专题02 反比例函数（5知识&5题型&4易错&5方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数(5知识&5题型&4易错&5方法清单) 知识图谱 反比例函数的概念 反比例函数的图象和性质 反比例函数 反比例函数解析式的确定 反比例函数中的几何意义 反比例函数与一次函数的综合 知识清单 清单01反比例函数的概念 一般地，函数y=(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其解析式也可写成y=kx或xy=k的形式， 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值y的取值范围也是非零实数。 清单02反比例函数的图象和性质 图象是双曲线，当k>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减 小：当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。反比例函数 的图象既是轴对称图形，对称轴为直线y=x和y=-x,又是中心对称图形，对称中心为原点。 清单03反比例函数解析式的确定 确定解析式的方法是待定系数法，由于反比例函数yk中只有一个待定系数k,因此只需一对对应值 X 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 清单04反比例函数中k的几何意义 反比例函数y《(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面形 ,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为州。 清单05反比例函数与一次函数的综合 K2 联立一次函数y=kx+b与反比例函数y=二的解析式，可求出交点坐标；根据图象可比较y1与y2的 大小，即观察一次函数图象高于或低于反比例函数图象的部分所对应的x的范围。 期中常考题型清单 【题型一】根据定义判别是否反比例函数 【例1】(24-25八年级下·河南周口·期中)下列关于y的函数中，是反比例函数的是() 1 A.y=-x+1 B.y=-- C.y=x2 D.y=vx 【变式1-1】(24-25八年级下江苏泰州期中)以下是反比例函数的是() A.y=2x B.y=-x-1 C.y=-3 x D.y=x2-x C1-2】(24-25八年级下江苏连云港期中)下列函数：①y=-3x, =1,③g=11,@ ，⑤+山，©，=，其中y是x的反比例的数的有《) 2 A.②③⑥ B.①③⑥ C.①③⑤ D.④⑤⑥ 【题型二】已知反比例函数的解析式求图象和性质 【例2】(2425九年级上湖南益阳期中)关于反比例函数y=16 的图象，下列说法正确的是() A.它的图象与×轴、)轴各有一个交点B.点8⑧，2在它的图象上 C.它的图象在第二、四象限 D.y随x的增大而减小 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(24.25八年级下山西晋城期中)下列关于反比例函数y=3 x的描述不正确的是() 3 A.图象位于第二、四象限 B.图象必经过点 2,2 C.图象不可能与坐标轴相交 D.y随x的增大而增大 【变式2-2】(24-25八年级下河南南阳·期中)已知点A-1,-3)在反比例函数y=元的图象上，下列结论 中正确的是（) A.图象位于第二、四象限 B.y随x的增大而减小 c.2 在它的图象上 点B3,、C3,都在反比例函数少的图象上，则y 2a-6 【变式2-3】(24-25九年级上·吉林期中)已知反比例函数y= (a为常数). (I)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围： (2)当x>0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围. 【题型三】根据反比例函数的图象和性质求解 【例3】(2425九年级下广东中山：期中)已知点(-2,4、（1，、3.4在反比例函数y=《（k>0)的图象 上，则a、b、c的大小关系为一·（请用“<”连接） k 【变式3-1】(24-25九年级下·陕西咸阳·期中)在平面直角坐标系中，若反比例函数y= =x（k≠0）的图 象经过点2m和-2川，则m+川的值是 k+1 【变式3-2】(24-25九年级下·全国·期中)反比例函数y=x的图象在第二、四象限内，则k的取值范围 是 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型四】一次函数与反比例函数的交点问题 425九年级下湖北十堰期中)如图，在平面直角坐标系0中，一次函数片=-) 与反比例函数片=的图象相交于A(-2,m),B(n,-)两点. y B (I)求反比例函数的表达式： 2)诺片> 2,请直接写出满足条件的x的取值范围. 【变式4-1】(24-25九年级上甘肃兰州期中)如图，一次函数y=x+3的图像与反比例函数y=的图像 交于点1m,与x轴交于点B,与y轴交于点C. (1)求反比例函数的表达式： (②已知点P在第三象限为反比例商数y-图像上一点，5=2S0c:求点P的坐标： k (3)当x+3<二时，求x的取值范围. xOy AB:y=x+m 【变式4-2】(24-25九年级下·四川内江期中)如图，在平面直角坐标系中，直线 “与反 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 比例函数y= 的图象交于AB两点，与x轴相交于点C,已知点A,B的坐标分别为(3，)和(-山，m (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)请直接写出不等式x+m之，的解集： (3)点P为反比例函数y=图象上的任意一点，若Sc=3Soc,求点P的坐标. 【题型五】一次函数与反比例函数的实际应用 【例5】(24-25八年级下·四川宜宾·期中)某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教 室进行“蕉药消毒”，已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量(mg)与燃烧时间x(in) 之间的关系如图所示.根据图象所示信息，解答下列问题： y(mg) 12 24 x(min) (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 3mg (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用.从消毒开始，至少需要经过多 少分钟后，学生才能回到教室？ 4mg 40 (3)当空气中每立方米含药量不低于°且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌.你认 为此次消毒是否有效？并说明理由 【变式5-1】(23-24九年级上·江西宜春·期中)如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25C 100°C y(C) x(min) 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温 是通电时间 的反比例函数.若 在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示， Ay/C 100 20 x/min 图1 图2 (1)将水从20℃加热到100℃需要min: (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式： (3)加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 【变式5-2】(23-24八年级下·湖南衡阳·期中)我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知 消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)呈现三段 函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒 阶段，请根据图中信息解答下列问题： (效力) 6 3 D A1030 x(时间) (1)第3分钟时消毒效果为效力： (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式： (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 高频易错归因清单 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型一】根据反比例函数的定义求参数 【例1】(2425九年级上湖南永州阶段练习)已知函数=(m+2) 是关于x的反比例函数，则实数 m的值是一 4 【变式1-1】(24-25八年级下·湖南衡阳·期中)函y=x2m2数是反比例函数，则m=一， 【变式1-2】(24-25八年级下湖南衡阳期中)若y=(m-1刂X 是反比例函数，则m的值为一 【题型二】反比例函数与二次函数图象的综合 【例2】(2425九年级上安微滁州期中)如图是抛物线'=+br+C(“,b,C是常数且a>0)的图 象，则双曲线y=Q-b+c x广和直线y=(b-2a)x+c在同一坐标系中的位置可能为() y -10 .6 【变式2-1】(24-25九年级上浙江绍兴期中)在同一坐标系中，函数y=ar2+bx与y=x的图象大致是 图中的() 7/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】(24-25九年级上·安徽滁州：期中)如图，同一-平面直角坐标系中，抛物线”=-axa≠0) 与双曲线y=(a≠0)的图象大致为() 【题型三】反比例函数中利用k值求图形的面积 【例3】(2425八年级下福建泉州期中)如图，平行于y轴的直尺（一部分)与双曲线y=x>0)交于 点A和C,与x轴交于点B和D,点A和B的刻度分别为5cm和2cm,直尺的宽度2cm,OB=2cm,(注： 平面直角坐标系内一个单位长度为1cm)△40 的面积是 cm2 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【变式3-1】(24-25九年级上·陕西西安期中)如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数 8 y=x>O)图象交于E,F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于一· 12 E B 【安式32】(2425九年级上内蒙古包头期中)双曲线C:yx>0和C,y2x>0如图所示，设 点P在G上，PC1x轴于点C,交于G点，PD1'轴于点D,交C于点B,则四边形P1OB的面积为 C C D B P A 【题型四】已知反比例函数的定义求函数的解析式 【例4】(2425八年级下福建泉州期中)已知'=%-片，其中片与成反比例，”与x+2成正比例， 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当 时，2 当2 y=10 时， (I)求y与x的函数表达式： (2)当x=4时，求y的值 【变式41】(23-24八年级下江苏扬州期中)已知'=2%-，”与+1成正比例，”与成反比例，且 当x=1时，y=4;x=2时，y=3: ()求y关于x的函数解析式： (2)求当x=3时的函数值. 方法技巧速通清单 【题型一】反比例函数与三角形的综合问题 方法技巧总结： 1.坐标化处理：将三角形的顶点放在坐标系中。通常把一个顶点放在原点，或利用坐标轴简化计算。 2.利用函数求坐标：设点的坐标，代入反比例函数y=kx中。用一个未知数表示两个坐标，如点 (a,k/a)。 3.运用几何公式列方程：根据三角形的面积、边长或相似等条件，列出关于未知数的方程。 【例1】(24-25八年级上上海期中)如图，双曲线y=,经过点A2,3)和点C,4B∥x轴，点c是0B 的中点. B C 0 (1)试求k的值： (2)试求三角形OAB的面积. 10/18 专题02 反比例函数（5知识&5题型&4易错&5方法清单） 清单01 反比例函数的概念 一般地，函数y=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，其解析式也可写成y = kx-1或xy = k的形式，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值y的取值范围也是非零实数。 清单02 反比例函数的图象和性质 图象是双曲线，当k>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。反比例函数的图象既是轴对称图形，对称轴为直线y = x和y =-x，又是中心对称图形，对称中心为原点。 清单03 反比例函数解析式的确定 确定解析式的方法是待定系数法，由于反比例函数y=中只有一个待定系数k，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 清单04 反比例函数中的几何意义 从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为。 清单05 反比例函数与一次函数的综合 联立一次函数y = k1x + b与反比例函数y=的解析式，可求出交点坐标；根据图象可比较y1与y2的大小，即观察一次函数图象高于或低于反比例函数图象的部分所对应的x的范围。 【题型一】根据定义判别是否反比例函数 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列关于的函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，需逐一分析选项是否符合该形式． 【详解】解：A、不符合反比例函数的形式； B、可整理为，符合（），是反比例函数， C、不符合反比例函数的形式， D、不符合反比例函数的形式， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式．由题意直接根据反比例函数的定义，对各选项进行判定即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 【题型二】已知反比例函数的解析式求图象和性质 【例2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．它的图象与轴、轴各有一个交点 B．点在它的图象上 C．它的图象在第二、四象限 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析选项即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象为双曲线，无限接近坐标轴但不会与轴或轴相交，故A错误，不符合题意； B、将点代入函数，，满足方程，故该点在图象上，B正确，符合题意； C、反比例函数的图象位在第一、三象限，C错误，故不符合题意； D、反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·山西晋城·期中）下列关于反比例函数的描述不正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】A．反比例函数的图象位置由的符号决定．当时，图象位于第二、第四象限，故A正确．不符合题意； B．将点代入函数：当时，，与点的纵坐标一致，故B正确．不符合题意； C．反比例函数中且，因此图象永远不会与坐标轴相交，故C正确．不符合题意； D．当时，在每一个象限内，随的增大而增大．但若未限定“每个象限内”，当跨象限变化时（如从负数到正数），会先减小后增大，故D的描述不完整，错误．符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知点在反比例函数的图象上，下列结论中正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．随的增大而减小 C．点在它的图象上 D．若点、都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：A、∵点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数图象在第一、三象限，故选项判断错误，不符合题意； B、∵，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴选项说法错误，不符合题意； C、∵， ∴点在它的图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，；当时，， ∴，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 【题型三】根据反比例函数的图象和性质求解 【例3】（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ∵点、、在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级下·全国·期中）反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为：． 【题型四】一次函数与反比例函数的交点问题 【例4】（24-25九年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为； (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 【变式4-2】（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可求得反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 【题型五】一次函数与反比例函数的实际应用 【例5】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 【变式5-1】（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 【变式5-2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 【题型一】根据反比例函数的定义求参数 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）函数是反比例函数，则 ， 【答案】/ 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，掌握形如（k为常数，）的函数称为反比例函数是解题的关键． 根据反比例函数的定义即可解答． 【详解】解：根据题意，得，解得． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，把比例函数通常写成，根据反比例函数的定义可知且，从而可得的值为． 【详解】解：是反比例函数， ， 解得：． 故答案为：． 【题型二】反比例函数与二次函数图象的综合 【例2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 【变式2-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 【题型三】反比例函数中利用k值求图形的面积 【例3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，，先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，求出，则点C的横坐标为4，据此求出点C的坐标，然后得到，进而代数求解即可． 【详解】解：连接，， 点和的刻度分别为5和2， ， ，轴， ， 把代入得，， 解得， 反比例函数解析式为， 直尺的宽度为，， ， 点的横坐标为4， 当时，， 点的坐标为； ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数和几何综合，反比例函数系数的几何意义，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题．由四边形是矩形，F是的中点，可设，则，又E点在抛物线上，则．可以用含m，n的式子表示出矩形，三角形和三角形的面积．F在反比例函数的图形上可得到的关系，再依据，列式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点， ∴可设，则，又E点在抛物线上，则， ∵F在抛物线上， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：2． 【题型四】已知反比例函数的定义求函数的解析式 【例4】（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设，，则，根据题意列出二元一次方程组，求出，即可得出答案； （2）把代入（1）所求函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：与成反比例， 设 与成正比例， 设 ， 当时，，当时，． ，解得 与x的函数表达式为； （2）解：当时，． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知与成正比例，与成反比例，且当时，；时，： (1)求关于的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量求函数值的方法，是基础题，表示出、的函数关系式是解题的关键． （1）设，，然后表示出、的函数关系式，再把两组数据代入函数解析式进行计算即可得解； （2）把自变量代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 与成反比例， 设， ∵， ， 当时，；当时，． ， 解得， ； （2）解：当时，． 【题型一】反比例函数与三角形的综合问题 方法技巧总结： 1. 坐标化处理：将三角形的顶点放在坐标系中。通常把一个顶点放在原点，或利用坐标轴简化计算。 2. 利用函数求坐标：设点的坐标，代入反比例函数  y = k/x  中。用一个未知数表示两个坐标，如点  (a, k/a) 。 3. 运用几何公式列方程：根据三角形的面积、边长或相似等条件，列出关于未知数的方程。 【例1】（24-25八年级上·上海·期中）如图，双曲线经过点和点，轴，点是的中点． (1)试求的值； (2)试求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及反比例函数的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）设点C的坐标为，由点是的中点，可得，再由轴，，得出，解得，可求得，再根据三角形面积公式求出三角形面积． 【详解】（1）解：将点代入解析式， 得：； （2）解：由（1）得反比例函数关系式为， 设点C的坐标为， 点是的中点， ， 轴，， ， ， ， 三角形的面积． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数图象的性质，即可判断； （2）点的坐标为，求出、的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：． （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 【变式1-2】（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为的中点，且在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将向左平移，使得点A落在反比例函数的图象上，求平移的距离； (3)若反比例函数的图象与边交于点D，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中点坐标公式以及反比例函数与一次函数的综合运用： （1）过点作轴于点，求出点的坐标，点的坐标，代入即可求出反比例函数解析式； （2）设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为代入反比例函数解析式，求出的值即可； （3）求出的解析式，联立方程，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， ∵点B的坐标为， ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴，即 ∵反比例函数图像过点C ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为， 代入得：， 解得，， 即点平移的距离为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程得：， 解得，，（不符合题意，舍去） 当时，， ∴点坐标为． 【题型二】反比例函数与平行四边形的综合问题 方法技巧总结： 1. 坐标化与模型化：将四边形放在坐标系中，利用函数关系设出顶点坐标。这类问题常涉及特殊四边形，如平行四边形、菱形或梯形。 2. 拆分或补全：将不规则四边形拆分成两个三角形，或通过补全成大矩形再减去周围三角形面积。这种方法可以简化面积计算。 3. 利用几何性质：根据特殊四边形的性质列方程。例如平行四边形的对边平行且相等，菱形的四条边相等等，将几何关系转化为坐标间的代数关系。 【例2】（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合： （1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8； （2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是48， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为8， 故答案为：；8； （2）解：设，则， ∵，D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和的中点D， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． (1)求点的坐标及和的值； (2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集； (3)若直线与有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）先求出点D的坐标，然后直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是12， ∴，即， ∴，，即， ∵点在直线上， ∴， ∴； （2）解∶由（1）知：， ∵的纵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴由图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点时，取最大值， 当直线经过点时，取最小值， 将点代入，得：，解得； 将点代入，得：，解得， ∴若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)将平行四边形沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)18 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和轴对称、中心对称的性质；会运用图形与坐标的关系计算线段的长和三角形面积公式． （1）根据反比例函数图象点的坐标特征把点坐标代入，求出的值即可确定反比例函数解析式； （2）先计算出，再根据平行四边形的性质得，则可确定点坐标为，然后根据关于轴对称的点的坐标特征得的坐标为再根据反比例函数图象点的坐标特征判断点在双曲线上； （3）由于点坐标为，的坐标为，则点和点关于原点中心对称，根据中心对称的性质得点、、共线，且，然后利用进行计算． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：，， ， 四边形为平行四边形， ， 而点坐标为， 点坐标为， 平行四边形和平行四边形关于轴对称， 的坐标为， ， 点在双曲线上； （3）解：如图， 点坐标为，的坐标为， 点和点关于原点中心对称， 点、、共线，且， ． 【题型三】反比例函数与矩形的综合问题 方法技巧总结： 1. 利用直角和坐标轴：通常会把矩形的一个顶点放在原点，两条邻边分别与x轴、y轴重合。这样，四个顶点的坐标就很容易表示出来。 2. 利用面积公式：矩形的面积等于长乘以宽。结合反比例函数上点的坐标  (a, k/a) ，可以快速建立关于面积的方程。 3. 巧用k的几何意义：这是最核心的技巧。 【例3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）四个角都是直接的四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． (1)直接写出三点的坐标； (2)将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、坐标平移、反比例函数的性质，熟练掌握矩形对边平行且相等、坐标平移规律、反比例函数的应用是解题的关键． （1）求、、三点坐标：根据矩形性质，垂直轴，平行轴，结合点坐标、和的长度确定坐标． （2）求平移距离和反比例函数解析式：先得出平移后、坐标，利用反比例函数（、在反比例函数上，值相等）列方程求，再代入求． （3）求的面积：确定、坐标，用三角形面积公式（以为底，纵坐标为高 ）计算． 【详解】（1）解：四边形是矩形，轴，，，垂直于轴 点的横坐标与相同，纵坐标为，即 ，轴， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 四边形是矩形，， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 （2）解：矩形向右平移个单位，平移后，平移后 、在上， 即 两边同乘得： 展开： 移项： 合并：，解得 ， 则， 反比例函数解析式为 （3）解：由平移知平移后，即，， 在轴投影长度纵坐标 在轴投影长度为，纵坐标为 【变式3-2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)或 【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标，然后利用待定系数法求函数的解析式； （2）分类讨论：当时，，当时，；利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可； （3）分类讨论：当时，当时，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵在直线上， ∴， 又∵双曲线过Q， ∴， ∴， ②当时，， 过Q作，垂足为D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，， 过Q作，垂足为E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 综上所述，． 如图， （3）把代入，得，． 把代入，得，． 结合图象可知，当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求函数解析式，画函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，分类讨论是解题的关键． 【题型四】反比例函数与菱形的综合问题 方法技巧总结： 1. 利用中心对称性：菱形是中心对称图形。如果它的对称中心恰好是原点，那么对角的两个顶点坐标会是  (a, b)  和  (-a, -b) 。这种对称性在解题时非常有用。 2. 利用边长相等：菱形的四条边都相等。设出顶点坐标后，可以利用两点间距离公式，根据边长相等的条件列出方程。 3. 利用对角线性质：菱形的对角线互相垂直平分。这个性质可以用来计算面积，或者在坐标系中确定顶点的位置关系。 【例4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为， (1)求菱形的边长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理， （1）过点作轴的垂线，交的延长线于点，根据，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可表示，的长，根据菱形的面积为，求得的长； （2）在中，勾股定理计算的长，列方程即可得出的值． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，交的延长线于点， 轴， ， ，两点在反比例函数=的图象，且纵坐标分别为，， ，， ，， 菱形的面积为， ，即=， =，即菱形的边长为 （2）在中，， ， ． 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 【答案】(1) (2)D的坐标为或或或； 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶角的顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； 【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ①当O为顶角的顶点时，， ∴或； ②当D为顶角的顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶角的顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或. 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 【变式4-2】（24-25九年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 【答案】(1) (2)m的值为， k的值为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可得，再结合反比例函数的性质可求出点B，D的坐标，从而得到点C的坐标，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点，， 将菱形向下平移个单位长度， ∴，， 当两点同时落在反比例函数图象上时， ∴， ∴， ∴， ∴． 当两点同时落在反比例函数图象上时，则， ∴． 综上所述，m的值为，此时k的值为或． 【题型五】反比例函数与正方形的综合问题 方法技巧总结： 1. 利用直角和坐标轴：这是最常见的突破口。通常将正方形的一个顶点放在原点，两条邻边分别与x轴、y轴重合。这样，四个顶点的坐标就可以用一个边长  a  来表示。 2. 巧用k的几何意义：如果正方形的顶点在双曲线上，可利用  k  的几何意义。从双曲线上一点向坐标轴作垂线，形成的矩形面积是  |k| 。在正方形中，这个小矩形和正方形的面积关系往往是解题的关键。 3. 利用旋转或全等：当正方形的顶点不在坐标轴上时，可考虑旋转法。将图形绕原点旋转90度，利用全等三角形来寻找坐标间的关系。这种方法技巧性稍高，但在一些难题中非常有效。 【例5】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，四边形为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过A、C两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标； (3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则，于是可得到，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式； （2）通过解关于反比例函数解析式与一次函数的解析式所组成的方程组可得到M点的坐标； （3）根据函数的图象结合交点即可求得． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把，代入得 ，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：解方程组， 得或， ∴M点的坐标为； （3）解：∵一次函数的值与反比例函数的图象的两个交点是，， ∴由图象可知，x的取值范围是或． 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】（1）①将四个点的坐标代入反比例函数表达式即可求解； ②证明，得到，即，即可求解； （2）过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 由，则，，即可求解． 【详解】（1）解：①因为，，，， 所以除了第二个点外，其余点都在反比例函数上， ∴， 故答案为：2； ②是定值，理由： 设点，点， 如图1，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， 四边形为正方形，则，， ，， ， ，， ， 则，即， 则为定值； （2）如图2，过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 设直线的表达式为：， 设点，点， 由（1）②知，， 则，， 即，， 由得，，由得，， 所以，， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $