专题1.10有理数的除法（知识点总结+8大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.10有理数的除法 【题型1】有理数除法的符号判定与运算 1.核心知识点总结 -法则1：(，除法转乘法)。 -法则2：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0，0不能作除数。 2.高频考点梳理 -直接计算(如、)。 -根据商的符号判断、正负(如则、异号)。 3.易错点警示 -符号判断错误(如误算为)。 -除法转乘法漏变倒数(如误算为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：判除数是否为0(0则无意义)；步骤2：定商的符号；步骤3：算绝对值的商或转乘法约分。 【例题1】．（2024-2025•裕安区校级月考）计算：（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【答案】A 【分析】除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【解答】解：2×（﹣4）＝﹣8， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•温州模拟）计算﹣6÷2的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．12 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：﹣6÷2＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法的运算法则是关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可． 【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•滨海新区校级三模）计算15÷（﹣5）的结果等于（　　） A．75 B．10 C．﹣3 D．﹣5 【答案】C 【分析】按照计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【解答】解：原式＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【题型2】有理数倒数的求解与性质应用 1.核心知识点总结 -倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数（），单独一个数非倒数。 -求法：符号不变，交换分子分母；带分数化假分数、小数化分数后再求。 -特殊情况：正数倒数为正，负数倒数为负；0无倒数，倒数等于本身的数是。 2.高频考点梳理 -求整数（）、分数（）、小数()、带分数()的倒数。 -已知、互为倒数，求代数式(如)的值。 3.易错点警示 -混淆“倒数”与“相反数”(如误将的倒数记为)。 -带分数未化假分数直接求倒数(如误得)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：定符号(与原数一致)；步骤2：化标准形式(整数→分母为1的分数等)；步骤3：交换分子分母，验证乘积为1。 【例题2】．（2024-2025•肇庆校级开学）的倒数是（　　） A． B．2025 C．﹣2025 D．﹣1 【答案】B． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：的倒数是2025． 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•罗湖区二模）下列互为倒数的是（　　） A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 【答案】A 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵31， ∴3和互为倒数，符合题意； B、∵（﹣2）×2＝﹣4， ∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意； C、∵3×（）＝﹣1， ∴3和不互为倒数，不符合题意； D、∵（﹣2）1， ∴﹣2和不互为倒数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•烟台）|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】B 【分析】首先运用绝对值的定义去掉绝对值的符号，然后根据倒数的定义求解． 【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是， ∴|﹣3|的倒数是． 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值和倒数的定义． 绝对值的定义：如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【变式题2-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）的相反数的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 【解答】解：的相反数是， 的倒数是， 则的相反数的倒数是． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数、倒数，掌握相反数、倒数的定义是解答此题的关键． 【题型3】有理数加减乘除混合运算的优先级处理 1.核心知识点总结 -优先级：先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左到右。 -简便计算：用乘法分配律()简化含括号运算。 2.高频考点梳理 -含括号混合运算(如)。 -分配律应用(如转)。 3.易错点警示 -忽略优先级(如误算为)。 -分配律漏乘负数(如误算为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：标运算级别(Δ标乘除，○标加减)；步骤2：用分配律简化(优先)；步骤3：分步算乘除，再算加减。 【例题3】．（2024-2025•崇明区期末）计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•肇源县期末）计算下面各题． ； ； ． 【答案】；；． 【分析】根据有理数的乘除法则计算即可． 【解答】解：； ； ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题3-2】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）180； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先确定符号，再把除法转变为乘法，即可得到结果； （2）先确定符号，再把除法转变为乘法，进行约分，即可得到结果； （3）先确定符号，再把除法转变为乘法，进行约分，即可得到结果； （4）先确定符号，再把除法转变为乘法，进行约分，即可得到结果． 【解答】解：（1） ＝5×6×6 ＝180； （2） ＝﹣12 ； （3） 4 ； （4） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•阿荣旗期末）阅读下列材料，计算：50÷（）． 解法1思路：原式＝5050×3﹣50×4+50×12；对吗？答：　不对　 ； 解法2提示：先计算原式的倒数，（）÷50，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：（）÷（）； （2）（）÷（）+（）÷（）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！ 【答案】见试题解答内容 【分析】解法1根据除法没有分配律进行判断； （1）仿照解法2先计算原式的倒数，然后即可得出原式的结果； （2）先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值． 【解答】解法1：不对； 理由：除法没有分配律，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）先计算原式的倒数， ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10， 故原式等于； （2） ＝﹣2﹣（﹣1） ， ∴， ∴原式． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义，关键是根据题中给出的计算方法举一反三． 【题型4】结合数轴的有理数除法符号判断(提升) 1.核心知识点总结 -数轴性质：右正左负，绝对值=点到原点距离。 -除法符号：同号(同左/右)得正，异号(左+右)得负。 2.高频考点梳理 -根据数轴判、的符号(如左、右，则)。 -比较与1的大小(如且同号，则)。 3.易错点警示 -数轴数的正负判错(左误为正)。 -绝对值大小混淆(左数误判为绝对值大)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：标数的正负(左负右正)；步骤2：标绝对值大小(离原点远则大)；步骤3：结合除法法则判符号/大小。 【例题4】．（2024-2025•泗阳县校级一模）若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【答案】A 【分析】利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可． 【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的加减法，有理数的乘除法，数轴，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•任丘市模拟）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　﹣1　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】（1）﹣1；（2）3（m+2）+2 除以3余数是2． 【分析】（1）因为m与n互为相反数，所以找出原点，求出t＝0﹣1＝﹣1． （2）①由t＝﹣3，得m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5，n＝t+4＝﹣3+4＝1，求出m+n＝4； ②当原点在点M的左侧时，得m，n，t均为正整数，即t＝m+2，n＝m+6，m+t+n＝3（m+2）+2，据此解答． 【解答】解：（1）因为m与n互为相反数， 所以m+n＝0， 所以t＝0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）①∵t＝﹣3， ∴m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5， ∴n＝t+4＝﹣3+4＝1， ∴m+n＝﹣5+1＝﹣4； ②当原点在点M的左侧时，m，n，t均为正整数， ∵t＝m+2，n＝m+6， ∴m+t+n ＝m+（m+2）+（m+6） ＝3m+8 ＝3（m+2）+2， ∵m+2为整数， ∴3（m+2）+2 除以3余数是2． 【点评】本题考查了有理数的除法、数轴、相反数，解决本题的关键是知道数轴上数的分布特征、相反数的定义． 【变式题4-2】．（2024-2025•桐柏县校级月考）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则　＜0　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据数轴判断出a、b、c的取值范围，再判断出b+c与0的关系，最后判断与0的关系． 【解答】解：由数轴可以看出：a＜﹣1，﹣1＜c＜0，b＞1； ∴b+c＞0， ∴0． 【点评】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式题4-3】．（1）如图，数轴上能表示（﹣5）÷|﹣2|的值的点为 　N　 ； （2）若被除数是﹣18，除数比被除数小12，则它们的商是 　0.6　 ． 【答案】（1）N；（2）0.6． 【分析】（1）先算绝对值，再算除法； （2）先计算出除数，再算除法． 【解答】解：（1）（﹣5）÷|﹣2| ＝（﹣5）÷2 ＝﹣2.5， 故答案为：N； （2）（﹣18）÷（﹣18﹣12） ＝（﹣18）÷（﹣30） ＝0.6． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了有理数的除法，减法，绝对值，数轴，计算时注意运算顺序． 【题型5】有理数倒数的代数关联与多条件求值(提升) 1.核心知识点总结 -倒数关系：、互为倒数→(、)。 -多条件：常结合相反数()、绝对值()。 2.高频考点梳理 -已知、、，求。 -含倒数的简单求值(如倒数为2，求)。 3.易错点警示 -忽略(误认时)。 -代入符号错(如误代为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：列条件表达式(、等)；步骤2：代入代数式；步骤3：分情况(如)计算。 【例题5】．（2024-2025•汉滨区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【答案】1． 【分析】根据相反数、倒数的定义得出a+b＝0，cd＝1，再代入计算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴2（a+b）+cd＝0+1＝1， 答：2（a+b）+cd的值为1． 【点评】本题考查相反数、倒数，掌握相反数、倒数的定义是正确解答的前提． 【变式题5-1】．（2024-2025•海珠区校级期中）根据下列语句列式并计算： （1）+1.1与﹣3.2的绝对值的和； （2）2.5的相反数和的倒数的商． 【答案】见试题解答内容 【分析】各个小题先根据题意，列出算式，进行计算即可． 【解答】解：由题意得 （1）+1.1+|﹣3.2| ＝1.1+3.2 ＝4.3； （2）﹣2.5÷（） ． 【点评】本题主要考查了有理数的除法、相反数和倒数的定义，解题关键是理解题意列出算式． 【变式题5-2】．（2024-2025•梅河口市校级期中）已知a、b互为相反数（a≠b），c的倒数是﹣5，d是最小的正整数． （1）填空：　﹣1　 ． （2）求a+b﹣c﹣d的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，以及除法法则，进行计算即可； （2）相反数得到a+b＝0，倒数得到，最小的正整数得到d＝1，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，a，b互为相反数（a≠b）， ∴a＝﹣b， ∴． 故答案为：﹣1； （2）根据题意可知，a、b互为相反数（a≠b），c的倒数是﹣5，d是最小的正整数， ∴a+b＝0，，d＝1， ∴． 【点评】本题考查了有理数的除法，相反数，倒数，有理数的加减混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•霍邱县月考）已知m与﹣3互为相反数，n与互为倒数． （1）m＝ 　3　 ，n＝ 　﹣4　 ； （2）若|m﹣x|+|n+y|＝0，求xy的相反数和倒数． 【答案】（1）3；﹣4； （2）相反数为﹣12，倒数为． 【分析】（1）根据相反数、倒数的意义求解即可； （2）根据非负数的意义，即可求出x，y的值，进而即可求解． 【解答】解：（1）∵﹣3的相反数为3，的倒数是﹣4， ∴m＝3，n＝﹣4， 故答案为：3；﹣4； （2）结合（1）中所求可得|3﹣x|+|﹣4+y|＝0， ∵|3﹣x|≥0，|﹣4+y|≥0， ∴x＝3，y＝4， ∴xy＝3×4＝12， ∴xy的相反数为﹣12；倒数为． 【点评】本题考查了有理数的乘法，相反数的定义、倒数的定义、绝对值的非负性，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 【题型6】有理数除法的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 -正负数规定：如上升为正、下降为负；除法意义：平均分(总量÷每份=份数)、求比例。 -单位统一：计算前统一单位(如分钟→小时)。 2.高频考点梳理 -气温问题(山脚，每千米降，求山顶时高度)。 -路程问题(向西行千米用小时，求速度)。 3.易错点警示 -正负数规定错(下降误为正)。 -单位不统一(如分钟未化小时）。 4.解题技巧拆解 -步骤1：定正方向（标正负）；步骤2：统一单位；步骤3：列除法算式；步骤4：释结果意义（如负号表方向）。 【例题6】．（2024-2025•闵行区月考）小林跑100米用了18秒，小马跑80米用了15秒，则小林的速度比小马（　　） A．快 B．慢 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据速度＝路程÷时间，分别求出小林和小马的速度，再利用分数的性质进行比较即可判断求解． 【解答】解：小林的速度， 小马的速度， ∵， ∴小林的速度比小马快． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的大小比较，掌握有理数的除法运算法则，有理数的大小比较的方法是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•镇海区校级模拟）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合． 【解答】解：2025﹣（﹣1）＝2026， 2026÷4＝506……2， 所以数轴上表示2025的点与圆周上的数字2重合， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•河北模拟）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 （1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； （2）如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为﹣4，求选取的数字． 【答案】（1）； （2）0． 【分析】（1）按照给定的运算顺序逐步计算即可． （2）通过设未知数，根据运算顺序列出一元二次方程来求解． 【解答】解：（1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得： ， （2）设所选数字为x，则﹣（x+2）2＝﹣4， ∴（x+2）2＝4， 解得x1＝0，x2＝﹣4， ∴所选数为0． 【点评】本题涉及到倒数、平方、相反数等数学概念的运算及解一元二次方程，熟练掌握概念解一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•杨浦区校级期末）市建委派出一大一小两台压路机来修路，两台压路机的前轮半径比是5：4，周长差是米，大压路机每分钟转动的周数是小压路机每分钟转动的周数的80%，小压路机一小时能修路960平方米，是大压路机的，已知小压路机十分钟可以前进80π米． （1）若两台压路机一起工作1小时，能修多少平方米的路？ （2）求大压路机每分钟前进多少米？（结果保留π） 【答案】（1）2040；（2）8π． 【分析】（1）计算出大压路机一小时能修路的米数，再加上小压路机一小时能修路的米数即可； （2）首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可． 【解答】解：（1）两台压路机1小时，共修路： 960+9602040（平方米）． 答：两台压路机1小时共修路2040平方米． （2）大压路机的前轮周长为：5＝2π． 小压路机前轮的周长为：2π． 小压路机每分钟转：80π÷105（周）． 大压路机每分钟转：5×80%＝4（周）． ∴大压路机每分钟前进：4×2π＝8π（米）． 答：大压路机每分钟前进8π米． 【点评】本题考查了圆的周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式． 【题型7】利用倒数转化求分数加减混合除数的除法简便运算(培优) 1.核心知识点总结 -核心原理：除法无分配律，但互为倒数的两数乘积为1；若直接计算复杂（如除数是分数加减混合），可先求原式的倒数（除数÷被除数），再取倒数得原式结果。 -适用场景：被除数是单个分数，除数是多个分数的加减混合运算（如）。 -关键前提：被除数≠0（保证倒数存在）。 2.高频考点梳理 -基础型：除数为分数加减混合、无其他运算（如计算）。 -复杂型：除数含乘方或多层括号（如计算）。 -验证型：对比直接计算与倒数法，判断方法正确性。 3.易错点警示 -误用除法分配律：将被除数拆分为“分别除以除数的每一项”（如误算为）。 -倒数计算符号错误：乘以负数时漏变号（如误算为，实际为）。 -忘记取倒数：将倒数的计算结果直接作为原式结果（如倒数为，原式误写为，实际为）。 4.解题技巧拆解 -步骤1：设原式为（如），确认。 -步骤2：求的倒数：将除数与被除数互换，转化为乘法（）。 -步骤3：用乘法分配律算：每一项分别乘（注意符号），如。 -步骤4：取倒数得：。 【例题7】．（2024-2025•龙马潭区校级期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝3，则c÷（a+b）＝　　 ； （2）计算：； （3）根据以上信息可知　　 ． 【答案】（1）； （2）14； （3）． 【分析】（1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配律进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：（1）根据倒数的定义，若（a+b）÷c＝3，则． 故答案为：； （2） ＝8﹣9+15 ＝14； （3）因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配律进行有理数的运算等知识，乘积是1的两数互为倒数． 【变式题7-1】．（2024-2025•招远市期中）小明在课外书中看到这样一道题： 计算：． 他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利的解答了这道题． （1）前后两部分直接存在的关系是 　互为倒数　 ； （2）请选择比较简单的那一部分先进行计算； （3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果 　　 ； （4）根据以上的分析，求出原式的结果． 【答案】（1）互为倒数；（2）﹣3；（3）；（4）． 【分析】（1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数； （2）根据乘法分配律进行计算得出答案； （3）根据倒数的性质得出答案； （4）根据有理数的加法计算法则得出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数． 故答案为：互为倒数； （2）原式 ＝9﹣21+10﹣1 ＝﹣3； （3）由题意得另一部分的结果． 故答案为：； （4）． 【点评】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•乌当区期中）阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）我认为解法一是错误的； （2）选择解法三求出值即可． 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•大冶市期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　小红　 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【答案】见试题解答内容 【分析】两种解法都正确，第一种是一般的解法，按照有理数混合运算的顺序进行计算．第二种先求出代数式的倒数，再求原数，较为简便，所以第二种好． 【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分） （2）原式的倒数为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式． 【点评】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题． 【题型8】有理数新定义运算中除法的转化(培优) 1.核心知识点总结 -新定义：按规则转常规运算(如转)。 -多步运算：从内到外(先算，再算)。 2.高频考点梳理 -单步运算(如，算)。 -多步运算(如，算)。 3.易错点警示 -误解规则(如误为)。 -除法转乘法错(如误转)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：译规则(转常规运算)；步骤2：定顺序(先内层)；步骤3：代入算，验证示例(如有)。 【例题8】．（2024-2025•宝山区校级期末）定义：a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数，已知，y是x的差倒数，求y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据新定义列式为，再按照分数的混合运算的运算顺序进行计算即可． 【解答】解：∵，y是x的差倒数， ∴． 【点评】本题考查的是新定义运算，分数的混合运算，列出正确的运算式是解本题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•广安区校级月考）定义：乘积为﹣1的两个数互为负倒数，如：，则与互为负倒数．那么，的负倒数是　　 ． 【答案】． 【分析】根据负倒数的定义解答即可． 【解答】解：， 故的负倒数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•开原市期末）对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算ad﹣bc，则的相反数是　3　 ，倒数的绝对值是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据新定义计算出该式的值，再根据相反数、倒数、绝对值计算可得． 【解答】解：∵（﹣1）2015×2﹣12015×（﹣1）2014＝﹣1×2﹣1×1＝﹣3， ∴它的相反数为3，其倒数的绝对值为||， 故答案为：3，． 【点评】本题主要考查相反数、倒数、绝对值，根据新定义计算出该式的值是关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•晋江市校级月考）数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 【答案】（1）见解析；（2）25，26，49，50，97，98． 【分析】（1）根据题意直接相除，看得到的结果是否为质数，再判断是否为“公平数”； （2）先求出3和8在100内的公倍数，再根据“公平数”的定义做个找出即可． 【解答】解：（1）60÷7＝8……4，60÷8＝7……4，有相同的余数，故为“公平数”； 35÷7＝5……0，35÷8＝4……3，余数不相同，故不是“公平数”． （2）3和8的公倍数在100内有24、48、72、96． ①当3和8的公倍数为24时： 当余数为1时的“公平数”：3×8+1＝25； 当余数为2时的“公平数”：3×8+2＝26； ②当3和8的公倍数为48时： 当余数为1时的“公平数”：2×3×8+1＝49； 当余数为2时的“公平数”：2×3×8+2＝50； ③当3和8的公倍数为72时： 当余数为1时的“公平数”：3×3×8+1＝73； 当余数为2时的“公平数”：3×3×8+2＝74； ④当3和8的公倍数为96时： 当余数为1时的“公平数”：2×2×3×8+1＝97； 当余数为2时的“公平数”：2×2×3×8+2＝98； 故100以内3和8的所有“公平数”为：25，26，49，50，97，98． 【点评】本题考查质数与公倍数的运用，理解题意和掌握公倍数便可解决问题． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 B D D B B 一．选择题（共5小题） 1．﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】B 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：﹣2025的倒数是． 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则下列结论不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．a﹣b＞0 D． 【答案】D 【分析】根据数轴得到b＜﹣1＜0＜a＜1，结合有理数减法法则、除法法则可判断每个选项即可． 【解答】解：由数轴可知，b＜﹣1＜0＜a＜1， A、a＞0，正确，故A选项不符合题意； B、b＜0，正确，故B选项不符合题意； C、a﹣b＞0，正确，故C选项不符合题意； D、，而题目给出结果大于0，错误，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】考查熟练掌握点在数轴上的位置了有理数与数轴，有理数的四则运算有理数的运算法则，是解题的关键． 3．两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数是（　　） A．商5余3 B．商50余30 C．商5余30 D．商50余3 【答案】D 【分析】根据有理数的除法法则判断即可． 【解答】解：被除数和除数同时缩小到原来的，商还是50，因为被除数和除数同时缩小到原来的，所以余数也缩小到原来的，为3， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的除法，即商不变的性质，也就是被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但余数相应扩大或缩小相同的倍数． 4．在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求出每个数的倒数，再比较即可． 【解答】解：的倒数是，； 的倒数是，； 1的倒数是1； 56的倒数是，； 所以倒数比它本身小的个数有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 5．下列算式中的□代表1～9中任意一个数字，如图的点M可能表示算式（　　）的计算结果． A． B．3×4．□ C．15÷0．□ D．15÷1．□ 【答案】B 【分析】先根据有理数乘除的计算方法，得出算式结果的范围，找出算式的结果在14和15之间的即可． 【解答】解：A．如果□＝1，则14×1＝14；如果□＝2，则14×2＝28；...；如果□＝9，则14×19＝159；故A选项不符合题意； B．如果□＝1，则3×4.1＝12.3；...；如果□＝9，则3×4.9＝14.7；故B选项符合题意； C．如果□＝1，则15÷0.1＝150；如果□＝2，则15÷0.2＝300；...；如果□＝9，则15÷0.9＝16.23；故C选项不符合题意； D．如果□＝1，则15÷1.1＝13.711；...；如果□＝9，则15÷1.9＝7.1719；故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数乘除法，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．计算：　6　 ． 【答案】6． 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【解答】解：：3×2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 7．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【解答】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 【点评】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重． 8．2024的倒数的相反数为 　　 ． 【答案】． 【分析】由倒数和相反数的定义进行判断，即可得到答案． 【解答】解：2024的倒数为， ∴2024的倒数的相反数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数和相反数的定义，解题的关键是熟记定义进行判断． 9．如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 　　 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 　105　 ． 【答案】（1）； （2）105． 【分析】（1）根据两数相除，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可； （2）根据两数相乘，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得：抽取﹣7，+2，最小的商是， 故答案为：； （2）由题意可得：抽取﹣7，﹣3，5，最大的乘积是105． 故答案为：105． 【点评】本题考查了有理数乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．算式x÷y＝15⋯⋯3，当y为最大一位数时，x＝（　138　 ），当y为最小时，x＝（　63　 ）． 【答案】138，63． 【分析】最大一位数是9，商乘除数，再加余数，可得被除数；余数为3，则除数最小为4，由此可计算第二个空． 【解答】解：∵最大的一位数是9， ∴x＝15×9+3＝138； ∵x÷y＝15⋯⋯3中余数为3， ∴除数最小为4， ∴x＝15×4+3＝63； 故答案为：138，63． 【点评】本题考查整数的除法，掌握以上知识是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（﹣7）×（﹣56）×214×0÷（﹣13）． 【答案】0． 【分析】根据有理数的除法及乘法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝0． 【点评】本题主要考查有理数的除法及乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．计算下面各题． ； ； ． 【答案】；；． 【分析】根据有理数的乘除法则计算即可． 【解答】解：； ； ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　二　 步，错误原因是 　没有按同级运算从左至右运算　 ； 第二处是第 　三　 步，错误原因是 　符号弄错　 ； （2）请写出正确的结果 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式＝﹣15÷（）×6 ＝156 ． 故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．三，符号弄错． （2）． 【点评】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则，本题属于基础题型． 14．观察下列两个等式：，，给出定义如下：若对于数对（a，b），使等式a+b＝ab+4成立，则称数对（a，b）是“4相关数对”，如：2+（﹣2）＝2×（﹣2）+4，所以数对（2，﹣2）是“4相关数对”． （1）数对（4，0），（1，1）中是“4相关数对”的是 　（4，0）　 ； （2）一名同学，在数对（m，n）和（﹣m，﹣n）都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：m和n互为相反数； 结论二：m和n互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）（4，0）； （2）结论一正确，理由见解答． 【分析】（1）根据题意分别进行解答，选出符合条件的即可； （2）根据4的相关数对的定义进行证明即可． 【解答】解：（1）数对（4，0）：4+0＝4×0+4，即（4，0）是4相关数对； 数对（1，1）：1+1≠1×1+4，即（1）不是4的相关数对． 故答案为：（4，0）． （2）结论一正确，理由如下： 由（2）可知，m+n＝m×n+4，﹣m+（﹣n）＝（﹣m）×（﹣n）+4， 则m+n＝﹣m+（﹣n）， 解得m+n＝0， 故m和n互为相反数， 故结论一正确． 【点评】本题考查倒数和相反数，能够读懂题意，理解题意是解题的关键． 15．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为．故原式＝300． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的？ （2）请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【解答】解：（1）没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ＝﹣20． 所以原式． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.10有理数的除法 【题型1】有理数除法的符号判定与运算 1.核心知识点总结 -法则1：(，除法转乘法)。 -法则2：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0，0不能作除数。 2.高频考点梳理 -直接计算(如、)。 -根据商的符号判断、正负(如则、异号)。 3.易错点警示 -符号判断错误(如误算为)。 -除法转乘法漏变倒数(如误算为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：判除数是否为0(0则无意义)；步骤2：定商的符号；步骤3：算绝对值的商或转乘法约分。 【例题1】．（2024-2025•裕安区校级月考）计算：（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【变式题1-1】．（2024-2025•温州模拟）计算﹣6÷2的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．12 【变式题1-2】．（2024-2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【变式题1-3】．（2024-2025•滨海新区校级三模）计算15÷（﹣5）的结果等于（　　） A．75 B．10 C．﹣3 D．﹣5 【题型2】有理数倒数的求解与性质应用 1.核心知识点总结 -倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数（），单独一个数非倒数。 -求法：符号不变，交换分子分母；带分数化假分数、小数化分数后再求。 -特殊情况：正数倒数为正，负数倒数为负；0无倒数，倒数等于本身的数是。 2.高频考点梳理 -求整数（）、分数（）、小数()、带分数()的倒数。 -已知、互为倒数，求代数式(如)的值。 3.易错点警示 -混淆“倒数”与“相反数”(如误将的倒数记为)。 -带分数未化假分数直接求倒数(如误得)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：定符号(与原数一致)；步骤2：化标准形式(整数→分母为1的分数等)；步骤3：交换分子分母，验证乘积为1。 【例题2】．（2024-2025•肇庆校级开学）的倒数是（　　） A． B．2025 C．﹣2025 D．﹣1 【变式题2-1】．（2024-2025•罗湖区二模）下列互为倒数的是（　　） A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 【变式题2-2】．（2024-2025•烟台）|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【变式题2-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）的相反数的倒数是（　　） A． B． C． D． 【题型3】有理数加减乘除混合运算的优先级处理 1.核心知识点总结 -优先级：先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左到右。 -简便计算：用乘法分配律()简化含括号运算。 2.高频考点梳理 -含括号混合运算(如)。 -分配律应用(如转)。 3.易错点警示 -忽略优先级(如误算为)。 -分配律漏乘负数(如误算为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：标运算级别(Δ标乘除，○标加减)；步骤2：用分配律简化(优先)；步骤3：分步算乘除，再算加减。 【例题3】．（2024-2025•崇明区期末）计算：． 【变式题3-1】．（2024-2025•肇源县期末）计算下面各题． ； ； ． 【变式题3-2】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式题3-3】．（2024-2025•阿荣旗期末）阅读下列材料，计算：50÷（）． 解法1思路：原式＝5050×3﹣50×4+50×12；对吗？答：　 　 ； 解法2提示：先计算原式的倒数，（）÷50，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：（）÷（）； （2）（）÷（）+（）÷（）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！ 【题型4】结合数轴的有理数除法符号判断(提升) 1.核心知识点总结 -数轴性质：右正左负，绝对值=点到原点距离。 -除法符号：同号(同左/右)得正，异号(左+右)得负。 2.高频考点梳理 -根据数轴判、的符号(如左、右，则)。 -比较与1的大小(如且同号，则)。 3.易错点警示 -数轴数的正负判错(左误为正)。 -绝对值大小混淆(左数误判为绝对值大)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：标数的正负(左负右正)；步骤2：标绝对值大小(离原点远则大)；步骤3：结合除法法则判符号/大小。 【例题4】．（2024-2025•泗阳县校级一模）若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【变式题4-1】．（2024-2025•任丘市模拟）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【变式题4-2】．（2024-2025•桐柏县校级月考）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则　 　 ． 【变式题4-3】．（1）如图，数轴上能表示（﹣5）÷|﹣2|的值的点为 　 　 ； （2）若被除数是﹣18，除数比被除数小12，则它们的商是 　 　 ． 【题型5】有理数倒数的代数关联与多条件求值(提升) 1.核心知识点总结 -倒数关系：、互为倒数→(、)。 -多条件：常结合相反数()、绝对值()。 2.高频考点梳理 -已知、、，求。 -含倒数的简单求值(如倒数为2，求)。 3.易错点警示 -忽略(误认时)。 -代入符号错(如误代为)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：列条件表达式(、等)；步骤2：代入代数式；步骤3：分情况(如)计算。 【例题5】．（2024-2025•汉滨区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【变式题5-1】．（2024-2025•海珠区校级期中）根据下列语句列式并计算： （1）+1.1与﹣3.2的绝对值的和； （2）2.5的相反数和的倒数的商． 【变式题5-2】．（2024-2025•梅河口市校级期中）已知a、b互为相反数（a≠b），c的倒数是﹣5，d是最小的正整数． （1）填空：　 　 ． （2）求a+b﹣c﹣d的值． 【变式题5-3】．（2024-2025•霍邱县月考）已知m与﹣3互为相反数，n与互为倒数． （1）m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）若|m﹣x|+|n+y|＝0，求xy的相反数和倒数． 【题型6】有理数除法的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 -正负数规定：如上升为正、下降为负；除法意义：平均分(总量÷每份=份数)、求比例。 -单位统一：计算前统一单位(如分钟→小时)。 2.高频考点梳理 -气温问题(山脚，每千米降，求山顶时高度)。 -路程问题(向西行千米用小时，求速度)。 3.易错点警示 -正负数规定错(下降误为正)。 -单位不统一(如分钟未化小时）。 4.解题技巧拆解 -步骤1：定正方向（标正负）；步骤2：统一单位；步骤3：列除法算式；步骤4：释结果意义（如负号表方向）。 【例题6】．（2024-2025•闵行区月考）小林跑100米用了18秒，小马跑80米用了15秒，则小林的速度比小马（　　） A．快 B．慢 C．一样 D．无法确定 【变式题6-1】．（2024-2025•镇海区校级模拟）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题6-2】．（2024-2025•河北模拟）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 （1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； （2）如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为﹣4，求选取的数字． 【变式题6-3】．（2024-2025•杨浦区校级期末）市建委派出一大一小两台压路机来修路，两台压路机的前轮半径比是5：4，周长差是米，大压路机每分钟转动的周数是小压路机每分钟转动的周数的80%，小压路机一小时能修路960平方米，是大压路机的，已知小压路机十分钟可以前进80π米． （1）若两台压路机一起工作1小时，能修多少平方米的路？ （2）求大压路机每分钟前进多少米？（结果保留π） 【题型7】利用倒数转化求分数加减混合除数的除法简便运算(培优) 1.核心知识点总结 -核心原理：除法无分配律，但互为倒数的两数乘积为1；若直接计算复杂（如除数是分数加减混合），可先求原式的倒数（除数÷被除数），再取倒数得原式结果。 -适用场景：被除数是单个分数，除数是多个分数的加减混合运算（如）。 -关键前提：被除数≠0（保证倒数存在）。 2.高频考点梳理 -基础型：除数为分数加减混合、无其他运算（如计算）。 -复杂型：除数含乘方或多层括号（如计算）。 -验证型：对比直接计算与倒数法，判断方法正确性。 3.易错点警示 -误用除法分配律：将被除数拆分为“分别除以除数的每一项”（如误算为）。 -倒数计算符号错误：乘以负数时漏变号（如误算为，实际为）。 -忘记取倒数：将倒数的计算结果直接作为原式结果（如倒数为，原式误写为，实际为）。 4.解题技巧拆解 -步骤1：设原式为（如），确认。 -步骤2：求的倒数：将除数与被除数互换，转化为乘法（）。 -步骤3：用乘法分配律算：每一项分别乘（注意符号），如。 -步骤4：取倒数得：。 【例题7】．（2024-2025•龙马潭区校级期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝3，则c÷（a+b）＝　 　 ； （2）计算：； （3）根据以上信息可知　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•招远市期中）小明在课外书中看到这样一道题： 计算：． 他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利的解答了这道题． （1）前后两部分直接存在的关系是 　 　 ； （2）请选择比较简单的那一部分先进行计算； （3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果 　 　 ； （4）根据以上的分析，求出原式的结果． 【变式题7-2】．（2024-2025•乌当区期中）阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　 　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【变式题7-3】．（2024-2025•大冶市期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　 　 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【题型8】有理数新定义运算中除法的转化(培优) 1.核心知识点总结 -新定义：按规则转常规运算(如转)。 -多步运算：从内到外(先算，再算)。 2.高频考点梳理 -单步运算(如，算)。 -多步运算(如，算)。 3.易错点警示 -误解规则(如误为)。 -除法转乘法错(如误转)。 4.解题技巧拆解 -步骤1：译规则(转常规运算)；步骤2：定顺序(先内层)；步骤3：代入算，验证示例(如有)。 【例题8】．（2024-2025•宝山区校级期末）定义：a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数，已知，y是x的差倒数，求y的值． 【变式题8-1】．（2024-2025•广安区校级月考）定义：乘积为﹣1的两个数互为负倒数，如：，则与互为负倒数．那么，的负倒数是　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•开原市期末）对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算ad﹣bc，则的相反数是　 　 ，倒数的绝对值是　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•晋江市校级月考）数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 2．有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则下列结论不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．a﹣b＞0 D． 3．两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数是（　　） A．商5余3 B．商50余30 C．商5余30 D．商50余3 4．在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列算式中的□代表1～9中任意一个数字，如图的点M可能表示算式（　　）的计算结果． A． B．3×4．□ C．15÷0．□ D．15÷1．□ 二．填空题（共5小题） 6．计算：　 　 ． 7．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　 　 ． 8．2024的倒数的相反数为 　 　 ． 9．如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 　 　 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 　 　 ． 10．算式x÷y＝15⋯⋯3，当y为最大一位数时，x＝（　 　 ），当y为最小时，x＝（　 　 ）． 三．解答题（共5小题） 11．（﹣7）×（﹣56）×214×0÷（﹣13）． 12．计算下面各题． ； ； ． 13．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　 　 步，错误原因是 　 　 ； 第二处是第 　 　 步，错误原因是 　 　 ； （2）请写出正确的结果 　 　 ． 14．观察下列两个等式：，，给出定义如下：若对于数对（a，b），使等式a+b＝ab+4成立，则称数对（a，b）是“4相关数对”，如：2+（﹣2）＝2×（﹣2）+4，所以数对（2，﹣2）是“4相关数对”． （1）数对（4，0），（1，1）中是“4相关数对”的是 　 　 ； （2）一名同学，在数对（m，n）和（﹣m，﹣n）都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：m和n互为相反数； 结论二：m和n互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 15．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为．故原式＝300． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的？ （2）请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $