第一章 勾股定理 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

间的距离是5cm, 合题意；由勾股定理和正方形的面积公式，得⑦⑨的面 所以BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=20cm。 积和等于③的面积，⑧⑩的面积和等于④的面积，所以 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=102+252=725; ④⑦⑨的面积和等于①的面积，③⑧⑩的面积和等于① 的面积。故C,D不符合题意；由条件不能证明②⑤⑥的 面积和等于①的面积。故B符合题意。 6.D小斗提示：作高构造直角三角形，借助等腰三角形的性质求解。 【解析】如图，过点A作AE⊥BC, 垂足为E。 D B 图2 图3 因为AC=AD,CD=4, D 如图3，把长方体的上表面剪开，与后面这个侧面所在 所以DE=2CD=2,∠ABD=90。 的平面形成一个长方形，标注点D。 因为BD=5,所以BE=BD+DE=5+2=7。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 在Rt△ADE和Rt△ABE中，AB2-BE2=AD2-DE2, 间的距离是5cm, 所以x2-72=y2-22。所以x2-y2=45。 所以AC=CD+AD=10+20=30(cm),BC=5cm。 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC=302+52=925。 7.B【解析】如图，连接AC。 B 因为∠ABC=90°，AB=9m, 因为625<725<925， BC=12 m, 所以蚂蚁爬行的最短距离是25cm。 所以AC2=AB2+BC2=92+122=225。 第一章学业水平测试 所以AC=15m。 1.B 因为CD=8m,AD=17m, 2D【解析】根据题意，得S=(a+b6)(a+b),S=b+ 所以AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289。 b+，所以(a+6)(a+6)=b+ab+ 1 所以AC2+CD2=AD。所以△ACD是直角三角形。 所以∠ACD=90°。 整理，得a2+b2=c2。 所以Sn是n=S+Sm=)AB·BC+ 2AC·CD= 3.C【解析】根据题意，得AD=AB=17,AH=8,∠AHD=90°， 所以D=AD2-A=172-82=225。所以DH=15。 分×9x12+7x15x8=54+60=14(m)。 所以EH=DH-DE=15-8=7。 所以这块菜地的面积为114m2。 所以正方形EFGH的边长是7。 …小斗总结… 4.C小斗提示：折叠前后对应角相等，对应边相等。 借助勾股定理求四边形的面积，通常连接对角线，把四边形分 【解析】根据题意，得BE=DE。 成两个三角形。 因为AD=9cm=AE+DE=AE+BE,所以BE=9-AE。 8.A【解析】如图，将长方体的侧面沿AB展开，取AB的 根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2, 中点C',取A'B'的中点C,连接B'C',AC,则AC+B'C'即 所以32+AE2=(9-AE)2,解得AE=4。 为所求的最短彩条长。 所以△ABE的面积为3×4÷2=6(cm2)。 B B 5.B【解析】如图，设②的三边 @ 长分别为a,b,c,则③的面积 ⑨ 、⑥ 为a2,④的面积为b2,①的面 ⑧ 6 积为c2。由勾股定理，得 ② 根据题意，得A'C=B'C=4.5,AA'=20, a2+b2=c2,所以③④的面积 根据勾股定理， ① 和等于①的面积。故A不符 得4C=M+AC=-202+()=( 60· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 所以AC=引。同理可得BrC- 14.60小斗提示：解题的关键是确定0，P,Q三点共线时点P到 点A的距离最小。 所以AC+B'C'=41,即彩条的最短长度是41。 9.A【解析】因为BD⊥CE,所以∠BDC=90°。 【解析】如图，当O,P,Q三点共线时，点P到点A的距 由勾股定理，得CD2=BC2-BD2=152-122=81, 离最小。 所以CD=9m。 0 如图，设风筝沿CD方向下降4m至，点M,连接BM, Q A B 在Rt△A0P中，0A=80cm,0P=125-25=100(cm), D 由勾股定理，得AP2=0P2-0A2=1002-802=602, A 所以AP=60cm。 则CM=4m,所以DM=CD-CM=9-4=5(m)。 所以，点P到点A的最小距离为60cm。 所以BM2=BD2+DM2=122+52=132。 所以BM=13m。 15.4或3 小斗提示：本题答案不唯一，应注意分类讨论。 所以BC-BM=15-13=2(m), 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2= 即松松应该往回收线2m。 82+62=100,所以AB=10。 …小斗总结… 如图1，当AB=BD=10时， 解决此类问题的关键是从实际问题中建立直角三角形模型， 则CD=BD-BC=10-6=4; 借助勾股定理列式计算。 10.C【解析】如图，过点A作AE⊥ BC于，点E。 因为AB=AC=5米，BC=8米， ED 所以BE=0E=2BC=3x8=4(米)。 D D C 图1 图2 在Rt△ABE中， 如图2，当AD=BD时，设AD=BD=x,则CD=x-6。 由勾股定理，得AE2=AB2-BE2=52-42=9, 在Rt△ACD中，AD2=CD2+AC2, 所以AE=3米。 即-(-6)2+8，解得x=匀。 由题意可知，AE≤AD<AC,即3米≤AD<5米， 故这根木头的长度可能是4米。 所以C0-曾-6=号· 7 11.直角 12.南偏东60°【解析】甲的路程为400×15=6000(m), 餘上，CD的长为4或号。 乙的路程为400×20=8000(m)。 16.解：在Rt△ABC中，AB=25米，AC=7米， 因为60002+80002=100002， 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=252-72=242。 所以△ABC为直角三角形。所以∠BAC=90°。 所以BC=24米。 因为甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， 答：滑雪台水平距离BC为24米。 所以乙客轮的航行方向是南偏东60°。 17.解：(1)设AD=xcm,则AB=AC=(x+3)cm。 13.20【解析】因为两船行驶的方向分别是东北方向和东 因为CD LAB,所以∠CDA=90°。 南方向， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2+CD2=AC2, 所以∠BAC=90°。所以△ABC为直角三角形。 即2+4=(：+3)解得x=名。 根据勾股定理，得BC2=AB2+AC2=162+122=400, 所以BC=20海里。所以两船之间的距离是20海里。 所以AD的长为名cm (2)由(1)可知，4AB=AC-名+3-2爱(cm)。 得∠AED=90°，根据点到直线的距离解答即可。 解：(1)根据题意可知，∠ABE=∠DBE=90°。 因为CD⊥AB, 在Rt△DBE中，DE=150米，BE=120米， 所以S AABC= 2 6 由勾股定理，得BD2=DE2-BE2=1502-1202=902, 所以△4BC的面积为苧cm。 所以BD=90米。 所以AB=AD-BD=250-90=160(米)。 18.小斗提示：建立直角三角形模型，借助勾股定理求解。 所以AE2=AB2+BE2=1602+1202=2002。 解：如图，设BB'与长方形的宽的交点为C。 所以AE=200米。 因为AB=1米，AC=0.8米， R 所以两人的总路程为200+150=350（米）。 米 ∠ACB=90° (2)因为DE2+AE2=1502+2002=62500, 所以BC2=AB2-AC2=12-0.82 AD2=2502=62500, 2.3米 =0.36。 所以DE2+AE=AD2。所以∠AED=90°。 A B 所以BC=0.6米。 一2米 因为DE=150米， 所以BB'=BC+B'C=0.6+2.3=2.9(米)。 所以面馆D到公路AC的距离为150米。 因为2.9米<3米， 22.解：(1)因为AC⊥BD,所以△AB0是直角三角形。 所以不能通过。 所以AB2=A02+B02。 19.解：(1)(a+b)24×2ab+2.2+8=d 同理可得BC2=B02+C02,CD2=C02+D02,AD2= A02+D02。因为A0=2,B0=3,C0=4,D0=5, (2)能。理由如下： 所以AB2=13,BC2=25,CD2=41,AD2=29。 题图2中大正方形的面积为(a+b)2,两个小正方形的 (2)由(1)，得BC2+AD2=(B02+C02)+(A02+D02) 面积之和为(a+b)2-2ab=a2+b2;题图1中小正方形 =(B02+A02)+(C02+D02)=AB2+CD2。 的面积为(a+b)2-4×2ab=d2+82=2, 因为AB=6,CD=10,所以BC2+AD2=62+102=136。 (3)“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 所以题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中 选做题 小正方形的面积，用关系式可表示为a2+b2=c2。 2026【解析】由勾股定理知，“生长”1次，“生长”出的两 20.解：(1)分别测量AB,BC和AC的长度， 个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面 若AB2+BC2=AC2,则△ABC是直角三角形，∠ABC= 积和为2；“生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和等 90°，即AB⊥BC。 于第1次“生长”出的两个正方形的面积和，所有正方形的 (2)如图，将长方体的表面沿前面和右面剪开，得平面 面积和为3：…经过次“生长”后形成的图形中所有正 图形，则AE为蚂蚁爬行的最短路径。 方形的面积和是n+1。所以经过2025次“生长”后形成的 图形中所有正方形的面积和是2026。 80 cm 第二章考点梳理与复习 1.B B 80 cm C 70cm 2.-π-1【解析】因为圆的直径为1， 在Rt△ABE中，AB=80cm,BE=80+70=150(cm)。 所以圆的周长为T×1=T。所以AB=T。 由勾股定理，得AE2=AB2+BE2=802+1502=28900, 所以x的值为-T-1。 所以AE=170cm。 3.①②④⑥⑦③⑤⑧ 所以蚂蚁爬行的最短路程是170cm。 4解：(1)4.5的相反数是-45，绝对值是45，倒数是号。 21.小斗分析：(1)根据勾股定理求出BD的长，进而求出AB的长， 利用勾股定理求出AE的长。(2)根据直角三角形的判定方法 (2)一寻的相反数是，绝对值是子倒数是一骨。 (3)-2号的相反数是2号，绝对值是23，倒数是 (2)由(1)，得m=√2-1， 3 所以(m-√2)2=(2-1-√2)2=1。 0 所以(m-√2)2的平方根为±1。 5.解：如图，作Rt△ABC,使AC=3,BC=1,∠ACB=90°，以13.B 点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D, 14.解：(1)因为√35<√36，所以√35<6。 则点D表示的数为c。 (2)因为-25>-27，所以/-25>-3。 15.解：(1)因为4.452<20<4.502， A D -10 所以√20结果精确到0.1为4.5。 (2)因为9.53<900<10.03， 一小斗总结 用数轴上的点表示无理数的一般步骤：在数轴上表示无理数α 所以900结果精确到1为10。 (a>0)或-a,一般以原点作为锐角顶点，以单位长度作为一 (3)因为5.702<32.5<5.752， 条直角边长，另一直角边在数轴上，作斜边为α的直角三角 所以√32.5结果精确到0.1为5.7。 形，再以原点为圆心，α为半径画弧，得到与数轴的正半轴或负 (4)因为5.03<155.2<5.53， :半轴的交点即可。 所以155.2结果精确到1为5。 6.D7.A 16.解：问题初探：在Rt△ACB中，AB=26m,BC=10m, 8.3+√5 所以AC=√AB2-BC=√262-102=24(m)。 9.不够【解析】设长方形的纸的长和宽分别为3xcm和 答：消防员达到救火的高度AC的长为24m。 2x cmo 实践探究：云梯到达高25m的墙头，即A'C=25m,移 根据题意，得3x·2x=180, 动后云梯记为A'B′=AB=26m。 解得x=√30或x=-√30（舍去）。 在Rt△A'CB'中， 所以纸的长约为3√30≈16.5(cm),宽约为2√30≈ B'C=√A'B2-A'C2=√/262-252=√51(m)。 11(cm)。 55÷16.5≈3.3,11÷5=2.2。 因为云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的子， 所以一张长方形的纸不够用。 所以云梯底端离墙的最小距离为片。 10.24【解析】设这个长方体的长、宽、高分别为5xcm, 204、/169_13 3x cm,2x cm 因为5所=√4>/4=2， 根据题意，得5x·3x·2x=120,解得x=4。 所以云梯的顶端能到达25m高的墙头去救援被困 所以这个长方体的高为24cm。 人员。 11.解：(1)当h=125米时， 17.C18.D 19.D【解析】因为a=√5，b=√1， 答：落到地面需要5秒。 22a2 22×(32 所以 b2 V（√1)2 22x3=6。 =N11 (2)当4=2秒时√-2解得A=20。 20.解：(1)因为√0.09的被开方数0.09>0， 答：物体下落前离地面20米。 所以√0.09是二次根式。 12.解：(1)因为表示1和√2的对应点分别为A,B, (2)因为√-33的被开方数-33<0， 所以AB=√2-1。 所以√-33不是二次根式。 因为点B到点A的距离与点C到原点的距离相等， (3)分情况讨论： 所以OC=AB=√2-1。所以点C所表示的数为√2-1。 当√x-2的被开方数x-2≥0，即x≥2时， 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·61·第一章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是 A.32,42,52 B.6,8,10 c45 D.7,12,13 办 2.两个边长分别为α，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用 两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为 A.(a+b)2=c B.(a-b)2=c2 C.a2-b2=c2 D.a2+b2=c2 ① ⑨ ⑥ ⑧ H ⑦ ③ ④ ② G ① e 9 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.新考法〔数学文化〕如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接 而成。若AB=17,AH=8,则正方形EFGH的边长是 ( A.5 B.6 C.7 D.8 4.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则 △ABE的面积为 A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们 的面积之和恰好等于①的面积，下列给出的方案中，错误的是 A.③④ B.②⑤⑥ C.④⑦⑨ D.③⑧0 6.如图，在△ABC中，AC=AD,BD=5,CD=4,记AB长为x,AC长为y。当x,y的值发生变化时，下列代 量 数式的值不变的是 A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-v2 B B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m, 且∠ABC=90°，这块菜地的面积是 () A.48m2 B.114m2 C.122m2 D.158m2 游 8.如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为5，高AB为9。在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌 入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度为 A.41 B.50 C.9 D.29 9.新情境〔实际情境〕松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE,测得如下数据： ①BD⊥CE,且BD的长度为12m;②风筝线BC的长度为15m;③松松身高AB为1.6m。若松松想 使风筝沿CD方向下降4m,则他应该往回收线 () A.2 m B.5 m C.5.4m D.3.6m B D C 第9题图 第10题图 10.新考法〔跨学科〕杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝 望。如图是一个茅屋的屋顶剖面，它是等腰三角形，如果屋檐AB=AC=5米，横梁BC=8米，那么 从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头的长度可能是 () A.2.5米 B.6米 C.4米 D.8米 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.一个三角形的三边之比为8：15：17，这个三角形是 三角形。 主题情境航行中的勾股定理请完成第12~13题 12.如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口A,航行的速度都是400m/min,甲客轮用15min到达点B,乙客 轮用20min到达点C。若B,C两点的直线距离为10000m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则 乙客轮的航行方向是 北 北 南 南 第12题图 第13题图 13.原创题如图，甲船从港口A出发向东北方向航行16海里到达B地，乙船同时从港口A出发向东南方 向航行12海里到达C地，此时两船之间的距离是 海里。 14.如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径0Q=25cm,用长 为125cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨 盘绕点O转动，OA⊥AB,OA=80cm。在磨盘转动过程中，点P到点A的最小距离为 cm。 0 P B 图1 图2 15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为腰的等腰三 角形时，CD的长为 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·3 三、解答题（本题共7个小题，共55分） 16.(6分)如图是某滑雪台的截面示意图，已知滑雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则 滑雪台水平距离BC为多少米？ A B 797777777777777777777分777 17.(6分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,CD⊥AB,且CD=4cm,BD=3cm。 （1)求AD的长； (2)求△ABC的面积。 D 18.(8分)某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的长方形，上方是半径为1米的 半圆形。货车司机小王开着一辆高为3米、宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入该工厂大门？ 请说明你的理由。 1米 B A 米80 2.3米 A B 一2米 19.(8分)将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长α， b,c之间的关系吗？试试看。 (1)大正方形的面积可以表示为 ,又可以表示为 ,从而可得到 (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法验证勾股定 理吗？ e 图1 图2 20.（8分)新情境〔实际情境〕综合与实践：如图，某校园有一尊孔子雕像。 (1)孔子雕像底座正面是四边形ABCD,现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方案检测雕像底座 正面的边AB是否垂直于边BC; 4· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 (2)若孔子雕像底座是个长方体，量得边AB=BC=80cm,边CE=70cm,一只蚂蚁从顶部点A沿长 方体的表面爬到底部点E,蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 21.(9分)如图为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B,D分别为便利店和面馆，E为公路边 的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A,D之间距离为 250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离 DE长为150米。 (1)若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆D到公路AC的距离。 北 十东 公路 B便利店 E公交站牌 C D面馆 22.(10分)对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角 邦 线AC,BD交于点O。 (1)若A0=2,B0=3,C0=4,D0=5,请求出AB2,BC,CD2,DA2的值； (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值； (3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论。 D 0 B 选做题 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正 方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形。 如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，那么“生长”了2025次 后形成的图形中所有正方形的面积和是 0 勾股树 图1 图2