专题03 实数（期中知识清单）（5知识&9题型&5易错）八年级数学上学期新教材冀教版

专题03 实数（5知识&9题型&5易错） 【清单01 平方根】 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【清单02 算术平方根】 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 【清单03 立方根】 立方根 一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【清单04 实数】 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数； （2）数轴比较法； （3）法则比较法； （4）作差比较法； （5）作商比较法； （6）倒数比较法； （7）平方比较法； 【清单05 近似数】 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 其他近似数的取法 （1）去尾法； （2）进一法； 【题型一 算术平方根】 【例1】已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式1】如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 【变式2】若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根，根据平方的非负性、绝对值的非负性可得：，，从而可得：，因为的算术平方根是，所以的算术平方根是． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是. 故答案为：． 【变式3】（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 【题型二 平方根】 【例2】下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解本题的关键．根据平方根的定义即可判断． 【详解】解：A、负数没有平方根，故错误，不符合题意； B、没有平方根，故错误，不符合题意； C、0的平方根是0，故正确，符合题意； D、4的平方根是，故错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即的平方根是． 故答案为： 【变式2】一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 【变式3】已知，求2a－3b的平方根； 【答案】±4 【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴2a+b=0，3b+12=0， 解得：b=﹣4，a=2． ∴2a﹣3b=2×2﹣3×（﹣4）=16， ∴2a﹣3b的平方根为±4． 【点睛】此题考查的是非负性的应用和求平方根，掌握绝对值和算术平方根的非负性和平方根的定义是解题关键． 【题型三 与算数平方根有关的规律探索题】 【例3】嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式1】已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据已知条件，利用算术平方根的小数点移动规律逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 1【变式2】请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律，即可求解． 【详解】解：由题意得 规律为：， ， ， 故答案为：，． 【变式3】请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 【答案】(1)2；5；10 (2) (3) (4)①4；② 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 【题型四 利用平方根解方程】 【例4】若，求x的值． 【答案】或 【分析】本题考查运用平方根解方程，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 【变式1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查由平方根定义与求法解方程，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键． （1）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案； （2）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）解：， ， 则， 解得或． 【变式2】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）整理后，再根据平方根的概念求解； （2）根据平方根的概念求解即可； （3）两边平方，再检验即可求解； （4）先移项，再根据平方根的概念求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或； （3）解：， 两边平方得， 解得， 经检验是原方程的解； （4）解：， 整理得， 开方得， 解得或． 【变式3】求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 【题型五 立方根】 【例5】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1】有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 【变式2】若，则的值为 ． 【答案】2或或 【分析】本题考查立方根的性质，解题的关键是根据立方根等于它本身的数的特点来建立方程求解． 利用立方根等于它本身的数有这一性质，分别令等于，然后求解的值． 【详解】因为立方根等于它本身的数只有，已知， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当时，解得； 情况二：当时，解得； 情况三：当时，解得； 综上，的值为2或或． 故答案为：2或或． 【变式3】我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题目中的思考过程是解题关键．仿照目中的思考过程推理即可． 【详解】解：（1）由于300763大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数； （2）由于300763的个位上的数是3，从而它的立方根个位上的数是7； （3）如果划去300763后面的三位数763得到数300，而6的立方是216，7的立方是343， 由此立方根的十位上的数是6，所以， 故答案为：． 【题型六 与立方根有关的规律探索】 【例6】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式1】（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 【变式2】下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 【变式3】探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 【题型七 实数】 【例7】下列各数，，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，实数的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先识别各个数（能化简的先化简），再确定无理数的个数． 【详解】解：是有限小数，它是有理数； ，它是有理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 是分数，它是有理数； 是无理数；是有理数； 是无理数， 共有3个无理数， 故选：C． 【变式1】如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 利用无理数的估算得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即在数轴上表示的点在3和4之间， ∴在数轴上表示的点可能是点M． 故选：C． 【变式2】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根，根据数轴得到a、b的正负号是解题的关键． 由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【变式3】如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)这个魔方的棱长为4 (2)阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8 (3)点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 【题型八 无理数】 【例8】下列判断正确的是（   ） A． B．与最接近的整数是7 C．的平方根是 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，即，则，故该选项符合题意； B、∵，则，∵更接近，∴与最接近的整数是6，故该选项不符合题意； C、，则的平方根是，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】m、n为两个连续的整数，且，则 【答案】17 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是先根据题意算出的取值范围． 先估算出的取值范围，得出、的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：17． 【变式2】【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1)8， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为8． ∴的小数部分为． 故答案为：8，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴，， ∴． 【变式3】阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的相反数的值． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练地确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出，的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1，则小数部分为； 故答案为：1；． （2）解：， ， 又x是一个整数，，且， ，， ， 的相反数为． 【题型九 近似数】 【例9】已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据近似数推断取值范围，当舍去千分位得到时，则它的最大值小于；当的千分位进1得到时，则它的最小值是；据此即可求解； 【详解】解：当舍去千分位得到时，则它的最大值小于； 当的千分位进1得到时，则它的最小值是. ∴所以的取值范围是：， 又因为是一个三位小数， 所以的取值范围是， 故选：D 【变式1】一个三位小数精确到百分位是，下面关于这个三位小数说法错误的是（   ） A．这个三位小数最小是 B．这个三位小数最大是 C．符合条件的三位小数一共有个 D．符合条件的三位小数一共有个 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，根据精确度逐项判断即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、这个三位小数最小是，该选项说法正确，不合题意； 、这个三位小数最大是，该选项说法正确，不合题意； 、符合条件的三位小数有，，，，，，，，，，一共有个，该选项说法错误，符合题意； 、符合条件的三位小数一共有个，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 【变式2】按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数“一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义，利用四舍五入法则求解即可得． 【详解】解：（精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）； 故答案为：；；． 【变式3】根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 【答案】(1) (2) (3)千；3 (4)0，0 【分析】本题主要考查精确度、有效数字、绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）精确到百分位，就是对千分位进行四舍五入； （2）精确到，就是对位进行四舍五入； （3）易得整数数位1所在的数位是十万，看最后的有效数字3在哪一位即可； （4）先求出绝对值小于4的所有整数，再根据有理数的乘法法则求出它们的积，有理数的加法法则求出它们的和． 【详解】（1）精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得； （2）精确到，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得； （3）近似数精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个； （4）∵绝对值小于4的整数有：，，，， ∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0． 【题型一 算术平方根的非负性问题】 【例1】若，则的值为（   ） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，则可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质分别求出的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式变形，然后根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， 即， ， ∴，， ， ， 故答案为：9． 【变式3】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，分式化简求值， 利用非负数的性质，可求得a、b的值，然后将分式化简，进而可代值求解． 【详解】解：， ， ， ． 【题型二 算术平方根、立方根的规律探究问题】 【例2】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 【变式1】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 【变式2】爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 【变式3】本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【分析】（1）计算即可求解； （2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根． （3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【详解】解：（1）填写表格如下： x4 1 16 81 x 1 2 3 （2）①1的四次方根是：1； ②16的四次方根是：2； ③的四次方根是：； ④12的四次方根是：； ⑤0的四次方根是：0； ⑥﹣625没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． （3）拓展应用： 在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节． 【题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例3】根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用再求出小数部分和整数部分即可解得． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是. （2）解： 的小数部分， ， ，得整数部分， 【点睛】本题考查了用“夹逼法”求算术平方根的整数部分和小数部分，并进行算术平方根的运算，掌握求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． 【变式1】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）4，45；（2）1，2，3；（3）3；（4）． 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知,即，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是，根据操作过程进行解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ，； 故答案为： （2），，且， ，2，3； 故答案为：，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对200连续求根整数，3次之后结果为1； 故答案为：3 （4）最大的正整数是， 理由是：∵，，，，， ∴，，，， 对只需进行4次操作后变为1， 只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是． 【变式2】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 【变式3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（），；（）；（）或 【分析】（）由 得，即得的整数部分，然后把减去它的整数部分得到的小数部分； （）同理（）求出的值，然后把、的值代入计算即可； （）仿照小慧的做法解答即可； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ， 的整数部分为，小数部分为； 故答案为：，； （）， ， 的整数部分为，小数部分为，即； ， ， 的整数部分为，即， ； （）， ， ，是有理数，为无理数， 且， 解得，， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 【题型四 实数的新定义问题】 【例4】定义：对于实数，表示不大于的最大整数，例如：，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围，再直接根据题意利用新定义即可解答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式1】定义：不大于实数x的最大整数称为x的有效部分，记作，如，，按照此规定， (1)=_______； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先估算的范围，再根据有效部分的定义确定的值； （2）根据有效部分的定义列出关于的不等式组，进而求解的取值范围． 本题主要考查了新定义运算以及不等式的求解，熟练掌握新定义的含义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 【答案】(1) (2)①的值为4，5，6，7，8；②所有满足条件的n的个数为21 【分析】本题考查无理数的估算，新定义，解答本题的关键是明确题意． （1）根据，即可写出相应的结果； （2）①根据，，即可写出相应的结果；②根据，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：①当时，， ∴的值为4，5，6，7，8． ②当时，， 的值为100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120． 所有满足条件的n的个数为21． 【变式3】新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【详解】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解：， ，， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 【题型五 实数的应用问题】 【例5】灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)厘米 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算等知识点． （1）由题意设长方形彩纸的长为，宽为，根据长方形面积公式列方程，然后根据平方根的性质解方程求出，再求出长和宽即可求解周长； （2）设圆的半径为，则，利用平方根的性质解方程求出半径，在求出直径与长方形的宽比较即可． 【详解】（1）解：由题意设长方形彩纸的长为厘米，宽为厘米， 则， 解得：或（舍）， ∴长为（厘米），宽为（厘米）， ∴周长为：（厘米） （2）解：不能剪出想要的圆形纸片，理由如下： 设圆的半径为厘米， 则， 则， ∵ ∴直径大于厘米，此时直径大于长方形的宽， ∴不能剪出想要的圆形纸片． 【变式1】如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数． （2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 【变式2】项目式学习 设计合适的盒子 素材    团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为．    素材 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装．    任务 （）根据素材，该圆形团扇的半径为 cm； （）根据素材，求出该长方体盒子的长； （）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 根据以下素材，探索完成任务． 【答案】（） ；（） ；（）能，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，算术平方根的应用，无理数的估算，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设圆形团扇的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （）设长方体盒子的长为，宽为，由题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （）求出团扇的直径为，然后通过无理数的估算，实数比较大小即可求解． 【详解】（）解：设圆形团扇的半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：； （）解：设长方体盒子的长为，宽为， 由题意得，， ， ， 由边长的实际意义，得， 所以长方体盒子的长为 ； （）能，理由：由（）知该团扇的半径为， ∴团扇的直径为， ∵， ∴， ∴，即， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 【变式3】【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数（5知识&9题型&5易错） 【清单01 平方根】 1.平方根：如果，那么x叫做a的 ，也叫做 . 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于 . 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为 ； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3. 没有平方根； 4.； 5.. 【清单02 算术平方根】 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的 ； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“ ”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个 ，0的平方根也叫做0的 ， 没有算术平方根. 4.算术平方根具有 ：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 【清单03 立方根】 立方根 一般地，如果，那么x叫做a的 立方根的性质 正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是0. 【清单04 实数】 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做 . 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 实数及分类 1.有理数和无理数统称为 . 2.实数的分类 （1）按 分类： （2）按 分类： 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数； （2）数轴比较法； （3）法则比较法； （4）作差比较法； （5）作商比较法； （6）倒数比较法； （7）平方比较法； 【清单05 近似数】 1. ：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做 2. ：与实际完全符合的数值称为 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 其他近似数的取法 （1） ； （2） ； 【题型一 算术平方根】 【例1】已知，则（      ） A． B． C． D． 【变式1】如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【变式2】若，则的算术平方根是 ． 【变式3】（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【题型二 平方根】 【例2】下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【变式1】若，则的平方根是 ． 【变式2】一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【变式3】已知，求2a－3b的平方根； 【题型三 与算数平方根有关的规律探索题】 【例3】嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【变式1】已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1【变式2】请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 【变式3】请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 【题型四 利用平方根解方程】 【例4】若，求x的值． 【变式1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式2】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】求出下列等式中x的值： (1) (2) 【题型五 立方根】 【例5】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【变式2】若，则的值为 ． 【变式3】我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ． 【题型六 与立方根有关的规律探索】 【例6】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【变式1】（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【变式2】下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 【变式3】探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【题型七 实数】 【例7】下列各数，，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式2】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： 【变式3】如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【题型八 无理数】 【例8】下列判断正确的是（   ） A． B．与最接近的整数是7 C．的平方根是 D． 【变式1】m、n为两个连续的整数，且，则 【变式2】【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【变式3】阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的相反数的值． 【题型九 近似数】 【例9】已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一个三位小数精确到百分位是，下面关于这个三位小数说法错误的是（   ） A．这个三位小数最小是 B．这个三位小数最大是 C．符合条件的三位小数一共有个 D．符合条件的三位小数一共有个 【变式2】按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 【变式3】根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 【题型一 算术平方根的非负性问题】 【例1】若，则的值为（   ） A．3 B．1 C．2 D．0 【变式1】已知实数满足，则 ． 【变式2】已知，则 ． 【变式3】已知，求的值． 【题型二 算术平方根、立方根的规律探究问题】 【例2】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【变式1】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【变式2】爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【变式3】本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例3】根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【变式1】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【变式2】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【变式3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【题型四 实数的新定义问题】 【例4】定义：对于实数，表示不大于的最大整数，例如：，，，那么 ． 【变式1】定义：不大于实数x的最大整数称为x的有效部分，记作，如，，按照此规定， (1)=_______； (2)若，求x的取值范围． 【变式2】对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 【变式3】新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【题型五 实数的应用问题】 【例5】灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【变式1】如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【变式2】项目式学习 设计合适的盒子 素材    团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为．    素材 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装．    任务 （）根据素材，该圆形团扇的半径为 cm； （）根据素材，求出该长方体盒子的长； （）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 根据以下素材，探索完成任务． 【变式3】【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $