专题02 反比例函数（期中复习讲义）九年级数学上学期沪科版

专题02 反比例函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的概念 能准确判断反比例函数，明确其三种表达式及自变量取值范围 基础必考点，常结合函数概念在小题中考查 用待定系数法求反比例函数的解析式 能熟练运用待定系数法，根据已知条件求出反比例函数解析式 高频考点，常以解答题形式考查，是反比例函数应用的基础 反比例函数的图象与性质 能根据反比例函数表达式分析图象所在象限、增减性等性质 核心考点，各类题型均有涉及，需结合图象理解性质 反比例函数的应用 能将实际问题转化为反比例函数问题，利用其性质解决问题 高频考点，多为实际应用类题目，需结合实际意义分析自变量和函数值的取值 知识点01 反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 注意：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围． 知识点02 用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 知识点03 反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． 2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点04 反比例函数的应用 利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型． ②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义． ③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 题型一 根据反比例函数的定义求参数 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣定义列等式：明确反比例函数的核心形式为 y = （k 为常数，k ≠0） ，根据题目给出的函数表达式，对照形式列出关于参数的等式（如指数为-1、分子为常数）。 2. 排除限制条件：严格遵循“k ≠0”的限制，在求出参数值后，代入原函数的常数项（或含参数的分子/系数），排除使常数项为0的参数值。 3. 验证函数有效性：将最终确定的参数值代入原函数，检查是否符合反比例函数的定义（如自变量x的次数为-1、分母不含其他未知数、常数项非零），确保无遗漏或错误。 【典例1】若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【变式1】若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 题型二 已知反比例函数的增减性求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确增减性与系数关系：牢记反比例函数 y = （k 为常数，k ≠0）的性质——当k > 0时，函数在每一支上y随x的增大而减小；当k < 0时，函数在每一支上y随x的增大而增大，据此建立关于参数的不等式。 2. 确保函数为反比例函数：求解参数前，需先通过定义（如x的次数为-1、分子为常数）确定参数的基础取值范围，排除使函数不符合反比例函数定义的参数（如使k = 0的情况）。 3. 联立不等式求交集：将“满足增减性的k的不等式”与“满足反比例函数定义的参数范围”联立，取两者的交集，即为最终符合条件的参数值。 【典例1】已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【变式1】已知点是反比例函数图象上两点，且当时，，则 k的值可以为 ． 【变式2】请写出一个反比例函数解析式，其中：该函数图象在每一象限内随增大而增大， 题型三 判断反比例函数图象所在象限 解｜题｜技｜巧 函数 图象 所在象限 一、三象限 二、四象限 越大，函数图象越远离坐标原点 【典例1】对于函数，当时，函数图象位于第 象限． 【变式1】函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【变式2】反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 题型四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解｜题｜技｜巧 1. 牢记核心对称性质：明确反比例函数y = （k ≠0）的图像是双曲线，且关于原点成中心对称、关于直线y = x和y = -x成轴对称，这是求对称点的根本依据。 2. 根据对称类型算坐标： 若求某点(a, b)关于原点的对称点：直接取横、纵坐标的相反数，即对称点为(-a, -b)，且两点均在双曲线上（满足ab = k和(-a)(-b) = k）。 若求某点(a, b)关于直线y = x的对称点：交换横、纵坐标的位置，即对称点为(b, a)。 若求某点(a, b)关于直线y = -x的对称点：交换横、纵坐标位置后再取相反数，即对称点为(-b, -a)。 3. 结合函数式验证：求出对称点坐标后，可代入反比例函数解析式y = ，验证其是否满足等式，确保结果正确。 【典例1】已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 【变式2】已知点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点，则的值为 ． 题型五 已知双曲线分布的象限,求参数范围 解｜题｜技｜巧 1. 明确象限分布与系数关系：牢记反比例函数（双曲线）y = （k ≠0）的象限规律——当k > 0时，双曲线分布在第一、三象限；当k < 0时，分布在第二、四象限，据此建立关于参数的不等式。 2. 确保函数为反比例函数：先依据反比例函数定义（如x的次数为-1、分子是不为0的常数），确定参数的基础取值范围，排除使函数不符合定义的参数（如导致k = 0的情况）。 3. 联立求参数范围：将“满足象限分布的k的不等式”与“满足反比例函数定义的参数范围”联立，取两者的交集，即为最终的参数范围。 【典例1】如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【变式1】已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【变式2】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 题型六 已知比例系数求特殊图形的面积 解｜题｜技｜巧 1. 掌握核心面积公式：对于反比例函数y = （k≠0），过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积恒为|k|，与坐标轴、垂线围成的直角三角形面积恒为|k|，这是求面积的基础。 2. 转化图形为基础模型：遇到三角形、平行四边形等特殊图形时，通过作辅助线（如向坐标轴作垂线），将其分割或补成上述“矩形”“直角三角形”等基础模型，利用已知的|k|相关面积公式计算。 3. 结合坐标与几何性质：若已知图形顶点在双曲线上，可先根据k值确定顶点坐标关系（如xy = k），再结合图形的底、高与坐标的联系（如水平距离为横坐标差），代入面积公式求解。 【典例1】如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则的值为 ． 【变式1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 题型七 实际问题与反比例函数 解｜题｜技｜巧 1. 审题找变量关系：通读题目，明确哪两个量是成反比例的（通常满足“一个量随另一个量增大而减小，且乘积为定值”），确定自变量（如时间、速度）和因变量（如路程、工作量）。 2. 设函数解析式：根据反比例关系，设函数解析式为y = （k≠0），k为两个变量的乘积定值），其中x、y分别对应确定的自变量和因变量。 3. 代入已知求k：从题目中找到一组具体的变量对应值，代入解析式求出k的值，确定完整的函数表达式。 4. 利用函数解问题：根据题目要求，将已知条件代入确定的函数式，计算出对应的未知量，最后结合实际意义验证结果。 【典例1】有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【变式2】已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ． 题型八 一次函数与反比例函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 联立函数解析式：将一次函数y = ax + b（a ≠0）与反比例函数y = （k≠0）的解析式联立，消去y，得到关于x的一元方程（通常为分式方程或一元二次方程）。 2. 求解方程定横坐标：将联立后的分式方程化为整式方程，求解方程的解，得到交点的横坐标。 3. 代入求纵坐标：将求出的横坐标代入一次函数（或反比例函数）解析式，计算出对应的纵坐标，确定交点坐标。 4. 用判别式判交点数：若联立后为一元二次方程，可通过判别式判断交点个数。 【典例1】反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若直线与双曲线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线与双曲线交于两点，则不等式的解集为 ． 题型九 一次函数与反比例函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 分析题意定函数类型：先判断题目中涉及的两个（或多个）变量分别符合哪种函数关系——若变量乘积为定值，对应反比例函数；若变量满足“y = ax + b”（a≠0）的线性关系，对应一次函数。 2. 设解析式求参数：设反比例函数为y = （k≠0），一次函数为y = ax + b（a≠0）；从题目中提取两组（一次函数）或一组（反比例函数）变量的具体对应值，代入解析式求出k、a、b，确定完整函数表达式。 3. 用函数性质解问题：若求“变量取值范围”，可根据函数增减性（如一次函数a>0时y随x增大而增大，反比例函数k>0时每支上y随x增大而减小）分析；若求“两函数对应值相等的情况”，可联立解析式求解交点，交点坐标的横、纵坐标即对应变量相等时的取值。 4. 结合实际验结果：计算后需根据实际场景验证结果合理性（如时间、成本、数量不能为负或小数），确保答案符合题意。 【典例1】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【变式1】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【变式2】将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 题型十 反例函数、二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 抓系数符号定图像特征： 反比例函数y = （k≠0）：k>0时图像在一、三象限，k<0时在二、四象限； 二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）：a>0时抛物线开口向上，a<0时开口向下；结合x= - -判断对称轴位置，c判断与y轴交点（(0,c)）。 2. 找共性条件排矛盾：对比两个函数中参数的符号关系（如题目若隐含同一参数，或通过选项给出参数关联），排除图像特征矛盾的选项（例：若k=a，则反比例在一、三象限（k>0）时，抛物线必开口向上（a>0），反之同理）。 3. 用特殊点验证：若图像标注特殊点（如二次函数顶点、与坐标轴交点，反比例函数上已知点），将点坐标代入对应函数解析式，验证参数是否符合，排除不满足的选项。 【典例1】平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个 【变式1】方程实数根的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，下则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B．C．D． 4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 5．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 8．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； (2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？    期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 3．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 7．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的概念 能准确判断反比例函数，明确其三种表达式及自变量取值范围 基础必考点，常结合函数概念在小题中考查 用待定系数法求反比例函数的解析式 能熟练运用待定系数法，根据已知条件求出反比例函数解析式 高频考点，常以解答题形式考查，是反比例函数应用的基础 反比例函数的图象与性质 能根据反比例函数表达式分析图象所在象限、增减性等性质 核心考点，各类题型均有涉及，需结合图象理解性质 反比例函数的应用 能将实际问题转化为反比例函数问题，利用其性质解决问题 高频考点，多为实际应用类题目，需结合实际意义分析自变量和函数值的取值 知识点01 反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 注意：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围． 知识点02 用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 知识点03 反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． 2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点04 反比例函数的应用 利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型． ②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义． ③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 题型一 根据反比例函数的定义求参数 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣定义列等式：明确反比例函数的核心形式为 y = （k 为常数，k ≠0） ，根据题目给出的函数表达式，对照形式列出关于参数的等式（如指数为-1、分子为常数）。 2. 排除限制条件：严格遵循“k ≠0”的限制，在求出参数值后，代入原函数的常数项（或含参数的分子/系数），排除使常数项为0的参数值。 3. 验证函数有效性：将最终确定的参数值代入原函数，检查是否符合反比例函数的定义（如自变量x的次数为-1、分母不含其他未知数、常数项非零），确保无遗漏或错误。 【典例1】若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故答案为：． 【变式1】若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：C． 【变式2】已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 已知反比例函数的增减性求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确增减性与系数关系：牢记反比例函数 y = （k 为常数，k ≠0）的性质——当k > 0时，函数在每一支上y随x的增大而减小；当k < 0时，函数在每一支上y随x的增大而增大，据此建立关于参数的不等式。 2. 确保函数为反比例函数：求解参数前，需先通过定义（如x的次数为-1、分子为常数）确定参数的基础取值范围，排除使函数不符合反比例函数定义的参数（如使k = 0的情况）。 3. 联立不等式求交集：将“满足增减性的k的不等式”与“满足反比例函数定义的参数范围”联立，取两者的交集，即为最终符合条件的参数值。 【典例1】已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且， ∴， ∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， 故答案为：． 【变式1】已知点是反比例函数图象上两点，且当时，，则 k的值可以为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴k的值可以为1 故答案为：1（答案不唯一） 【变式2】请写出一个反比例函数解析式，其中：该函数图象在每一象限内随增大而增大， 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：的函数图象在每一象限内随增大而增大， 故答案为：．（答案不唯一） 题型三 判断反比例函数图象所在象限 解｜题｜技｜巧 函数 图象 所在象限 一、三象限 二、四象限 越大，函数图象越远离坐标原点 【典例1】对于函数，当时，函数图象位于第 象限． 【答案】二 【详解】解：∵函数的， ∴函数经过第二、四象限， ∴当时，函数图象位于第二象限． 故答案为：二 【变式1】函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象分布在第一、三象限， 故选：C． 【变式2】反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限； 故选：D． 题型四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解｜题｜技｜巧 1. 牢记核心对称性质：明确反比例函数y = （k ≠0）的图像是双曲线，且关于原点成中心对称、关于直线y = x和y = -x成轴对称，这是求对称点的根本依据。 2. 根据对称类型算坐标： 若求某点(a, b)关于原点的对称点：直接取横、纵坐标的相反数，即对称点为(-a, -b)，且两点均在双曲线上（满足ab = k和(-a)(-b) = k）。 若求某点(a, b)关于直线y = x的对称点：交换横、纵坐标的位置，即对称点为(b, a)。 若求某点(a, b)关于直线y = -x的对称点：交换横、纵坐标位置后再取相反数，即对称点为(-b, -a)。 3. 结合函数式验证：求出对称点坐标后，可代入反比例函数解析式y = ，验证其是否满足等式，确保结果正确。 【典例1】已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 【变式1】已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 【答案】 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 【变式2】已知点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点， ， 故答案为：． 题型五 已知双曲线分布的象限,求参数范围 解｜题｜技｜巧 1. 明确象限分布与系数关系：牢记反比例函数（双曲线）y = （k ≠0）的象限规律——当k > 0时，双曲线分布在第一、三象限；当k < 0时，分布在第二、四象限，据此建立关于参数的不等式。 2. 确保函数为反比例函数：先依据反比例函数定义（如x的次数为-1、分子是不为0的常数），确定参数的基础取值范围，排除使函数不符合定义的参数（如导致k = 0的情况）。 3. 联立求参数范围：将“满足象限分布的k的不等式”与“满足反比例函数定义的参数范围”联立，取两者的交集，即为最终的参数范围。 【典例1】如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【答案】图象的另一支在第四象限， 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，一支在第二象限， ∴另一支在第四象限． ∵在二、四象限， ∴， 解得． 【变式1】已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式2】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：若反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， ∴的值可以是1 ． 故答案为：1（答案不唯一） ． 题型六 已知比例系数求特殊图形的面积 解｜题｜技｜巧 1. 掌握核心面积公式：对于反比例函数y = （k≠0），过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积恒为|k|，与坐标轴、垂线围成的直角三角形面积恒为|k|，这是求面积的基础。 2. 转化图形为基础模型：遇到三角形、平行四边形等特殊图形时，通过作辅助线（如向坐标轴作垂线），将其分割或补成上述“矩形”“直角三角形”等基础模型，利用已知的|k|相关面积公式计算。 3. 结合坐标与几何性质：若已知图形顶点在双曲线上，可先根据k值确定顶点坐标关系（如xy = k），再结合图形的底、高与坐标的联系（如水平距离为横坐标差），代入面积公式求解。 【典例1】如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： ． 【变式1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 题型七 实际问题与反比例函数 解｜题｜技｜巧 1. 审题找变量关系：通读题目，明确哪两个量是成反比例的（通常满足“一个量随另一个量增大而减小，且乘积为定值”），确定自变量（如时间、速度）和因变量（如路程、工作量）。 2. 设函数解析式：根据反比例关系，设函数解析式为y = （k≠0），k为两个变量的乘积定值），其中x、y分别对应确定的自变量和因变量。 3. 代入已知求k：从题目中找到一组具体的变量对应值，代入解析式求出k的值，确定完整的函数表达式。 4. 利用函数解问题：根据题目要求，将已知条件代入确定的函数式，计算出对应的未知量，最后结合实际意义验证结果。 【典例1】有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为． 表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， 点与点甲、丁在同一反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， ， 面积最大的试验田是丙． 故选：C． 【变式1】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)可变电阻R应控制在与之间 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为， 由图可知，反比例函数图象经过点， ， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时， ， 当时， ， 可变电阻R应控制在与之间． 【变式2】已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设，代入， ， ， ， 随的增大而减小， 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 题型八 一次函数与反比例函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 联立函数解析式：将一次函数y = ax + b（a ≠0）与反比例函数y = （k≠0）的解析式联立，消去y，得到关于x的一元方程（通常为分式方程或一元二次方程）。 2. 求解方程定横坐标：将联立后的分式方程化为整式方程，求解方程的解，得到交点的横坐标。 3. 代入求纵坐标：将求出的横坐标代入一次函数（或反比例函数）解析式，计算出对应的纵坐标，确定交点坐标。 4. 用判别式判交点数：若联立后为一元二次方程，可通过判别式判断交点个数。 【典例1】反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象关于直线对称， ∴联立，解得， ∴反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称， 设它们的另一个交点是， ∴， ∴， ∴另一个交点坐标为． 故选B． 【变式1】若直线与双曲线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点的坐标为， ∴它们的另一个交点的坐标是． 故选：A． 【变式2】如图，直线与双曲线交于两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为，即， ∵直线与双曲线交于两点， ∴直线与双曲线交于点两点， 如图， 观察图象得：当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为是或． 故答案为：或 题型九 一次函数与反比例函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 分析题意定函数类型：先判断题目中涉及的两个（或多个）变量分别符合哪种函数关系——若变量乘积为定值，对应反比例函数；若变量满足“y = ax + b”（a≠0）的线性关系，对应一次函数。 2. 设解析式求参数：设反比例函数为y = （k≠0），一次函数为y = ax + b（a≠0）；从题目中提取两组（一次函数）或一组（反比例函数）变量的具体对应值，代入解析式求出k、a、b，确定完整函数表达式。 3. 用函数性质解问题：若求“变量取值范围”，可根据函数增减性（如一次函数a>0时y随x增大而增大，反比例函数k>0时每支上y随x增大而减小）分析；若求“两函数对应值相等的情况”，可联立解析式求解交点，交点坐标的横、纵坐标即对应变量相等时的取值。 4. 结合实际验结果：计算后需根据实际场景验证结果合理性（如时间、成本、数量不能为负或小数），确保答案符合题意。 【典例1】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 【变式1】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【变式2】将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 题型十 反例函数、二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 抓系数符号定图像特征： 反比例函数y = （k≠0）：k>0时图像在一、三象限，k<0时在二、四象限； 二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）：a>0时抛物线开口向上，a<0时开口向下；结合x= - -判断对称轴位置，c判断与y轴交点（(0,c)）。 2. 找共性条件排矛盾：对比两个函数中参数的符号关系（如题目若隐含同一参数，或通过选项给出参数关联），排除图像特征矛盾的选项（例：若k=a，则反比例在一、三象限（k>0）时，抛物线必开口向上（a>0），反之同理）。 3. 用特殊点验证：若图像标注特殊点（如二次函数顶点、与坐标轴交点，反比例函数上已知点），将点坐标代入对应函数解析式，验证参数是否符合，排除不满足的选项。 【典例1】平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个 【答案】C 【详解】解：反比例函数与二次函数联立，即， 两边同时乘x，得， 化简得， 由题意知，，， ， ，即， 可以看成反比例函数与二次函数交点横坐标， 反比例函数与二次函数图象如图所示， 由图可知反比例函数与二次函数有3个交点， ∴方程有3个不同的实数根， 反比例函数与二次函数的图象交点个数为3个， 故选：C． 【变式1】方程实数根的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：如图，画出函数与的图像， 由图像可知，函数与的图像只有一个交点， ∴方程实数根的个数为1． 故选：B． 【变式2】如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，二次函数的图象开口向上，与轴负半轴相交，反比例函数的图象在一、三象限，所以A、B都不符合题意； 当时，，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，反比例函数的图象在二、四象限，所以C不符合题意， D符合题意． 故选D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 【答案】A 【详解】解：A、由点的坐标满足反比例函数，故A正确； B、由，反比例函数图象位于二、四象限，故B错误； C、由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于直线和对称，是中心对称图形，故C错误； D、由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，下则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴右边可得异号，故， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 只有选项A符合题意． 故选：A． 4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意得：，解得． 故答案为． 5．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 8．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； (2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？ 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为 (2)血液中药物浓度不低于的持续时间为 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，设反比例函数的表达式为， 将代入得  解得：， ∴反比例函数的表达式是， 因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为． （2）解：当时，由得， 当时，由得， ， 因此， 血液中药物浓度不低于的持续时间为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 2．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 3．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 5．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 7．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $