考点培优练01 三角函数的运算12大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练01 三角函数的运算12大考点 考点01 任意角与弧度制 1 考点02 扇形的弧长及面积公式的应用 2 考点03 三角函数的定义及其应用 5 考点04 三角函数值符号的判定 6 考点05 同角三角函数基本关系式的应用 7 考点06 诱导公式的应用 9 考点07 和、差、倍角公式的应用 10 考点08 半角公式与万能公式的应用 13 考点09 积化和差与和差化积的应用 14 考点10 辅助角公式 15 考点10 三角恒等变换在三角形中的应用 16 考点11 三角恒等变换的综合问题 17 考点12 三角恒等变换的实际应用 19 考点01 任意角与弧度制 1、象限角的2种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 2、求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示； (2)两边同除以n或乘以n； (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 注：确定角（n∈N）终边所在象限的方法： 已知角终边所在的象限，确定（n∈N）终边所在象限的常用方法有以下两种： 一是分类讨论法．利用已知条件写出α的范围（用k表示），由此确定的范围，然后对k进行分类讨论，从而确定所在象限． 二是几何法．先把各象限均分为n等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，…则α原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域． 3、利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． 4、注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。 1．（2025高一·天津·期中）的终边在第 象限． 2．（2025·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高三·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点02 扇形的弧长及面积公式的应用 1.弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 2.扇形面积公式：． 3.有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 5．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为（ ） A．6 B． C．12 D． 6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西·模拟预测）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 8．（25-26高二·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 9．（2025高三·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 10．（2025高三·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 11．（2025高一·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 13．（2025高一·重庆酉阳·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（   ）      A．高为 B．体积为 C．表面积为14π D．轴截面面积为 14．（2025高三·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计） A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2 15．（2025·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 考点03 三角函数的定义及其应用 三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法 (1) 求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2) 已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，. （注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．） (3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值． 先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； （注：当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.） (4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. （注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．） 16．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 17．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 18．（2025·浙江金华·模拟预测）点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三·江苏淮安·阶段练习）已知角α的终边上有一点，则的值为 . 20．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 21．（2025·河北保定·模拟预测）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 22．（2025高三·江苏盐城·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，，为其终边上一点，则 . 23．（2025高三·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 24．【多选】（2025高三·重庆·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 考点04 三角函数值符号的判定 三角函数值符号及角所在象限的判断 三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin α在一、二象限为正，cos α在一、四象限为正，tan α在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin α在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin ＝1>0，cos π＝－1<0．　 25．（2025高三·上海浦东新·期中）若角满足，且，则角属于第象限 . 26．（2025高三·江苏南通·阶段练习）已知为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025高三·四川德阳·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 28．（2025高三·北京顺义·阶段练习）“”是“为第二或第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2025高三·江苏扬州·阶段练习）若，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．（2025高一·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 考点05 同角三角函数基本关系式的应用 1.同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 注：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 2.同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系式的变形： ，， （2）商数关系式的变形 ，． 3.齐次式化简求值 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 31．（25-26高三·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 32．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知 ，则 . 35．（25-26高三·江西·阶段练习）若，则 . 36．（25-26高三·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 37．（2025高三·陕西榆林·阶段练习）已知， 求下列各式的值: (1); (2). 38．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 39．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．【多选】（2025高一·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 41．【多选】（2025高一·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 考点06 诱导公式的应用 1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名； (2)用诱导公式，统一角； (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 3．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α．　 4.诱导公式的记忆 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 5.利用诱导公式化简与求值 （1）合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用. 42．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高三·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 45．（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 46．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 47．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 48．（2025·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 49．（2025高三·安徽宣城·阶段练习）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C．3 D．9 考点07 和、差、倍角公式的应用 1、应用和、差、倍角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用； (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 2、和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； (2)和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)； (3)倍角公式变形：降幂公式． 注：tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　 3、三角函数公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　 4、三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　 50．（2025高三·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 51．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 52．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 53．（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 54．（2025·江西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 55．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 56．（2025·广东广州·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 57．（2025高一·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 58．（2025高三·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 59．（2025高三·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 60．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高三·江苏苏州·开学考试）已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 62．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．8 63．（2025高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 64．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 65．（2025高一·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 66．（2025高三·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 67．（2025高三·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 68．（2025高三·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 考点08 半角公式与万能公式的应用 1：半角公式 ① ② ③ 2：万能公式 ① ② ③ 3.利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 69．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 70．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 71．（2025高一·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 72．（2025·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 73．（2025·全国·模拟预测）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 74．（2025·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 考点09 积化和差与和差化积的应用 积化和差与和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 75．（2025高三·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 76．（2025高三·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 77．（2025·江西南昌·模拟预测）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 78．（2025·湖南常德·模拟预测）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 79．（2025·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 80．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点10 辅助角公式 形如： 第一步： 第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号. 第三步：的求算，只需在第一象限标明点寻找夹角即可达到秒杀的境界. 注：如果，则需提负号，继续遵循以上步骤 81．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 82．（25-26高三·广西·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 83．（2025·河北邢台·模拟预测）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 84．（2025·河北保定·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 85．（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 86．（25-26高三·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点10 三角恒等变换在三角形中的应用 1.先抓三角形核心条件：内角和 A+B+C=π，灵活用 A=π-(B+C) 转化角，如 sinA=sin (B+C). 2.遇边化角或角化边：用正弦定理、余弦定理建立边角联系。 3.巧用三角公式：和差角、二倍角公式化简表达式，结合三角形内角范围（0 < 角 <π）确定三角函数值符号，最终求解或证明。 87．（2025高三·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 88．（2025·陕西·模拟预测）在中,如果,那么的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 89．（2025高一·江苏扬州·期中）中若有，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 90．（2025·四川凉山·模拟预测）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 91．（2025·广东广州·模拟预测）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（    ） A． B． C． D． 考点11 三角恒等变换的综合问题 三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 92．（25-26高三·天津武清·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期，对称轴方程； (2)求的对称中心； (3)求单调递增区间． 93．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数 (1)求在上的单调区间和值域； (2)若且求的值. 94．（25-26高三·山东临沂·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求在的单调增区间； (3)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 95．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. (1)求； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若，，且，，求的值. 考点12 三角恒等变换的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 96．（2025高三·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．      (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）． 参考公式：．参考数据：，． 97．（2025高三·上海·期中）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知，米，米， 区域OBC为三角形， 区域OAB是以OA为半径的扇形，且 .    (1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； (2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值. 98．（2025高一·北京·期中）某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设； (1)求，（用表示）； (2)当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值. 试卷第2页，共18页 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 三角函数的运算12大考点 考点01 任意角与弧度制 1 考点02 扇形的弧长及面积公式的应用 3 考点03 三角函数的定义及其应用 9 考点04 三角函数值符号的判定 14 考点05 同角三角函数基本关系式的应用 16 考点06 诱导公式的应用 21 考点07 和、差、倍角公式的应用 25 考点08 半角公式与万能公式的应用 36 考点09 积化和差与和差化积的应用 39 考点10 辅助角公式 43 考点10 三角恒等变换在三角形中的应用 46 考点11 三角恒等变换的综合问题 49 考点12 三角恒等变换的实际应用 54 考点01 任意角与弧度制 1、象限角的2种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 2、求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示； (2)两边同除以n或乘以n； (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 注：确定角（n∈N）终边所在象限的方法： 已知角终边所在的象限，确定（n∈N）终边所在象限的常用方法有以下两种： 一是分类讨论法．利用已知条件写出α的范围（用k表示），由此确定的范围，然后对k进行分类讨论，从而确定所在象限． 二是几何法．先把各象限均分为n等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，…则α原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域． 3、利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． 4、注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。 1．（2025高一·天津·期中）的终边在第 象限． 【答案】三 【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 故的终边在第三象限. 故答案为：三 2．（2025·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 3．（2025·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助的值，直接分别判断充分性和必要性. 【详解】由角的终边在同一条直线上，得， 即，所以. 反之，由，得， 当为偶数时，角的终边在同一条射线上； 当为奇数时，角的终边在同一条直线上. 综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件. 故选 ：C. 4．（2025高三·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 考点02 扇形的弧长及面积公式的应用 1.弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 2.扇形面积公式：． 3.有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 5．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为（ ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为，面积为24，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角. 【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 7．（2025·山西·模拟预测）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 【答案】 【分析】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即可. 【详解】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为， 所以弧长为 故答案为： 8．（25-26高二·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得. 【详解】因为圆心角为，半径为4， 所以弧长为，该扇形的面积为． 故答案为： 9．（2025高三·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 10．（2025高三·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【分析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得，再结合基本不等式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数. 【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长， 当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 11．（2025高一·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧度制下的扇形面积公式,结合圆的垂径定理可解. 【详解】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为 ，且弦， 可得，， 扇形的面积为． 故选：B 12．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的圆心为，半径为，连接，先利用正弦定理可求得再在中利用余弦定理可求得,由扇形的面积减去的面积得弓形的面积，再结合为直径的半圆的面积即可求得结果. 【详解】设外接圆的圆心为，半径为，连接， ∵，,由正弦定理，得. 所以，即． 在中，由余弦定理，得， 又，所以，， 所以弓形的面积为， 又因为以为直径的半圆的面积为， 所以月牙形区域的面积为．      故选：B． 13．（2025高一·重庆酉阳·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（   ）      A．高为 B．体积为 C．表面积为14π D．轴截面面积为 【答案】B 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，根据圆弧所在圆的半径和圆心角，求出，，计算圆台的高、体积、表面积和轴截面面积即可逐一判断. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 依题意，，解得， 又圆台的母线长，则圆台的高为，故A正确； 圆台的体积为，故B错误； 圆台的表面积为，故C正确； 圆台的轴截面面积为，故D正确. 故选：B. 14．（2025高三·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计） A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2 【答案】B 【分析】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm，利用扇形面积公式计算即可得出结果. 【详解】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm， 则，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm， 所以，则，所以该扇子的油布面积为cm2. 故选：B 15．（2025·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角. 【详解】底面圆的面积为，得底面圆的半径为， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 屋顶的体积为，由得圆锥的高，    所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径， 得侧面展开图扇形的圆心角约为. 故选：C. 考点03 三角函数的定义及其应用 三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法 (1) 求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2) 已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，. （注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．） (3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值． 先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； （注：当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.） (4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. （注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．） 16．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 17．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由对称性可得，再利用诱导公式计算即可得解. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 18．（2025·浙江金华·模拟预测）点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解. 【详解】以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，令角的终边过点， 则角的终边过点，且， 于是，， ， 所以点的坐标为. 故选：B 19．（25-26高三·江苏淮安·阶段练习）已知角α的终边上有一点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求出，得解. 【详解】由题可得，， 所以. 故答案为：. 20．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】借助三角函数的定义计算即得. 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为：. 21．（2025·河北保定·模拟预测）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的定义列方程解出，再利用正切函数的定义求解即可. 【详解】由题：， 又是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 22．（2025高三·江苏盐城·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，，为其终边上一点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边过点且， 所以，解得（负值已舍去）. 故答案为： 23．（2025高三·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【答案】B 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 24．【多选】（2025高三·重庆·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出点的初始位置的坐标，设经过s后，Q与P重合，得到方程，求出，从而分为偶数和奇数两种情况，得到答案. 【详解】点的初始位置的坐标为，且钝角 设经过s后，Q与P重合，坐标均为， 则，解得， 当为偶数时，Q的坐标为，C正确； 当为奇数时，Q的坐标为，即，B正确； AD均不对， 故选：BC 考点04 三角函数值符号的判定 三角函数值符号及角所在象限的判断 三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin α在一、二象限为正，cos α在一、四象限为正，tan α在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin α在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin ＝1>0，cos π＝－1<0．　 25．（2025高三·上海浦东新·期中）若角满足，且，则角属于第象限 . 【答案】二 【分析】根据正弦值、正切值符号判断角所在的象限即可. 【详解】由且，根据各象限对应正弦、正切的函数值符号，知属于第二象限. 故答案为：二 26．（2025高三·江苏南通·阶段练习）已知为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为第三象限角，可以得到，的取值范围，进一步得出答案. 【详解】∵为第三象限角，即， ∴即是第二、四象限， ∴或，或，故选项A、B错误， ∵ ∴，，故C正确D错误. 故选：C. 27．（2025高三·四川德阳·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 28．（2025高三·北京顺义·阶段练习）“”是“为第二或第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角函数象限角的符号特征结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，而恒成立， 所以只能是且，所以为第二或第四象限角， 因此是为第二或第四象限角的充要条件； 故选：C. 29．（2025高三·江苏扬州·阶段练习）若，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合函数在的单调性可判断的符号；利用商数关系，将正切化为正弦和余弦，结合，的符号即可判断的符号. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以， 即； 因为， 又因为时，，，， 所以，即. 所以点位于第三象限. 故选：C. 30．（2025高一·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合三角函数知识判断. 【详解】因为点在第二象限，所以，， 则的终边位于第二象限， 反之，若的终边位于第二象限，则，， 故点是第二象限的点， 综上，“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的充要条件. 故选：C. 考点05 同角三角函数基本关系式的应用 1.同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 注：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 2.同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系式的变形： ，， （2）商数关系式的变形 ，． 3.齐次式化简求值 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 31．（25-26高三·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据角的象限确定角的余弦值的符号，再利用同角的三角函数关系式计算即得. 【详解】因是第四象限角，则， 由，可得. 故答案为：. 32．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 33．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由联立可得. 【详解】由得， 由得， 化简得，得 故选：B. 34．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知 ，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数基本关系化简求解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 35．（25-26高三·江西·阶段练习）若，则 . 【答案】/0.625 【分析】利用二倍角公式以及同角的三角函数的平方关系化简求值，即得答案. 【详解】由于，故. 故答案为： 36．（25-26高三·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【分析】由正余弦的齐次式转化为正切即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 37．（2025高三·陕西榆林·阶段练习）已知， 求下列各式的值: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再利用齐次式即可求解. （2）先利用“1”的代换，将转化为 再分子分母同除以得求解. 【详解】（1）由，则， 所以 . （2）. 38．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 39．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合角的取值范围，可求角的各种三角函数值. 【详解】因为，所以. 因为 由①得，代入②得：. 整理得：， 结合，所以， 所以， 所以. 故选：B 40．【多选】（2025高一·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 41．【多选】（2025高一·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 考点06 诱导公式的应用 1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名； (2)用诱导公式，统一角； (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 3．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α．　 4.诱导公式的记忆 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 5.利用诱导公式化简与求值 （1）合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用. 42．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】由题意可知，所以. 故选：C 43．（25-26高三·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【详解】因为， 所以，故． 故选：B. 44．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 45．（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解. 【详解】， ，． ． 故选：A 46．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由和角的范围求得，再利用诱导公式和二倍角公式化简所求式，将其代入计算即得. 【详解】因，且，由，解得， 所以． 故选：A. 47．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为， 所以 ． 故选：C． 48．（2025·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简，再根据，可得，从而得所求. 【详解】由诱导公式可知， 又， 所以， 所以. 故选：B. 49．（2025高三·安徽宣城·阶段练习）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】由三角函数定义和诱导公式得到，再利用两角和的正切公式求得，然后利用弦化切可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 即，即，解得， 所以． 故选：C． 考点07 和、差、倍角公式的应用 1、应用和、差、倍角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用； (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 2、和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； (2)和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)； (3)倍角公式变形：降幂公式． 注：tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　 3、三角函数公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　 4、三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　 50．（2025高三·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简计算即得. 【详解】因为，同理可得， . 故选：D. 51．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解. 【详解】. 故选：C 52．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 53．（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，判断结果. 【详解】A、利用二倍角公式， 可得：，A错误. B、利用余弦和角公式， 得：因此原式为：，B错误. C、利用正切和角公式，令， 则，C正确. D、利用递推积化和差公式，结合，得：. D错误. 故选：C. 54．（2025·江西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由有，由有，由①+②即可求解. 【详解】由有，，即， 由有，，即②， ①+②得，， 即，则，解得. 故选：B. 55．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可. 【详解】因为都为锐角，所以，所以，， 所以， 因为。，所以， 因为，， 所以， 所以 . 故选：D. 56．（2025·广东广州·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值. 【详解】法一：由是锐角，得. 因为是锐角，所以. 又因为，所以， 所以. 法二：由已知可得，所以， ∴. 故选：C. 57．（2025高一·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】已知， 则， 所以， 联立，结合，解得， 则， 故. 故选：D. 58．（2025高三·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 59．（2025高三·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以 故选：C 60．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，求得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得， 即，所以，则， . 故选：A. 61．（25-26高三·江苏苏州·开学考试）已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【详解】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 62．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则（*）， 当且仅当时取等号． 而 ， 则由（*）可得：， 即，当且仅当， 即时取等号. 即当或时， 的最小值是8． 故选： D. 63．（2025高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 64．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 65．（2025高一·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 66．（2025高三·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 67．（2025高三·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 68．（2025高三·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又， 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 考点08 半角公式与万能公式的应用 1：半角公式 ① ② ③ 2：万能公式 ① ② ③ 3.利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 69．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 70．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平方关系、半角公式即可求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ， 又 ， 所以 ． 故选：D. 71．（2025高一·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【详解】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 72．（2025·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【详解】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 73．（2025·全国·模拟预测）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解. 【详解】∵，∴， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 74．（2025·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 考点09 积化和差与和差化积的应用 积化和差与和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 75．（2025高三·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 76．（2025高三·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. 77．（2025·江西南昌·模拟预测）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 78．（2025·湖南常德·模拟预测）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 79．（2025·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 80．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 考点10 辅助角公式 形如： 第一步： 第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号. 第三步：的求算，只需在第一象限标明点寻找夹角即可达到秒杀的境界. 注：如果，则需提负号，继续遵循以上步骤 81．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可. 【详解】设，则， 所以， 由辅助角公式得， 其中，当时取得等号， 解得，即的最大值为，不妨取为锐角， 此时有，，符合题意. 故选：B 82．（25-26高三·广西·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 83．（2025·河北邢台·模拟预测）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解. 【详解】因为， ，， 所以，，所以，则． 故选：D． 84．（2025·河北保定·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知根据辅助角公式得，然后根据辅助角公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】由，得，所以， 所以． 故选：B 85．（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二倍角公式及辅助角公式化简，进而结合正弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】由， 则函数的最小正周期. 故选：B. 86．（25-26高三·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用二倍角余弦公式得，由点在图象上求得，即得，根据区间零点个数及正弦函数的性质可求参数范围. 【详解】由题设，且， 所以，可得， 所以， 当，则， 依题在上无零点，则在上恒成立， 因为当时，使得的最小值为， 所以要使在上恒成立，需满足，解得 又，故得. 故选：A 考点10 三角恒等变换在三角形中的应用 1.先抓三角形核心条件：内角和 A+B+C=π，灵活用 A=π-(B+C) 转化角，如 sinA=sin (B+C). 2.遇边化角或角化边：用正弦定理、余弦定理建立边角联系。 3.巧用三角公式：和差角、二倍角公式化简表达式，结合三角形内角范围（0 < 角 <π）确定三角函数值符号，最终求解或证明。 87．（2025高三·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 88．（2025·陕西·模拟预测）在中,如果,那么的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】将写为,将写为,代入题中式子,展开化简,即可得均为锐角,但无法确定大小,由此选出结果. 【详解】解:由题知,因为中, 所以 , 故,即均为锐角, 但无法确定大小,故的形状不能确定. 故选:D 89．（2025高一·江苏扬州·期中）中若有，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用三角函数恒等变换公式对原式化简变形可得结论 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以为直角三角形， 故选：B 90．（2025·四川凉山·模拟预测）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】根据正弦定理可得， 所以 所以， 即， 整理得，则或， 因为，，，， 则或，即或，所以由不能推出； 当为等腰三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出， 故p是q的既不充分也不必要条件． 故选：D 91．（2025·广东广州·模拟预测）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解的值． 【详解】解：，，， 由正弦定理,可得,可得， ，设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 又，可得， 可得，，可得， ，则为锐角，解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题. 考点11 三角恒等变换的综合问题 三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 92．（25-26高三·天津武清·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期，对称轴方程； (2)求的对称中心； (3)求单调递增区间． 【答案】(1)最小正周期；对称轴方程为 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，即可得周期，以为整体，结合正弦函数对称轴方程运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数对称中心方程运算求解； （3）以为整体，结合正弦函数的单调区间运算求解； 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期； 令，解得， 所以函数的对称轴方程为. （2）令，解得， 所以函数的对称中心为. （3）令，解得， 所以函数单调递增区间为. 93．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数 (1)求在上的单调区间和值域； (2)若且求的值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，再结合正弦型函数的性质求单调区间、值域； （2）根据已知求得，再由和角余弦公式求即可得. 【详解】（1）由 ， 由，则， 故时，单调递增，时单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为，且值域为； （2）由，且，则， 所以 . 94．（25-26高三·山东临沂·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求在的单调增区间； (3)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式，和二倍角公式，以及辅助角公式，对函数进行化简，根据正弦函数的周期性，求出参数值； （2）根据正弦函数的单调增区间，利用换元法求出函数在给定区间上的单调增区间即可； （3）根据函数图形的平移方法，求出平移后的函数解析式，根据函数零点的性质，列出方程，判断有三个零点时参数的范围即可. 【详解】（1） ， 又的最小正周期为，，则，所以. （2）由题意得，得， 即的增区间为， 又， 在增区间为和 （3）由（1）知，所以， 由时，得到， 所以或， 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以，故的取值范围是. 95．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. (1)求； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若，，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，将代入，结合，求出； （2）整体法得到，求出即为单调递增区间； （3）求出，由同角三角函数关系得到和的值，凑角法，结合余弦和角公式得到，结合的范围，求出. 【详解】（1） ， 将代入得，故， 解得， 又，故当时，满足要求； （2）由（1）知，， 时，， 故当或，即或时，单调递增， 故单调递增区间为. （3），故， 又，所以， 因为，所以， 故， 又，故， 又，所以， 所以， 其中 其中，故. 考点12 三角恒等变换的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 96．（2025高三·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．      (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）． 参考公式：．参考数据：，． 【答案】(1)，． (2)，，7.2m 【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系； （2）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，并利用参考公式化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．    设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则． 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为． 则甲、乙距离地面的高度差， 利用，可得，． 当（或），即（或22.8）时，的最大值为． 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m． 97．（2025高三·上海·期中）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知，米，米， 区域OBC为三角形， 区域OAB是以OA为半径的扇形，且 .    (1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； (2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值. 【答案】(1)米 (2)时，平方米 【分析】（1）根据弧长公式及直角三角形的边角关系求解即可； （2）根据锐角三角函数可得，，利用面积公式，结合三角函数恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 则，， 所以弧长， 所以广告带的总长度为 米； （2）    如图，连接，， 因为，所以，， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，当，即时取得最大值， 所以， 所以的最大值为平方米. 98．（2025高一·北京·期中）某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设； (1)求，（用表示）； (2)当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值. 【答案】(1)， (2)三角形绿地的最大面积是平方米，此时 【分析】（1）利用锐角三角函数表示出、； （2）依题意可得，则，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值. 【详解】（1）在中，，， ∴（米）， 又，所以， 在中，可得（米）. （2）由题可知， ∴的面积 ， 又，， ∴当，即时，的面积有最大值平方米， 即三角形绿地的最大面积是平方米，此时. 试卷第2页，共18页 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $