第五章 二元一次方程组 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

(2)画出平面直角坐标系如图所示。 y B C3,-10 (3)设对角线AC所在直线的函数表达式为y=kx+b。 将点A(-3,5),点C(3,-1)代入y=x+b, 得k=-1,b=2。 所以对角线AC所在直线的函数表达式为y=-x+2。 20.解：(1)由题意，得AC=8dm,BC=6dm,∠ACB=90°， 所以AB=√AC2+BC2=10(dm)。 所以AB+AC=10+8=18(dm)。 答：绳子的总长度为18dm。 (2)如图，标注点D,E。 中C 7 B E 由题意，得∠ADB=90°，AD=8dm,CD=7dm, AB=10+7=17(dm)。 所以BD=√AB2-AD2=√172-82=15(dm)。 所以BE=BD-DE=15-6=9(dm)。 答：滑块B向左滑动的距离为9dm。 21.解：(1)令x=0,则y=4,所以点A的坐标为(0,4)。 令y=0,则x=2,所以点B的坐标为(2,0)。 (2)因为A(0,4),B(2,0), 所以0A=4,0B=2。 所以△AB0的面积是2×4×2=4。 因为△ABC的面积是△AB0面积的2倍， 所以△ABC的面积是8。 所以2AC·0B=8。所以AC=8。 所以点C的坐标为(0，-4)或(0,12)。 因为在函数y=x+b中，y随着x的增大而增大， 所以点C的坐标为(0，-4)。 把点B,C的坐标代人y=x+b,k=2,b=-4。 22.解：(1)如图1，BD为△ABC边AC上的中线， 图1 则CD=2AC=1, 又因为BC=3,∠C=90°， 所以BD=√12+(3)2=-2=AC。 所以△ABC是“奇异三角形”。 (2)分两种情况： 如图2，当腰上的中线BD=AC时，AB=BD,过点B BE⊥AD于点E。 因为AB=AC=20, 所以BD=20,DB=24D=44C=5。 4 所以CE=10+5=15。 在Rt△BDE中，BE2=BD2-DE2=375。 在Rt△BCE中，BC=√BE2+CE2=√/375+225 =√600=10√6； D 图2 图3 如图3，当底边上的中线AD=BC时，AD⊥BC, 且AD=2BD. 设BD=x,则x2+(2x)2=202。 所以x2=80。 又因为x>0,所以x=√80=4√5。 所以BC=2x=8√5。 综上，底边BC的长为10√6或8√5。 3.解：(1)因为C(0,0),D(0,8),所以CD=8。 因为F为平面镜CD的中点，所以0F=2CD=4。 所以点F的坐标为(0,4)。 将E(-5,0)和F(0,4)代入y=x+b, 得=号，6=4 所以EF所在直线的表达式为y=了x+4。 4 (2)如图，取点E关于y轴的对称点E'。 (c o 因为E(-5,0),所以E'(5,0)。 (3)因为A(2,0),B(0,-1),E(1,-3), 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'。 所以AB=√5，AE=√10，BE=√5。 设反射光线所在的直线的表达式为y=ax+b。 所以AB=BE,AB2+BE2=10=AE2。 将E'(5,0)代入，得5a+b=0,所以a=-5。 b 所以△ABE是等腰直角三角形。 所以y=-号+b。 第五章考点梳理与复习 1.A2.B3.A 当反射光线经过点P(-6,8)时， 4.3【解析】将 x=4, 代入方程bx-4y=4中，得4b-4× -号×(-6)+6=8，解得6=0 y=1 当反射光线经过点Q(-3,8)时， 1=4,解得6=2将=3 代入方程ax+3y=9中，得 ly=2 -号×(-3)+6=8，解得6=5。 3a+3×2=9,解得a=1,所以a+b=1+2=3。 所以碧≤b≤5。 5.+y=8, 1100x+60y=600 因为b为整数，所以b=4或5。 6.解：(1)20x+35y=380 选做题 (2)将x=12代入20x+35y=380, 解：(1)因为y=2t-1, 得20×12+35y=380,解得y=4。 因此，当甲种奖章有12个时，乙种奖章的个数为4。 当x=0时，y=-1;当y=0时，x=2, (3)将y=8代入20x+35y=380, 所以A(2,0),B(0,-1)。 得20x+35×8=380,解得x=5。 因为将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象L2,直线12 因此，当乙种奖章有8个时，甲种奖章的个数为5。 与y轴交于点C,所以C(0,1)。 7.D8.D 设2的表达式为y=kx+1。 9.D【解析】因为13x-y-41+14x+y-31=0, 将42,0)代人，得么=- 所以13x-y-41=0,14x+y-31=0。 1 所以的表达式为y=-2x+1。 3x-y=4, x=1, 所以 解得 4x+y=3, y=-1。 (2)因为A(2,0),B(0,-1),C(0,1), 所以BC=2,01=2。所以Sc=7×2×2=2。 10.9【解析1因为2是二元一次方程组 y=1 如图1，当点D在线段AC上，即0≤x<2时， ax-by=1的解，所以 a-b=1,① Lbx+ay=8 2b+a=8。② 1 S=S64Bc-Sacn=2-2×2x=2-x街 ①+②，得3a+b=9,所以3a+b的值为9。 1解：0-3y=2,② 3x-y=6,① ①-②×3，得8y=0,y=0。 将y=0代入①，得3x=6,x=2。 B 图1 图2 x=2, 所以原方程组的解为 如图2，当点D在线段AC的延长线上，即x<0时， y=0。 x+8y=54,① S=5ac+S0m=2+7×2(-x)=2-。 (2)原方程组整理，得 3x-y=12,② 综上，S=2-x(x<2)。 ①×3-②，得25y=150,y=6。 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·69· 将y=6代入②，得3x-6=12,x=6。 小斗归纳 根据一次函数图象解决实际问题，先求出函数表达式，再利用函 「x=6, 所以原方程组的解为 数表达式计算，要注意自变量的取值范围。 y=6。 12.A13.D 22.B23.B 14.4人坐一辆车，则有一辆空车 rx+3y+2z=3,① 15.40【解析】设上山路为x千米，下山路为y千米， 24.解：2x-3y-z=-2,② [+0=65， (4x+3y-3z=-2。③ ①+②，得3x+z=1。④ 3 x=10, 根据题意，得 解得 (②+③)÷2，得3x-2z=-2。⑤ 3+0=7.5 y=30。 5 (④-⑤)÷3，得z=1。 3 将z=1代入④，得3x+1=1,x=0。 所以x+y=40。 将x=0,2=1代入①，得3y+2=3,y=3 1 16.解：设书架上有x本数学书，y本语文书， 根据题意，得+y=90, 1解得=50， x=0, 0.8x+1.1y=84,y=40 所以原方程组的解为y=3, 1 所以，书架上有50本数学书，40本语文书。 z=1。 17.解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元， 第五章学业水平测试 x=300, 根据题意，得 2x+3y=1800, 解得 1.B2.C3.A4.B5.D6.B7.A 3x+y=1300, y=400。 8.C【解析】设十位上的数字为x,个位上的数字为y, 所以，A种航模每件300元，B种航模每件400元。 x+y=9, 「x=6, 18.B19.B 根据题意，得 解得 lx-y=3, 20.解：将x=40,y=30;x=80,y=40分别代入y=x+b中， ly=3。 所以这个两位数是63。 得40k+6=30, k4' 1 9.C 180k+b=40,【b=20。 10.D【解析】设每小时上升xcm,开始高度为ycm, 所以y=子+20。 2x+y=18 根据题意，得 解得6， 6x+y=42,y=6。 当x=56时，y=4×56+20=34。 设当箭尺读数为84cm时，时间为t, 则6+6(t-8)=84,解得t=21。 所以该地的气温为34℃。 所以时间是21：00。 21.解：(1)40 11.1 (2)设y与x之间的关系式为y=x+b。 因为y=x+b的图象过点(10,30)与(40,40)， 「x=4 12. 小斗提示：一次函数图象的交点坐标就是相应二元 y=3 .1 10k+b=30, k二3’ 一次方程组的解。 所以 解得 40k+b=40, 80 b=3 【解析】因为一次函数y=ax+b的图象与y=cx+d的图 1.80 所以y与x之间的关系式为y=3x+ 象交于点(4,3)，所以关于x,y的方程组=+b, 的 30 ly=cx+d (3)能完全溶解。理由如下： x=4, 解为 y=3。 当x=34时，y=了×34+9-38。 13.18【解析】设每块小长方形木块的长为xm,宽为 因为38>37，所以能完全溶解。 y m, ·70· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 2x=x+2y, 、解得=6， ①+②，得6x=18,x=3。 根据题意，得 2(2x+x+y)=42,y=3。 将x=3代入①，得3×3-2y=8,y= 29 所以每块小长方形木块的面积为xy=6×3=18(m2)。 14.20【解析】设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， rx=3, 所以方程组的解为 1 根据题意，得 0x+30r=920,解得=16， y=2 60x+10y=1000,ly=4。 18.解：(1)将P(1,b)代人y=x+1,得b=1+1=2。 所以x+y=16+4=20(元)。 (2)由(1)，得P(1,2), 所以购买一件A商品和一件B商品需要20元。 x=1, 15.六【解析】因为第三次购物购买数量最多，总费用最 所以方程组=x+1, 的解为 ly=mx +n y=2。 少，所以第三次购物时A,B商品同时打折。 (3)直线l,:y=nx+m经过点P。理由如下： 设A商品的原价为x元，B商品的原价为y元， 因为y=mx+n经过点P(1,2),所以m+n=2。 根据题意，得 6x+5y=1140解得=90， 所以直线y=nx+m也经过点P。 3x+7y=1110, y=120。 19.解：设文创店购进圆楼模型x个，方楼模型y个， 所以A商品的原价为90元，B商品的原价为120元。 25x+32y=6340, 设第三次购物时，A,B商品打m折销售， 根据题意，得{ (40-25)x+(50-32)y=3660, 根据题意，得(90×9+120×8)×0=1062， x=100, 解得 y=120。 解得m=6。 所以，文创店购进圆楼模型100个，方楼模型120个。 所以若A,B商品的折扣相同，则折扣是六折。 “g【每1#5人才想 20.解：(1)y=-x+4 (2)根据题意可知，二元一次方程y=3x+5的“反对称 y=6 二元一次方程”是y=5x+3。 [*+by=9'得5a,+6=0, 「x=m, La2x+b2y=c2 (5a2+662=c20 因为二元一次方程y=3x+5的解 又是它的“反 ly=n r5a1x-3b1y=4c1, 因为 对称二元一次方程”的解， 5a2x-3b2y=4c2, 3m+5=n 4+46y=6, 所以 解得m=1, 5m+3=n ln=8。 4 所以 所以m=1,n=8。 42+3 b2y=c20 21.解：(1)货车的速度为300÷6=50（千米/小时）， 轿车5小时到达乙地，货车行驶了50×5=250（千米）， 4x=5, 「x=4, 所以 解得 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是250千米。 3 4y=6, y=-8。 (2)设线段CD对应的函数表达式是y=x+b。 因为点C(3,90),点D(5,300), 17.解：(1) 2x-y=3,① k=105, 3(x+2)+2(y-4)=6。② 所 3k+b=90,解得{ l5k+b=300,1b=-225。 由①，得y=2x-3。③ 所以函数表达式是y=105x-225(3≤x≤5)。 将③代入②，得3(x+2)+2(2x-3-4)=6,x=2。 (3)当x=3时，两车之间的距离为50×3-90=60（千米）。 将x=2代入③，得y=2×2-3=1。 因为60>30，所以在轿车行进过程中，两车相距30千 所以方程组的解为 x=2, 米的时间是在3一5小时之间。 ly=1。 由题图，得线段OA对应的函数表达式为y=50x, (2)整理，得3r-2y=8,① 所以150-(105：-235)1=0.解得与识引 51 3x+2y=10。②第五章考点梳理与复习 考点一 二元一次方程与二元一次方程组 【训练目的】理解二元一次方程（组）及其解有关的概念，能列简单的二元一次方 程组。 1下列方程中：①x+y=1:②2x-子=1；③x+2x=-1:④5y=1:⑤x-3=2,是二元-次方程的是 ( A.①⑤ B.①② C.①④ D.①②④ 办 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( y=1, 11, A. B. [x+y=2, C.x y [x+z=2, D. lx+2y=3 3y-x=1 lx+y=1 x+y=3 3.下列各组数值中，不是二元一次方程3x-y=6的解的是 ( x=0, x=4, A. B. 「x=2, C. D.3, y=6 ly=0 y=6 y=-15 「ax+3y=9 「x=4 4.甲、乙两位同学在解方程组 时，甲把字母a看错了得到方程组的解为 乙把字母b bx-4y=4 ly=1, 9 看错了得到方程组的解为 x=3,则a+b= y=2, 主题情境体育运动中的数学请完成第5~6题 5.原创题为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力，小斗所在学校八年级组织了 场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元。其中一等奖奖品每 班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个。设获得一等奖的班 级有x个，获得二等奖的班级有y个。根据题意列方程组为 6.小斗所在学校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者。已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35 元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元。 敬 (1)试列出关于x,y的二元一次方程： (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数； (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数。 考点二二元一次方程组的解法 【训练目的】掌握解二元一次方程组的两种基本方法，能选择适当的方法解二元一次 方程组。 养 7.已知二元一次方程2x+3y=1,用含x的代数式表示y,正确的是 A.x=Y-3 2 B.x=1+3 2 C.y=2x-1 3 D.y=1-2x 3 8.在解方程组=x+3,①】 的过程中，将①代入②可得 12x-y=5② A.2x-x+3=5 B.2x+x-3=5 C.2x+x+3=5 D.2x-x-3=5 9.已知13x-y-4|+14x+y-31=0,则x与y的值分别为 A0, B.x=1, C=-1, 「x=1, ly=0 ly=1 "y=1 Dy=-1 0已知是元一次方程组 的解，则3a+b的值为 bx+ay=8 11.解方程组： (2 分+4=27， (2) 1 x-3y=4。 考点三二元一次方程组的应用 【训练目的】能从实际问题中找等量关系列二元一次方程组，借助表格或示意图列二 元一次方程组求解实际问题。 12.我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两， 九两分之少半斤。”（注：这里1斤=16两，半斤=8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还 剩4两；若每人9两，则差8两。若设客人为x人，银子为y两，可列方程组 () 7x+4=y, B. 7x+4=y, C. 7y+4=x, 7y-4=x, A. 19x-8=y 9x+8=y 9y-8=x D.9y+8=x 13.如图1，小明家餐厅地面是用8块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间 也是用相同的8块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口 的边长为10cm,则一块瓷砖的长和宽分别是 () 图1 图2 A.35 cm,15 cm B.40 cm,20 cm C.45 cm,25 cm D.50 cm,30 cm 14.某校八年级组织数学编题比赛，其中同学甲编制了如下问题：若3人坐一辆车，则8人需要步行， 若…问：有人与车各多少？如果假设有x辆车，人数为，根据题意可列方程组为=3x+8,、题 Ly=4(x-1)。 中缺失条件应补充为 0 15.某部队进行军训，从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了6.5小时，返回时用了7.5 小时。已知走上坡每小时5千米，走下坡时每小时千米。甲、乙两地之间的路长 千米。 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·27· 16.如图，书架宽84cm,在该书架上摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm,每本语文书厚 1.1cm。数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少。 84 cm 17.我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自 主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力。某校为了培养学生科技创 新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A,B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件 B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元。求A,B两种航模每件分别为 多少元。 考点四二元一次方程组与一次函数的关系 【训练目的】理解二元一次方程与一次函数的关系，能借助一次函数图象求方程组的 解，能利用二元一次方程组求解函数问题。 18.下面四条直线中，直线上每个点的坐标(x,y)都是二元一次方程x+2y=4的解的是 y D. -4 19.已知直线y=x+6和y=ax-3交于点P(2,1),则关于，y的方程组K-y=-b, 的解是() ax-y=3 A-1, D.x=-2, y=-2 B./=2, C.1, ly=1 y=2 y=1 20.新考法〔跨学科〕一生物学者发现，气温y(单位：℃)在一定范围内，某种昆虫鸣叫的次数x与气温y 的关系为y=x+b(k,b是常数)，而且当气温为30℃时，鸣叫的次数为40；当气温为40℃时，鸣叫 的次数为80，那么当该种昆虫每分钟鸣叫的次数为56时，该地的气温为多少？ ·28· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 21.新考法〔跨学科〕氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在0一100℃条件下，氯化钾的溶解度y(单位：g) 与温度x(单位：℃)之间近似满足一次函数关系。小斗根据实验数据，画函数图象如图。（注：氯化 钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在100g水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量) (1)40℃时，氯化钾的溶解度是g; (2)求y与x之间的关系式； (3)当温度是34℃时，在100g水中加入37g氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由。 yig 40 ---------- 30 郑 ! 010 40x/℃ 考点五三元一次方程组 【训练目的】了解三元一次方程（组）的有关概念，能解简单的三元一次方程组。 22.下列各方程组中，三元一次方程组有 rx+y=3, x+y-z=5, x+3y-z=1, x+y-z=7, ①y+z=4, ②/ x +y-z=3, ③2x-y+z=3, ④xyz=2, lx+z=2; 2x-2y-z=1; 3x-2y-3z=5; (x-3y=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ra+b+c=0, 23.下列各组数值中，是方程组2a-b+c=-5,的解的是 3a-b-c=-4 a=0, ra=-1, ra=-1, b=1, B.b=2, C.b=1, c=-1 lc=-1 lc=-2 rx+3y+2z=3, 24.解方程组：2x-3y-z=-2, 4x+3y-3z=-2。