专题1.7有理数的减法（知识点总结+9大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年 华东师大版数学七年级上册

1.7有理数的减法 【题型1】有理数减法法则的直接运算 1.核心知识点总结 -有理数减法的核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为。 -运算转化的关键：“两变一不变”——减号变加号、减数变其相反数，被减数的符号和绝对值不变。 2.高频考点梳理 -直接计算两个有理数的差（如正数减负数、负数减正数、负数减负数）。 -含分数或小数的有理数减法（如、）。 3.易错点警示 -漏变符号：如将误算为，忽略“减数3变相反数-3”。 -混淆“减号”与“负号”：如将误算为，未将减数的负号转化为正号。 4.解题技巧拆解 -步骤1：识别被减数和减数，明确“减号”位置； -步骤2：按“两变一不变”转化为加法（如）； -步骤3：根据有理数加法法则计算结果（同号相加取同号算绝对值，异号相加取绝对值大的符号算差）。 【例题1】．（2024-2025•吴川市校级期末）计算6﹣（﹣6）的结果等于（　　） A．﹣12 B．0 C．6 D．12 【变式题1-1】．（2024-2025•临沭县期末）若（　　）﹣（﹣2）＝3，则括号内的数是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【变式题1-2】．（2024-2025•南关区校级一模）计算﹣5﹣3的结果是（　　） A．2 B．﹣8 C．8 D．﹣2 【变式题1-3】．（2024-2025•河北区一模）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 【题型2】有理数减法与相反数的关联运算 1.核心知识点总结 -相反数的定义：若与互为相反数，则或。 -减法与相反数的结合：若求“减去的相反数”，可转化为。 2.高频考点梳理 -已知一个数，求它减去另一个数相反数的结果（如“求减去的相反数的差”）。 -利用相反数性质简化减法（如）。 3.易错点警示 -混淆“相反数”与“倒数”：如误将“减去的相反数”算成“减去的倒数”（即）。 -多步转化中符号出错：如将“减去的相反数”误算为（正确应为？不，的相反数是，正确应为，此处示例易错点为漏看“相反数”，如误算为）。 4.解题技巧拆解 -步骤1：先根据相反数定义求出“减数的相反数”（如减数为，其相反数为）； -步骤2：将原减法转化为“被减数+减数的相反数”（如）； -步骤3：按加法法则计算，避免符号叠加错误。 【例题2】．（2024-2025•海口期末）已知a，b互为相反数，则3﹣a﹣b＝ 　 　 ． 【变式题2-1】．（2024-2025•绥棱县校级月考）已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m﹣n等于．（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．10 【变式题2-2】．（2024-2025•安化县期末）a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a﹣b的值是 　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•上杭县期中）下列说法正确的是（　　） A．零减去一个数仍得这个数 B．零减去一个数等于加上这个数的相反数 C．互为相反数的两个数差为零 D．减去一个数，差一定大于被减数 【题型3】有理数减法与绝对值的基础结合 1.核心知识点总结 -绝对值的性质：，若()，则或。 -减法与绝对值的结合：先根据绝对值确定字母的可能值，再代入计算差。 2.高频考点梳理 -已知、，求的可能值(如，，求)。 -含绝对值的减法计算(如)。 3.易错点警示 -漏算绝对值的多解情况：如已知，只考虑，忽略。 -先算减法再取绝对值时符号错误：如将误算为(正确应为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：根据绝对值性质列出字母的所有可能值(如，则或)； -步骤2：分情况代入计算(注意每种情况的符号)； -步骤3：若含“绝对值的差”，先算绝对值内的减法，再取绝对值后计算。 【例题3】．（2024-2025•浦北县期末）已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．0 D．﹣12或0 【变式题3-1】．（2024-2025•肇源县期中）若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6 B．﹣2或6 C．4或﹣6 D．﹣4或﹣6 【变式题3-2】．（2024-2025•池州开学）已知|a|＝7，|b|＝|﹣2|且a＜b，则a﹣b的值是（　　） A．9或5 B．﹣9或5 C．9或﹣5 D．﹣9或﹣5 【变式题3-3】．（2024-2025•金乡县期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是 　 　 ． 【题型4】数轴上两点间距离的减法计算(提升) 1.核心知识点总结 -数轴两点间距离公式：若点表示数，点表示数，则(或)。 -距离与减法的关系：已知距离求点表示的数时，需分“点在左侧”和“点在右侧”两种情况。 2.高频考点梳理 -已知数轴上两点表示的数，求两点距离(如点为，点为，求)。 -已知一点表示的数和两点距离，求另一点表示的数(如点为，，求点)。 3.易错点警示 -忽略距离的双向性：如已知点为，，只算，忽略。 -混淆“距离”与“数的大小”：如误将“点在点左侧”等同于“”(正确应为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：画数轴辅助分析，标记已知点的位置； -步骤2：若求距离，直接代入公式，先算再取绝对值； -步骤3：若求未知点，设未知点为，列方程，分两种情况解方程(或)。 【例题4】．（2024-2025•惠民县期末）在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是　 　 ． 【变式题4-1】．（2024-2025•鄄城县期中）若数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、6，那么A、B两点间的距离为　 　 ． 【变式题4-2】．（2024-2025•东坡区期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n．则m﹣n＝　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•山西期末）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对距离”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对距离”为3． （1）﹣3和4关于1的“相对距离”为 　 　 ． （2）若a和5关于2的“相对距离”为6，求a的值． 【题型5】有理数减法在温度、水位与海拔变化中的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 -基准与正负定义：以标准状态（0℃/警戒水位/海平面）为0，上升/高于为正，下降/低于为负。 -核心公式：温差=最高温-最低温；实际水位=警戒水位+水位变化量；海拔差=较高地海拔-较低地海拔。 -本质：通过有理数减法法则转加法（），避免负数直接减负数。 2.高频考点梳理 -温差：已知含负数的最高/最低温，求温差； -水位：已知警戒水位与变化量，求实际水位或水位差； -海拔：已知两地海拔（含负）求差，或初始海拔与变化量求最终海拔。 3.易错点警示 -基准混淆：如“低于警戒水位1.2m”误记为（正确为）； -符号错误：如误算为（正确为）； -连续变化漏步：如“升3℃再降5℃”错算为。 4.解题技巧拆解 -通用步骤：①定基准标正负；②列算式（如温差=最高-最低）；③转加法（）；④按加法法则计算。 -场景细化：温差重点查负数变号；水位先算总变化量再加警戒水位；海拔直接用“高海拔-低海拔”判高低。 【例题5】．（2024-2025•无棣县期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（　　） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 【变式题5-1】．（2024-2025•长沙三模）2007年10月24日，搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架发射成功，技术人员对“嫦娥一号”进行了月球环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达310℃，白天阳光垂直照射的地方可达127℃，那么夜晚的温度降至（　　） A．437℃ B．183℃ C．﹣437℃ D．﹣183℃ 【变式题5-2】．（2024-2025•安陆市期末）甲、乙、丙三地海拔高度分别为﹣100米、﹣300米、500米，那么最高的地方比最低的地方高（　　） A．400米 B．600米 C．200米 D．800米 【变式题5-3】．（2024-2025•洛宁县期中）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）（单位：m）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 0.32 则下列说法正确的有（　　） ①这个星期的水位总体下降了0.01m； ②本周中星期一的水位最高； ③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43m． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6】有理数减法的盈亏/收支实际应用 1.核心知识点总结 -盈亏/收支的表示：盈利、收入为正，亏损、支出为负。 -最终结果计算：总盈亏=各次盈亏之和，最终余额=初始余额+总收入-总支出(或转化为全加法)。 2.高频考点梳理 -已知每日盈亏，求总盈亏(如5天盈亏分别为、、、、，求总盈亏)。 -已知初始余额和收支记录，求最终余额(如初始余额元，支出元，收入元，求最终余额)。 3.易错点警示 -正负符号与实际意义对应错误：如将“支出15元”误记为(正确应为)。 -总盈亏计算时漏加某一项：如忽略“0盈亏”的天数，导致结果偏差。 4.解题技巧拆解 -步骤1：整理数据，标注每笔的“正、负”(盈利/收入为正，亏损/支出为负)； -步骤2：列出计算式(总盈亏=各次盈亏相加，最终余额=初始余额+总盈亏)； -步骤3：将减法转化为加法，用运算律简化计算(如先算正数和、负数和，再求差)。 【例题6】．（2024-2025•荆州月考）手机移动支付给生活带来便捷，如图是王慧某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王慧当天微信收支的最终结果是（　　） 转账﹣来自李明+88.00 扫二维码付款﹣给刘香﹣37.00 A．收入51元 B．收入88元 C．支出37元 D．支出51元 【变式题6-1】．（2017秋•东莞市校级月考）小红出门买菜花了15元，妈妈给了她100元，她去买了火锅花了　 　 元正好花去了所有的钱，回家和爸爸妈妈好好的吃了一顿晚饭． 【变式题6-2】．（2024-2025•兴文县校级月考）如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款．图中“阴影部分”是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额是 　 　 ． 【变式题6-3】．（2024-2025•城关区校级期末）某服装店购进10件羊毛衫，实际销售情况如表所示：（售价超出成本为正，不足记为负） 件数（件） 3 2 2 1 2 钱数（元/件） ﹣10 ﹣20 +20 +30 +40 （1）这批羊毛衫销售中，最高售价的一件与最低售价的一件相差多少元？ （2）通过计算求出这家服装店在这次销售中盈利或者亏损多少元？ 【题型7】有理数加减混合运算：减法转化与运算律运用(提升) 1.核心知识点总结 -减法转化法则：两变一不变（减号变加号、减数变相反数，被减数不变），即； -加法运算律：交换律、结合律，需带符号交换/结合； -衔接逻辑：先将混合运算全转化为加法，再用运算律简化计算。 2.高频考点梳理 -基础：将加减混合算式转化为加法（如转），直接计算结果； -提升：用运算律简化（同号结合：；凑整结合：）。 3.易错点警示 -转化漏变号：如误转（正确为）； -交换漏带符号：如误变（正确为）。 4.解题技巧拆解 -通用步骤：①“两变”转化为全加法算式；②观察加数特征，选运算律（同号/凑整/相反数结合）；③分步计算（先算每组，再求总结果）； -提升技巧：优先结合“和为整数”或“同号”的数，减少计算量（如）。 【例题7】．（2024-2025•永修县校级月考）计算： （1）12﹣（+18）﹣（﹣4） （2） 【变式题7-1】．（2024-2025•张店区校级月考）计算： （1）0﹣30； （2）﹣30﹣（﹣85）； （3）﹣3﹣6﹣（﹣15）﹣（﹣10）； （4）． 【变式题7-2】．（2024-2025•市北区校级月考）计算： （1）7.21﹣（﹣9.35）； （2）； （3）（﹣19）﹣（+9.5）； （4）（﹣4）﹣（﹣4）． 【变式题7-3】．（2024-2025•息县校级月考）计算下列各题： （1）（﹣12）﹣（+8）﹣（+10）﹣（﹣8）； （2）（+55）﹣（﹣9.4）﹣（+32）﹣（+9.4）； （3）2（+1）﹣（﹣3）； （4）[（+0.25）]． 【题型8】有理数减法的新定义运算(培优) 1.核心知识点总结 -新定义运算的本质：根据题目规定的新规则(如“”)，将新运算转化为有理数减法(或加减混合)运算。 -新定义与减法的结合：先理解新符号的含义，再代入已知数按规则计算。 2.高频考点梳理 -单步新定义减法运算(如定义“”，求)。 -多步新定义运算(如定义“”，求)。 3.易错点警示 -误解新定义规则：如将“”误理解为“”，导致符号错误。 -多步运算时漏算括号：如计算“”时，先错算“”，忽略运算顺序。 4.解题技巧拆解 -步骤1：“翻译”新定义：明确新符号两侧的数(如、)对应的运算规则(谁减谁、是否含绝对值等)； -步骤2：代入数值：将已知数代入新规则，替换、等字母； -步骤3：按有理数运算顺序计算(先算括号内，再算括号外；先算减法转化，再算加减)。 【例题8】．（2024-2025•营山县校级月考）定义a※b＝a﹣b，如1※2＝1﹣2＝﹣1，则（﹣1※2）※（﹣3）＝ 　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•亭湖区校级月考）定义：若满足a﹣b＝﹣c，则称c是a与b的“博约差”．比如3﹣2＝1，那么3与2的“博约差”是﹣1，已知y是6x2﹣8kx+7与2（3x2﹣2x+k）的“博约差”，且不论x取何值，y始终是一个固定值．求k和y的值． 【变式题8-2】．（2024-2025•顺义区校级期中）新定义：如果有理数m、a、b满足条件|a﹣m|＝|b﹣m|（a≠b），那么m称为a与b的对称数．如：|5.5﹣3|＝|0.5﹣3|（5.5≠0.5），3称为5.5与0.5的对称数． （1）下列关于对称数的说法正确的是 　 　 （仅填序号） ①4.5是3与6的对称数； ②﹣3与3的对称数是0； ③1是﹣2与3的对称数． （2）若5是3与x的对称数，则x＝ 　 　 ；﹣2与6的对称数是 　 　 ． （3）若m是a与b的对称数，也是c与d的对称数，写出一个a、b、c、d之间始终成立的相等关系． 【变式题8-3】．（2024-2025•无锡月考）对于任意的两个有理数a、b，定义F（a，b）＝|a﹣b|﹣（a﹣b）．如F（1，2）＝|1﹣2|﹣（1﹣2）＝1﹣（﹣1）＝2． （1）计算F（2，5）的值； （2）计算F（5，9）﹣F（3，﹣8）的值． 【题型9】有理数减法的规律探究问题(培优) 1.核心知识点总结 -规律探究的方向：连续减法的结果变化(如“每次加2减3”)、循环规律(如“正、负交替减”)。 -减法规律的应用：通过计算前几项结果，总结规律，再推导第项或特定项的结果。 2.高频考点梳理 -连续位置变化的规律(如数轴上点从0出发，第一次左移1，第二次右移2，第三次左移3，…，求第10次后位置)。 -连续减法的结果规律(如计算)。 3.易错点警示 -找错规律周期：如将“左移1、右移2、左移3、右移4”误总结为“每次右移1”(实际每两次右移1)。 -推导第项时符号错误：如第次移动，若为奇数左移(负)，偶数右移(正)，忽略奇偶性导致符号错。 4.解题技巧拆解 -步骤1：计算前3-5项结果，记录每次变化(如第1次：，第2次：，第3次：，第4次：)； -步骤2：总结规律(如“第偶数次：，第奇数次：”，为次数)； -步骤3：验证规律(用第6、7项结果验证)，再代入求特定项(如第100次)。 【例题9】．（2024-2025•献县开学）（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 【变式题9-1】．（2024-2025•晋江市校级期中）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＞0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，|3﹣π|＝ 　 　 ；（写成去掉绝对值符号的形式不算出结果） （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝ 　 　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【变式题9-2】．（2024-2025•环翠区校级期中）（1）计算下列各式，将结果直接写在横线上： ||＝ 　 　 ，1 　 　 ； ||＝ 　 　 ， 　 　 ； ||＝ 　 　 ， 　 　 ． （2）将（1）中每行计算的结果进行比较，利用你发现的规律计算：． 【变式题9-3】．（2024-2025•山阳区校级月考）计算下列各式，将结果直接写在横线上： |1|＝　 　 ，1　 　 ； ||＝　 　 ，　 　 ； ||＝　 　 ，　 　 ． 将（1）中每行计算结果进行比较，利用你发现的规律计算（2）（3）题． （2）计算：|3.14﹣π|＝　 　 ； （3）计算：||+||+||+…+||+|1|． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．计算6﹣（﹣6）的结果等于（　　） A．﹣12 B．0 C．6 D．12 2．甲、乙、丙三地海拔高度分别为﹣100米、﹣300米、500米，那么最高的地方比最低的地方高（　　） A．400米 B．600米 C．200米 D．800米 3．北京2023年1月1日的天气显示为如图，该天的温差是（　　） A．1℃ B．10℃ C．19℃ D．9℃ 4．绥中六股河湿地是辽宁省重要的野生动物自然保护区．某日，绥中的气温是﹣6～13℃，则最高气温与最低气温相差（　　） A．17℃ B．19℃ C．6℃ D．13℃ 5．4℃比﹣8℃高（　　）℃． A．10 B．12 C．4 D．6 二．填空题（共5小题） 6．临汾冬季供暖后，小伟发现室内温度为18℃，此时冰箱冷冻室的温度为﹣7℃，则冷冻室的温度比室内的温度低 　 　 ℃． 7．已知|x|＝5，|y|＝7，且|x+y|＝x+y，则x﹣y＝　 　 ． 8．计算：|﹣5|﹣（﹣3）的结果是　 　 ． 9．已知|x|＝5，|y|＝2，且x＜y，则x﹣y的值为　 　 ． 10．一个减法算式，被减数、减数和差三个数的平均数是8，那么这个减法算式的被减数是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．计算下列各题： （1）（﹣12）﹣（+8）﹣（+10）﹣（﹣8）； （2）（+55）﹣（﹣9.4）﹣（+32）﹣（+9.4）； （3）2（+1）﹣（﹣3）； （4）[（+0.25）]． 12．若|a|＝8，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值． 13．小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释3﹣（﹣2）＝5． 14．某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球比赛的情况，标准为每人垫球25个． 垫球个数与标准数量的差值 ﹣10 ﹣6 0 8 10 12 人数 5 10 10 5 10 5 （1）求这个班45人平均每人垫球多少个； （2）规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分． 15．登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米） +260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105． （1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？ （2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7有理数的减法 【题型1】有理数减法法则的直接运算 1.核心知识点总结 -有理数减法的核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为。 -运算转化的关键：“两变一不变”——减号变加号、减数变其相反数，被减数的符号和绝对值不变。 2.高频考点梳理 -直接计算两个有理数的差（如正数减负数、负数减正数、负数减负数）。 -含分数或小数的有理数减法（如、）。 3.易错点警示 -漏变符号：如将误算为，忽略“减数3变相反数-3”。 -混淆“减号”与“负号”：如将误算为，未将减数的负号转化为正号。 4.解题技巧拆解 -步骤1：识别被减数和减数，明确“减号”位置； -步骤2：按“两变一不变”转化为加法（如）； -步骤3：根据有理数加法法则计算结果（同号相加取同号算绝对值，异号相加取绝对值大的符号算差）。 【例题1】．（2024-2025•吴川市校级期末）计算6﹣（﹣6）的结果等于（　　） A．﹣12 B．0 C．6 D．12 【答案】D 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数，先将减法转化为加法，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【解答】解：原式＝6+6 ＝12． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•临沭县期末）若（　　）﹣（﹣2）＝3，则括号内的数是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据被减数＝减数+差，列出算式计算即可求解． 【解答】解：3+（﹣2）＝1． 答：括号内的数是1． 故选：C． 【点评】考查了有理数的减法，关键是熟悉被减数＝减数+差的知识点． 【变式题1-2】．（2024-2025•南关区校级一模）计算﹣5﹣3的结果是（　　） A．2 B．﹣8 C．8 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：﹣5﹣3＝﹣8． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•河北区一模）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 【答案】B 【分析】利用有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． 【题型2】有理数减法与相反数的关联运算 1.核心知识点总结 -相反数的定义：若与互为相反数，则或。 -减法与相反数的结合：若求“减去的相反数”，可转化为。 2.高频考点梳理 -已知一个数，求它减去另一个数相反数的结果（如“求减去的相反数的差”）。 -利用相反数性质简化减法（如）。 3.易错点警示 -混淆“相反数”与“倒数”：如误将“减去的相反数”算成“减去的倒数”（即）。 -多步转化中符号出错：如将“减去的相反数”误算为（正确应为？不，的相反数是，正确应为，此处示例易错点为漏看“相反数”，如误算为）。 4.解题技巧拆解 -步骤1：先根据相反数定义求出“减数的相反数”（如减数为，其相反数为）； -步骤2：将原减法转化为“被减数+减数的相反数”（如）； -步骤3：按加法法则计算，避免符号叠加错误。 【例题2】．（2024-2025•海口期末）已知a，b互为相反数，则3﹣a﹣b＝ 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用整体思想求值即可． 【解答】解：根据题意可知，a+b＝0， ∴3﹣a﹣b＝3﹣（a+b）＝3﹣0＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查相反数，有理数的减法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•绥棱县校级月考）已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m﹣n等于．（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．10 【答案】C 【分析】首先根据题意求出m、n的值，然后计算． 【解答】解：根据题意可知，m＝﹣6， 又∵n比m的相反数小2， ∴n＝6﹣2＝4， ∴m﹣n＝﹣6﹣4＝﹣10． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•安化县期末）a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a﹣b的值是 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据a的相反数是它本身，b是最大的负整数求出a、b的值，然后根据有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：∵a的相反数是它本身， ∴a＝0， ∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∴a﹣b＝0﹣（﹣1）＝0+1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟知减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•上杭县期中）下列说法正确的是（　　） A．零减去一个数仍得这个数 B．零减去一个数等于加上这个数的相反数 C．互为相反数的两个数差为零 D．减去一个数，差一定大于被减数 【答案】B 【分析】根据相反数，有理数的减法法则判断即可． 【解答】解：A选项，零减去一个数等于这个数的相反数，故该选项不符合题意； B选项，零减去一个数等于这个数的相反数，故该选项符合题意； C选项，如：7﹣（﹣7）＝7+7＝14，故该选项不符合题意； D选项，如：1﹣2＝﹣1，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相反数，有理数的减法法则，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【题型3】有理数减法与绝对值的基础结合 1.核心知识点总结 -绝对值的性质：，若()，则或。 -减法与绝对值的结合：先根据绝对值确定字母的可能值，再代入计算差。 2.高频考点梳理 -已知、，求的可能值(如，，求)。 -含绝对值的减法计算(如)。 3.易错点警示 -漏算绝对值的多解情况：如已知，只考虑，忽略。 -先算减法再取绝对值时符号错误：如将误算为(正确应为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：根据绝对值性质列出字母的所有可能值(如，则或)； -步骤2：分情况代入计算(注意每种情况的符号)； -步骤3：若含“绝对值的差”，先算绝对值内的减法，再取绝对值后计算。 【例题3】．（2024-2025•浦北县期末）已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．0 D．﹣12或0 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质确定出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵|a﹣1|＝9，|b+2|＝6， ∴a﹣1＝9或a﹣1＝﹣9， b+2＝6或b+2＝﹣6， 解得a＝10或a＝﹣8， b＝4或b＝﹣8， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣8，b＝4或b＝﹣8， ∴a﹣b＝（﹣8）﹣4＝﹣12， 或a﹣b＝（﹣8）﹣（﹣8）＝﹣8+8＝0， 综上所述，a﹣b的值为﹣12或0． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的减法，熟记运算法则和性质是解题的关键，难点在于确定出a、b的值． 【变式题3-1】．（2024-2025•肇源县期中）若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6 B．﹣2或6 C．4或﹣6 D．﹣4或﹣6 【答案】B 【分析】运用绝对值和有理数加减运算方法进行讨论、求解． 【解答】解：∵|a|＝4， ∴a＝±4， 当a＝4时， a﹣b＝4﹣（﹣2）＝6； 当a＝﹣4时， a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， 故选：B． 【点评】此题考查了有理数用数轴表示和大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式题3-2】．（2024-2025•池州开学）已知|a|＝7，|b|＝|﹣2|且a＜b，则a﹣b的值是（　　） A．9或5 B．﹣9或5 C．9或﹣5 D．﹣9或﹣5 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据a＜b进一步确定a、b的值，再分别计算a﹣b即可． 【解答】解：∵|a|＝7，|b|＝|﹣2|， ∴a＝±7，b＝±2， ∵a＜b， ∴a＝﹣7，b＝2或a＝﹣7，b＝﹣2， 当a＝﹣7，b＝2时，a﹣b＝﹣7﹣2＝﹣9； 当a＝﹣7，b＝﹣2时，a﹣b＝﹣7﹣（﹣2）＝﹣7+2＝﹣5； 综上，a﹣b的值是﹣9或﹣5， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•金乡县期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是 　﹣2或﹣8　 ． 【答案】﹣2或﹣8． 【分析】由绝对值与相反数的意义，得出a＝±5，b＝±3，a+b＜0，进而逐一计算，即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，a＝±5，b＝±3， ∵a+b的绝对值与相反数相等， ∴a+b＜0， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2＞0，不符合题意，舍去； 当a＝5，b＝3时，a+b＝8＞0，不符合题意，舍去； 综上可知，a﹣b的值是﹣2或﹣8． 故答案为：﹣2或﹣8． 【点评】本题考查了绝对值与相反数，有理数的减法，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【题型4】数轴上两点间距离的减法计算(提升) 1.核心知识点总结 -数轴两点间距离公式：若点表示数，点表示数，则(或)。 -距离与减法的关系：已知距离求点表示的数时，需分“点在左侧”和“点在右侧”两种情况。 2.高频考点梳理 -已知数轴上两点表示的数，求两点距离(如点为，点为，求)。 -已知一点表示的数和两点距离，求另一点表示的数(如点为，，求点)。 3.易错点警示 -忽略距离的双向性：如已知点为，，只算，忽略。 -混淆“距离”与“数的大小”：如误将“点在点左侧”等同于“”(正确应为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：画数轴辅助分析，标记已知点的位置； -步骤2：若求距离，直接代入公式，先算再取绝对值； -步骤3：若求未知点，设未知点为，列方程，分两种情况解方程(或)。 【例题4】．（2024-2025•惠民县期末）在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是　﹣1或3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解． 【解答】解：在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是1﹣2＝﹣1或1+2＝3． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 【变式题4-1】．（2024-2025•鄄城县期中）若数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、6，那么A、B两点间的距离为　10　 ． 【答案】10． 【分析】根据数轴上两点距离可直接进行求解． 【解答】解：根据数轴上两点距离可得：AB＝|﹣4﹣6|＝10， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查数轴上两点距离及有理数的减法运算，熟练掌握数轴上两点距离及有理数的减法运算是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•东坡区期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n．则m﹣n＝　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】先根据m，n互为相反数，可得：n＝﹣m，然后根据m＜n，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6，可得：n﹣m＝6，求出m﹣n的值即可． 【解答】解：∵m，n互为相反数， ∴n＝﹣m， ∵m＜n，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6， ∴n﹣m＝6， ∴m﹣n＝﹣（n﹣m）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查有理数的减法、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•山西期末）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对距离”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对距离”为3． （1）﹣3和4关于1的“相对距离”为 　7　 ． （2）若a和5关于2的“相对距离”为6，求a的值． 【答案】（1）7；（2）5或﹣1． 【分析】（1）读懂题意，利用新定义“相对距离”计算； （2）根据新定义列等式，求出a的值． 【解答】解：（1）|﹣3﹣1|+|4﹣1|＝4+3＝7． 故答案为：7． （2）由题意得：|a﹣2|+|5﹣2|＝6， ∴|a﹣2|+3＝6， ∴|a﹣2|＝3， a﹣2＝±3， ∴a＝5或﹣1． 【点评】本题考查了有理数加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义计算． 【题型5】有理数减法在温度、水位与海拔变化中的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 -基准与正负定义：以标准状态（0℃/警戒水位/海平面）为0，上升/高于为正，下降/低于为负。 -核心公式：温差=最高温-最低温；实际水位=警戒水位+水位变化量；海拔差=较高地海拔-较低地海拔。 -本质：通过有理数减法法则转加法（），避免负数直接减负数。 2.高频考点梳理 -温差：已知含负数的最高/最低温，求温差； -水位：已知警戒水位与变化量，求实际水位或水位差； -海拔：已知两地海拔（含负）求差，或初始海拔与变化量求最终海拔。 3.易错点警示 -基准混淆：如“低于警戒水位1.2m”误记为（正确为）； -符号错误：如误算为（正确为）； -连续变化漏步：如“升3℃再降5℃”错算为。 4.解题技巧拆解 -通用步骤：①定基准标正负；②列算式（如温差=最高-最低）；③转加法（）；④按加法法则计算。 -场景细化：温差重点查负数变号；水位先算总变化量再加警戒水位；海拔直接用“高海拔-低海拔”判高低。 【例题5】．（2024-2025•无棣县期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（　　） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 【答案】D 【分析】分别求出每天的温差，然后进行比较即可． 【解答】解：12月10日的温差为5﹣（﹣3）＝5+3＝8（℃）， 12月11日的温差为5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃）， 12月12日的温差为7﹣0＝7（℃）， 12月13日的温差为5﹣（﹣4）＝5+4＝9（℃）， ∴温差最大的一天是12月13日， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•长沙三模）2007年10月24日，搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架发射成功，技术人员对“嫦娥一号”进行了月球环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达310℃，白天阳光垂直照射的地方可达127℃，那么夜晚的温度降至（　　） A．437℃ B．183℃ C．﹣437℃ D．﹣183℃ 【答案】D 【分析】设夜晚的温度降至x℃，根据温差就是最高气温与最低气温的差，列方程即可． 【解答】解：设夜晚的温度降至x℃，由题意得： 127﹣x＝310． 解得：x＝﹣183 故选：D． 【点评】本题只要是考查了温差的概念，以及有理数的减法，是一个基础的题目． 【变式题5-2】．（2024-2025•安陆市期末）甲、乙、丙三地海拔高度分别为﹣100米、﹣300米、500米，那么最高的地方比最低的地方高（　　） A．400米 B．600米 C．200米 D．800米 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，可得两地的距离差，再用最大数减最小数，可得最高的地方比最低的地方高多少米． 【解答】解：500﹣（﹣300）＝800（米）． 答：最高的地方比最低的地方高800米． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，减一个数等于加这个数的相反数． 【变式题5-3】．（2024-2025•洛宁县期中）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）（单位：m）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 0.32 则下列说法正确的有（　　） ①这个星期的水位总体下降了0.01m； ②本周中星期一的水位最高； ③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43m． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】把所有水位变化的数据相加即可判断出①的正误；对于②，根据每日水位情况是与前一日相比较，则通过计算即可确定出每日的水位情况，从而进行判断；结合上述所得的每日水位情况，计算星期二与星期六的数据之差即可判断出③的正误． 【解答】解：①0.12﹣0.02﹣0.13﹣0.20﹣0.08﹣0.02+0.32＝﹣0.01， 所以，这个星期的水位总体下降了0.01m，故①正确； ②星期一：0.12， 星期二：0.12﹣0.02＝0.1， 星期三：0.1﹣0.13＝﹣0.03， 星期四：﹣0.03﹣0.2＝﹣0.23， 星期五：﹣0.23﹣0.08＝﹣0.31， 星期六：﹣0.31﹣0.02＝﹣0.33， 星期天：﹣0.33+0.32＝﹣0.01， 所以本周内星期一的水位最高，故②正确． ③本周内星期六的水位比星期二下降了0.1﹣（﹣0.33）＝0.43m，故③正确； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：D． 【点评】本题考查有理数的减法，正确记忆有理数的减法法则是本题的解题关键． 【题型6】有理数减法的盈亏/收支实际应用 1.核心知识点总结 -盈亏/收支的表示：盈利、收入为正，亏损、支出为负。 -最终结果计算：总盈亏=各次盈亏之和，最终余额=初始余额+总收入-总支出(或转化为全加法)。 2.高频考点梳理 -已知每日盈亏，求总盈亏(如5天盈亏分别为、、、、，求总盈亏)。 -已知初始余额和收支记录，求最终余额(如初始余额元，支出元，收入元，求最终余额)。 3.易错点警示 -正负符号与实际意义对应错误：如将“支出15元”误记为(正确应为)。 -总盈亏计算时漏加某一项：如忽略“0盈亏”的天数，导致结果偏差。 4.解题技巧拆解 -步骤1：整理数据，标注每笔的“正、负”(盈利/收入为正，亏损/支出为负)； -步骤2：列出计算式(总盈亏=各次盈亏相加，最终余额=初始余额+总盈亏)； -步骤3：将减法转化为加法，用运算律简化计算(如先算正数和、负数和，再求差)。 【例题6】．（2024-2025•荆州月考）手机移动支付给生活带来便捷，如图是王慧某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王慧当天微信收支的最终结果是（　　） 转账﹣来自李明+88.00 扫二维码付款﹣给刘香﹣37.00 A．收入51元 B．收入88元 C．支出37元 D．支出51元 【答案】A 【分析】将表格数据相减即可求解． 【解答】解：∵转账﹣来自李明+88.00，扫二维码付款﹣给刘香﹣37.00， ∴当天微信收支的最终结果是：88﹣37＝51（元）， ∴收入51元， 故选：A． 【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题6-1】．（2017秋•东莞市校级月考）小红出门买菜花了15元，妈妈给了她100元，她去买了火锅花了　85　 元正好花去了所有的钱，回家和爸爸妈妈好好的吃了一顿晚饭． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：100﹣15＝85（元）， 即她去买了火锅花了85元． 故答案为：85． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出式子是解答本题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•兴文县校级月考）如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款．图中“阴影部分”是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额是 　202.18元　 ． 【答案】202.18元． 【分析】利用239.18减去37即可得． 【解答】解：李阿姨计算出付款37元后的余额是239.18﹣37＝239.18+（﹣37）＝202.18（元）， 故答案为：202.18元． 【点评】本题考查了有理数减法的实际应用，正确理解正负数表示的意义是解题关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•城关区校级期末）某服装店购进10件羊毛衫，实际销售情况如表所示：（售价超出成本为正，不足记为负） 件数（件） 3 2 2 1 2 钱数（元/件） ﹣10 ﹣20 +20 +30 +40 （1）这批羊毛衫销售中，最高售价的一件与最低售价的一件相差多少元？ （2）通过计算求出这家服装店在这次销售中盈利或者亏损多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用最大的数减去最小的数即可： （2）首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱． 【解答】解：（1）40﹣（﹣20）＝60（元）， 答：最高售价的一件与最低售价的一件相差60元； （2）3×（﹣10）+2×（﹣20）+2×20+1×30+2×40 ＝80（元）， 答：该这家服装店在这次销售中是盈利了，盈利80元． 【点评】本题考查正数和负数以及有理数的减法，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 【题型7】有理数加减混合运算：减法转化与运算律运用(提升) 1.核心知识点总结 -减法转化法则：两变一不变（减号变加号、减数变相反数，被减数不变），即； -加法运算律：交换律、结合律，需带符号交换/结合； -衔接逻辑：先将混合运算全转化为加法，再用运算律简化计算。 2.高频考点梳理 -基础：将加减混合算式转化为加法（如转），直接计算结果； -提升：用运算律简化（同号结合：；凑整结合：）。 3.易错点警示 -转化漏变号：如误转（正确为）； -交换漏带符号：如误变（正确为）。 4.解题技巧拆解 -通用步骤：①“两变”转化为全加法算式；②观察加数特征，选运算律（同号/凑整/相反数结合）；③分步计算（先算每组，再求总结果）； -提升技巧：优先结合“和为整数”或“同号”的数，减少计算量（如）。 【例题7】．（2024-2025•永修县校级月考）计算： （1）12﹣（+18）﹣（﹣4） （2） 【答案】（1）﹣2；（2）． 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝12﹣18+4， ＝（12+4）﹣18 ＝16﹣18 ＝﹣2； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•张店区校级月考）计算： （1）0﹣30； （2）﹣30﹣（﹣85）； （3）﹣3﹣6﹣（﹣15）﹣（﹣10）； （4）． 【答案】（1）﹣30； （2）55； （3）16； （4）． 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝0+（﹣30） ＝﹣30； （2）原式＝﹣30+85 ＝55； （3）原式＝﹣9+15+10 ＝﹣9+25 ＝16； （4）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•市北区校级月考）计算： （1）7.21﹣（﹣9.35）； （2）； （3）（﹣19）﹣（+9.5）； （4）（﹣4）﹣（﹣4）． 【答案】（1）16.56； （2）﹣2； （3）﹣28.5； （4）． 【分析】根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． 【解答】解：（1）7.21﹣（﹣9.35）＝7.21+9.35＝16.56； （2）572； （3）（﹣19）﹣（+9.5）＝﹣19﹣9.5＝﹣28.5； （4）（﹣4）﹣（﹣4）＝﹣44． 【点评】本题考查有理数的减法运算，掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•息县校级月考）计算下列各题： （1）（﹣12）﹣（+8）﹣（+10）﹣（﹣8）； （2）（+55）﹣（﹣9.4）﹣（+32）﹣（+9.4）； （3）2（+1）﹣（﹣3）； （4）[（+0.25）]． 【答案】（1）﹣22； （2）23； （3）； （4）． 【分析】各个小题均先根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，然后交换加数位置，进行简便计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣12）+（﹣8）+（﹣10）+（+8） ＝﹣12﹣8﹣10+8 ＝﹣30+8 ＝﹣22； （2）原式＝（+55）+（+9.4）+（﹣32）+（﹣9.4） ＝55+9.4﹣32﹣9.4 ＝55﹣32+9.4﹣9.4 ＝23； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数加减法则． 【题型8】有理数减法的新定义运算(培优) 1.核心知识点总结 -新定义运算的本质：根据题目规定的新规则(如“”)，将新运算转化为有理数减法(或加减混合)运算。 -新定义与减法的结合：先理解新符号的含义，再代入已知数按规则计算。 2.高频考点梳理 -单步新定义减法运算(如定义“”，求)。 -多步新定义运算(如定义“”，求)。 3.易错点警示 -误解新定义规则：如将“”误理解为“”，导致符号错误。 -多步运算时漏算括号：如计算“”时，先错算“”，忽略运算顺序。 4.解题技巧拆解 -步骤1：“翻译”新定义：明确新符号两侧的数(如、)对应的运算规则(谁减谁、是否含绝对值等)； -步骤2：代入数值：将已知数代入新规则，替换、等字母； -步骤3：按有理数运算顺序计算(先算括号内，再算括号外；先算减法转化，再算加减)。 【例题8】．（2024-2025•营山县校级月考）定义a※b＝a﹣b，如1※2＝1﹣2＝﹣1，则（﹣1※2）※（﹣3）＝ 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据新定义先计算出﹣1※2，其结果再与﹣3按新定义的运算进行即可． 【解答】解：∵a※b＝a﹣b， ∴（﹣1※2）※（﹣3） ＝[（﹣1）﹣2]※（﹣3） ＝[﹣1+（﹣2）]※（﹣3） ＝（﹣3）※（﹣3） ＝（﹣3）﹣（﹣3） ＝﹣3+3 ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，新定义，理解新定义是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•亭湖区校级月考）定义：若满足a﹣b＝﹣c，则称c是a与b的“博约差”．比如3﹣2＝1，那么3与2的“博约差”是﹣1，已知y是6x2﹣8kx+7与2（3x2﹣2x+k）的“博约差”，且不论x取何值，y始终是一个固定值．求k和y的值． 【答案】，y＝﹣6． 【分析】根据题意得6x2﹣8kx+7﹣2（3x2﹣2x+k）＝﹣y，整理得（﹣8k+4）x﹣2k+7＝﹣y，结合“不论x取何值，y始终是一个固定值”得﹣8k+4＝0，即可得解．确定﹣8k+4＝0是解题的关键． 【解答】解：因为y是6x2﹣8kx+7与2（3x2﹣2x+k）的“博约差”， 所以6x2﹣8kx+7﹣2（3x2﹣2x+k）＝﹣y， 整理得：（﹣8k+4）x﹣2k+7＝﹣y①， ∵不论x取何值，y始终是一个固定值， ∴﹣8k+4＝0， 解得：， 把代入①，得：， 解得：y＝﹣6， 综上所述，，y＝﹣6． 【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是啊按照整式的计算法则计算． 【变式题8-2】．（2024-2025•顺义区校级期中）新定义：如果有理数m、a、b满足条件|a﹣m|＝|b﹣m|（a≠b），那么m称为a与b的对称数．如：|5.5﹣3|＝|0.5﹣3|（5.5≠0.5），3称为5.5与0.5的对称数． （1）下列关于对称数的说法正确的是 　①②　 （仅填序号） ①4.5是3与6的对称数； ②﹣3与3的对称数是0； ③1是﹣2与3的对称数． （2）若5是3与x的对称数，则x＝ 　7　 ；﹣2与6的对称数是 　2　 ． （3）若m是a与b的对称数，也是c与d的对称数，写出一个a、b、c、d之间始终成立的相等关系． 【答案】（1）①②； （2）7；2； （3）a+b＝c+d． 【分析】（1）根据新定义，仿照示例，逐一判断各结论，即可得到结果； （2）根据新定义，得到|3﹣5|＝|x﹣5|，|﹣2﹣y|＝|6﹣y|，即可得到结果； （3）根据题意，结合绝对值的几何意义，即可得到结果． 【解答】解：（1）①∵|3﹣4.5|＝1.5，|6﹣4.5|＝1.5， ∴|3﹣4.5|＝|6﹣4.5|， ∴4.5是3与6的对称数， 故结论①正确，符合题意； ②∵|﹣3﹣0|＝3，|3﹣0|＝3， ∴|﹣3﹣0|＝|3﹣0|， ∴﹣3与3的对称数是0， 故结论②正确，符合题意； ③∵|﹣2﹣1|＝3，|3﹣1|＝2， ∴|﹣2﹣1|≠|3﹣1|， 1不是﹣2与3的对称数， 故结论③不正确，不符合题意； 故答案为：①②； （2）∵5是3与x的对称数， ∴|3﹣5|＝|x﹣5|， ∴|x﹣5|＝2， ∴x﹣5＝±2， ∴x＝7或3（不符合题意）， ∴x＝7； 设﹣2与6的对称数是y， ∴|﹣2﹣y|＝|6﹣y|， ∴﹣2﹣y＝6﹣y或﹣2﹣y＝﹣6+y， ∴y＝2， 故答案为：7；2； （3）∵m是a与b的对称数，也是c与d的对称数， ∴|a﹣m|＝|b﹣m|，|c﹣m|＝|d﹣m|， ∴在数轴上，a，b到m的距离相等，且a≠b， c，d到m的距离相等，且c≠d， ∴a+b＝2m，c+d＝2m， ∴a+b＝c+d． 【点评】本题考查了新定义，有理数的运算，正确理解新定义，熟练进行有理数运算是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•无锡月考）对于任意的两个有理数a、b，定义F（a，b）＝|a﹣b|﹣（a﹣b）．如F（1，2）＝|1﹣2|﹣（1﹣2）＝1﹣（﹣1）＝2． （1）计算F（2，5）的值； （2）计算F（5，9）﹣F（3，﹣8）的值． 【答案】（1）6； （2）8． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【解答】解：（1）F（2，5） ＝|2﹣5|﹣（2﹣5） ＝3﹣（﹣3） ＝3+3 ＝6； （2）∵F（5，9） ＝|5﹣9|﹣（5﹣9） ＝4﹣（﹣4） ＝4+4 ＝8， F（3，﹣8） ＝|3﹣（﹣8）|﹣[3﹣（﹣8）] ＝|3+8|﹣|3+8| ＝11﹣11 ＝0， ∴F（5，9）﹣F（3，﹣8）＝8﹣0＝8． 【点评】本题考查了新定义运算、有理数减法运算、化简绝对值，正确理解新定义，掌握有理数的减法运算法则，绝对值的化简是解题的关键． 【题型9】有理数减法的规律探究问题(培优) 1.核心知识点总结 -规律探究的方向：连续减法的结果变化(如“每次加2减3”)、循环规律(如“正、负交替减”)。 -减法规律的应用：通过计算前几项结果，总结规律，再推导第项或特定项的结果。 2.高频考点梳理 -连续位置变化的规律(如数轴上点从0出发，第一次左移1，第二次右移2，第三次左移3，…，求第10次后位置)。 -连续减法的结果规律(如计算)。 3.易错点警示 -找错规律周期：如将“左移1、右移2、左移3、右移4”误总结为“每次右移1”(实际每两次右移1)。 -推导第项时符号错误：如第次移动，若为奇数左移(负)，偶数右移(正)，忽略奇偶性导致符号错。 4.解题技巧拆解 -步骤1：计算前3-5项结果，记录每次变化(如第1次：，第2次：，第3次：，第4次：)； -步骤2：总结规律(如“第偶数次：，第奇数次：”，为次数)； -步骤3：验证规律(用第6、7项结果验证)，再代入求特定项(如第100次)。 【例题9】．（2024-2025•献县开学）（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 【答案】（1）a＝6，b＝8，c＝﹣2；（2）图2比图1中6个数的平均数大． 【分析】（1）由﹣5+（﹣6）＝﹣11，﹣2+（﹣6）＝﹣8，﹣11+（﹣8）＝﹣19，再总结可得规律即可确定字母的值； （2）根据（1）中规律可得：b＝﹣4+12＝8，c＝12+（﹣14）＝﹣2，a＝b+c＝8+（﹣2）＝6，再进一步计算即可． 【解答】解：（1）根据表格可知，﹣5+（﹣6）＝﹣11， ﹣2+（﹣6）＝﹣8， ﹣11+（﹣8）＝﹣19， ∴图1中的规律为：两肩上的数字和等于头的数字； 根据规律补可得： b＝﹣4+12＝8， c＝12+（﹣14）＝﹣2， a＝b+c＝8+（﹣2）＝8﹣2＝6， （2）图2的6个数的平均数为：， 图1的6个数的平均数为：， ∴， ∴图2比图1中6个数的平均数大． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•晋江市校级期中）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＞0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，|3﹣π|＝ 　π﹣3　 ；（写成去掉绝对值符号的形式不算出结果） （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝ 　b﹣a　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【答案】（1）π﹣3；（2）b﹣a；（3）． 【分析】（1）根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）先化简绝对值，再进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|＝π﹣3； 故答案为：π﹣3； （2）∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a． 故答案为：b﹣a； （3）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值，相反数，掌握有理数的减法运算法则，绝对值的意义是关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•环翠区校级期中）（1）计算下列各式，将结果直接写在横线上： ||＝ 　　 ，1 　　 ； ||＝ 　　 ， 　　 ； ||＝ 　　 ， 　　 ． （2）将（1）中每行计算的结果进行比较，利用你发现的规律计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质及有理数减法进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）|1|＝1；1；||；；||；； 故答案为：；；；；；； （2）原式＝11． 【点评】此题考查的是绝对值及有理数的减法，掌握绝对值性质及有理数减法法则是解决此题关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•山阳区校级月考）计算下列各式，将结果直接写在横线上： |1|＝　　 ，1　　 ； ||＝　　 ，　　 ； ||＝　　 ，　　 ． 将（1）中每行计算结果进行比较，利用你发现的规律计算（2）（3）题． （2）计算：|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　 ； （3）计算：||+||+||+…+||+|1|． 【答案】（1）；；；；；．（2）π﹣3.14；（3）． 【分析】（1）利用有理数的减法法则和绝对值的意义运算即可； （2）利用（1）中的结论解答即可； （3）利用（1）中的结论去掉绝对值符号后化简运算即可． 【解答】解：（1）|1|＝||，1； ||＝||＝||，； ||＝||＝||，． 故答案为：；；；；；． （2）由（1）知：负数的绝对值等于它的相反数， ∴|3.14﹣π|＝π﹣3.14， 故答案为：π﹣3.14； （3）由（1）知：负数的绝对值等于它的相反数， ∴原式•••1 ＝1 ． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，绝对值的意义，正确利用绝对值的意义解答是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D D C B B 一．选择题（共5小题） 1．计算6﹣（﹣6）的结果等于（　　） A．﹣12 B．0 C．6 D．12 【答案】D 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数，先将减法转化为加法，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【解答】解：原式＝6+6 ＝12． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 2．甲、乙、丙三地海拔高度分别为﹣100米、﹣300米、500米，那么最高的地方比最低的地方高（　　） A．400米 B．600米 C．200米 D．800米 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，可得两地的距离差，再用最大数减最小数，可得最高的地方比最低的地方高多少米． 【解答】解：500﹣（﹣300）＝800（米）． 答：最高的地方比最低的地方高800米． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，减一个数等于加这个数的相反数． 3．北京2023年1月1日的天气显示为如图，该天的温差是（　　） A．1℃ B．10℃ C．19℃ D．9℃ 【答案】C 【分析】根据温差＝高温﹣低温，列出算式，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： 9﹣（﹣10） ＝9+10 ＝19（℃）， ∴该天的温差为19℃， 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 4．绥中六股河湿地是辽宁省重要的野生动物自然保护区．某日，绥中的气温是﹣6～13℃，则最高气温与最低气温相差（　　） A．17℃ B．19℃ C．6℃ D．13℃ 【答案】B 【分析】根据题意进行列式计算即可． 【解答】解：13﹣（﹣6）＝19（℃）． 故选：B． 【点评】本题靠有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．4℃比﹣8℃高（　　）℃． A．10 B．12 C．4 D．6 【答案】B 【分析】直接作差即可． 【解答】解：根据题意可知，4﹣（﹣8）＝4+8＝12（℃）． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 二．填空题（共5小题） 6．临汾冬季供暖后，小伟发现室内温度为18℃，此时冰箱冷冻室的温度为﹣7℃，则冷冻室的温度比室内的温度低 　25　 ℃． 【答案】25． 【分析】根据有理数的减法列式计算即可． 【解答】解：18﹣（﹣7）＝18+7＝25（℃）， 即冷冻室的温度比室内的温度低25℃． 故答案为：25． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．已知|x|＝5，|y|＝7，且|x+y|＝x+y，则x﹣y＝　﹣2，﹣12　 ． 【答案】﹣2，﹣12． 【分析】根据题意得出x和y的值，然后得出结论即可． 【解答】解：根据题意可知，x+y≥0， ∵|x|＝5，|y|＝7， ∴或， ∴x﹣y＝5﹣7＝﹣2，x﹣y＝﹣5﹣7＝﹣12． 故答案为：﹣2，﹣12． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，有理数的减法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 8．计算：|﹣5|﹣（﹣3）的结果是　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【解答】解：|﹣5|﹣（﹣3）＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 9．已知|x|＝5，|y|＝2，且x＜y，则x﹣y的值为　﹣7或﹣3　 ． 【答案】﹣7或﹣3． 【分析】根据绝对值的意义可得x＝±5，y＝±2，进而由x＜y得到x＝﹣5，y＝±2，再分别代入代数式计算即可求解． 【解答】解：∵|x|＝5， ∴x＝±5， ∵|y|＝2， ∴y＝±2， ∵x＜y， ∴x＝﹣5，y＝2或x＝﹣5，y＝﹣2， 当x＝﹣5，y＝2时，x﹣y＝﹣5﹣2＝﹣5+（﹣2）＝﹣7； 当x＝﹣5，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣5+2＝﹣3； 综上，x﹣y的值为﹣7或﹣3， 故答案为：﹣7或﹣3． 【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 10．一个减法算式，被减数、减数和差三个数的平均数是8，那么这个减法算式的被减数是　12　 ． 【答案】12． 【分析】先求出被减数，减数，差这三个数的和为8×3＝24，再结合减法中存在如下关系：被减数﹣减数＝差，减数+差＝被减数，由此可得被减数+减数+差＝被减数×2，进行求解，即可作答． 【解答】解：∵被减数、减数和差三个数的平均数是8， ∴被减数，减数，差这三个数的和为8×3＝24， ∵被减数＝减数+差， ∴被减数＝24÷2＝12， 故答案为：12 【点评】本题考查了平均数，减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．计算下列各题： （1）（﹣12）﹣（+8）﹣（+10）﹣（﹣8）； （2）（+55）﹣（﹣9.4）﹣（+32）﹣（+9.4）； （3）2（+1）﹣（﹣3）； （4）[（+0.25）]． 【答案】（1）﹣22； （2）23； （3）； （4）． 【分析】各个小题均先根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，然后交换加数位置，进行简便计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣12）+（﹣8）+（﹣10）+（+8） ＝﹣12﹣8﹣10+8 ＝﹣30+8 ＝﹣22； （2）原式＝（+55）+（+9.4）+（﹣32）+（﹣9.4） ＝55+9.4﹣32﹣9.4 ＝55﹣32+9.4﹣9.4 ＝23； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数加减法则． 12．若|a|＝8，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值． 【答案】﹣13或﹣3． 【分析】先根据|a|＝8，|b|＝5得a＝±8，b＝±5，再由a＜b确定a只能取﹣8，再分类讨论求解即可． 【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5， ∴a＝±8，b＝±5， ∵a＜b， ∴a＝﹣8，b＝5或a＝﹣8，b＝﹣5， 当b＝5时，a﹣b＝﹣8﹣5＝﹣13， 当b＝﹣5时，a﹣b＝﹣8﹣（﹣5）＝﹣3， 综上，a﹣b的值等于﹣13或﹣3． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的减法运算，解题的关键是注意分类讨论． 13．小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释3﹣（﹣2）＝5． 【答案】见解析． 【分析】根据已知和有理数减法运算法则先画图，然后即可求解． 【解答】解：故由题可知3﹣（﹣2）＝5，可以解释如下： ． 【点评】本题考查有理数减法运算的直观解释，理解题中图形解释是解题的关键． 14．某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球比赛的情况，标准为每人垫球25个． 垫球个数与标准数量的差值 ﹣10 ﹣6 0 8 10 12 人数 5 10 10 5 10 5 （1）求这个班45人平均每人垫球多少个； （2）规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分． 【答案】（1）27个； （2）290分． 【分析】（1）先求出45人总的垫球数，然后求出这个班45人平均每人垫球个数即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【解答】解：（1）﹣10×5+（﹣6）×10+0×10+8×5+10×10+12×5 ＝﹣50﹣60+0+40+100+60 ＝90（个）， （25×45+90）÷45＝1215÷45＝27（个）， 答：这个班45人平均每人垫球27个； （2）2×（8×5+10×10+12×5）﹣1×（|﹣10|×5+|﹣6|×10）＝290（分）， 答：这个班垫球总共获得290分． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握混合运算法则，准确计算． 15．登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米） +260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105． （1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？ （2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？ 【答案】（1）这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终距顶峰还有60米． （2）王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量． 【分析】（1）直接根据有理数的加减运算法则进行计算即可得出答案． （2）先计算出上升和下降的距离，再根据有理数乘法可得答案． 【解答】解：（1）260﹣50+90﹣20+80﹣25+105＝440（米）． 500﹣440＝60（米）． ∴这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终距顶峰还有60米． （2）|+260|+|﹣50|+|+90|+|﹣20|+|+80|+|﹣25|+|+105|＝630（米）， 630×8＝5040（千卡）． 所以王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，掌握其运算法则是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $