专题02 空间向量的基本定理及坐标表示（6大题型）（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题03 空间向量的基本定理及坐标表示 目录 A题型建模・专项突破 题型一、基底的认识（常考点） 1 题型二、空间向量的基本定理 2 题型三、空间直角坐标系 2 题型四、空间向量的坐标表示及其运算 3 题型五、利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 4 题型六、利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、基底的认识（常考点） 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 2．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 3．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 4.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ 题型二、空间向量的基本定理 5．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则＝(　　) A．a－b＋c　　　　　 B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c 6.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{，，}为基底，则＝________． 7．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 8.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. (1)试用{，，}表示向量； (2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值． 题型三、空间直角坐标系 9.(2025天津南开中学月考)在空间直角坐标系Oxyz中,与点(-1,2,1)关于平面Ozx对称的点为(　　) A.(-1,-2,1)　　B.(-1,2,1)　C.(-1,-2,-1)　　D.(1,-2,-1) 10.(2025北京育才学校月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标为　　　　.  11.(教材习题改编)在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为　　　　.  题型四、空间向量的坐标表示及其运算 12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为______，的坐标为______． 13．[多选]若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则(　　) A．cos 〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 14．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 15．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 16.如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． 题型五、利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 17.(2025山西运城测评)已知空间向量a=(3,2,1),b=(2,m,-3),若(a-b)⊥a,则实数m=(　　) A.4　　B.6　　C.　　D. 18.(2025北京理工大学附属中学月考)已知向量a=(-1,2,1),b=(-3,x,y),且a∥b,那么|b|=(　　) A.3　　B.6　　C.9　　D.18 19.(2025湖南岳阳一中月考)已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 20.(多选题)(2025广东深圳外国语学校月考)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则(　　) A.|a-b|=6　　B.(a+3b)·(b+c)=7　　 C.(a+4b)⊥c　　D.a∥(b-c) 21.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标． 题型六、利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的相关问题 22.若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 23.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 24.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 1.(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置． 5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得与所成的夹角为？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 7.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点．证明：AB1⊥PQ. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量的基本定理及坐标表示 目录 A题型建模・专项突破 题型一、基底的认识（常考点） 2 题型二、空间向量的基本定理 3 题型三、空间直角坐标系 4 题型四、空间向量的坐标表示及其运算 6 题型五、利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 7 题型六、利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、基底的认识（常考点） 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 解析：选C　因为a，b，c不共面，故a，2b，b－c也不共面，能构成空间的一个基底．其他选项皆共面． 2．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 解析：选C　对于选项A，由＝x ＋y ＋z (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B、D，易知，，共面，故选C. 3．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：选C　根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，所以cos 〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°. 4.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ [解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 题型二、空间向量的基本定理 5．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则＝(　　) A．a－b＋c　　　　　 B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c 解析：选B　＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c. 6.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{，，}为基底，则＝________． 解析：＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－－＋. 7．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 解：(1)∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，∴＋＋＝＋＋＝. (2) ∵＝＋＝＋＝(－)＋(＋)＝＋＋，又＝α＋β＋γ，∴α＝，β＝，γ＝. 8.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. (1)试用{，，}表示向量； (2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值． 解：(1)∵＝2，∴－＝2(－)， ∴3＝2＋，又2＝＋， ∴＝＋＋. (2)由(1)可知，＝＋＋，＝－，又∠AOC＝∠BOC＝60°，∴·＝·(－)＝－＋＋·－·＝－×22＋×32＋×3×4×cos 60°－×2×4×cos 60°＝，即·的值为 题型三、空间直角坐标系 9.(2025天津南开中学月考)在空间直角坐标系Oxyz中,与点(-1,2,1)关于平面Ozx对称的点为(　　) A.(-1,-2,1)　　B.(-1,2,1)　C.(-1,-2,-1)　　D.(1,-2,-1) 答案A　在空间直角坐标系Oxyz中,与点(-1,2,1)关于平面Ozx对称的点为(-1,-2,1). 10.(2025北京育才学校月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标为　　　　.  答案　(-4,3,2) 解析　因为的坐标为(4,3,2),所以A(4,0,0),C1(0,3,2),所以=(-4,3,2). 11.(教材习题改编)在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为　　　　.  答案　 解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以M(0,1,1),N(1,1,0), 则线段MN的中点坐标为. 题型四、空间向量的坐标表示及其运算 12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为______，的坐标为______． 答案：(0，2，1)　(2，2，1) 解析：因为A(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，2，1). 13．[多选]若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则(　　) A．cos 〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 答案:AD 解析：选AD　∵向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a，b〉＝＝＝－. 由上知B不正确，A、D正确．C显然也不正确． 14．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：选C　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)， ∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos 〈，〉＝＝.∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉＝60°. 15．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos 〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°. 16.如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． [解]　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD， AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz. 法一：如图所示， ∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝＋＝j＋k， ∴＝. 法二：如图所示， 连接AC，BD交于点O，则O为AC，BD的中点， 连接MO，ON，∴＝＝，＝， ∴＝＋＝＋＝j＋k. ∴＝. 题型五、利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 17.(2025山西运城测评)已知空间向量a=(3,2,1),b=(2,m,-3),若(a-b)⊥a,则实数m=(　　) A.4　　B.6　　C.　　D. 答案:D　因为a=(3,2,1),b=(2,m,-3), 所以a-b=(3,2,1)-(2,m,-3)=(1,2-m,4), 因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=3+4-2m+4=0,解得m=. 18.(2025北京理工大学附属中学月考)已知向量a=(-1,2,1),b=(-3,x,y),且a∥b,那么|b|=(　　) A.3　　B.6　　C.9　　D.18 答案:A　因为a∥b,且向量a=(-1,2,1),b=(-3,x,y),所以==,解得x=6,y=3, 因此|b|==3. 19.(2025湖南岳阳一中月考)已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 答案:D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).若OA⊥平面ABC,则OA⊥AB,OA⊥AC,即⊥,⊥, 即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=. 20.(多选题)(2025广东深圳外国语学校月考)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则(　　) A.|a-b|=6　　B.(a+3b)·(b+c)=7　　 C.(a+4b)⊥c　　D.a∥(b-c) 答案:BD　对于A,a-b=(2,-1,-1),故|a-b|==,因此A错误; 对于B,a+3b=(-2,-1,3),b+c=(1,-3,2), 所以(a+3b)·(b+c)=-2+3+6=7,因此B正确; 对于C,a+4b=(-3,-1,4),所以(a+4b)·c=-6+3+4=1≠0,因此C错误; 对于D,b-c=(-3,3,0)=-3a,所以a∥(b-c),因此D正确. 21.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标． [解]　由题图可知A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)． 所以3a－3＝－a，解得a＝. 所以点P的坐标为. 由题意，可设点Q的坐标为(b，b,0)， 因为PQ⊥AE，所以·＝0. 所以·＝0， 即－－＝0，解得b＝. 所以点Q的坐标为. 题型六、利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的相关问题 22.若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 答案：(－∞，－2) 解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2). 23.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h， 由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，h)，C1(0，1，h)， 则＝(，1，h)，＝(－，1，h). 因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0， 所以h＝. (2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1，0)， 所以·＝－3＋1＝－2. 因为||＝，||＝2， 所以cos 〈，〉＝＝－. 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 24.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h， 由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，h)，C1(0，1，h)， 则＝(，1，h)，＝(－，1，h). 因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0， 所以h＝. (2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1，0)， 所以·＝－3＋1＝－2. 因为||＝，||＝2， 所以cos 〈，〉＝＝－. 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 1.(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 2．(24-25高二上·福建三明六校·期中)已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 3．(24-25高二上·福建福州八县（）协作校·期中)已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 4.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置． 解：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a). (1)证明：设E(0，a，e)，则＝(－a，a，e－a)，又＝(－a，－a，0)，∴·＝0.∴⊥，即A1E⊥BD. (2)E为CC1的中点．理由如下： 假设点E是CC1的中点，则E.如图，设BD的中点为O，连接OE，OA1，则O，∴＝，＝，又＝(－a，－a，0)，所以·＝0，∴⊥，即OE⊥BD.易知OA1⊥BD，∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．∵·＝·＝－－＋＝0，∴⊥.则∠A1OE＝90°，∴平面A1BD⊥平面EBD，∴当点E为CC1的中点时，满足平面A1BD⊥平面EBD. 5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得与所成的夹角为？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由已知，棱长都等于2，所以A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，B1(，1，2)，M. 假设存在点N在棱CC1上，可以设N(0，2，m)(0≤m≤2)，则有＝(，1，2)，＝，所以||＝2，||＝，·＝(，1，2)·＝2m－1. cos 〈，〉＝cos ＝＝＝－，解得m＝－.这与0≤m≤2矛盾，所以在棱CC1上不存在点N，使得与所成的夹角为. 6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h， 由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，h)，C1(0，1，h)， 则＝(，1，h)，＝(－，1，h). 因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0， 所以h＝. (2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1，0)， 所以·＝－3＋1＝－2. 因为||＝，||＝2， 所以cos 〈，〉＝＝－. 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 7.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点．证明：AB1⊥PQ. 证明：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6. 因为P是DD1的中点， 所以P，＝. 又＝(3，0，6)，于是·＝18－18＝0， 所以⊥，即AB1⊥PQ. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $