专题01 全等三角形（3知识&4题型&4易错&4方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形(3知识&4题型&4易错&4方法清单) 知识图谱 全等图形概念 全等图形 全等图形的特征 全等三角形概念 全等三角形及其性质 全等三角形性质 全等三角形 SSS SAS AAS 全等三角形的判定 ASA HL 知识清单 【清单01】全等图形 (一)全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形 (二)特征：(1)形状相同；(2)大小相等；(3)对应边相等、对应角相等。 【清单O2】全等三角形及其性质 (一)全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对 应角 (二)表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 (三)全等三角形性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等。(2)全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线 相等。(3)全等三角形的周长相等，面积相等。 【清单03】全等三角形的判定 1/18 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (一)判定定理 (1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”(基本事实)； (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’(基本事实)； (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“AS4’(基本事实)； (4)两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“A4S”: (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 期中常考题型清单 【题型一】利用全等三角形的性质求解 【例1】(24-25八年级上广东韶关期中)如图，若△ABD≌△ACD,且∠B=30°，∠ADC=115°，则 ∠DAC= B 【变式1-1】(24-25八年级上，内蒙古呼伦贝尔·期中)如图，△AED≌△ACB,∠CAB=65°，∠CAD=20°， 则∠EAB的度数是 【变式1-2】(24-25七年级下·上海期中)如图，己知△ABC≌△DEB,点A、B、C的对应点分别是点D、 E、B,点E在AB边上，DE与AC交于点F.如果AE=8,BC=I2,则线段DE的长是一· D B 【题型二】添加一个条件使两三角形全等 2/18 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【例2】(24-25八年级上·贵州遵义期中)如图，BC为四边形ABDC的对角线，∠A=∠D,添加一个条 件使△ABC≌△DBC，则你添加的条件为」 D 【变式2-1】(24-25七年级下·上海普陀期中)如图，已知AB=CD,如果要利用“SAS”证明 △ABC≌△DCB成立，那么还需增加一个条件 【变式2-2】(24-25八年级下·黑龙江大庆期中)如图，要说明△ABD≌△ACD,①已知∠1=∠2，若要以 “SAS”为依据，则可添加的一个条件是；②已知∠1=∠2，若要以“AAs”为依据，则可添加的一个 条件是」 ③己知∠1=∠2，若要以“ASA”为依据，则可添加的一个条件是 A B 【题型三】三角形全等的判定与性质 【例3】(25-26八年级上·全国期中)如图，AD,BE是ABC的高线，AD,BE交于点F,且AD=BD B D (①)求证：BF=AC: (2)若AF=1,CD=3,求ABC的面积 3/18 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-1】(24-25七年级下·四川成都期中)如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB∥CD, AE∥CF且AE=CF. B (I)求证：△ABE≌△CDF; (2)若BD=10,BF=3.5,求EF的值. 【变式3-2】(24-25七年级下·上海静安·期中)如图，在ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°， AB=DE,E是BC中点，DE⊥AB,垂足为点F, D 3 B (I)试说明：△BCA≌△DBE; (2)若AC=3cm,求BD的长. 【变式3-3】(24-25八年级上·福建莆田期中)已知∠ACB中，AC=BC,过点A作直线1∥CB,点F为直 线1上任意一点， D G E H B B 图1 图2 图3 备用图 (I)点E为线段AC上的任意一点，点F位于A点的右边，连接CF交BE于点H. ①如图1，若LACB=90°，BE=CF,试探究BE与CF的位置关系，并证明你的结论： ②如图2，若∠ACB>90°，当∠AEH与∠AFH满足什么关系时，BE=CF; (2)如图3，若LACB=90°，连接FC,过点C作CD⊥CF,并使CD=CF,连接DB交射线AC于点G,若 AC=m,AG=n,求线段AF的长度.（用m,n表示） 4/18 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型四】用HL证明两直角三角形全等 【例4】(24-25八年级上贵州遵义期中)如图，BD在∠ABC的内部，点E、D在BD上，连接AE、CE, 过点D作DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F、G.且F、G恰好是AE和CE的中点，DG=DF. 】 B (I)求证：EF=EG; (②)求证：BD平分∠ABC. 【变式4-1】(24-25八年级下·四川成都期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的 一点，且AE=BC,连接DE,EC,DE=EC· A D 求证： (I)Rt△ADE≌Rt△BEC. (2)DE⊥CE 【变式4-2】(24-25八年级下·贵州贵阳期中)如图，DE1AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD, BE=CF. B (I)求证：DE=DF; (②)已知AC=14,BE=2,求AB的长. 高频易错归因清单 5/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型一】三角形全等中动点多结论问题 【例1】(24-25八年级上山西吕梁期中)如图，点A,E,F,C在同一直线上，BF1AC于点F, DE⊥AC于点E,连接BD,交EF于点O,且O为EF的中点.若AE=CF,则下列结论：① △E0D≌△FOB;②AO=C0;③AB=CD;④∠ABD=∠ACD.其中正确的个数是() 0 D A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-1】(24-25八年级上，四川广元期中)如图，己知AB=AC,点D、E分别在AC、AB上且 AE=AD,连接EC,BD,EC交BD于点M,连接AM,过点A分别作AF⊥CE,AG⊥BD垂足分别为 F、G,下列结论：①△EBM≌△DCM;②LEMB=∠FAG;③MA平分∠EMD;④若点E是AB的中点， 则BM+AC>EM+BD;⑤如果SBEM=SADM,则E是AB的中点；其中正确结论的个数为() E G B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1-2】(24-25八年级上浙江台州期中)已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=α ,点P以每秒2个单位长度的速度沿着C→A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿 着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为秒. ①若x=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x=5; ③若a=90°，t=5,x=1时，△ACP≌aBPQ; ①若A4CP与aP0全祭则=08政音 以上说法正确的个数为() 6/18 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D A.1 B.2 C.3 D.4 【题型二】利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 【例2】如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,延长BC至点E使CE=2cm,连接DE,动点 Q从点B出发，以每秒2cm的速度沿折线BC→CD-DA运动.当点9运动 秒时，△ABQ和 △DCE全等. D B 【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=I2cm,点P从点B出发，以2cms的速度沿BC边 向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcs的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止， 规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当为时，△ABP与△PCQ全等 D 【变式2-2】在ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,动点P从点A出发，沿 AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cms. P 图1 图2 (1)如图1，当点P到AC,AB的距离PC与PG相等时，BG= cm: 7/18 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在aDEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在ABC中，若另外有一个动 点Q与点P同时出发，从点A沿着AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某时刻，恰好 4APQ≌aDEF,则点Q的运动速度为cm/s. 【题型三】全等三角形中的动点综合问题 【例3】如图，在ABC中，AB=AC,点D是线段CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边 在AD的右侧作ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE, B (I)求证：BD=CE; (2)设LBAC=W,LDCE=B.当点D在线段BC上，∠BAC≠90°时，请你探究写出O与B之间的数量关系 是多少？ 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都期中)如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,E点为 射线CB上一动点，连接AE,在AE的左侧作AF⊥AE且AF=AE 图1 图2 备用图 (I)如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：aAGF≌△ECA; ②如图2，连接Br交AC于D点，若E点为BC中点，求CD: AD (③)如图，当E点在射线CB上运动时，连接BF与射线4C交于D点，若CE BE n,则 CD 【变式3-2】在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是直线CB上的一个动点，连接AD,过点C作 AD的垂线，垂足为点E,过点B作AC的平行线交直线CE于点F, 8/18 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (I)基础探究：如图1，当点D为BC的中点时，请直接写出线段BF与AC的数量关系， (2)能力提升：如图2，当点D在线段CB上（不与C,B重合）时，探究线段BF,BD,AC之间的数量关系 (要求：写出发现的结论，并说明理由)· (3)拓展探究：如图3，当点D在线段CB或者BC的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段BF, BD,AC之间的数量关系 【题型四】全等三角形中新定义型综合问题 【例4】新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形. 【初步尝试】 (1)如图1，在△ABC中，AB>AC,BC=4,P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求BP 的长； 【理解运用】 (2)如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2,AC=4,且线段AD的长度为正整数，求AD的长. 【综合应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AB=AC,过点C作MN⊥AC,点D是射线CM上一点，以AD 为边作Rt△ADE,∠DAE=9O°，AD=AE,连接BE.请判断aBAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由. E M D B B 图1 图2 图3 【变式4-1】定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”. 如图，△ABC和aCDE为“同源三角形”，AC=BC,CD=CE,∠ACB与∠DCE为“同源角”. 9/18 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由. (2)如图2，若“同源三角形”△ABC和aCDE上的点B,C,D在同一条直线上，且LACE=90°，则 ∠EMD=o. (3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD,BE的中点Q,P, 连接CP,CO,PQ,试说明△PCQ是等腰直角三角形. 【变式4-2】【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A,B分别在射线PM,PN上，过点A垂直PM的直线与过点B垂直PN的直线 交于点Q,则我们把∠AQB称为∠APB的边垂角. B 图1 图2 【迁移运用】 (I)如图1，CD,BE分别是△ABC的两条高，两条高交于点F,根据定义，我们知道∠DBE是∠DCE的“边 垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的边垂角”是 (②)若∠AQB是∠APB的边垂角”，则∠AQB与∠APB的数量关系是； (3)若∠ACD是∠ABD的边垂角”，且AB=AC,如图2，BD交AC于点E,点C关于直线BD对称点为点 F,连接AF,EF,且∠CAF=45°，求证：BE=CF+CE. 方法技巧速通清单 【题型一】全等三角形之一线三等角模型 10/18 专题01 全等三角形（3知识&4题型&4易错&4方法清单） 【清单01】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【清单02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 （三）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【清单03】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 【题型一】利用全等三角形的性质求解 【例1】（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，若，且，，则 ． 【答案】/35度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数是 ．    【答案】/110度 【分析】本题考查了全等三角形性质，根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 【题型二】添加一个条件使两三角形全等 【例2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（此方法仅用于直角三角形全等的判定）． 【详解】解：若添加：， 在和中， ， ∴； 若添加：， 在和中， ， ∴； ∴添加一个条件使，则添加的条件可以为或． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，要说明，①已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ；②已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ；③已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），全等三角形的判定、、，解题关键是掌握全等三角形的判定． ①依据添加条件；②依据添加条件；③依据添加条件． 【详解】解：要说明，①已知，，添加条件，依据“”得到； ②已知，，添加条件，依据“” 得到； ③已知，，添加条件或，依据“” 得到， 故答案为：①；②；③或． 【题型三】三角形全等的判定与性质 【例3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点在同一条直线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，属于常见题型，熟练掌握全等三角形的和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，，然后根据可证； （2）根据全等三角形的性质可得，即得，再根据线段的和差即得答案． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． （1）先证明，即可证明； （2）由，得到，，由是中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， 是中点， ， ， ， ， 即的长为． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【答案】(1)①，见解析；②时， (2)当点F在A点右边时，；当点F在A点左边时， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形，分类讨论是解题的关键． （1）①先证明，得出，再得出，在 中，，即可的得出结论； ②在上截取，使，证明，得出，根据，得出时，即时，； （2）分两种情况，当点F在A点右边时，过点D作，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；同理，当点F在A点左边时，通过证明三角形全等即可得出结论． 【详解】（1）①解：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∵， ∴ ， 在 中，， ∴； ②在射线上截取，使，如图所示， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，即时，， ∴； （2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型四】用HL证明两直角三角形全等 【例4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由，，垂足分别是F，G，得，根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，推导出，由，且，推导出，而，即可根据“”证明，得，则平分． 【详解】（1）证明：∵，，垂足分别是F，G， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∵、恰好是和的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴平分． 【变式4-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质得，然后求出即可． 【详解】（1）解：， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ∴， ， ， ， ， ∴． 【变式4-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【题型一】三角形全等中动点多结论问题 【例1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点A，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形解决问题．分别证明，，可得结论． 【详解】解：，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ∴，故①正确， ， ，， ，故②正确， ， 在和中， ， ∴， ，，故③正确，④错误； 综上所述：正确的个数有3个； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键． 根据可证明，根据可证明；通过证明可证明，即乘平分；根据，四边形内角和以及平角的性质可求得；延长至N，使,连接，证明，得到，在中，利用三角形三边关系进一步判断即可；若，在中，和的高相等，即可得． 【详解】， ， 故①正确； ， 在和中 平分 故③正确； ， 在四边形中 又 故②正确； 延长至N，使,连接， ∵E是的中点， ∴ 在和中， 由①可知： 在中， 故④正确； 若 则 在中，和的高相等， ∴为的中点， 故⑤正确；综上正确的有：①②③④⑤， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知，，， 其中， 点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒． ①若，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时， ； ③若，，时，； ④若与全等， 则或 ； 以上说法正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等、动点问题，分类求解是解题的关键． ①若，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明．即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【详解】解：①若，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是，点Q运动路程为，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：，当时，点Q到达点A的时间为：，，故②不正确，不符合题意； ③若，，时，如图， 此时，， ， ， 若， 则，， 而， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，， 则，， 则， 若与全等， 则且或且， 即且或且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 故选：B． 【题型二】利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 【例2】如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 【变式2-1】如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【变式2-2】在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【答案】 3 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接，证明，得出，根据即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵点P到，的距离与相等， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为。 则， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为， 则， 解得：； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 【题型三】全等三角形中的动点综合问题 【例3】如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； (3)如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明； （2）过点F作于G，证明，得到，再根据求解即可； （3）分类讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时，过F作于点G，证，，，进而根据，设参求解即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段和差关系等内容，有难度，正确建立辅助线以及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：过F点作交于G点，如图2， 由（1）可知， ， 在和中， ， ， ， 点为中点 ， ≌， ， ， ； （3）解：第一种情况，当点E在线段上时，如图3， 此时可参考第二问情况，，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， ； 第二种情况：当点E在延长线上时，过F作于点G，如图4， 同理可得，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， 综上，的值为或 故答案为：或 【变式3-2】在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时： 【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得； （2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得； （3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得； ②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴ ∵，， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型四】全等三角形中新定义型综合问题 【例4】新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 【变式4-1】定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式4-2】【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 【题型一】全等三角形之一线三等角模型 方法技巧总结： 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【例1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 【变式1-1】通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 【题型二】全等三角形之倍长中线模型 方法技巧总结： 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 【例2】方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 【变式2-1】【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 【题型三】全等三角形模型之截长补短模型 方法技巧总结： （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2） 补短：将短线段延长，证与长线段相等 【例3】现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式3-1】【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型四】全等三角形模型之手拉手模型 方法技巧总结： 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【例4】数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 【变式4-1】在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $