专题01 三角形17题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 三角形 题型1三角形的相关概念 题型10三角形外角的性质 题型2三角形的三边关系（热考） 题型11与角度有关的折叠问题（难点） 题型3等面积法求线段长（热考） 题型12全等图形的识别 题型4根据三角形中线求线段长 题型13利用全等三角形的性质求解 题型5根据三角形中线求面积（热考） 题型14添加条件证明两个三角形全等（热考） 题型6三角形角平分线的定义 题型15选用合适的方法证明两个三角形全等（重点） 题型7三角形内角和定理的证明 题型16全等三角形判定与性质综合（难点） 题型8三角形内角和定理的应用（热考） 题型17全等三角形与实际应用（热考） 题型9与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的相关概念（共3小题） 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个三角形中最多有一个钝角 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 【答案】A 【分析】本题考查三角形的相关概念，全等三角形的概念和性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．一个三角形中最多有一个钝角，原说法正确，符合题意； B．两个全等三角形的面积一定相等，原说法错误，不符合题意； C．两个形状，大小都相同的图形称为全等图形，原说法错误，不符合题意； D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角，3个钝角，22个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（   ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类，根据锐角三角形的3个角都是锐角，直角三角形和钝角三角形都有2个锐角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（个）； 故选B． 题型二 三角形的三边关系（共5小题） 4．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 5．（24-25七年级上·山东济南·期中）若长度分别是m、3、5的三条线段能组成一个三角形，则m的值可能是（    ） A．1 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系，确定的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：长度分别是m、3、5的三条线段能组成一个三角形， ，即， m的值可能是5， 故选：B． 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，老师在讲解三角形时，用手掌遮住了一个三角形的一部分，已知三角形的一边长为9，则另两边的长不可能的是（   ） A．4，5 B．3，9 C．5，6 D．7，7 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：由三角形的一边长为9， A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故符合题意； B、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意； C、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意； D、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意； 故选：A． 8．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知的三边长是，，。 (1)若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长是，，， ，即， 三角形的周长是小于16的偶数， 即， ； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 题型三 等面积法求线段长（共4小题） 9．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵的面积为36，，， ∴， ∴． 10．（20-21八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 11．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了三角形的面积．直接根据，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 12．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出、、的长，利用面积法可以得出． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 故答案为：． 题型四 根据三角形中线求线段长（共4小题） 13．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选C． 14．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　）    A． B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 由三角形中线的定义可知，然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为：． 故选：C． 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）是中边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的中线．根据三边关系求出的取值范围，根据中线，得到，即可．掌握三角形的三边关系以及三角形的中线的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，即：， ∵是中边上的中线， ∴为边上的中点， ∴， ∴； 故选：D． 16．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 【答案】C 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴ = =5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 17．（22-23八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的中线，二元一次方程组的应用，三角形的三边关系应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程，注意进行分类讨论，并注意用三角形的三边关系进行验证． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴． 设，，则， 分两种情况分别进行讨论： （1），， 则，， 解得，， 即，． ∵， ∴． ∵， ∴，，满足三角形的三边关系． （2），， 则，， 解得，， 即，． ∵， ∴． ∵， ∴，，不满足三角形的三边关系． 综上所述，，． 题型五 根据三角形中线求面积（共4小题） 18．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由点是的中点， 可得，进而由点是的中点，得到，，即得到，最后根据点是边上的中点， 可得，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：． 19．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，是的重心，连接并延长交于，若的面积为5，则四边形的面积是（  ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了重心的概念，三角形中线的性质，熟练利用面积的转化得到的面积和四边形的面积相等是解题的关键．根据重心的概念，得到，是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答． 【详解】解：∵是的重心， ∴，是的中线， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 20．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，三角形的面积为10，与交于点，且，，则阴影部分的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积，图形面积间的等积代换，解答此题的关键是先连接，然后根据三角形面积和线段间比的关系进行分析，进而得出结论． 连接，由，得的面积的面积，的面积的面积．由，得的面积的面积，因此的面积的面积的面积；的面积的面积、进而可求阴影部分面积等于的面积的面积． 【详解】解∶连接， ， 的面积的面积， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积的面积； 的面积的面积， 的面积， 阴影部分面积等于的面积的面积； 故答案为：4． 21．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，，分别是边，，上的中点，若阴影的面积为6，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键． 利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，，，，，再得到，，所以即可得出． 【详解】解：∵，，分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴ 故选：D． 22．（21-22七年级下·江苏盐城·期中）如图，△ABC的面积为1．分别倍长AB，BC，CA得到．再分别倍长得到．…按此规律，倍长n次后得到的的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，根据等底等高的三角形面积相等， 的面积都相等， 所以，， 同理 依此类推， ∵△ABC的面积为1， ∴． 故答案为： 23．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 题型六 三角形角平分线的定义（共3小题） 24．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 25．（21-22八年级上·云南昆明·期中）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（    ） A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF 【答案】C 【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可． 【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确； B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确； C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误； D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键． 26．（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据AD是△ABC的高线，可得∠BED+∠EBD＝90°，根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBD，观察∠BED与∠AEF的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此结合已知不难得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解题． 【详解】证明：由题意得：AD⊥BC，BF平分∠ABC， ∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD， ∴∠BED+∠ABE＝90°， 又∵∠AEF＝∠BED， ∴∠AEF+∠ABE＝90°， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AFE+∠ABE＝90°， ∴∠BAF＝90°，即△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定义是关键． 题型七 三角形内角和定理的证明（共1小题） 27．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【答案】(1)①②③④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【详解】（1）解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； （2）解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 题型八 三角形内角和定理的应用（共5小题） 28．（24-25七年级上·山东威海·期中）在中，，，的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，设，然后根据三角形的内角和定理求出x的值即可解题． 【详解】解：设，则，， ， 解得， ∴， 故选：C． 29．（24-25七年级上·山东东营·期中）一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：一个等腰三角形的顶角等于, 它的底角 故选：B. 30．（24-25七年级上·山东威海·期中）有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理进行判断求解． 【详解】解：①∵，， ∴，则是直角三角形； ②∵，， ∴，则是直角三角形； ③∵，即， ∴，则是直角三角形 ④由，，无法得到其中一个角为直角，故不一定是直角三角形． 综上所述，能确定是直角三角形的是①②③，共3个． 故选：C 31．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，若，则（    ） A．90 B．92 C．96 D．98 【答案】B 【分析】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识. 根据等腰三角形的性质得到，设,则，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，由列方程求出，代入即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 设, ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ 故选：B． 32．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为 ． 【答案】/92度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先求出，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题（共4小题） 33．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 34．（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示：    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 35．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，中，平分，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得到，根据垂直平分线的性质得到，得到，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 36．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，能从作图痕迹中判断出线段垂直平分线和角平分线是解答的关键． 根据作图痕迹，利用线段垂直平分线和角平分线的定义，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，是垂直平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十 三角形外角的性质（共4小题） 37．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 38．（22-23七年级上·山东济南·期中）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角的定义及性质；由三角板可得，，再由三角形的外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：如图： ， 根据三角板可得，， 则， 故， 故选：B． 39．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ， ，， 是的外角， ， 故选：A． 40．（19-20八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 °． 【答案】180 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角和为得出，根据全等三角形的性质得出，，然后结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：三角形的外角和是， ． 三个全等三角形， ，， 又， ， 的度数是， 故答案为：180． 题型十一 与角度有关的折叠问题（共4小题） 41．（21-22七年级下·福建泉州·期末）如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长和，交于点，根据三角形内角和定理求出的度数，根据折叠的性质得：，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，得到的度数，从而得出的度数． 【详解】解：如图，延长和，交于点， ∵，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理．延长和，交于点，根据三角形内角和定理和折叠的性质求角的度数是解题的关键． 42．（20-21八年级上·云南昆明·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 【答案】B 【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论． 【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED＝＝99°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键． 43．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，以及折痕为角平分线，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点B落在处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40． 44．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______． (2)若如图2所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等： （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十二 全等图形的识别（共3小题） 45．（2022八年级上·全国·专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 46．（22-23八年级上·河北保定·期中）下列给出的条件中，具有（   ）的两个图形一定是全等的． A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．能够完全重合 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义即可求解． 【详解】解：根据全等图形的定义，可得具有能够完全重合的两个图形一定是全等的， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键． 47．（21-22八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 题型十三 利用全等三角形的性质求解（共4小题） 48．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，已知，，，则（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 故选：C 49．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果，则只需测出其长度的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．利用全等三角形对应边相等可知要想求得的长，只需求得其对应边的长，据此可以得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 则只需测出其长度的线段是， 故选：A． 50．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， 点恰好在的延长线上， ， 故选：C． 51．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 题型十四 添加条件证明两个三角形全等（共4小题） 52．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： ， ，即， 又 ， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 53．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A、，，，由“”能判定，不符合题意； B、，则，再结合，，由“”能判定，不符合题意； C、，，，由“”能判定，不符合题意； D、，，，由“”不能判定，符合题意； 故选：D． 54．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件，结合，，不可以利用证明，故A符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：A． 55．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，添加下列条件：．可以利用判断的是： ．    【答案】② 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据条件已知的一组边相等，一组角相等，需要用证明全等，则必须再添加一组边相等，而且必须是两边夹一角． 【详解】解：， 添加①，利用得出，故①选项不符合题意； 添加②，利用得出，故②选项符合题意； 添加③，不能证明， 故③选项不符合题意； 添加④， 利用得出， 故④选项不符合题意， 综上所述，满足条件的有②， 故答案为：②． 题型十五 选用合适的方法证明两个三角形全等（共4小题） 56．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 57．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆与在太阳照射下的影子一样长吗？说说你的理由． 【答案】一样长，见解析 【分析】本题考查全等三角形的应用．关键是掌握全等三角形的判定方法． 根据题意证明出，进而求解即可． 【详解】答：一样长， 理由：由题意知：，，， ， 在和中 ，， 即两根竹竿在太阳下的影子一样长． 58．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到，利用“”即可证明． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中 ， ∴． 59．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)① ② ③ ④ (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）利用、判定定理即可得以证明； （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，再利用三角形判定定理证明即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ①， D、分别为BC、中点， ②，③， ， ，， ④； ① ② ③ ④． （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， 题型十六 全等三角形判定与性质综合（共5小题） 60．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在和中，，，点在的边上，． (1)请判断和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由； (2)若，请求出的度数． 【答案】(1)，见解析； (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. （1）.设相交于点，根据三角形内角和定理得到，继而得到，，可证明； （2）由（1）知，得到，得出，根据三角形内角和定理即可得到答案. 【详解】（1）解：，理由如下： 设相交于点， ，， ，， ， ， ， ， 即，， 在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 61．（24-25七年级上·山东烟台·期中）将两个三角形纸板和按如图所示方式摆放，连接．已知，，． (1)求证； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用“角角边”证明即可； （2）由得到，然后利用“边边边”证明，得到即可求解． 【详解】（1）证明：， 即， 在和中 ， ． （2）解：， ，， 在和中 ， ， ， ， ， ． 62．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 63．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在边的延长线上，，与交于点F．求证： (1)； (2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质等知识． （1）过D点作交于M点，由平行线的性质得出，，由等边对等角可得出，进而可得出，再由等角对等边得出，进而可得出，再证明，再由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质，由等腰三角形三线合一的性质可得出，进而可得出． 【详解】（1）证明：过D点作交于M点，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 64．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）“”证明得到，，再利用得到，则可判断为等腰直角三角形； （2）由得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十七 全等三角形与实际应用（共6小题） 65．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，证明是解题的关键． 由题意可得、，再结合对顶角相等可得，然后利用“”证明可得． 【详解】解：由题意可得、， 由对顶角相等可得， 在和中， ， ∴， ∴． 66．（24-25八年级上·福建南平·期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使，，在一直线上，测得大树顶端的视线与居民楼顶端的视线的夹角为90°，且大树和居民楼都垂直于地面．若米，米，请计算出该居民楼的高度． 【答案】该居民楼的高度为52米 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先得出，再证明，得出，求出米，进而可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ， 在和中， ， ， ∴， 又米，米， （米）， ∴米， 答：该居民楼的高度为52米． 67．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），直角三角板，刻度尺等 测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 图1                    图2 任务： (1)求证：． (2)经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查同角的余角，全等三角形的判定和性质： （1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． 由题意，得． 由（1），得． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 68．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）小丽与爸妈在公园里坐荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？ 【答案】小丽距离地面的高度是 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据题意可证，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵点处距地面高， ∴在处距离地面的高度是， ∴小丽距离地面的高度是． 69．（23-24七年级上·山东东营·期中）如图，某建筑公司想测出一电视塔的高度，身高为的公司员工登上高的顶楼阳台，利用另一侧距离等于他与电视塔间距离的建筑物进行测距，他固定自己的站立位置，看到该电视塔的最高点时测出视线的仰角（），再转身，用同样的大小的角度作为俯角（），使视线刚好落在建筑物的某一点C上，然后测出为，（已知，），就可以求出该电视塔的高度，请你说明其中的原理并求出该电视塔的高度． 【答案】理由见解析，电视塔的高度为 【分析】根据题意得，，，得到，求得，于是结论可得． 本题考查了全等三角形的应用及仰角和俯角问题，熟知全等三角形的判定和性质，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，，， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴电视塔的高度为． 70．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度． 【答案】米，米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用．首先得出，进而得出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：作，垂足分别是E、F， 则由题意得：， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 所以， 所以， 又因为由勾股定理得， 所以． 答：旗杆的高度为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米． $专题01 三角形 题型1三角形的相关概念 题型10三角形外角的性质 题型2三角形的三边关系（热考） 题型11与角度有关的折叠问题（难点） 题型3等面积法求线段长（热考） 题型12全等图形的识别 题型4根据三角形中线求线段长 题型13利用全等三角形的性质求解 题型5根据三角形中线求面积（热考） 题型14添加条件证明两个三角形全等（热考） 题型6三角形角平分线的定义 题型15选用合适的方法证明两个三角形全等（重点） 题型7三角形内角和定理的证明 题型16全等三角形判定与性质综合（难点） 题型8三角形内角和定理的应用（热考） 题型17全等三角形与实际应用（热考） 题型9与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的相关概念（共3小题） 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个三角形中最多有一个钝角 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 2．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角，3个钝角，22个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（   ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．5个 题型二 三角形的三边关系（共5小题） 4．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东济南·期中）若长度分别是m、3、5的三条线段能组成一个三角形，则m的值可能是（    ） A．1 B．5 C．8 D．10 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，老师在讲解三角形时，用手掌遮住了一个三角形的一部分，已知三角形的一边长为9，则另两边的长不可能的是（   ） A．4，5 B．3，9 C．5，6 D．7，7 8．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知的三边长是，，。 (1)若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； (2)化简． 题型三 等面积法求线段长（共4小题） 9．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 10．（20-21八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 11．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，则长为 ． 12．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ． 题型四 根据三角形中线求线段长（共4小题） 13．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　）    A． B．1 C．2 D．7 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）是中边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 17．（22-23八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 题型五 根据三角形中线求面积（共4小题） 18．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，是的重心，连接并延长交于，若的面积为5，则四边形的面积是（  ） A．2 B．5 C．3 D．4 20．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，三角形的面积为10，与交于点，且，，则阴影部分的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 21．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，，分别是边，，上的中点，若阴影的面积为6，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．15 D．16 22．（21-22七年级下·江苏盐城·期中）如图，△ABC的面积为1．分别倍长AB，BC，CA得到．再分别倍长得到．…按此规律，倍长n次后得到的的面积为 ． 23．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 题型六 三角形角平分线的定义（共3小题） 24．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 25．（21-22八年级上·云南昆明·期中）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（    ） A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF 26．（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形． 题型七 三角形内角和定理的证明（共1小题） 27．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 题型八 三角形内角和定理的应用（共5小题） 28．（24-25七年级上·山东威海·期中）在中，，，的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·山东东营·期中）一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 30．（24-25七年级上·山东威海·期中）有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，若，则（    ） A．90 B．92 C．96 D．98 32．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为 ． 题型九 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题（共4小题） 33．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，中，平分，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 题型十 三角形外角的性质（共4小题） 37．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 38．（22-23七年级上·山东济南·期中）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A． B． C． D． 39．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 40．（19-20八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 °． 题型十一 与角度有关的折叠问题（共4小题） 41．（21-22七年级下·福建泉州·期末）如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．（20-21八年级上·云南昆明·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 43．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 44．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______． (2)若如图2所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系． 题型十二 全等图形的识别（共3小题） 45．（2022八年级上·全国·专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   46．（22-23八年级上·河北保定·期中）下列给出的条件中，具有（   ）的两个图形一定是全等的． A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．能够完全重合 47．（21-22八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 题型十三 利用全等三角形的性质求解（共4小题） 48．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，已知，，，则（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 49．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果，则只需测出其长度的线段是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 51．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 题型十四 添加条件证明两个三角形全等（共4小题） 52．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．（21-22八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 54．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，添加下列条件：．可以利用判断的是： ．    题型十五 选用合适的方法证明两个三角形全等（共4小题） 56．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 57．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆与在太阳照射下的影子一样长吗？说说你的理由． 58．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 59．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 题型十六 全等三角形判定与性质综合（共5小题） 60．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在和中，，，点在的边上，． (1)请判断和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由； (2)若，请求出的度数． 61．（24-25七年级上·山东烟台·期中）将两个三角形纸板和按如图所示方式摆放，连接．已知，，． (1)求证； (2)若，求的度数． 62．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 63．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在边的延长线上，，与交于点F．求证： (1)； (2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 64．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 题型十七 全等三角形与实际应用（共6小题） 65．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 66．（24-25八年级上·福建南平·期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使，，在一直线上，测得大树顶端的视线与居民楼顶端的视线的夹角为90°，且大树和居民楼都垂直于地面．若米，米，请计算出该居民楼的高度． 67．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），直角三角板，刻度尺等 测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 图1                    图2 任务： (1)求证：． (2)经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长为，求的长． 68．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）小丽与爸妈在公园里坐荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？ 69．（23-24七年级上·山东东营·期中）如图，某建筑公司想测出一电视塔的高度，身高为的公司员工登上高的顶楼阳台，利用另一侧距离等于他与电视塔间距离的建筑物进行测距，他固定自己的站立位置，看到该电视塔的最高点时测出视线的仰角（），再转身，用同样的大小的角度作为俯角（），使视线刚好落在建筑物的某一点C上，然后测出为，（已知，），就可以求出该电视塔的高度，请你说明其中的原理并求出该电视塔的高度． 70．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度． $