1.5 有理数的大小 基础讲义 2025-2026学年青岛版数学七年级上册

本讲义聚焦“有理数的大小比较”核心知识点，前承自然数、小数、分数大小比较，通过生活温度实例导入，借助数轴（形）和法则（数）构建比较方法，涵盖正数与0、负数与0、正数与负数及两个负数比较（绝对值大的反而小），形成“形数结合”的学习支架。 资料特色在于以生活情境（温度比较）培养数学眼光，通过温度计与数轴的几何直观抽象出比较规律，体现抽象能力与几何直观。法则比较法结合绝对值运算发展推理意识与运算能力，例题分层设计（含绝对值、相反数综合比较），课中助教师引导探究，课后供学生自主回顾，有效查漏补缺，提升应用意识。

1.5 有理数的大小 我们已经能比较自然数、小数及分数的大小。数的范围扩充到有理数后，如何比较有理数的大小？ 导入新课 生活中,我们每天都会谈及温度,比如1月某天,北京、济南、乌鲁木齐、兰州、上海这五个城市的最低气温如下表： 城市 北京 济南 乌鲁木齐 兰州 上海 最低气温/℃ -6 0 -10 -5 4 哪个城市气温最高,哪个城市气温最低? 其实这个问题就可以归结为比较有理数-6,0,-10,-5,4的大小.我们已经能够比较两个正数,以及正数与0的大小。引入负数以后,在有理数范围内,怎样比较数的大小呢? 这节课我们就来学习有理数的大小比较。 思考与交流 问题1: 在上面五个城市的最低气温中, (1)你能将这五个温度按从低到高的顺序排列吗? (2)它们在温度计上对应的位置有什么规律? (1)从温度计可以看出,这五个温度按从低到高的顺序排列如下: -10, -6, -5, 0, 4。 (2)它们在温度计上对应的位置是从下到上依次排列的。 2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第1章 有理数之1.5 有理数的大小 1 学科网（北京）股份有限公司 问题2 :将表示上述五个城市最低气温的数表示在数轴上,这些数的对应点的排列顺序有什么规律? 由此,你知道如何利用数轴比较有理数的大小吗?将表示上述五个城市最低气温的数表示在数轴上,如图所示： 这些数的对应点在数轴上是自左向右依次排列的.由此得出 利用数轴比较有理数大小的方法： 在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。 如果不画数轴,能直接比较两个有理数的大小吗? 比如,正数和正数比较可用小学的方法比较,对于正数、0和负数这三类数,它们之间存在怎样的大小关系? 知识点 比较有理数的大小 方法 方法描述 利用数轴 在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，如图1-5-1所示。越来越大 越来越小 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 · · · · 图1-5-1 利用法则 （1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （2）两个负数，绝对值大的反而小。 拓展： 最小的自然数是0，没有最大的自然数；最小的正整数是1，最大的负整数是-1；没有最大的有理数，也没有最小的有理数。 数轴比较法从“形”上比较，适合比较所有的有理数。法则比较法从“数”上比较，适合比较符号不同的数及0。 例1 比较下列各数的大小，并用“＜”把它们连接起来。 -2， 2， -， 0， 1。 解：将表示-2， 2， -， 0， 1的点分别表示在数轴上，如图1-5-2所示，可得由小到大的顺序排列为-2＜-＜0＜1＜2。（先将各有理数在数轴上用点表示出来，再按顺序将这些数从左到右用“＜”连接起来，注意不要漏数。） -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 · · · · 1 2 -2 - 0 · 图1-5-2 方法技巧：利用数轴比较有理数大小的方法步骤 （1） 画数轴：画出数轴并描出各有理数在数轴上对应的点。 （2） 定顺序：确定点在数轴上的左右顺序。 （3） 定大小：根据“在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大”确定大小。 素养点拨 本题通过在数轴上表示出各数对应的点，根据“在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大”直接观察图形，快速比较数的大小，体现了几何直观。 例2 比较下列各组中两个数的大小： （1）3，-4； （2）-7.2, 0； （3）-，-。 解：（1）因为正数大于负数，所以3＞-4。 （2）因为负数小于0，所以-7.2＜0。 （3）因为|-|==，|-| = =，＜，所以-＞-。 例3 比较下列各组数的大小： （1） - 与- ； （2）- 3.14与- ； （3）-|-1.2|与0； （4） -（- 0.76）与|- |； （5）-（-1.3）与-|-1|。 分析：例题中的（1）（2）是两个负数相比较，绝对值大的反而小；（3）（4）（5）根据相反数的定义以及绝对值得性质分别把两个数化简后，再比较大小即可。 解：（1）因为|- |= = ，|- |==，＞，所以- ＜- ，即- ＜- 。 （2） |- 3.14|=3.14，|- |= ，≈3.143, 3.14＜3.143，即3.14＜，所以- 3.14＞- 。 （注意：最后比较的是原数的大小。） （3） -|-1.2|=-1.2，-1.2＜0，所以-|-1.2|＜0。 （4） 因为-（- 0.76）=0.76，|- |==0.625， 0.76＞0.625，所以-（- 0.76）＞|- |。 （5） 因为-（-1.3）=1.3，-|-1|=-1， 1.3＞-1，所以-（-1.3）＞-|-1|。 方法技巧：比较两个负数大小的步骤 （1） 求：求出两个负数的绝对值； （2） 比：比较两个数的绝对值的大小； （3） 判：根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确判断。 练习（p20） 1. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来： -3.5， 3, 0， ， -2。 解：如图1-5-6所示，-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 · · · · -2 -3.5 0 3 · （图1-5-6） 由数轴可知-3.5＜-2＜0＜＜3。 2. 比较下列各组数的大小： （1）+ 与-； （2）- 与0； （3）-1.1与-1.09。 解：（1）因为正数大于负数，所以+＞-。 （2）因为负数小于0，所以- ＜0。 （3）因为|-|=，|-| = ，＞，所以-1.1＜-1.09。 重点内容总结 有理数的大小 有理数的大小 借助 数轴比较 在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 法则 比较 两个负数，绝对值大的反而小。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 $