第二十五章图形的相似同步练习 2025-2026学年 冀教版数学九年级上册

第二十五章图形的相似 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，点的对应点，点的对应点，点的对应点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（    ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 5．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．下列说法中，一定正确的是（   ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 7．已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则EF的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 11．如图，，直线，分别与这三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．在中，点D、E分别在边、上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 14．在中，D，E分别为边AB，AC上的点，且，AH是的角平分线，分别交DE，BC于点G，H，，则 ． 15．如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与相似． 16．如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 17．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 三、解答题 18．如图，A，B，C三点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)请在图中标出点D，连接，，使得与相似； (2)试证明上述结论． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，. (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，请写出点的对应点的坐标； (2)画出将向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的，写出点的对应点的坐标； (3)请在图中标出与的位似中心，并写出点的坐标． 20．如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边固定，直线l，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行，P为上的一点（不与点C，D重合），过点P作直线l，，垂足分别为E，F，即四边形是矩形，过点D作，垂足为Q，延长与相交于点R． (1)与相似吗？请判断并说明理由． (2)若道闸长米，宽米，点D距地面米，米，米，米． ①求点B到地面l的距离； ②求的长． 21．综合与探究 如图，在中，，点M从点A开始沿边向点C以的速度运动，点N从点C开始沿边向点B以的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：）． (1)求，的长； (2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后，的面积为？ (3)如果点M，N分别从点A，C同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由． 22．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 23．如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点F，使得与相似．（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹，不写作法） 24．如图，花丛中有一路灯杆，在灯光下，小丽在D点处的影长米，沿方向行走到达G点，米，这时小丽的影长米．如果小丽的身高为米，求路灯杆的高度（精确到米）． 《第二十五章图形的相似》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D D D A A C 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵线段，C是的黄金分割点，且， ∴根据黄金分割的概念得：， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查黄金分割的含义，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值． 2．D 【分析】本题考查的是相似形的判断，根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D. 3．C 【分析】根据，可知点在直线上，与的交点即为位似中心，且位似比为，则为的中点，据此即可求解． 【详解】解：依题意，可知点在直线上，且位似比为， ∵点的对应点， 设直线的解析式为， 解得： ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴位似中心的坐标, ∵位似比为， ∴为的中点， 又∵， ∴，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，求位似中心坐标，求对应点的坐标，掌握位似图形的性质求得位似中心的坐标是解题的关键． 4．C 【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵米，米，米 ∴ ∴（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 5．D 【分析】根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解． 【详解】 直线 ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键． 6．D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A．所有的直角三角形的两个对应锐角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B．所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D．所有的正方形，对应角的度数一定相同，对应边的比值一定相等，故一定相似，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 9．A 【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接并延长，交轴于点， ， 是由经过位似变换得到的， 相似比为， 则，即， 解得． 故位似中心P的坐标为． 故选：A. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 10．C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理的内容是解题的关键；根据定理得，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 11．D 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故选： D. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质作答即可． 【详解】假设， ，， ，， 故选项C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，找准相似三角形的对应边是解题的关键． 13． 【分析】此题考查比例尺，根据“实际距离纸上距离比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：两个城市的实际距离是， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确寻找相似三角形是解题的关键． 由可得，再利用角平分线和相似三角形的对应边成比例来求解与的比值即可． 【详解】解： ． 又, ． 是的角平分线，分别交，于点，， ， ， ， ． 故答案为： 15．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：添加， 则， ∵， ∴； 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴与的位似比为， 故答案为：． 17．3.24 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴，而，， ∴， ∴， 经检验符合题意； ∴眼梢到鼻翼的距离约为， 故答案为 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、勾股定理，解决本题的关键是熟悉相似三角形的判定定理． （1）根据相似三角形的定义作图即可． （2）借助勾股定理求出三角形边的长度，根据对应边成比例的三角形是相似三角形性解题． 【详解】（1）如图，点D是所求作的点， （2）∵，，， ，， ∴，，， ∴， ∴． 19．(1)图见解析，点的坐标 (2)图见解析，点的坐标 (3)图见解析， 【分析】（1）利用位似的定义作图，再根据点的位置直接写出点的坐标即可； （2）利用平移的性质作图，并写出坐标即可； （3）连接任意两对对应点，它们的交点即为所求． 【详解】（1）如图即为所求作的三角形，点的坐标； （2）如图，即为所求作的三角形，点的坐标； （3）点即为所求作；． 【点睛】本题考查了图形的位似作图、图形的平移等知识，解题关键是掌握位似作图的概念与方法． 20．(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）根据，得到，再根据矩形的性质，得到，进而得到，又因为，即可证明三角形相似； （2）①直接利用线段相加解得到答案；②设米，得到，再根据，利用相似比得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①如图，延长交直线于点，可知米，米， 米； ②设米， 米，米， 米， ， ， 米， ， 解得：， 米． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 21．(1)， (2)或者 (3)能，或 【分析】（1）根据一元二次方程的十字相乘法即可计算出两个根； （2）利用即可算出； （3）利用三角形的相似比即可算出； 【详解】（1）解：， 解得，． ， ，． （2）当运动时间为秒时，，， 依题意，得， 整理得， 解得，，两者均符合要求． 答：点M，N分别从点A，C同时出发，那么1秒或5秒后，的面积为． （3）设运动秒时，和相似，，， ，可以分2种情况， ①若，此时，即， 解得； ②若，此时，即， 解得． 答：运动或时，和相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学的知识． 22．(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 23．见详解 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定． 由得到，因此作使，得或其它对应相等的一组角即可得到与相似． 【详解】解：如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．米 【分析】利用小丽身高不变，同一位置下不同物体的高度与影长比相等得到计算式，先求出，再求出． 【详解】同一位置处不同物体的高度与影长比相等， ，， 小丽身高不变， ， ， ， ， ， 米， 代入得： ， 米． 答：路灯杆的高度约为米． 【点睛】本题考查路灯影长问题，同一位置下不同物体的高度与影长比相等，可用于列式，通常身高不变可用于查找等量关系式，找到等量关系式进行计算，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $