专题02 反比例函数及其应用（期中专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题02 反比例函数及其应用 题型1 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型8 根据图形面积求比例系数（解析式）（难点） 题型2已知反比例函数的增减性求参数（常考点） 题型9求反比例函数解析式（重点） 题型3判断反比例函数图象所在象限（重点） 题型10 实际问题与反比例函数（重点） 题型4 比较反比例函数值或自变量的大小（常考点） 题型11 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型5由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型12 一次函数与反比例函数的交点问题（重点） 题型6已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型13 一次函数与反比例函数的实际应用（难点） 题型7 已知比例系数求特殊图形的面积（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 已知反比例函数的图象，判断其解析式（共3小题） 1．为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为 ． 3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为 ． 题型二已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 4．反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ． 5．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 6．已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为 ． 题型三判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 7．函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 8．函数，y的值随x的值的增大而减小，与在同一坐标系内的大致图象是 （        ） A． B． C． D． 9．已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 象限． 题型四 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 10．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 12．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 题型五由反比例函数图象的对称性求点的坐标（共3小题） 13．若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为 ． 15．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是 ． 题型六已知双曲线分布的象限，求参数范围（共3小题） 16．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 18．在反比例函数 中，x，y 同号，则k的取值范围是 ． 题型七 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 19．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 20．双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 题型八 根据图形面积求比例系数（解析式）（共3小题） 22．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 24．如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 题型九求反比例函数解析式（共3小题） 25．如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 26．如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为 ． 27．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 题型十实际问题与反比例函数（共3小题） 28．2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 29．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 30．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断（共3小题） 31．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．B．C． D． 32．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A．B．C． D． 33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题（共3小题） 34．如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 35．如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线和轴的交点的坐标及的面积； (3)求方程的解（请直接写出答案）． 36．如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型十三 一次函数与反比例函数的实际应用（共3小题） 37．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 38．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 39．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．    2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数及其应用 题型1 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型8 根据图形面积求比例系数（解析式）（难点） 题型2已知反比例函数的增减性求参数（常考点） 题型9求反比例函数解析式（重点） 题型3判断反比例函数图象所在象限（重点） 题型10 实际问题与反比例函数（重点） 题型4 比较反比例函数值或自变量的大小（常考点） 题型11 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型5由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型12 一次函数与反比例函数的交点问题（重点） 题型6已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型13 一次函数与反比例函数的实际应用（难点） 题型7 已知比例系数求特殊图形的面积（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 已知反比例函数的图象，判断其解析式（共3小题） 1．为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 对于反比例函数，（为常数，）， 当时，在每个象限内，随的增大而减小； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：为反比例函数的图象上两点，且当时，有， 原函数图像在第三象限内随的增大而增大， 反比例函数中，， ， 故选：D． 2．若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题的关键. 根据题意得到，求出. 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：. 3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 设反比例函数解析式为，将代入求出反比例函数解析式后即可得解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入可得， 即反比例函数解析式为， 时， ． 故答案为：． 题型二已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 4．反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为： 5．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． 根据题意得到反比例函数在同一个象限内，随的增大而增大，可得，然后计算即可． 【详解】解：，， 反比例函数在同一个象限内，随的增大而增大， ∴， 即． 故答案为：． 6．已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性结合反比例函数的性质即可得出，再由的取值范围即可得出结论； （2）分反比例函数单调递减和单调递增两种情况考虑，根据最大值与最小值的差是，可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵随的增大而增大， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）当时，在的范围内，y随x的增大而增大， ，解得，不符合题意，舍去； 当时，在的范围内，y随x的增大而减小， ，解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据反比例函数的性质找出的取值范围；（2）分情况考虑，找出关于的方程． 题型三判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 7．函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，当时， 反比例函数图象经过第二、四象限． 【详解】解：由题意可知，函数解析式为， 设， 反比例函数，经过第一、三象限， 函数经过第一、三象限． 故选：． 8．函数，y的值随x的值的增大而减小，与在同一坐标系内的大致图象是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由一次函数，的值随的值的增大而减小，判断出，即可判断出两函数图象所在的象限，从而得出答案． 【详解】解：一次函数，的值随的值的增大而减小， ， ∴一次函数的图象不经过第一象限，故A、B、D选项不符合题意，； 反比例函数的图象分居在第二、第四象限，故A、B、D选项不符合题意； 只有C选项符合题意． 故选：C． 9．已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 象限． 【答案】二、四 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上函数性质． 利用二次函数性质求出的取值范围，然后根据反比例函数的性质即可判定出图象所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得， ∴函数的图象位于第二、四象限， 故答案为：二、四． 题型四 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 10．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 11．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】该题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数常量， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，，故 ，原说法错误，不符合题意； B、若，则点在第二象限，第四象限，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第四象限， ，原说法错误，不符合题意； D、当时，两点都在第二象限， ，原说法正确，符合题意； 故选：D ． 12．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ∵点、、在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五由反比例函数图象的对称性求点的坐标（共3小题） 13．若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征，先求出比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式 ，得：， ∴。 因此，函数解析式为 ， A、代入 ，得 ，与点的纵坐标一致，符合条件； B、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； C、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； D、代入 ，得 ，与点的纵坐标6不一致，不符合． 故选：A． 14．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，解题的关键是利用反比例函数求出点坐标，再根据两函数图象的对称性确定点坐标． 先将点的横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，再依据反比例函数与正比例函数图象的对称性（关于原点对称）求出点坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵A、两点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 15．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先根据函数图象的对称性可得点与点关于原点对称，则，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：由函数图象的对称性可知，点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 由函数图象可知，当时，或， 故答案为：或． 题型六已知双曲线分布的象限，求参数范围（共3小题） 16．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知反比例函数所经过的象限求参数，根据双曲线的一支位于第三象限，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线 的一支位于第三象限， ∴， ∴， 故选：B． 17．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 18．在反比例函数 中，x，y 同号，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 在反比例函数中，当，x，y 同号，据此解答即可． 【详解】∵在反比例函数 中，x，y 同号， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 19．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 20．双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，由点B在的图象上可得出，由点A在的图象上可得出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 21．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八 根据图形面积求比例系数（解析式）（共3小题） 22．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质以及三角形面积的计算，设的坐标表示相关长度，利用三角形面积公式建立方程，结合反比例函数关系求出． 【详解】解：轴 设的坐标为 的面积为 点在第二象限 点是反比例函数图象上的一点 故选：A． 23．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，过点作轴于点，先确定的坐标关系，利用面积为求出． 【详解】解：过点作轴于点， 轴，轴， ， ， ，则， 点是反比例函数上的点， 设， ，则， 将代入得：， 解得：， ， 的面积为， ，即， 解得：． 故答案为：． 24．如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图像所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 题型九求反比例函数解析式（共3小题） 25．如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．先分别求得反比例函数图像分别过点A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：当反比例函数图像过点，则， 当反比例函数图像过点，则， ∴的取值范围为， ∴可以取4， ∴符合条件反比例函数的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 26．如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积为， ∴， ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 27．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的几何意义，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式求得的面积是关键． 作于点，可得，可证，然后可得，可知，即可求解. 【详解】解：作于点，       已知的面积为 3，的面积为9， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴反比例函数的解析式为：， 故答案为：. 题型十实际问题与反比例函数（共3小题） 28．2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【答案】48 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 【详解】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 29．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 30．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 【答案】(1)小时 (2) (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）段满足温度为； （2）把代入，即可求解； （3）先用待定系数法求出的解析式，再根据解析式计算出，段时对应的x的值，即可求解． 【详解】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度的时间为：（小时）； （2）解：把代入中得： ； （3）解：记0时对应的点为点D，设的解析式为： 把，代入中得： ， 解得， 的解析式为：， 当时，， （小时）． 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时． 题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断（共3小题） 31．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据函数解析式中系数的符号，分别确定一次函数图象经过的象限和反比例函数图象所在的象限，再判断两者的符号是否一致． 先明确：一次函数中，（图象必过y轴正半轴），时过一、二、三象限，时过一、二、四象限；反比例函数中，时图象在一、三象限，时图象在二、四象限；再逐一分析选项中两函数的符号是否一致，一致则为正确选项． 【详解】解：一次函数：（图象必过y轴正半轴），故时过一、二、三象限，时过一、二、四象限． 反比例函数：时图象在一、三象限，时图象在二、四象限． A、一次函数过一、二、三象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过二、三、四象限（与矛盾，不存在此情况），此选项不符合题意； C、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在一、三象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； D、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号一致，此选项符合题意． 故选：D． 32．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题（共3小题） 34．如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，通过解方程组找到交点坐标，利用三角形的性质确定点即可． 【详解】连接并向两端延长 把代入，得 直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点 解得：或 B在点第四象限 设的解析式为： 把代入得： 解得： 的解析式为： 设直线交轴于点 当时， 解得： （三点共线时，取等号） 当运动到时，线段与线段之差达到最大，点的坐标为 故选：C． 35．如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线和轴的交点的坐标及的面积； (3)求方程的解（请直接写出答案）． 【答案】(1)， (2)，6 (3)或． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，以及和方程相结合的问题，正确理解函数的图象的坐标，函数与自变量的关系是解决本题的关键． （1）将代入，即可得到m，从而得到反比例函数解析式，然后将A、B代入，即可得到一次函数的解析式； （2）在一次函数上，当时，即可得到的坐标，从而得到的长，然后由求出的面积； （3）根据图象即可求出的解． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ， 将，代入反比例解析式得：， ∴， ， 将与坐标代入一次函数解析式得： ， 解得：， ． （2）解：在直线中，当时，， ，即， ． （3）解：∵、是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点， ∴方程的解是或． 36．如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为 (2)的值为定值，定值是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出交点的坐标是解题的关键． （1）将点代入中可求出的值，则可知点的坐标，将点代入中，即可求出反比例函数的表达式； （2）由一次函数和反比例函数的表达式可得点的坐标，由点在反比例函数图象上，可得点的坐标，设点，直线的表达式为， 将点，代入，可得直线的表达式，分别令，，可得点，点的坐标，同理可得点，点的坐标，进而可得，，最后计算即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， ∴将点代入中，得， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：的值是定值，理由如下： 直线与反比例函数交于，两点， 令，解得，， 把代入得，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 设点，直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得， 直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， ∴，， ∴， ∴的值为定值，定值是8． 题型十三 一次函数与反比例函数的实际应用（共3小题） 37．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 38．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 39．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $