠BCD与∠B互为“友爱角”。 所以x+B=180°。 所以△BCD是“友爱三角形”。 ②当点D在射线BC上时，如图1。 21.(1)证明：因为AD=AE,BD=CE, 同①，得△ABD≌△ACE(SAS),所以∠ABD=∠ACE。 所以AD+BD=AE+CE,即AB=AC。 所以B=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD= AB=AC, 180°-∠BAC=180°-a 在△ABE和△ACD中，{∠A=∠A, 所以a+B=180°； LAE=AD. 所以△ABE≌△ACD(SAS)。所以∠B=∠C。 (2)解：因为D是AB的中点， 1 所以AD=BD=2AB。所以SAACD=S△BCm= 由(1)，得△ABE≌△ACD, 所以SABE=SACD=2 SAABCO 图 图2 ·56· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2。 同①，得△ABD≌△ACE(SAS),所以∠ABD=∠ACE。 8e【得折1A品-不及系西分式： 所以B=∠BCE=∠ACE-∠ACB=LABD-LACB=∠BAC=a 选做题 B-t-(x+)--y,不走最简分式： x-Y X-Y C【解析】因为∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O, C.分式的分子和分母除1以外没有其他的公因式，是最 所以∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB 简分式： D. (x+y)2 (x+y)(x=2_x-义，不是最简分式。 (x+y)2 x+y 1 =90+21C。故①错误； 小斗总结 最简分式要求分子与分母除1以外没有其他公因式，当分式的 如图1，过点O作OM⊥AB于，点M。 分子与分母是多项式时，应当先把多项式进行因式分解。 因为BF是∠ABC的平分线，OD⊥BC, 所以∠ABF=∠CBF,∠BDO=∠BMO=90°。 9.C10.B11.D 因为OB=OB,所以△BDO≌△BMO(AAS)。 12. 所以0M=0D=1。 8y2 1 13解：(1)+3.+1 x+3 x+1 1 所以SA0=2AB·0M=7×4X1=2。故②正确； x2-1x2+3x(x+1)(x-1)x(x+3)x(x-1)9 (2)2-6y+922x-6g x2-9y2 x2+3xy H (x-3y)2 x(x+3y）x 0 (x+3)(x-3)）^2(x-3)2 14.D15.A B ED ED 16.A【解标)2.1 2 x+1 图1 图2 x2-1x-1(x+1)(x-1)(x+1)(x-1) 因为∠C=60°，所以∠A0B=120°。 2-x-1 1-x 1 所以∠A0F=60°。所以∠B0E=60°。 =(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)x+1 如图2，在AB上取一，点H,使BH=BE。 所以甲乙两人都错。 因为BF是∠ABC的平分线，所以∠OBH=∠OBE。 因为OB=OB,所以△OBH≌△OBE(SAS)。 7【解折因为a=2-6,所以a+6=2。 所以∠BOH=∠BOE=60°。 )(%b)=-ba2-6 所以∠AOH=∠AOB-∠BOH=60°=∠AOF。 b a ab ab 因为AE是∠BAC的平分线，所以∠OAH=∠OAF。 a-b ab 11 因为OA=OA,所以△OAH≌△OAF(ASA)。 ab (a+b)(a-b)a+b2 所以AF=AH。所以AB=BH+AH=BE+AF。故③正确； 如图1，过点O作ON⊥AC于点N。 1a-1=a（a*j(a-1 18解：(1)a a-1a-1 由②可知△B0M兰△BOD。所以OM=OD=a。 a2a2-1a2-a2+11 同理可得△AOM≌△AON(AAS)。所以ON=OM=a。 a-1a-1a-1a-1 所以S74B.0M:74C.0N+8C.0D (2)(2x、 x2x-x.(x+1)(x-1) （+1+7)2-1x+1 1 =2(AB+AC+BC)·a=ab。故④正确。 x,(x+1)(x-1D=g-1。 x+1 第3章考点梳理与复习 1.C2.B3.A4.A 19,解：1at2a2+3a+2 a+1a2-1a2-2a+1 5A《图糊108普大2： 1a+2 (a-1)2 2泽不浅 a+1(a+1)(a-1)(a+1)(a+2) 1a-1a+1-a+12 a+1(a+1)2-(a+1)2(a+1)2 2+w=1,等式不成立； (3) 1 y+2 当a=-5时，原式=，2 (-5+1)2-8 4于分等式不底立。 20.B21.B22.A 23.A【解析】方程两边都乘x(x-3),得 6.3 （2m+x)x-x(x-3)=2(x-3)。 7.C 整理，得(2m+1)x=-6。 若分式方程无解，则2m+1=0,解得m=)； 则a=2k,b=3k,c=4k。 因为a+b+c=27,所以2k+3k+4h=27， 若分式方程有增根， 解得k=3。所以a=6,b=9,c=12。 则x=0或x-3=0,即x=0或x=3。 所以a+b-c=6+9-12=3。 当x=0时，0=-6，无解； 33.解：(1)根据题意，得a=4b。 当x=3时，6m+3=-6,解得m=-3 因为a-2b=6,所以4b-2b=6,解得b=3。 29 所以a=12。 24.C【解析】由题意可知，嘉嘉是根据“乙队每天比甲队 (2)根据题意，得c2=ab=36。 多修20米”列的分式方程，淇淇是根据“甲队修路400 因为c>0,所以c=6。 米与乙队修路600米所用的时间相等”列的分式方程， 第3章学业水平测试 所以y表示的是甲队修路400米（或乙队修路600米） 1.B2.D3.D4.B5.C 所用的时间，x表示的是甲队每天修路的长度。 6D【解析】方程两边都乘(x+2)(x-2),得 根据淇淇所列方程求出x=40(已检验)， m-2(x-2)=x+2。 所以，甲队每天修路的长度为40米，乙队每天修路的长 整理，得m=3x-2 度为60米。 因为分式方程有增根， 25.B【解析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶xkm。 所以(x+2)(x-2)=0。所以x=±2。 g20_20×4 当x=2时，m=3×2-2=4； 根据题意，得 xx+123° 当x=-2时，m=3×(-2)-2=-8。 解方程，得x=36。 7.C【解析1P=x+2)(x-2). 经检验，x=36是原分式方程的解。 x-2x+2。 26.解：(1)方程两边都乘3(x+1),得 A.因为x≠2，所以P≠4。故本选项说法错误； 3x=2x+3(x+1)。 B.因为x≠0，所以P≠2。故本选项说法错误； 解方程，得x=-1.5。 C.当x=-2时，P=0,故本选项说法正确； 检验：当x=-1.5时，3(x+1)≠0。 D.因为x的值越大，P的值越大， 所以原方程的解是x=-1.5。 所以P不存在最大值。故本选项说法错误。 (2)方程两边都乘(x+2)(x-2),得 xy xy'+x'y xy 2(x+2)-4=x-2。 8D【解析】A-2yty x-y X2-y(x-y）22+ 解方程，得x=-2。 +)子计算正确： y.（x-y)(x+y）_1 检验：当x=-2时，（x+2)(x-2)=0。 (xy)2 因此x=-2不是原方程的解。 所以原方程无解。 （2)=9.8=2。计算正确： B.(32·347"2739 27.解：设B种纪念章的单价为x元。 根据题意，得1000800 C..-1x(x+1.(+1)x-1) =x。 x2+2x+1x-1(x+1)2 x-1 x+4 x 计算正确； 解方程，得x=16。 经检验，x=16是原分式方程的解。 D.2-y.1 因为x+4=16+4=20 202yy。计算不正确。 所以，A种纪念章和B种纪念章的单价分别为20元和 9.D 16元。 10.A【解析】设两台汽车的续航里程为x千米。 28.解：(1)设乙骑行的速度为xkm/h。 根据题意，得40x9_60x0.6+0.54。 根据题意，得1.5×1.2x=1.5x+6。 解方程，得x=20。 解方程，得x=600。 因为1.2x=1.2×20=24 经检验，x=600是原分式方程的解。 所以，甲骑行的速度为24km/h。 11.x≠0.512.12x+2y (2)40min=号h。设乙骑行的速度为ykm/h 13}【解析】因为的号 a+b5, 根据题意，得6060-2 所以5(a-b)=3(a+b)。 y1.2y39 bb 1 所以a=4b。所以 解方程，得y=15。 a4b4° 经检验，y=15是原分式方程的解。 因为1.2y=1.2×15=18 43或-7【解折】因为+行28， 所以，甲骑行的速度为18km/h。 所以(a+2=a2+2+-25。所以a+=±5。 29.C30.D31.B 323【解折]设号-台号=北， 当a+=5时，a+】2=5-2=3 a a 当a+=-5时a+日2=5-2=-7， 根据题意，得250=1500x2.5。 m-5 m 15.3小斗提示：分式方程的解，应当使原分式方程的最简公分母 解方程，得m=15。经检验，m=15是原方程的解。 不等于0，否则不是原分式方程的解。 所以，每个敖丙玩偶的进价为15元。 【解析】解关于x的分式方程61，得x= 3 1 【解析】产+5+4+1 1 x-3 m-1 22.解：(1)①1+ x+4 x+4*+41+ +4 因为原分式方程的解为整数，m为整数， 1 所以m-1=±1或±3 【解标24+12x(x-2）+12 m-3,m-1≠0。 2号 x-2 x-2 所以m=0,4或-2。 (2)2x+32(2+1+5 5 -2+ x2+1 x2+1 2x2+1° 所以整数m的值有3个。 因为x2≥0，所以x2+1的最小值为1。 16.400【解析】设旅行社原来门市报价为每人x元。 根据题意，得1280011520 所以5的最大值为5。所以2x+3的最大值为3。 x2+11 x2+1 x-400 8x 12-2x 解方程，得x=400。 (3)y=p12+212(x+2)3(x+2) 经检验，x=400是原分式方程的解。 -2(x+2)+162,16 17.解：(1)（￥）·()2=.-). 3(x+2)3t3(x+2)° y x y y t2x。 因为x,y均为非零整数， (2)1x+2).x=·1·-11 所以当x=-3时，y=-6,此时x灯=18； x+2x-1x+2x+2x2+4x+41 当x=-6时，y=-2,此时xy=12; 18,解：(24+2)之 当x=-18时，y=-1,此时xy=18。 x2-1x2-2x+1x+1 综上所述，xy的值为18或12。 选做题 =[ 2x(x+1)x(x-1].+1 (x+1)(x-1)(x-1)2 7m+3 1 D【解析】将方程x+ +2转化为 1 2xx).+1=x.+1_+1 x-1x-1 x x-1 x x-19 (m+2)+1 1 (x-1)+ 因为x2-1≠0，x≠0，所以x≠±1，x≠0。 x-1 +29 当=2时原式 1 因为方程x+二=m+二的两根分别为m, m m 19.解：(1)小丁：(×)；小迪：(×)。 所以x-1=m+2,x-1= 正确的解法如下： m+29 方程两边都乘(x-2),得x+(x-3)=x-2。 所以x=m+3,x= m+3 去括号，得x+x-3=x-2。 m+29 移项、合并同类项，得x=1。 期中综合水平测试 检验：当x=1时，x-2≠0。 1.C2.C3.B4.C 所以原方程的解是x=1。 值为0， 20解：1设号台后 5.C【解析】A若分式-4 x-2 则x2-4=0,x-2≠0，解得x=-2。故本选项说法错误； 则a=2k,b=3k,c=5k。 所以2a+36-5e_46+9%-25k-12%12 B.- x2-9y2 （x+3y)(x-3y）_x+3y 2-6xy+9y2 (x-3y)2 x-3y a-2b+3c2k-6k+15k-11k-11 故本选项说法错误； (2)因为2a+b+3c=44, c.4)+4y)2_16m2+16y42+y2) 所以2×2k+3k+3×5k=44。解得k=2。 4x+4y 4x+4y x+y 所以a=4,b=6,c=10。 故本选项说法正确； 21.解：(1)设商家购买哪吒玩偶花费x元钱，购买敖丙玩 D.最简公分母是ab(x-y)。故本选项说法错误。 偶花费y元钱。 6.C7.B8.A 根据题意，得+=4000， 9.C【解析】因为设实际每天铺设管道x米， 1x=2y-500。 所以(x-5)表示原计划每天铺设管道的长度。 解方程组，得=2500， 20002000 又因为方程为 y=1500。 =10, x-5 x 所以，商家购买哪吒玩偶花费2500元钱，购买敖丙玩 所以实际比原计划少用10天。 偶花费1500元钱。 所以题中用“…”表示的缺失的条件应补为每天比原 (2)设每个敖丙玩偶的进价为m元。 计划多铺设5米，提前10天完成。 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·57.