第一章 勾股定理 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第一章考点梳理与复习 考点一 勾股定理 【训练目的】掌握勾股定理的内容，能运用勾股定理由已知两边长求第三边长（仅限 于勾股数)。 1.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 64 36 训 A.25 B.49 C.81 D.100 2.新考法〔数学文化〕我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与 证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角 形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角 形的两条直角边长分别为m,n,则mn= 救 第2题图 第3题图 3.原创题小智在11×12的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中画出了如图所示的图形，根据图形 猜想钝角三角形三边长a,b,c满足关系：a2+b2 c2。(填“>”“=”或“<”) 量 4.用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中 四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c。 (1)请利用图1验证：a2+b2=c2; (2)如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH,若该图 形的周长为80，OB=5,求该图形的面积。 B 拼 图1 图2 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4,则AB2-BC2等于 A.4 B.16 C.20 D.25 6.已知一个直角三角形的两条边长分别为5和13，则第三边的平方是 A.12 B.169 C.144或194 D.144或169 7.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB,BD⊥CD,AD=3,AB=4,BC=13,求四边形ABCD的面积。 B 4 13 3 D 考点二直角三角形的判定 【训练目的】掌握勾股定理的逆定理，认识并准确识别勾股数。 8.下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是 A.4,5,6 B.6,8,9 C.7,24,25 D.9,37,38 9.下列各组数，是勾股数的是 A.1,2,3 B.0.3,0.4,0.5 C.13,14,15 D.8,15,17 10.已知两条线段的长分别为15和8，则当第三条线段的长取整数 时，这三条线段能组成一个 直角三角形。 11.一个三角形的三边长分别为15,20,25，则这个三角形最长边上的高为 12.如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上。试 说明：∠ABC=90°。 'K 13.新情境〔实际情境〕在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷。如图是搭建帐篷的示意图。 在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD⊥BC于点D,经测量得AB= 2m,AD=1.2m,CD=0.9m。按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角，请通过计算说明学 生搭建的帐篷是否符合条件。 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·1· 14.已知a=2n,b=n2-1,c=n2+1。 (1)当n=2时，则以a,b,c的值为三边长的三角形面积为 (2)小斗猜想：当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数，你认为小斗的猜想正确吗？请说明理由。 考点三勾股定理的实际应用 【训练目的】能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题。 15.新情境〔实际情境]如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，AC=12米，BC=9米。为了避 免行人继续踩踏草坪（走线段AB),小梅分别在A,B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是 () 少走？米， 踏之何忍！ A.3 B.4 C.5 D.6 主题情境梯子靠墙请完成第16~17题 16.原创题如图，小斗把一架2.5m长的梯子AB,斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C 的距离为1.5m,则梯子的顶端距地面 D hgBn 第16题图 第17题图 17.原创题如图，小斗把这架梯子挪动了一下角度，使得梯子的顶端上升了0.4，则梯子底部向墙边滑 行了 mo 18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船 到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米。 8米 A ·2· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 19.某村有如图示的一条笔直公路AB,水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水， 拟从C处铺设水管到公路上。已知AB=200米，AC=160米，BC=120米。 (1)求∠ACB的大小； (2)求铺设水管的最小长度。 B 考点四解决问题的策略：反思 【训练目的】加深对问题以及解决问题的思路、策略与方法的理解，从而形成更加深 刻的解决问题的经验，提高解决问题的能力。 20.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆 柱”而城，中间可供指行部分的装面是直径为9m的半例，其边缘AB=C0=20m,点E在CD上， CE=5m,一个滑板爱好者从点A滑到点E,则他滑行的最短距离为 A.25m B.24m C.26m D.8T m 40 C T 20 第20题图 第21题图 21.如图，某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的三棱柱型灯笼，在灯笼的侧面上，从顶点A 到顶点A'缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为40cm,底面边长为10cm,则这一圈彩带的长度至少为 cm。 22.如图，长方体的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点B与点C之间的距离是5cm,一只蚂蚁沿着 长方体的表面从点A爬到点B,求蚂蚁需要爬行的最短路程是多少。 5 cm ⊙ 20 cm A 10cm 15 cm参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第一章考点梳理与复习 8.C【解析】因为42+52≠62,62+82≠92,92+37≠ 在R△ADB中，AB=2m,AD=1.2m, (2)当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小。 1.D 382,72+242=252,所以选项A,B,D不能组成直角三角 所以BD3=AB-AD2=22-1.22=2.56 因为Sc=号4B:CD=24C·BC, 2,12小斗提示：街助大正方形的面积和勾股定理可得m2+=5。 形，选项C能组成直角三角形。 所以BD=1.6m。 小斗总结 所以AB·CD=AC·BC。 【解析】周为大正方形的面积是25， 所以BC=BD+CD=1.6+0.9=2.5(m)。 判断三条线段首尾相莲能否组成直角三角形，关键看两条较 所以200CD=120×160,解得CD=96: 所以根撼勾股定理，得m2+n2=25。 因为AB+AC=22+1.52=6.25,BC=2.5=6.25, 短线段长的平方和是否等于最长线段长的平方。 所以AB+AC=BC。 所以铺设水管的最小长度为96米。 因为小正方形的面积是1，即(m-m)2=1, 20.A小提示：立体图形剪开转化为平面图形。 所以m2-2mm+n2=1。所以25-2mn=1。 9,D小斗提示：满足2+=的三个正整数是勾股数。 所以△ABC是直角三角形.∠BAC=90」 所以2mn=24,解得mn=12。 【解析】因为12+2≠32：0.3,0.4,0.5不是整数： 所以学生搭建的帐篷符合条件。 【解析】将U型泡展开如图。 3.<【解析】根据勾股定理，得a2=22+22=8,b2=32 132+142≠152,82+152=172，所以选项A,B,C都不是 14.解：(1)6【解析】当n=2时，a=4,b=3,c=5。 报搭题意，可知A0=:·20=20(m) 9,c2=52+22=29。 勾殿数，选项D是勾股数。 因为32+4=5，所以以a,b,c的值为三边长的三角形 AB=CD=20 m, 周为8+9<29，所以a2+b2<e2。 10.17【解析】当15为直角边长时，设斜边长为x,则152+ 是直角三角形，面积为行×3×4=6。 DE=CD-CE=20-5=15(m)a 4.解：(1)SE方8=(6-a)2=d2-2ab+b, 8=x2,解得x=17;当15为斜边长时，设另一直角边长 根据均股定理，得AD+DE=AE 为，则152=82+x2,解得x2=161,所以x不是整数 (2)小斗的猜想正确。理由如下： 5Es=2-4x2b=-2ab, a2+b2=(2m)2+(n2-1)2=4n2+n-2n2+1=n+ 所以20+152=AE,解得AE=25(负值舍去)。 所以第三条线段的长为17。 所以a2-2ab+b2=c2-2ab。所以a2+b2=c2。 11.12小斗提示：先判定三角形是直角三角形，再根据面积法求 2n2+1,c2=(n2+1)2mn+2n2+1,所以a2+b=c2 所以他滑行的最短距离为25m。 21.50【解析】如图，将三梭柱沿A4'展开 (2)根据题意，得AB+BC=80÷4=20.0H=0B=5。 所以当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数。 斜边上的高。 设AH=BC=x,则AB=20-x,OA=5+x。 所以小斗的猜想正确。 【解析】如图，过点C作CD⊥AB于 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA+OB2=AB2」 15.D【解析】周为AC=12米，BC=9来， 点D。 即(5+x)2+52=(20-x)2,解得x=7。 所以AB2=AC2+BC=122+9=225 图为AC2+BC2=152+202=625 40 cm 所以该图形的面积为2×5×12×4=120。 所以AB=15米 AB2=252=625 根摇约股定理，得M2=302+402=50 所法AC+BC-AB=12+9-15=6(米)。 所以M'=50em。 5.B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以AC2+BC2=AB」 16.2 所以这一圈彩带的长度至少为50cm 所以AB是斜边，AC和BC是直角边。 所以∠C=90°。 17.0.8【解析】由题意如，AB=DE=2.5m.CD=2.4m。 22.解：如图1，把长方体的右侧表面剪开，与前面这个侧面 由勾股定理可得AB-BC2=AC。 周为Sam=4C·BC=2AB·CD,所以AC·BC= 在Rt△CDE中，CE为直角边， 所在的平面形成一个长方形，标注点D。 因为AC=4,所以AB2-BC=AC2=16。 AB·CD。所以15×20=25CD.解得CD=12 所以CE2=DE-CD2=2.52-2.42=0.7 6.C小斗提示：13可能是直角边的长，也可能是斜边的长。 所以这个三角形最长边上的高为12 所以CE=0.7m。 【解析】当第三边是直角边时，第三边的平方是132- 图为BC=1.5m,所以BE=BC-CE=L.5-Q7=Q8(m): 52=144:当第三边是斜边时，第三边的平方是52+ 12.小斗提示：先根据勾股定理计算三边长的平方，再极据直角三角 所以梯子底部向墙边滑行了0.8m。 132=194。 形的判定方法判定三角形是直角三角形。 18.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， 7.解：根据题意，得∠A=∠BDC=90°。 解：因为△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中， 所以AB=BC2-AC=172-82=225。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 因为AB=4,AD=3, 所以AB=12+12=2,AC=32+12=10,BC=22+2=8。 所以AB=15米。 间的距离是5cm, 所以BD3=AD2+AB=32+43=25。所以BD=5。 所以AB+BC2=AC。所以△ABC是直角三角形。 因为CD=10米，所以AD=CD-AC2=102-82=36 所以BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20cm。 又因为BC=13, 所以∠ABC=90°。 所以AD=6米。所以BD=AB-AD=15-6=9(米)。 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=152+202=625 所以CD=BC2-BD=132-53=144。所以CD=12。 13.解：学生搭建的帐篷符合要求。理由如下： 所以船向岸边移动了9米。 所以AB=25cm: 所以S迪系hm=SaA的+Sae 在t△ACD中，CD=0.9m,AD=1.2m, 19.解：(1)因为AGC+BC=1602+120=40000, 如图2，把长方体的右侧表面剪开，与上面这个侧面所 =×3×4+7×12x5=36。 所以AC2=AD2+CD=1.22+0.92=2.25。 AB2=2002=40000,所以AC+BC=AB2。 在的平面形成一个长方形，标注点D。 所以AC=1.5m。 所以△ABC是直角三角形，LACB=90°。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·59. 间的距离是5cm 合题意：由勾胶定理和正方形的面积公式，得⑦⑨的面 所以AC-号。同星可得B'C-头 14.60小斗提示：解题的关键是确定0，P,Q三点共线时点P到 所以BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=20em 积和等于③的面积，⑧0的面积和等于④的面机，所以 点A的距离最小。 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=102+252=725: ④①⑨的面积和等于①的面机，③⑧0的面积和等于① 所以AC+BC=41,即彩条的最短长度是41. 【解析】如图，当O,P,Q三点共线时，点P到点A的距 的面积。故C,D不符合题意：由条件不能证明②⑤⑥的 9.A【解析】因为BD⊥CE,所以∠BDC=90°。 由勾股定理，得CD=BC2-BD2=152-122=81, 离最小。 面积和等于①的面积。故B符合题意。 6.D小斗提示：作高构造直角三角形，借助等腰三角形的性质求解。 所以CD=9ma 如图，设风筝沿CD方向下降4m至点M,连接BM 【解析】如图，过点A作AE⊥BC 垂足为E。 图2 图3 周为AC=AD,CD=4, 在Rt△A0P中，0A=80cm,OP=125-25=100(cm), 如图3，把长方体的上表面剪开，与后面这个侧面所在 所以DE=CD=2,LABD=90 由勾股定理.得AP2=0P2-0A2=1002-802=602, 的平面形成一个长方形，标注点D。 因为BD=5,所以BE=BD+DE=5+2=7。 所以AP=60cm。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 则CM=4m,所以DM=CD-CM=9-4=5(m)。 在RL△ADE和R△ABE中，AB-BE2=AD-DE, 所以，点P到点A的最小距离为60cm 间的距离是5cm, 所以BM=BD+DM=122+52=132 所以x2-72=y2-2。所以x2-y2=45 所以AC=CD+AD=10+20=30(cm),BC=5cm。 所以BM=13m。 15.4或}小4提示：本题答案不唯-，应注意分类讨论。 7.B【解析】如图，连接AC。 根据勾股定理，得AB2=AC+BC=302+52=925 所以BC-BM=15-13=2(m), 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC+BC= 因为625<725<925. 因为∠ABC=90°，AB=9m, 即松松应该往回收线2m。 82+62=100,所以AB=10。 BC =12 m, 小斗总结 所以蚂蚊爬行的最短距离是25cm。 如图1，当AB=BD=10时， 所以AC2=AB+BC2=92+122=225 解决此类问题的关健是从实际问题中建立直角三角形模型， 第一章学业水平测试 则CD=BD-BC=10-6=4: 所以AC=15m。 借助勾股定理列式计算。 1.B 图为CD=8m,AD=17m 10.C【解析】如图，过点A作AE⊥ 2D【解折]根据题意，得S=a+6)(a+6)S=2b+ 所以AC2+CD2=152+82=289,4D2=17=289。 BC于点E。 因为AB=AC=5来，BC=8米， 2b+,所以a+b)(a+b)=7++ 所以AG2+CD=AD。所以△ACD是直角三角形。 所以∠ACD=90°。 所以BE=CB=BC=? ×8=4(米) 整理，得a2+b2=c2。 2 图1 图2 3.C【解析】根摇题意，得AD=AB=17,AH=8,∠AHD=90 所以Sawm=S6c+SaM=2BBC+ACCD 在RI△ABE中， 如图2，当AD=BD时，设AD=BD=x,则CD=x-6。 所以Df=AD2-AH=17产-82=225。所以DH=15。 ×9x12+×15x8=54+60=114(m). 由勾股定理，得AE=AB-BE=52-42=9, 在Ri△ACD中，AD=CD+AC, 所以EH=DH-DE=15-8=7。 所以AE=3来。 所以这块莱地的面积为114m2。 即2=(x-6)+8,解得x亭。 所以正方形EFGH的边长是7 由题意可知，AE≤AD<AC,即3米≤AD<5米， 小斗总结 故这根木头的长度可能是4来。 所以c0曾-6子 7 4C小斗提示：折叠前后对应角相等，对应边相等。 借助勾股定理求四边形的面积，通常连接对角线，把四边形分 【解析】根撼题意，得BE=DE。 成两个三角形。 11.直角 12.南偏东60°【解析】甲的路程为400×15=6000(m), 蛛上，CD的长为4或号 图为AD=9Cm=AE+DE=AE+BE,所以BE=9-AE 8.A【解析】如图，将长方体的侧面沿AB展开，取AB的 乙的路程为400×20=8000(m)。 16.解：在Rt△ABC中，AB=25米，AC=7米， 根据勾股定理可知AB+AE2=BE2, 中点C,取A'B'的中点C,连接BC,AC,则AC+B'C即 所以32+AE2=(9-AE)2,解得AE=4 由勾股定理，得BC=AB2-AC=252-72=242。 为所求的最短彩条长」 因为60002+80002=100002， 所以△ABC为直角三角形。所以∠BAC=90° 所以BC=24米。 所以△ABE的面积为3×4÷2=6(cm2)。 答：滑雪台水平距离BC为24米。 5.B【解析】如图，设②的三边 周为甲客轮沿着北偏东30的方向航行。 长分别为a,b,c,则③的面积 所以乙客轮的航行方向是南偏东60” 17.解：(1)设AD=xcm,则AB=AC=(x+3)cm。 13.20【解析】因为两船行驶的方向分别是东北方向和东 因为CD⊥AB,所以∠CDA=90°。 为a2,④的面积为，①的面 在R△ACD中，由勾股定理，得AD+CD=AC 积为c2。由勾股定理，得 根据题意，得A'C=BC=4.5,AA'=20, 南方向， a2+b2=c2,所以③④的面积 根据勾股定理 所以∠BAC=90°。所以△ABC为直角三角形。 即2+=(+3，解得=名 和等于①的面积。故A不符 根撼勾股定理，得BC2=AB2+AC=162+122=400, 得4C=M+4C=202+(2)=( 所以BC=20海里。所以两船之间的距离是20海里。 所以AD的长为子m。 60· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册