专题1.1有理数的引入（知识点总结+7大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版 七年级上册

1.1有理数的引入 【题型1】具有相反意义的量的识别与表示 1.核心知识点总结 -相反意义的量：需满足“两个要素”——包含相反的词语（如上升/下降、收入/支出）、单位统一（如“上升5米”与“下降3米”是，“上升5米”与“下降3厘米”不是）。 -正负数的表示规则：通常规定其中一个意义的量为正数（用“+”表示，可省略），另一个相反意义的量为负数（用“-”表示，不可省略），基准量（如海平面、标准温度）用0表示。 2.高频考点梳理 -判断给定情境中的量是否为“相反意义的量”（如“向东走10米”与“向西走8米”是，“向东走10米”与“向北走8米”不是）。 -根据实际情境用正负数表示具体量（如规定“盈利为正”，则亏损200元表示为-200元；规定“高于海平面为正”，则海拔-150米表示低于海平面150米）。 3.易错点警示 -忽略“单位统一”：误将“增产2吨”与“减产100千克”判定为相反意义的量（单位未统一）。 -混淆“相反意义”与“数值相反”：误将“盈利50元”与“亏损-50元”等同（“亏损-50元”实际是盈利50元，符号使用错误）。 -基准量判断错误：如“及格线为80分，小明考了75分”，误将75分表示为-80分（基准量应为80分，正确表示为-5分）。 4.解题技巧拆解 -第一步：找“相反关键词”（如上升/下降、收入/支出），确认是否存在相反意义； -第二步：统一单位（若单位不同，先转化为相同单位，再判断）； -第三步：确定基准量，明确“正数对应哪个意义”，再用正负数表示（可在草稿纸标注“+：XX意义，-：XX意义”）。 【例题1】．（2024-2025•湖南校级期中）白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为　 　 ℃． 【变式题1-1】．（2024-2025•嵩明县期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（　　） A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元 【变式题1-2】．（2024-2025•襄州区校级模拟）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 【变式题1-3】．（2024-2025•新华区期末）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【题型2】有理数的分类标准与类别判断 1.核心知识点总结 -有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数，本质是“能表示为（、为整数且）的数”。 -两种分类标准：①按定义分：有理数=整数+分数；②按正负分：有理数=正有理数（正整数+正分数）+0+负有理数（负整数+负分数）。 2.高频考点梳理 -判断单个或多个数属于有理数的哪一类别（如“3”是正整数/整数/有理数，“”是负分数/有理数，“0.6”是正分数/有理数）。 -按分类标准补全有理数集合（如在“负有理数集合”中填入给定数中的、、）。 -辨析“非有理数”（如、、0.1010010001…是无限不循环小数，不属于有理数）。 3.易错点警示 -漏判“0”的类别：误将0归为正整数或负整数（0是整数，既不是正数也不是负数）。 -小数分类错误：误将有限小数（如0.5）、无限循环小数（如）归为“非分数”（有限小数和无限循环小数均可化为分数，属于分数）。 -混淆分类标准：如按“正负分”时，误将“正分数”归为“正整数”（分类标准需统一，不可交叉混淆）。 4.解题技巧拆解 -按“定义分”的判断步骤：先看是否为整数（正整数、0、负整数），若不是，再看是否为分数（有限小数、无限循环小数均可化为分数）； -按“正负分”的判断步骤：先判断数的正负（正数、0、负数），再结合“整数/分数”细化类别； -非有理数判断技巧：若数是无限不循环小数（如）或不能化为（、为整数且）的数，即为非有理数。 【例题2】．（2024-2025•无为市期末）在﹣3.5，，，0中，有理数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式题2-1】．（2024-2025•兰山区期末）在下列有理数中：+12，﹣20，﹣3，0，+（﹣6），﹣|+3|，﹣（﹣2），负数的个数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式题2-2】．（2024-2025•江岸区校级开学）把下列各数填入它所属的集合内：． （1）整数集合：{　 　 }； （2）分数集合：{　 　 }； （3）非负数集合：{　 　 }． 【变式题2-3】．（2024-2025•宝安区月考）把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1；②；③+3.2；④0；⑤；⑥﹣6.5；⑦+108；⑧﹣4． （1）正整数集合{ 　 　 …}； （2）负分数集合{ 　 　 …}； （3）负有理数集合{ 　 　 …}； （4）有理数集合{ 　 　 …}． 【题型3】有理数的概念辨析与正误判断 1.核心知识点总结 -有理数的本质属性：①所有有理数都可表示为分数（整数可表示为分母为1的分数，如3=）；②有理数包括正数、0、负数（0是有理数的特殊存在，既不是正也不是负）。 -易混概念区分：①正数≠正有理数（如是正数但非有理数）；②负数≠负有理数（如是负数但非有理数）；③整数≠正整数（整数含0和负整数）。 2.高频考点梳理 -判断关于有理数的说法正误（如“所有整数都是有理数”正确，“所有有理数都是整数”错误，“0是最小的有理数”错误）。 -辨析易混表述（如“非正数”是0和负数，“非负整数”是0和正整数，“非有理数”是无限不循环小数）。 3.易错点警示 -绝对化表述误判：如“所有小数都是有理数”错误（无限不循环小数不是），“所有分数都是有理数”正确（分数本质符合有理数定义）。 -“非X”概念理解偏差：如误将“非正数”等同于“负数”（漏0），误将“非负整数”等同于“正整数”（漏0）。 -特殊数忽略：如判断“没有最大的有理数，也没有最小的有理数”时，误认为“0是最小的有理数”（负有理数比0小）。 4.解题技巧拆解 -正误判断“举反例法”：若说法为“所有A都是B”，找一个“是A但不是B”的例子即可证明错误（如判断“所有正数都是有理数”，举反例）； -“非X”概念拆解：“非X”=“所有不是X的有理数”，先明确X的范围，再补全“不是X”的部分（如“非正数”=有理数-正数=0+负数）； -特殊数验证：判断时必考虑0、负有理数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数（如）这几类特殊数。 【例题3】．（2024-2025•马边县期末）下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-1】．（2024-2025•北林区校级月考）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数分正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 【变式题3-2】．（2024-2025•汉阳区期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【变式题3-3】．（2024-2025•赛罕区校级月考）对于下列各数：﹣5，0，，﹣0.2，10%，8．下列说法错误的是（　　） A．﹣5，0，8都是整数 B．正整数有8 C．正数有，10%，8 D．﹣5是负有理数，但不能写成分数的形式 【题型4】相反意义的量与正负数的对应关系构建 1.核心知识点总结 -对应关系的“自定义性”：同一组相反意义的量，可自定义正负数对应（如“向东为正”则向西为负，也可“向西为正”则向东为负，但同一情境中对应关系需固定）。 -对应关系的“唯一性”：一旦确定某一意义为正，另一相反意义必为负（如规定“进货为正”，则出货必为负，不可同时为正或同时为负）。 2.高频考点梳理 -根据需求自定义对应关系（如“请规定‘前进’为正，用正负数表示‘前进5米’和‘后退3米’”，答案：+5米、-3米）。 -根据自定义对应关系解决问题（如“规定‘存入为正’，小明存入200元，再取出150元，用正负数表示两次操作，并计算最终余额变化”，操作：+200元、-150元，余额变化：+50元）。 3.易错点警示 -同一情境中对应关系“反复变更”：如先规定“上升为正”，计算时又改为“下降为正”，导致结果错误。 -自定义时“未明确基准”：如只写“+4kg”，未说明“以标准体重为基准，超过为正”，导致意义模糊。 -多组相反量对应混乱：如同一情境中有“盈利/亏损”“进货/出货”两组相反量，误将“盈利”和“进货”都记为正（需分别对应，如盈利为正、亏损为负；进货为正、出货为负）。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确“需对应的相反意义的量”（如“前进/后退”“存入/取出”）； -第二步：自定义“正方向”，并书面标注（如“规定：前进为正，后退为负”）； -第三步：按标注表示具体量（前进用“+数值”，后退用“-数值”）； -第四步：多组相反量处理：分别标注每组的正方向（如“①盈利为正，亏损为负；②进货为正，出货为负”），避免混淆。 【例题4】．（2024-2025•分宜县模拟）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为﹣0.01mm，第二个为+0.03mm，第三个为﹣0.04mm，第四个为+0.02mm，则这四个零件中质量最好的是（　　） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【变式题4-1】．（2024-2025•南岗区校级月考）若规定机器人前进为正，则﹣4米表示机器人（　　） A．前进4米 B．前进﹣2米 C．后退4米 D．后退﹣4米 【变式题4-2】．（2024-2025•樊城区期末）在国际排球比赛中，排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的质量为270±10g，仅从质量的角度考虑，以下排球质量符合要求的是（　　） A．255g B．265g C．290g D．295g 【变式题4-3】．（2024-2025•红花岗区校级期末）规定：（←3）表示向左移动3．记作﹣3，则（→5）表示向右移动5，记作（　　） A．+5 B．﹣5 C． D． 【题型5】具有相反意义的量的多情境综合应用（提升） 1.核心知识点总结 -多情境的“独立对应”：同一问题中若有多个相反意义的量（如“盈利/亏损”“销量增加/减少”），需为每组量单独确定正负数对应（互不干扰）。 -多量的“关系计算”：通过正负数表示各量后，可根据实际需求计算总量、差值（如总盈利=盈利额+亏损额的相反数，总销量变化=增加量+减少量的相反数）。 2.高频考点梳理 -多情境下正负数的表示（如“某商店1月：盈利3000元，销量增加20件；2月：亏损500元，销量减少8件。规定‘盈利、增加为正’，用正负数表示两月的盈利和销量变化”，1月：+3000元、+20件；2月：-500元、-8件）。 -多量的综合计算（如计算两月总盈利：3000+(-500)=2500元；计算两月销量总变化：20+(-8)=12件，即总增加12件）。 3.易错点警示 -多组量“对应混淆”：如将“盈利”和“销量增加”都记为正，但计算时误将“亏损500元”按“销量减少”的规则处理（两组量对应独立，需分别计算）。 -计算时“符号遗漏”：如计算总盈利时，直接用3000+500=3500元（漏写亏损的“-”号，正确应为3000-500=2500元）。 -情境“隐含条件忽略”：如“某工厂上月库存100件，本月进货+50件，出货-30件”，误算本月库存为100+50-30=120件（“出货-30件”实际是出货30件，应记为-30件，正确库存=100+50+(-30)=120件，此处虽结果对，但符号理解错误，若出货为+30件则错误）。 4.解题技巧拆解 -第一步：“列表梳理”：将每组相反意义的量列成表格，标注“量的类型”“正方向”“具体数值的正负数表示” -第二步：“分类计算”：按“量的类型”分别计算（如先算总盈利，再算总销量变化，不交叉计算）； -第三步：“结果解读”：计算结果为正→对应正方向意义，为负→对应反方向意义（如总盈利+2500元→总盈利2500元，总销量变化-3件→总减少3件）。 【例题5】．（2024-2025•新安县期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　 　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【变式题5-1】．（2024-2025•宝安区月考）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）若9月30日游客为2万，则10月2日游客的人数为多少？ （2）请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ （3）求这一次黄金周期间游客的总人数． 【变式题5-2】．（2024-2025•绥阳县期末）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：﹣10，13，12，﹣9，﹣11，9，﹣14． （1）当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ （2）在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ （3）若小李的平均运营额为3.2元/千米，成本为1.4元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 【变式题5-3】．（2024-2025•大余县期末）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 ﹣3 ﹣5 +7 ﹣8 +21 ﹣6 （1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？ （3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？ 【题型6】有理数分类的创新性应用（培优） 1.核心知识点总结 -有理数的集合表示：①用大括号表示（如整数集合：{…,-2,-1,0,1,2,…}，正分数集合：{,,,…})；②用韦恩图表示类别关系(如“有理数”为大圈，内部包含“整数”和“分数”两个无交集的小圈；“整数”小圈内部又包含“正整数”“0”“负整数”三个无交集的更小圈)。 2.高频考点梳理 -用韦恩图表示有理数分类(如绘制“有理数-整数-分数-正整数-0-负整数-正分数-负分数”的韦恩图，标注各圈的包含关系)。 -根据集合关系填数(如“在‘整数集合’与‘负有理数集合’的交集内填入-3、-5、-1”，交集为负整数集合)。 -结合集合计算“元素个数”(如“给定数：-2、、0、5、、，求‘有理数集合’中的元素个数”，答案：5个，排除)。 【例题6】．（2024-2025•肇源县月考）把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． 【变式题6-1】．（2024-2025•旌阳区校级月考）将下列各数填在相应的圆圈里： +6，﹣8，75，﹣0.5，0，25%，，﹣2024，﹣1.8． 【变式题6-2】．（2024-2025•浦江县校级月考）将下列各数填入它所在的数集的圈里： 24，﹣30%，﹣0.314，8.9，7，﹣9，，0，﹣93 【变式题6-3】．（2024-2025•内乡县校级月考）将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.6，﹣100，，9.2，0，1，0.． 【题型7】有理数分类的自定义问题(培优) 1.核心知识点总结 -自定义分类原则：①标准明确（基于有理数属性，如与整数关系、绝对值、余数等）；②不重不漏（所有有理数归且仅归一类）。 -常见拓展方向：按“除以n的余数”“整数部分特征”“绝对值大小”分（如按“绝对值是否＞1”分）。 2.高频考点梳理 -按自定义标准分类（如“按绝对值是否为整数”，分-3、0与、4.5）； -从分类结果推导标准（如从“①-5、3；②、2.5”推“整数/分数”标准）； -验证标准合理性（如判断“分正数、负数”是否漏0）。 3.易错点警示 -标准模糊（如“按大小分大数/小数”，无明确界限）； -违背“不重不漏”（如漏0、同一数归多类）； -脱离有理数属性（如“按颜色分”，无效）。 4.解题技巧拆解 -设计标准：定属性依据→明分类结果→验“不重不漏”； -推导标准：找两组数共同属性（如“是否为整数”）； -验证：查遗漏/重复，判标准是否明确。 【例题7】．（2024-2025•海淀区校级期末）定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（﹣2，3）＝　 　 ； （2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•桥西区期中）如果一对有理数a，b使等式a﹣b＝ab﹣1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”记（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中是“共生有理数对”的是（　　） A． B．（﹣4，2） C． D． 【变式题7-2】．（2024-2025•船营区校级期中）定义：对于任意两个有理数m，n，可以组成一个有理数对（m，n）．我们规定：（a，b）＝a﹣b+（﹣2）．例如：（﹣2，5）＝﹣2﹣5+（﹣2）＝﹣9．则有理数对（2，﹣1）＝　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•西城区校级期中）观察下列两个等式： ，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b）． 如：数对，，都是“同心有理数对” （1）数对（﹣2，1），是“同心有理数对”的有 　 　 ． （2）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　 　 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．大米包装袋上标有10±0.1kg的标识，则下列大米质量符合标准的是（　　） A．9.86kg B．9.98kg C．10.12kg D．11.3kg 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（　　） A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元 3．2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 4．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 5．下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 A．9月10日21时 B．9月12日4时 C．9月11日4时 D．9月11日2时 二．填空题（共5小题） 6．白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为　 　 ℃． 7．已知下列各数：3.14，24，+17，，，﹣0.001，0，其中负分数有　 　 个，非负数有　 　 个． 8．学校对六年级男生进行了“1分钟跳绳”的体育测验，每分钟135次为优秀，小军跳了140次，成绩记作+5，小虎跳了128次，记作　 　 ，小龙跳了169次，记作　 　 ． 9．在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作 　 　 个． 10．埃及与北京的时差为﹣6小时（“+”表示同一时刻埃及时间比北京时间早，“﹣”表示同一时刻埃及时间比北京时间晚），当北京时间是15：00时，埃及时间是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．最大的负整数是　 　 ，最小的正整数是　 　 ． 12．把下列各数填入它所属的集合内：． （1）整数集合：{　 　 }； （2）分数集合：{　 　 }； （3）非负数集合：{　 　 }． 13．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：100±3g，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：+0.1g、﹣5g、0g、﹣1.3g、+2g、+4g．这6袋面包中有　 　 袋是合格的． 14．某司机某天下午在一条南北向的马路上开出租车．如果规定向南为正，向北为负，该司机连续接送5位乘客的行程（单位：千米）如下：+4，﹣3，﹣5，+2，+6． （1）该司机下午接送这5位乘客到达目的地，行程一共是多少千米？ （2）若规定出租车的起步价为8元，起步行程为3千米以内（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问该司机上午一共收入多少车费？ 15．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　 　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1有理数的引入 【题型1】具有相反意义的量的识别与表示 1.核心知识点总结 -相反意义的量：需满足“两个要素”——包含相反的词语（如上升/下降、收入/支出）、单位统一（如“上升5米”与“下降3米”是，“上升5米”与“下降3厘米”不是）。 -正负数的表示规则：通常规定其中一个意义的量为正数（用“+”表示，可省略），另一个相反意义的量为负数（用“-”表示，不可省略），基准量（如海平面、标准温度）用0表示。 2.高频考点梳理 -判断给定情境中的量是否为“相反意义的量”（如“向东走10米”与“向西走8米”是，“向东走10米”与“向北走8米”不是）。 -根据实际情境用正负数表示具体量（如规定“盈利为正”，则亏损200元表示为-200元；规定“高于海平面为正”，则海拔-150米表示低于海平面150米）。 3.易错点警示 -忽略“单位统一”：误将“增产2吨”与“减产100千克”判定为相反意义的量（单位未统一）。 -混淆“相反意义”与“数值相反”：误将“盈利50元”与“亏损-50元”等同（“亏损-50元”实际是盈利50元，符号使用错误）。 -基准量判断错误：如“及格线为80分，小明考了75分”，误将75分表示为-80分（基准量应为80分，正确表示为-5分）。 4.解题技巧拆解 -第一步：找“相反关键词”（如上升/下降、收入/支出），确认是否存在相反意义； -第二步：统一单位（若单位不同，先转化为相同单位，再判断）； -第三步：确定基准量，明确“正数对应哪个意义”，再用正负数表示（可在草稿纸标注“+：XX意义，-：XX意义”）。 【例题1】．（2024-2025•湖南校级期中）白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为　﹣1　 ℃． 【答案】﹣1． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为﹣1℃． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式题1-1】．（2024-2025•嵩明县期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（　　） A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元 【答案】B 【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【解答】解：如果“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作﹣40元． 故选：B． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•襄州区校级模拟）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作﹣150℃． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式题1-3】．（2024-2025•新华区期末）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【答案】D 【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别． 【解答】解：∵支出1000元记作﹣1000元， ∴+1080元表示表示收入1080元， 故选：D． 【点评】此题考查了正数和负数，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【题型2】有理数的分类标准与类别判断 1.核心知识点总结 -有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数，本质是“能表示为（、为整数且）的数”。 -两种分类标准：①按定义分：有理数=整数+分数；②按正负分：有理数=正有理数（正整数+正分数）+0+负有理数（负整数+负分数）。 2.高频考点梳理 -判断单个或多个数属于有理数的哪一类别（如“3”是正整数/整数/有理数，“”是负分数/有理数，“0.6”是正分数/有理数）。 -按分类标准补全有理数集合（如在“负有理数集合”中填入给定数中的、、）。 -辨析“非有理数”（如、、0.1010010001…是无限不循环小数，不属于有理数）。 3.易错点警示 -漏判“0”的类别：误将0归为正整数或负整数（0是整数，既不是正数也不是负数）。 -小数分类错误：误将有限小数（如0.5）、无限循环小数（如）归为“非分数”（有限小数和无限循环小数均可化为分数，属于分数）。 -混淆分类标准：如按“正负分”时，误将“正分数”归为“正整数”（分类标准需统一，不可交叉混淆）。 4.解题技巧拆解 -按“定义分”的判断步骤：先看是否为整数（正整数、0、负整数），若不是，再看是否为分数（有限小数、无限循环小数均可化为分数）； -按“正负分”的判断步骤：先判断数的正负（正数、0、负数），再结合“整数/分数”细化类别； -非有理数判断技巧：若数是无限不循环小数（如）或不能化为（、为整数且）的数，即为非有理数。 【例题2】．（2024-2025•无为市期末）在﹣3.5，，，0中，有理数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据有理数的定义解答即可． 【解答】解：在数据﹣3.5，，，0中， ﹣3.5，，0是有理数，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•兰山区期末）在下列有理数中：+12，﹣20，﹣3，0，+（﹣6），﹣|+3|，﹣（﹣2），负数的个数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：+12＞0，是正数； ﹣20＜0，是负数； 0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； +（﹣6）＝﹣6＜0，是负数； ﹣|+3|＝﹣3＜0，是负数； ﹣（﹣2）＝2＞0，是正数； ∴负数有﹣20，，+（﹣6），﹣|+3|，共4个． 故选：B． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【变式题2-2】．（2024-2025•江岸区校级开学）把下列各数填入它所属的集合内：． （1）整数集合：{　3，|﹣2|，0　 }； （2）分数集合：{　﹣17%，　 }； （3）非负数集合：{　　 }． 【答案】（1）3，|﹣2|，0； （2）﹣17%，； （3）． 【分析】（1）根据整数的定义即可解决问题； （2）根据分数的定义选出整数即可； （3）根据非负数的定义选出整数即可． 【解答】解：（1）由题知， 所给各数中的整数有：3，|﹣2|，0． 故答案为：3，|﹣2|，0； （2）由题知， 所给各数中的分数有：﹣17%，． 故答案为：﹣17%，； （3）由题知， 所给各数中的非负数有：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数，熟知整数、分数及非负数的定义是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•宝安区月考）把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1；②；③+3.2；④0；⑤；⑥﹣6.5；⑦+108；⑧﹣4． （1）正整数集合{ 　①⑦　 …}； （2）负分数集合{ 　②⑥　 …}； （3）负有理数集合{ 　②⑥⑧　 …}； （4）有理数集合{ 　①②③④⑤⑥⑦⑧　 …}． 【答案】①⑦；②⑤；②⑥⑧；①②③④⑤⑥⑦⑧． 【分析】根据大于0的整数是正整数，可得正整数集合；根据小于0的分数是负分数，可得负分数集合；根据小于0的数是负有理数，可得负有理数集合；根据有理数的定义，可得有理数集合． 【解答】解：（1）正整数集合 {①⑦...}； （2）负分数集合{②⑥...}； （3）负有理数集合{②⑥⑧...}； （4）有理数集合{①②③④⑤⑥⑦⑧...}． 故答案为：①⑦；②⑤；②⑥⑧；①②③④⑤⑥⑦⑧． 【点评】此题主要考查了有理数，正确把握相关定义是解题关键． 【题型3】有理数的概念辨析与正误判断 1.核心知识点总结 -有理数的本质属性：①所有有理数都可表示为分数（整数可表示为分母为1的分数，如3=）；②有理数包括正数、0、负数（0是有理数的特殊存在，既不是正也不是负）。 -易混概念区分：①正数≠正有理数（如是正数但非有理数）；②负数≠负有理数（如是负数但非有理数）；③整数≠正整数（整数含0和负整数）。 2.高频考点梳理 -判断关于有理数的说法正误（如“所有整数都是有理数”正确，“所有有理数都是整数”错误，“0是最小的有理数”错误）。 -辨析易混表述（如“非正数”是0和负数，“非负整数”是0和正整数，“非有理数”是无限不循环小数）。 3.易错点警示 -绝对化表述误判：如“所有小数都是有理数”错误（无限不循环小数不是），“所有分数都是有理数”正确（分数本质符合有理数定义）。 -“非X”概念理解偏差：如误将“非正数”等同于“负数”（漏0），误将“非负整数”等同于“正整数”（漏0）。 -特殊数忽略：如判断“没有最大的有理数，也没有最小的有理数”时，误认为“0是最小的有理数”（负有理数比0小）。 4.解题技巧拆解 -正误判断“举反例法”：若说法为“所有A都是B”，找一个“是A但不是B”的例子即可证明错误（如判断“所有正数都是有理数”，举反例）； -“非X”概念拆解：“非X”=“所有不是X的有理数”，先明确X的范围，再补全“不是X”的部分（如“非正数”=有理数-正数=0+负数）； -特殊数验证：判断时必考虑0、负有理数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数（如）这几类特殊数。 【例题3】．（2024-2025•马边县期末）下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义和分类进行解答即可． 【解答】解：①有限小数和循环小数都是有理数，正确； ②0是非负有理数，正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，故错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，正确． 所以正确的个数是3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的定义和分类是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•北林区校级月考）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数分正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 【答案】C 【分析】利用有理数的分类和概念解答． 【解答】解：∵有理数分正有理数，负有理数，0；整数分为正整数，负整数，0；有理数是可以写成分数形式的数； ∴选项ABD错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义和分类． 【变式题3-2】．（2024-2025•汉阳区期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【分析】根据正数负数有理数的含义逐个判断即可求解， 【解答】解：A.0不止表示没有的意思，它还常用来表示某些量的基准数，是“正数”与“负数”的分界，正确，不符合题意； B.0既不是正数，也不是负数，这个说法正确，不符合题意； C.0是整数，也是最小的自然数，这个说法正确，不符合题意； D.0是整数，能写成分数的形式，是有理数，这个说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正数负数有理数的含义． 【变式题3-3】．（2024-2025•赛罕区校级月考）对于下列各数：﹣5，0，，﹣0.2，10%，8．下列说法错误的是（　　） A．﹣5，0，8都是整数 B．正整数有8 C．正数有，10%，8 D．﹣5是负有理数，但不能写成分数的形式 【答案】D 【分析】根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可． 【解答】解：﹣5，0，8都是整数； 正整数有8； 正数有，10%，8； ﹣5是负有理数，能写成分数的形式， ∴选项ABC正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数分类的知识，解题关键是理解并掌握有理数分类的相关知识． 【题型4】相反意义的量与正负数的对应关系构建 1.核心知识点总结 -对应关系的“自定义性”：同一组相反意义的量，可自定义正负数对应（如“向东为正”则向西为负，也可“向西为正”则向东为负，但同一情境中对应关系需固定）。 -对应关系的“唯一性”：一旦确定某一意义为正，另一相反意义必为负（如规定“进货为正”，则出货必为负，不可同时为正或同时为负）。 2.高频考点梳理 -根据需求自定义对应关系（如“请规定‘前进’为正，用正负数表示‘前进5米’和‘后退3米’”，答案：+5米、-3米）。 -根据自定义对应关系解决问题（如“规定‘存入为正’，小明存入200元，再取出150元，用正负数表示两次操作，并计算最终余额变化”，操作：+200元、-150元，余额变化：+50元）。 3.易错点警示 -同一情境中对应关系“反复变更”：如先规定“上升为正”，计算时又改为“下降为正”，导致结果错误。 -自定义时“未明确基准”：如只写“+4kg”，未说明“以标准体重为基准，超过为正”，导致意义模糊。 -多组相反量对应混乱：如同一情境中有“盈利/亏损”“进货/出货”两组相反量，误将“盈利”和“进货”都记为正（需分别对应，如盈利为正、亏损为负；进货为正、出货为负）。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确“需对应的相反意义的量”（如“前进/后退”“存入/取出”）； -第二步：自定义“正方向”，并书面标注（如“规定：前进为正，后退为负”）； -第三步：按标注表示具体量（前进用“+数值”，后退用“-数值”）； -第四步：多组相反量处理：分别标注每组的正方向（如“①盈利为正，亏损为负；②进货为正，出货为负”），避免混淆。 【例题4】．（2024-2025•分宜县模拟）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为﹣0.01mm，第二个为+0.03mm，第三个为﹣0.04mm，第四个为+0.02mm，则这四个零件中质量最好的是（　　） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】A 【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，选取绝对值最小的数即可． 【解答】解：∵|﹣0.01|＝0.01，|0.3|＝ 0.03，|﹣0.04|＝ 0.04，|0.02|＝0.02， ∴绝对值最小的数是0.01， 即这四个零件中质量最好的是第一个． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正负数在实际问题中的运用是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•南岗区校级月考）若规定机器人前进为正，则﹣4米表示机器人（　　） A．前进4米 B．前进﹣2米 C．后退4米 D．后退﹣4米 【答案】C 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【解答】解：若规定机器人前进为正，则﹣4米表示机器人后退4米， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•樊城区期末）在国际排球比赛中，排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的质量为270±10g，仅从质量的角度考虑，以下排球质量符合要求的是（　　） A．255g B．265g C．290g D．295g 【答案】B 【分析】由题意求得质量符合要求的范围后即可求得答案． 【解答】解：由题意求得质量符合要求的范围是260g～280g， 则B符合题意，A，C，D均不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得质量符合要求的范围是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•红花岗区校级期末）规定：（←3）表示向左移动3．记作﹣3，则（→5）表示向右移动5，记作（　　） A．+5 B．﹣5 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向右记为正，则向左就记为负，直接得出结论即可． 【解答】解：规定：（←3）表示向左移动3．记作﹣3，则（→5）表示向右移动5，记作+5． 故选：A． 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 【题型5】具有相反意义的量的多情境综合应用（提升） 1.核心知识点总结 -多情境的“独立对应”：同一问题中若有多个相反意义的量（如“盈利/亏损”“销量增加/减少”），需为每组量单独确定正负数对应（互不干扰）。 -多量的“关系计算”：通过正负数表示各量后，可根据实际需求计算总量、差值（如总盈利=盈利额+亏损额的相反数，总销量变化=增加量+减少量的相反数）。 2.高频考点梳理 -多情境下正负数的表示（如“某商店1月：盈利3000元，销量增加20件；2月：亏损500元，销量减少8件。规定‘盈利、增加为正’，用正负数表示两月的盈利和销量变化”，1月：+3000元、+20件；2月：-500元、-8件）。 -多量的综合计算（如计算两月总盈利：3000+(-500)=2500元；计算两月销量总变化：20+(-8)=12件，即总增加12件）。 3.易错点警示 -多组量“对应混淆”：如将“盈利”和“销量增加”都记为正，但计算时误将“亏损500元”按“销量减少”的规则处理（两组量对应独立，需分别计算）。 -计算时“符号遗漏”：如计算总盈利时，直接用3000+500=3500元（漏写亏损的“-”号，正确应为3000-500=2500元）。 -情境“隐含条件忽略”：如“某工厂上月库存100件，本月进货+50件，出货-30件”，误算本月库存为100+50-30=120件（“出货-30件”实际是出货30件，应记为-30件，正确库存=100+50+(-30)=120件，此处虽结果对，但符号理解错误，若出货为+30件则错误）。 4.解题技巧拆解 -第一步：“列表梳理”：将每组相反意义的量列成表格，标注“量的类型”“正方向”“具体数值的正负数表示” -第二步：“分类计算”：按“量的类型”分别计算（如先算总盈利，再算总销量变化，不交叉计算）； -第三步：“结果解读”：计算结果为正→对应正方向意义，为负→对应反方向意义（如总盈利+2500元→总盈利2500元，总销量变化-3件→总减少3件）。 【例题5】．（2024-2025•新安县期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　22　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）判断出最大值，最小值求差即可； （2）求出表中数据的平均数，再加上标准数50即可； （3）根据工资的计算方法列式计算即可． 【解答】解：（1）送餐最多的一天比送餐最少的一天多送14﹣（﹣8）＝22（单）． 故答案为：22； （2）由题意，得： 50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7 ＝50+3 ＝53（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）由题意，得： （50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+7+10×2）×4+（4+2）×6+60×7 ＝668+124+36+420 ＝1248（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1248元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•宝安区月考）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）若9月30日游客为2万，则10月2日游客的人数为多少？ （2）请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ （3）求这一次黄金周期间游客的总人数． 【答案】（1）4.4万人； （2）3日游客最多，7日游客最少，它们相差2.2万人； （3）27.2万人． 【分析】（1）用9月30日游客为2万加上1日、2日增加的游客数即可； （2）求出每天的游客数，即可得到答案； （3）将7天游客数相加即可． 【解答】解：（1）2+1.6+0.8＝4.4（万人）， 答：10月2日游客的人数为4.4万人； （2）根据表格可得这7天的游客分别是：1日为3.6万，2日为4.4万，3日为4.8万，4日为4.4万，日为3.6万，6日为3.8万，7日为2.6万， ∴3日游客最多，7日游客最少，且4.8﹣2.6＝2.2（万人）， 答：3日游客最多，7日游客最少，它们相差2.2万人； （3）这一次黄金周期间游客的总人数为：3.6+4.4+4.8+4.4+3.6+3.8+2.6＝27.2（万人）， 答：这一次黄金周期间游客的总人数为27.2万人． 【点评】本题考查用正、负表示相反意义的量，解题的关键是读懂表格，表示出每天的游客数量． 【变式题5-2】．（2024-2025•绥阳县期末）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：﹣10，13，12，﹣9，﹣11，9，﹣14． （1）当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ （2）在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ （3）若小李的平均运营额为3.2元/千米，成本为1.4元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 【答案】（1）10千米；（2）在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米；（3）140.4． 【分析】（1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案；（2）分别计算出七次记录后与出发地的距离，比较即可得到答案；（3）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案． 【解答】（1）解：﹣10+13+12+（﹣9）+（﹣11）+9+（﹣14） ＝﹣10+13+12﹣9﹣11+9﹣14 ＝﹣10， ∴司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是10千米； （2）解：第一次记录时距离出发地10千米， 第二次记录时距离出发地﹣10+13＝3千米， 第三次记录时距离出发地3+12＝15千米， 第四次记录时距离出发地15﹣9＝6千米， 第五次记录时距离出发地|6﹣11|＝5千米， 第六次记录时距离出发地﹣5+9＝4千米， 第七次记录时距离出发地|4﹣14|＝10千米， ∴在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米． （3）解：|﹣10|+|13|+|12|+|﹣9|+|﹣11|+|9|+|﹣14| ＝10+13+12+9+11+9+14 ＝78（千米）， （3.2﹣1.4）×78＝140.4（元）， ∴这天上午小李盈利140.4元． 【点评】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数乘法和有理数加减法的实际应用是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•大余县期末）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 ﹣3 ﹣5 +7 ﹣8 +21 ﹣6 （1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？ （3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？ 【答案】（1）45箱； （2）达到了计划数量； （3）5840元． 【分析】（1）将前五天的销售量相加即得结论； （2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量； （3）利用本周的总收入减去总运费即得结论． 【解答】解：（1）10×5+4﹣3﹣5+7﹣8＝45 （箱）， 答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱； （2）4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6＝10＞0， 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （3）（10×7+10）×80﹣（10×7+10）×7＝5840（元）， 答：该果农本周总共收入5840元． 【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算． 【题型6】有理数分类的创新性应用（培优） 1.核心知识点总结 -有理数的集合表示：①用大括号表示（如整数集合：{…,-2,-1,0,1,2,…}，正分数集合：{,,,…})；②用韦恩图表示类别关系(如“有理数”为大圈，内部包含“整数”和“分数”两个无交集的小圈；“整数”小圈内部又包含“正整数”“0”“负整数”三个无交集的更小圈)。 2.高频考点梳理 -用韦恩图表示有理数分类(如绘制“有理数-整数-分数-正整数-0-负整数-正分数-负分数”的韦恩图，标注各圈的包含关系)。 -根据集合关系填数(如“在‘整数集合’与‘负有理数集合’的交集内填入-3、-5、-1”，交集为负整数集合)。 -结合集合计算“元素个数”(如“给定数：-2、、0、5、、，求‘有理数集合’中的元素个数”，答案：5个，排除)。 【例题6】．（2024-2025•肇源县月考）把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． 【答案】见解析． 【分析】根据正数，负数，整数以及分数的定义进行判断即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查的知识点是有理数的分类，解题关键是熟练掌握有理数的分类． 【变式题6-1】．（2024-2025•旌阳区校级月考）将下列各数填在相应的圆圈里： +6，﹣8，75，﹣0.5，0，25%，，﹣2024，﹣1.8． 【答案】 【分析】根据有理数的定义作答即可． 【解答】解：在+6，﹣8，75，﹣0.5，0，25%，，﹣2024，﹣1.8中， 整数有：+6，﹣8，75，0，﹣2024； 正数有：+6，75，25%，； 既是整数又是正数的有：+6，75； 负数有：﹣8，﹣0.5，﹣2024，﹣1.8； 分数有：﹣0.5，25%，，﹣1.8； 既是分数又是负数的有：﹣0.5，﹣1.8； 填在相应的圆圈里，如图所示： 【点评】本题主要考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•浦江县校级月考）将下列各数填入它所在的数集的圈里： 24，﹣30%，﹣0.314，8.9，7，﹣9，，0，﹣93 【答案】． 【分析】根据有理数分类判断，即可得到答案． 【解答】解：将各数填入它所在的数集的圈里，如图所示： 【点评】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类填空，熟记有理数的分类是解题关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•内乡县校级月考）将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.6，﹣100，，9.2，0，1，0.． 【答案】见解答． 【分析】根据负数、整数、整数的概念，即可获得答案． 【解答】解：如图所示，即为所求． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 【题型7】有理数分类的自定义问题(培优) 1.核心知识点总结 -自定义分类原则：①标准明确（基于有理数属性，如与整数关系、绝对值、余数等）；②不重不漏（所有有理数归且仅归一类）。 -常见拓展方向：按“除以n的余数”“整数部分特征”“绝对值大小”分（如按“绝对值是否＞1”分）。 2.高频考点梳理 -按自定义标准分类（如“按绝对值是否为整数”，分-3、0与、4.5）； -从分类结果推导标准（如从“①-5、3；②、2.5”推“整数/分数”标准）； -验证标准合理性（如判断“分正数、负数”是否漏0）。 3.易错点警示 -标准模糊（如“按大小分大数/小数”，无明确界限）； -违背“不重不漏”（如漏0、同一数归多类）； -脱离有理数属性（如“按颜色分”，无效）。 4.解题技巧拆解 -设计标准：定属性依据→明分类结果→验“不重不漏”； -推导标准：找两组数共同属性（如“是否为整数”）； -验证：查遗漏/重复，判标准是否明确。 【例题7】．（2024-2025•海淀区校级期末）定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（﹣2，3）＝　0　 ； （2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为　4或1　 ． 【答案】0；4或1． 【分析】（1）根据新定义下的运算法则进行计算即可； （2）根据新定义下的运算法则进行整理，然后根据3正整数倍，求出符合要求的m的值即可． 【解答】解：（1）（﹣2，3）＝﹣2+3﹣1＝0； 故答案为：0； （2）（﹣5，3x+2m）＝﹣5+3x+2m﹣1＝5， 整理得， ∴11﹣2m为3的正整数倍， 当11﹣2m＝3时，m＝4，符合题意； 当11﹣2m＝2×3时，m＝2.5，不符合题意； 当11﹣2m＝3×3时，m＝1，符合题意； 当11﹣2m＝4×3时，，不符合题意； 所以，3的更高倍数，皆不符合题意， ∴m＝4或m＝1． 故答案为：4或1． 【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算，解题的关键是掌握新定义下的运算法则． 【变式题7-1】．（2024-2025•桥西区期中）如果一对有理数a，b使等式a﹣b＝ab﹣1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”记（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中是“共生有理数对”的是（　　） A． B．（﹣4，2） C． D． 【答案】C 【分析】利用题中的新定义判断即可． 【解答】解：A．由（﹣3，），得到a﹣b，ab﹣1，不符合题意； B．由（﹣4，2），得到a﹣b＝﹣6，ab﹣1＝﹣9，不符合题意； C．由（，1），得到a﹣b，ab﹣1，符合题意； D．由（5，），得到a﹣b，ab﹣1，不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•船营区校级期中）定义：对于任意两个有理数m，n，可以组成一个有理数对（m，n）．我们规定：（a，b）＝a﹣b+（﹣2）．例如：（﹣2，5）＝﹣2﹣5+（﹣2）＝﹣9．则有理数对（2，﹣1）＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得：（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）﹣2＝2+1﹣2＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了有理数的加减运算．理解定义的新运算是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•西城区校级期中）观察下列两个等式： ，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b）． 如：数对，，都是“同心有理数对” （1）数对（﹣2，1），是“同心有理数对”的有 　（3，）　 ． （2）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）． 【答案】（1）（3，）； （2）是． 【分析】（1）根据：使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，判断出数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是哪个即可；（2）根据（m，n）是“同心有理数对”，可得：m﹣n＝2mn﹣1，据此判断出（﹣n，﹣m）是不是同心有理数对即可． 【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，2×（﹣2）×1﹣1＝﹣5，﹣3≠﹣5， ∴数对（﹣2，1）不是“同心有理数对”； ∵3，2×31， ∴32×31， ∴（3，）是“同心有理数对”； 故答案为：（3，）； （2）∵（m，n）是“同心有理数对”， ∴m﹣n＝2mn﹣1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝m﹣n＝2mn﹣1， ∴（﹣n，﹣m）是“同心有理数对”． 故答案为：是． 【点评】此题主要考查了同心有理数对的含义和判断，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B D D 一．选择题（共5小题） 1．大米包装袋上标有10±0.1kg的标识，则下列大米质量符合标准的是（　　） A．9.86kg B．9.98kg C．10.12kg D．11.3kg 【答案】B 【分析】根据正负数的意义求出大米质量大于等于9.9kg且小于等于10.1kg就符合标准，据此可得答案． 【解答】解：10+0.1＝10.1kg，10+（﹣0.1）＝9.9kg， ∴大米质量大于等于9.9kg且小于等于10.1kg就符合标准， ∴四个选项中，只有B选项中的大米质量符合标准， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，属于基础题． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（　　） A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元 【答案】B 【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【解答】解：如果“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作﹣40元． 故选：B． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 3．2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作﹣150℃． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 4．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【答案】D 【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别． 【解答】解：∵支出1000元记作﹣1000元， ∴+1080元表示表示收入1080元， 故选：D． 【点评】此题考查了正数和负数，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 5．下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 A．9月10日21时 B．9月12日4时 C．9月11日4时 D．9月11日2时 【答案】D 【分析】根据题意列式计算得出15+（﹣13）＝2，即可得出答案． 【解答】解：根据题意有， 15+（﹣13）＝2， ∴纽约时间为9月11日2时． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的运算方法及含义是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 二．填空题（共5小题） 6．白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为　﹣1　 ℃． 【答案】﹣1． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为﹣1℃． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 7．已知下列各数：3.14，24，+17，，，﹣0.001，0，其中负分数有　1　 个，非负数有　6　 个． 【答案】1，6． 【分析】根据有理数的分类标准解决此题． 【解答】解：下列各数：3.14，24，+17，，，﹣0.001，0， 其中负分数负分数有﹣0.001，共1个；非负数有3.14，24，+17，，，0，共6个． 故答案为：1，6． 【点评】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类标准是解决本题的关键． 8．学校对六年级男生进行了“1分钟跳绳”的体育测验，每分钟135次为优秀，小军跳了140次，成绩记作+5，小虎跳了128次，记作　﹣7　 ，小龙跳了169次，记作　+34　 ． 【答案】﹣7；+34． 【分析】根据正负数的意义及题意可直接进行求解． 【解答】解：根据题意可知，小虎跳了128次，128﹣135＝﹣7，记作﹣7； 小龙跳了169次，169﹣135＝34，记作+34． 故答案为：﹣7；+34． 【点评】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． 9．在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作 　﹣2　 个． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用正数、负数的意义解答． 【解答】解：在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作﹣2个． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了正数负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义． 10．埃及与北京的时差为﹣6小时（“+”表示同一时刻埃及时间比北京时间早，“﹣”表示同一时刻埃及时间比北京时间晚），当北京时间是15：00时，埃及时间是 　9：00　 ． 【答案】9：00． 【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：15﹣6＝9， 即当北京时间是15：00时，埃及时间是9：00， 故答案为：9：00． 【点评】本题考查正数和负数，根据其实际意义列得正确的算式是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．最大的负整数是　﹣1　 ，最小的正整数是　1　 ． 【答案】﹣1 1 【分析】根据最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，进行作答即可． 【解答】解：∵根据有理数的定义可知，绝对值越大的负整数，其值越小，绝对值越大的正整数，其值越大． ∴最大的负整数为﹣1，最小的正整数为1． 故答案为：﹣1，1． 【点评】本题考查了有理数的概念，掌握正数、负数的定义及特点，注意总结． 12．把下列各数填入它所属的集合内：． （1）整数集合：{　3，|﹣2|，0　 }； （2）分数集合：{　﹣17%，　 }； （3）非负数集合：{　　 }． 【答案】（1）3，|﹣2|，0； （2）﹣17%，； （3）． 【分析】（1）根据整数的定义即可解决问题； （2）根据分数的定义选出整数即可； （3）根据非负数的定义选出整数即可． 【解答】解：（1）由题知， 所给各数中的整数有：3，|﹣2|，0． 故答案为：3，|﹣2|，0； （2）由题知， 所给各数中的分数有：﹣17%，． 故答案为：﹣17%，； （3）由题知， 所给各数中的非负数有：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数，熟知整数、分数及非负数的定义是解题的关键． 13．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：100±3g，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：+0.1g、﹣5g、0g、﹣1.3g、+2g、+4g．这6袋面包中有　4　 袋是合格的． 【答案】4． 【分析】100±3g的意思是质量都是有浮动的，不都正好是100g．所以它的质量允许有3g的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 【解答】解：面包质量的合格范围97～103， 其中+0.1g指的是比标准质量多0.1g，是合格的； ﹣5g指比标准质量少5g，是不合格的； 0g指正好等于标准质量，是合格的； ﹣1.3g指比标准质量少1.3g，是合格的； +2g指比标准质量多2g，是合格的； +4g指比标准质量多4g，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 故答案为：4． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握相反意义的量是解题的关键． 14．某司机某天下午在一条南北向的马路上开出租车．如果规定向南为正，向北为负，该司机连续接送5位乘客的行程（单位：千米）如下：+4，﹣3，﹣5，+2，+6． （1）该司机下午接送这5位乘客到达目的地，行程一共是多少千米？ （2）若规定出租车的起步价为8元，起步行程为3千米以内（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问该司机上午一共收入多少车费？ 【答案】（1）行程一共是20千米； （2）该司机上午一共收入52元车费． 【分析】（1）求路程利用绝对值相加即可得到答案； （2）根据出租车费用方案直接求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得， |+4|+|﹣3|+|﹣5|+|+2|+|+6|＝20（千米）， 答：行程一共是20千米； （2）由题意可得， 8+2×（4﹣3）+8+8+2×（5﹣3）+8+8+2×（6﹣3）＝52（元）， 答：该司机上午一共收入52元车费． 【点评】本题主要考查相反意义量，解题的关键是根据题意列出相应关系式． 15．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　22　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）判断出最大值，最小值求差即可； （2）求出表中数据的平均数，再加上标准数50即可； （3）根据工资的计算方法列式计算即可． 【解答】解：（1）送餐最多的一天比送餐最少的一天多送14﹣（﹣8）＝22（单）． 故答案为：22； （2）由题意，得： 50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7 ＝50+3 ＝53（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）由题意，得： （50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+7+10×2）×4+（4+2）×6+60×7 ＝668+124+36+420 ＝1248（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1248元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $