专题01 分式和分式方程（期中知识清单）（5知识&11题型&8易错）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 分式和分式方程（5知识&11题型&8易错） 【清单01 分式概念与性质】 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做 ，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于 ，即B≠0 分式无意义 分母等于 ，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【清单02 分式的基本性质】 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的 ， 不变. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【清单03 分式的约分、通分】 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做 . 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做 . 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 【清单04 分式的四则运算】 1、同分母分式相加减： ，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先 ，变为同分母的分式，再 ；符号表示为： 3、分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 4、分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 5、分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先 ，再 ，最后 ；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【清单05 分式方程】 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做 ． 分式方程的重要特征：① ；② ；③分母中含有 . 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为 . 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先 ； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去 ，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 用分式方程解决实际问题的步骤： ：理解并找出实际问题中的等量关系; ：用代数式表示实际问题中的基础数据; ：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; ：求解方程; ：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. ：实际问题的答案. 【题型一 分式的相关概念】 【例1】在中，是分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【变式2】下列代数式中，，整式有 个，分式有 个． 【变式3】给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是 ． 【题型二 分式有无意义的条件】 【例2】下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2】（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【变式3】当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【题型三 分式的求值】 【例3】若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【变式1】已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，那么的值是 ． 【变式3】已知，求的值． 【题型四 分式的基本性质】 【例4】下列从左到右的变形，错误的是（   ） A．（） B． C． D． 【变式1】不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式= 【变式2】若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【变式3】利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五 约分、通分】 【例5】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式1】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】通分： (1)，，； (2)，． 【变式3】约分 (1) (2) 【题型六 最简分式、最简公分母】 【例6】分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（1）分式，的最简公分母是 ． （2）分式，的最简公分母是 ． 【变式2】分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【变式3】下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个． 【题型七 分式的混合运算】 【例7】计算 (1) (2) 【变式1】化简：． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】化简：． 【题型八 分式的化简求值】 【例6】先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【变式1】先化简，再求值，其中x是的整数解． 【变式2】先化简：，再从中选择一个合适的值代入求值 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【题型九 解分式方程】 【例9】解方程： (1)； (2)． 【变式1】嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题： 嘉嘉说：“分式比多1时，的值是1”； 琪琪说：“比多1的情况根本不存在”． 你同意谁的观点呢？为什么？ 【变式2】解方程：． 【变式3】数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张不透明的硬纸片正面上分别写出一个关于的代数式，背面分别标上序号①，②，③，摆成如图所示的一个等式，然后分别翻开纸片②，③，发现其上的代数式分别是，． (1)求纸片①上的代数式； (2)李老师说：“我心里想着一个数，能使①上的代数式与相等．”请求出李老师心中想的数． 【题型十 根据分式方程解的情况求值】 【例10】若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【变式1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【变式2】已知分式方程的解为，则的值为 ． 【变式3】已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【题型十一 分式方程的实际应用】 【例11】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 【变式1】某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 【变式2】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续肮里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． (1)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【变式3】某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 【题型一 分式值为零时忽略分母不为零】 【例1】如图是小明做的练习题，则他做对了（    ） 姓名： 小明 1．数据0.0000005用科学记数法表示为 2．将分式化为最简分式得； 3．若，则 7 ； 4．若分式的值为0，则等于 2 ． 5．若，则0． A．5道 B．4道 C．3道 D．2道 【变式1】如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．0 B．6 C．-6 D． 【变式2】若分式的值等于，则 ． 【变式3】若分式的值为0，则的值为 ． 【题型二 分式的求整问题】 【例2】若整数m使为正整数，则m的值为 ． 【变式1】若分式的值为正整数，则整数的值为 ． 【变式2】若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ； 【变式3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【题型三 分式混合运算问题】 【例3】已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【变式3】下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 ＝第五步 第六步 任务：填空 (1)以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　 ； A．整式乘法 B．因式分解 (2)以上化简步骤中，第 　　 步是进行分式的通分，其依据是 　　 ； (3)第 　　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　 ． (4)请直接写出正确结果 　　 ． 【题型四 分式化简求值问题】 【例4】已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式1】设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知，则= ． 【变式3】化简求值： (1)先化简：，再请从中选择一个你喜欢的数代入求值． (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【题型五 分式方程的增根问题】 【例5】【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【变式1】分式方程有增根，求k的值． 【变式2】若分式方程有增根，则a的值为 ． 【变式3】已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【题型六 分式方程的无解问题】 【例6】若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①②④ 【变式1】关于分式方程无解，则的值为 ． 【变式2】已知关于x的分式方程．当a为何值时此方程无解？ 【变式3】如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【题型七 分式方程的实际应用问题】 【例7】某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【变式1】今年中秋节前夕某超市用5000元购进一批月饼进行试销，很快销售一空．于是超市又调拨了11000元资金购进该种月饼，这次的进货价比试销时的进货价每块多元，购进的数量是试销时购进数量的2倍． (1)求试销时该种月饼每块进货价是多少元? (2)超市将第二批购进的月饼按试销时的标价出售后，余下的八折售完，试销和第二批两次销售中，超市总盈利不少于7680元，那么该种月饼试销时每块标价至少为多少元? 【变式2】某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批      x 16000 第二批     2x   34000 (1)该商场两次共购进这种电子产品多少件？ (2)如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 【变式3】根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【题型八 分式方程的新定义问题】 【例8】定义一种新运算：，若，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 【变式2】定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③若的值为0，则．正确的结论是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【变式3】定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式和分式方程（5知识&11题型&8易错） 【清单01 分式概念与性质】 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【清单02 分式的基本性质】 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【清单03 分式的约分、通分】 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 【清单04 分式的四则运算】 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 3、分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 4、分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 5、分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【清单05 分式方程】 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型一 分式的相关概念】 【例1】在中，是分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的性质分析判断即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】 在中，是分式的有是分式，共3个， 故选C 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键． 【变式1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 【变式2】下列代数式中，，整式有 个，分式有 个． 【答案】 3 3 【分析】本题考查整式与分式的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据整式与分式的定义，逐个分析判断，即可解答． 【详解】解： ∵分母不含有字母，是整式， 中分母含有字母，是分式， ∴整式有3个，分式有3个． 故答案为：3，3． 【变式3】给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 第偶数个分式符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方，据此求解即可． 【详解】解：第偶数个式子符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方， ∴第2022个分式是． 故答案为：． 【题型二 分式有无意义的条件】 【例2】下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：A、要使分式有意义，则，即，故符合题意； B、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； C、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； D、要使分式有意义，则，即，故不符合题意． 故选：A． 【变式1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 【变式2】（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义与无意义的条件； （1）根据分式有意义可得，再进一步求解即可； （2）根据分式无意义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【答案】且，或 【分析】本题考查分式有无意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：当有意义时：， ∴且； 当无意义时：， ∴或． 【题型三 分式的求值】 【例3】若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；由分式变形为，然后代值进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 当时，原式． 故选B． 【变式1】已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了异分母的分式的加法，整体代入求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将左边进行通分，得到，整理成，可知，将代入即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 【变式3】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的求值，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ． 【题型四 分式的基本性质】 【例4】下列从左到右的变形，错误的是（   ） A．（） B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的基本性质、利用因式分解约分，解题关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：选项，（），变形正确，不符合题意， 选项，，变形正确，不符合题意， 选项，，变形正确，不符合题意， 选项，，变形错误，符合题意． 故选：． 【变式1】不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式= 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 将分子提取负号化简即可． 【详解】 故答案为： 【变式2】若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：3． 【变式3】利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型五 约分、通分】 【例5】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分子分母先进行因式分解，再约去公因式即可； （2）分子分母先进行因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【变式1】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查通分，解题的关键是找到最简公分母，先确定每一组分式的最简公分母，再根据分式的性质，化成同分母的分式即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式2】通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 【变式3】约分 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质化简即可； （2）先对分子分母因式分解，再约分． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型六 最简分式、最简公分母】 【例6】分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义． 将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式． 【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式． 综上，最简分式的个数是个． 故选：． 【变式1】（1）分式，的最简公分母是 ． （2）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义以及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． （1）根据最简公分母的求法求解即可； （2）根据最简公分母的求法求解即可． 【详解】解：（1）分式，的最简公分母是． 故答案为：． （2）分式，的最简公分母是． 故答案为：． 【变式2】分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 【变式3】下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②不是最简分式，不符合题意； ③不是最简分式，不符合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有2个， 故答案为：2． 【题型七 分式的混合运算】 【例7】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化为同分母，再约分； （2）先将除法化为乘法，再将最后一个分式的分母、分子分别分解因式，然后约分即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则计算小括号内的，然后根据分式除法运算法则进行计算即可； （2）先将小括号内的分式进行约分，然后根据分式加减运算法则计算，最后根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通分计算括号内，再除法变乘法，然后约分化简即可． 【详解】解：， ， ． 【题型八 分式的化简求值】 【例6】先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】；当，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取的值是解题的关键． 根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有． ∴当时，原式． 【变式1】先化简，再求值，其中x是的整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，分式加减乘除混合运算，求一元一次不等式的整数解，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把使分式有意义的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式= =． ∵的整数解为，，0，1， 当，，1时，分式无意义， ∴， ∴原式． 【变式2】先化简：，再从中选择一个合适的值代入求值 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，结合分母不为0以及，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴把代入，得． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【题型九 解分式方程】 【例9】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 【变式1】嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题： 嘉嘉说：“分式比多1时，的值是1”； 琪琪说：“比多1的情况根本不存在”． 你同意谁的观点呢？为什么？ 【答案】同意琪琪的观点，见解析 【分析】本题主要考查了列分式方程，解分式方程．解出方程，即可解答． 【详解】解：同意琪琪的观点． 因为分式比多1， 所以可得方程， 去分母，得． 解得． 检验，当时，， 所以是原方程的增根，原方程无解， 即不存在比多1的情况， 故同意琪琪的观点． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母化为整式方程，再解方程，并检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，． 所以是原分式方程的解． 【变式3】数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张不透明的硬纸片正面上分别写出一个关于的代数式，背面分别标上序号①，②，③，摆成如图所示的一个等式，然后分别翻开纸片②，③，发现其上的代数式分别是，． (1)求纸片①上的代数式； (2)李老师说：“我心里想着一个数，能使①上的代数式与相等．”请求出李老师心中想的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算以及分式方程的解法．而分式方程的求解，关键在于通过去分母将其转化为整式方程，求出整式方程的解后，必须进行检验，确保解不会使原分式方程的分母为零，因为分母为零时分式无意义． （1）根据等式关系，通过移项可求出纸片①上的代数式； （2）根据已知条件列出分式方程，然后求解并检验． 【详解】（1）解：已知，移项可得． 因为纸片②上的代数式是，纸片③上的代数式是， 所以纸片①上的代数式为： ． （2）解：根据题意，纸片①上的代数式与相等， 可列出方程：， 可得：，解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 【题型十 根据分式方程解的情况求值】 【例10】若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 【变式2】已知分式方程的解为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【变式3】已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】，且 【分析】本题主要考查分式方程的解法，分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为非负数列出不等式，求出不等式的解集得到a的范围，再根据分式分母不为零，得到a的取值，即可确定出a的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 分式方程的解为非负数． ， ∵， ∴， 解得，且． 【题型十一 分式方程的实际应用】 【例11】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 【答案】燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设两款车的续航里程均为a千米，根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元），（元） 答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元． 【变式1】某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 【答案】乙工程队每天改造50米管道 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米． 根据题意得，． 解得． 经检验，是原方程的根． 答：乙工程队每天改造50米管道 【变式2】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续肮里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． (1)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （2）设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 【变式3】某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款n盒，则购进A款盒， 款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ，解得：， 根据题意得：，解得：， ，n取整数为50，51，52， 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）． 因为，所以购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大． 【题型一 分式值为零时忽略分母不为零】 【例1】如图是小明做的练习题，则他做对了（    ） 姓名： 小明 1．数据0.0000005用科学记数法表示为 2．将分式化为最简分式得； 3．若，则 7 ； 4．若分式的值为0，则等于 2 ． 5．若，则0． A．5道 B．4道 C．3道 D．2道 【答案】D 【分析】根据绝对值较小的数科学记数法，分式的化简，平方差公式，分式的值为0，分式的加减运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：1．数据0.0000005用科学记数法表示为，故第1题错误； 2． ，故第2题正确； 3．∵， ∴，故第3题错误； 4．∵分式的值为0， ∴且， 解得：，故第4题错误； 5． ， ∵， ∴， ∴，即，故第5题正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了绝对值较小的数科学记数法，分式的化简，平方差公式，分式的值为0，分式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是一道基础题． 【变式1】如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．0 B．6 C．-6 D． 【答案】B 【分析】根据分子等于0，分母不等于0，求出解． 【详解】∵分式， ∴，且， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，即分式的值为0的要求是分式的分子等于0，分母不等于0． 【变式2】若分式的值等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 【变式3】若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 【题型二 分式的求整问题】 【例2】若整数m使为正整数，则m的值为 ． 【答案】0，1，2，5 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵为正整数， ∴是6的正因数， 即，2，3，6． 解得，1，2，5， 故答案为：0，1，2，5． 【变式1】若分式的值为正整数，则整数的值为 ． 【答案】0或1 【分析】先把分式进行约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值． 【详解】， 要使的值是正整数，则分母必须是4的约数， 即或或， 则或或(舍去)， 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了分式的化简、分式的值，利用约分的方法进行分析是解决问题的关键． 【变式2】若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ； 【答案】 【分析】先将分子和分母分解因式，再约分，然后根据题意确定x的值，且保证分母不等于0． 【详解】由，其中， 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得（舍去）． 所以符合题意的x的值的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式求值，注意分式有意义的条件是分母不等于0． 【变式3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【题型三 分式混合运算问题】 【例3】已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的化简求值、列分式方程、解分式方程等，掌握这些是解题的关键． （1）先根据分式值相等列出方程，通过因式分解、去分母求解，再检验解的合理性； （2）先将分式除法转化为乘法，化简后进行减法运算．再代入x的值计算结果即可． 【详解】（1）解：由题意得： 去分母得： 解得： 经检验：是原分式方程的解． 所以，当时，分式和分式的值相等. （2）由题意得： ， 当时，原式． 所以当时，求分式的值为． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方，再算乘除法，最后算加减； （2）先算括号里的，再把除法转化为乘法后分解因式进行约分； （3）先算乘方和括号里的，再算加减； 本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解和相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据分式的混合运算，逐步分析找出错误及错因； （2）根据分式的混合运算正确计算，化为最简，再代入求值； （3）根据分式的混合运算，写出注意事项，答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：以上计算步骤中，第1步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母， 故答案为：1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母； （2）解： 当时， 原式； （3）解：答案不唯一，如：注意分式中分母的取值范围，特别是除式中分子、分母都不能等于0；分式的混合运算中顺序类似于有理数混合运算，先计算乘方，再乘除，最后计算加减，有括号要先算括号里面的等等． 【变式3】下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 ＝第五步 第六步 任务：填空 (1)以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　 ； A．整式乘法 B．因式分解 (2)以上化简步骤中，第 　　 步是进行分式的通分，其依据是 　　 ； (3)第 　　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　 ． (4)请直接写出正确结果 　　 ． 【答案】(1)B (2)三，分式的基本性质 (3)四，第二个括号去括号时后两项没有变号 (4) 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分、几种常见的分解因式的方法和完全平方公式． （1）观察分式中的分子和分母进行判断即可； （2）观察第二步的过程，然后进行判断即可； （3）观察化简过程，然后根据去括号法则进行判断即可； （4）按照化简分式的一般步骤，进行化简即可． 【详解】（1）解：第一步将原式中的这一项变形为属于分解因式， 故选：B； （2）解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； （3）解：第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四，第二个括号去括号时后两项没有变号； （4）解： ， 故答案为：． 【题型四 分式化简求值问题】 【例4】已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值等知识．根据题意得到，，把所求代数式变形为再整体代入，化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D 【变式1】设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 【变式2】已知，则= ． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，完全平方公式，掌握算理灵活变形是解决问题的关键．将已知方程两边同除以进行变形，然后将所求代数式取倒数，将已知式子代入求解即可． 【详解】解：∵，方程两边同除以得： ， 即， ∴， 则， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】化简求值： (1)先化简：，再请从中选择一个你喜欢的数代入求值． (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题综合考查分式与整式的运算知识点． ()原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． ()①根据完全平方公式，对两边平方可得； ②先求的倒数，即进行化简可得，即可解答； 【详解】（1）解： ， ∵原式分母不能为， ∴，即； ，即；； ∴当时，． （2）①∵， ∴ ② 由①知， ∴原式， 即， ∴， 【题型五 分式方程的增根问题】 【例5】【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 【变式1】分式方程有增根，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入到整式方程，求出k的值即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：， 整理得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，整式方程无解，不符合题意； 当时，则：，解得：； 综上：． 【变式2】若分式方程有增根，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的值，先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得或，再分情况求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，a的值为或， 故答案为：或． 【变式3】已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，可知当时，方程无解，当时，方程的解为，因为分式方程的解为增根，所以可得：，解方程求出的值即可，本题中需要注意无解和增根的区别． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程无解， 此时； 当时， 可得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 检验：当时，原方程的增根为，符合题意； 当时，分式方程有增根． 故选：C． 【题型六 分式方程的无解问题】 【例6】若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为0的值）．通过通分将原方程转化为整式方程，分析不同a值对应的解是否为增根或方程是否矛盾． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得． 展开整理为． 解得 ()． 分析无解条件： 当： 方程变为，即， 矛盾，方程无解． 当：解为． 若此解使分母为0（即或），则原方程无解． 若， 则． 解得． 若， 则． 解得． 综上，a可取②③④． 应选项：B． 【变式1】关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 【变式2】已知关于x的分式方程．当a为何值时此方程无解？ 【答案】a的值为或或 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． 根据解分式方程的步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得关于的一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：原方程去分母，得， 解得． ①当，即时，原方程无解； ②当，即时，原方程无解． 把代入， 解得； ③当，即时，原方程无解． 把代入， 解得． 综上所述，满足条件的a的值为或或． 【变式3】如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 【题型七 分式方程的实际应用问题】 【例7】某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 【变式1】今年中秋节前夕某超市用5000元购进一批月饼进行试销，很快销售一空．于是超市又调拨了11000元资金购进该种月饼，这次的进货价比试销时的进货价每块多元，购进的数量是试销时购进数量的2倍． (1)求试销时该种月饼每块进货价是多少元? (2)超市将第二批购进的月饼按试销时的标价出售后，余下的八折售完，试销和第二批两次销售中，超市总盈利不少于7680元，那么该种月饼试销时每块标价至少为多少元? 【答案】(1)5元 (2)该种月饼试销时每块标价至少为8元 【分析】（1）设试销时该种月饼每块进货价为x元，则二次进货价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，设该种月饼试销时每块标价为m元，第二批进货数量为，试销的数量为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式的应用，理解题意列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设试销时该种月饼每块进货价为x元，则二次进货价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：试销时该种月饼每块进货价是为5元． （2）解：设该种月饼试销时每块标价为m元，第二批进货数量为，试销的数量为， 根据题意，得， 解得， 答：该种月饼试销时每块标价至少为8元． 【变式2】某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批      x 16000 第二批     2x   34000 (1)该商场两次共购进这种电子产品多少件？ (2)如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 【答案】(1)商场两次共购进这种电子产品件； (2)该商场每件电子产品的售价至少应为元. 【分析】本题主要考查了分式方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握总价、数量、单价的关系以及利润的计算方法是解题的关键． （1）根据第二批单价比第一批单价多10元这一关系，结合总价、数量、单价的关系列出方程，求解出第一批购进数量，进而求出两次共购进的数量． （2）先求出两批销售分别用的天数，从而得到总销售成本，再根据总利润不低于20%这一条件，结合利润的计算关系列出不等式，求解出售价的最小值． 【详解】（1）解：设第一批购进数量为件，则第一批单价为元，第二批单价为元，由题意得 ， 经检验，是原方程的解， ∴（件）， 答：商场两次共购进这种电子产品件； （2）解：第一批销售天数：（天）， 第二批销售天数：（天）， 总销售成本：（元）， 设每件售价为元，由题意可得 , ∴该商场每件电子产品的售价至少应为元. 【变式3】根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 【题型八 分式方程的新定义问题】 【例8】定义一种新运算：，若，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出两种情况：和，得出分式方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：∵， 当时，原方程化为：， 解得：； 当时，原方程化为：， ， ， ， ， 舍去， 经检验是原方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 【变式1】定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 【答案】1或3 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 【变式2】定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③若的值为0，则．正确的结论是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】①②/②① 【分析】先根据新运算将结论写出方程的分式方程，然后解方程即可判断． 【详解】解∶①∵， ∴，结论正确； ②由得， 去分母，得2x=2+x， 解得x=2， 将检验x=2是分式方程的根， 所以分式方程的解为x=2，故结论正确； ③由(x+1 )* (x-1) =0得， 所以(x+1 ) (x-1) =0， 2x≠0， ． 解得x=- 1或x=1，故③不正确． 故正确的结论是①②． 故答案为∶①②． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的步骤∶①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，正确理解新定义是解题的关键． 【变式3】定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $