专题07 一元二次方程压轴应用题分类训练（4种类型32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题07 一元二次方程压轴应用题分类训练 （4种类型32道） 地 城 类型01 多格围栏和围栏开门 1．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 2．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 3．如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 4．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． (1)要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ (2)鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 5．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 6．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边___________米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积能达到平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． (4)请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米2． 7．云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 8．月日中华人民共和国国家勋章和国家荣誉称号颁授仪式在人民大会堂隆重举行，我国小麦远缘杂交育种奠基人和农业发展战略专家李振声，在祖国西北耕耘载，培育推广抗病、高产的远缘杂交小麦，被授予“共和国勋章”．某校八年级学生利用课余时间进行劳动实践，准备种植远缘杂交小麦，试验田一边靠学校的墙（墙的最大可用长度为），其他边用长为的篱笆（篱笆正好全部用完，且不考虑接头的部分）围成中间隔有一道篱笆的长方形，在试验田的前端设计了两个宽的小门，供同学们进出．设试验田的一边的长为． (1)求当为何值时，围成的试验田面积为； (2)能围成面积为的试验田吗？请通过计算说明理由． 9．在Rt△ABC中，∠B=900，AC=60cm, ∠A=600,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF．地 城 类型02 几何多动点问题 （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求相应的t值，若不能，请说明理由． （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm， (1)当x为何值时，点P，N重合； (2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交于点，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）设的面积为，求与的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的； （4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上． 12．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8） (1)当t＝1时，试求PE的长； (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． 13．如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，问： (1)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 14．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，BP=_______，BQ=                     (2)经过几秒△BPQ的面积等于10？ (3)经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值． 15．如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题： (1)当点F运动到中点时，求的长； (2)连接，当的面积为时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒． (1)求梯形ABCD的高和∠A的度数； (2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值； (3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 17．某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传地 城 类型03 销售利润 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 18．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 19．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 20．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 21．重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元． (1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？ (2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？ 22．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍． （1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？ （2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值． 23．作为巴渝文化的发源地，重庆在许多领域都首屈一指，而其中最具代表性的，当然还是它的美食．在无数美食中，最具地域特色的，非重庆火锅莫属．近年来，随着重庆市成为网红城市，许多游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．11月，洪崖洞附近一特产店购进A、B两种品牌火锅底料共450袋，其中A品牌底料每袋售价20元，B品牌底料每袋售价30元．11月全部售完这批火锅底料，所得总销售额不低于11500元． （1）A品牌火锅底料最多购进多少袋？ （2）为了促进销量，12月，该店开展了优惠活动，A品牌底料的售价比11月的价格优惠，B品牌底料的售价比11月的价格优惠，结果12月售出的A品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的A品牌底料数量增加了，售出的B品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的B品牌底料数量增加了，结果12月的总销售额比11月最低销售额增加了，求a的值． 24．苹果能够生津止渴、健脾养心、补血安神，水果超市的红苹果与青苹果这两种水果很受欢迎，红苹果售价为12元/千克，青苹果售价为9元/千克． （1）若第一周红苹果的销量比青苹果的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红苹果多少千克？ （2）若该水果超市第一周按照（1）中红苹果和青苹果的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红苹果售价降低了，销量比第一周增加了，青苹果的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果这两种苹果第二周的总销售额比第一周的最低销售总额6600元增加了，求的值． 25．环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示：地 城 类型04 方案问题 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 26．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问电器商社有几种进货方案?如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润. (3)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 27．果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，价格连续两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． （1）求李明平均每次下调的百分率； （2）小刘准备到李明处购买吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：在原下调后价格的基础上，再次以相同的百分率降价；方案二：不打折，每吨优惠现金元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 28．2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 29．大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 30．甲、乙两汽车出租公司均有40辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租金2500元，那么40辆汽车可以全部租出。如果每辆汽车的月租金每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租金3000元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租金月维护费； ③两公司月利润差月利润较高的公司的利润月利润较低的公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______元；当每个公司租出的汽车为27辆时，两公司的月利润相等，则______； (2)在（1）的条件下，求两公司月利润差的最大值； (3)某公司准备组织34名员工外出参加业务培训，拟单程租用甲公司或乙公司的车，询问得知甲公司只有5辆6座的商务车未出租，乙公司只有9辆4座的轿车未出租，经协商，商务车每辆租金300元，轿车每辆租金240元，在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 31．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年将基地内的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经测算种植甲种蔬菜总成本元，种植乙种蔬菜总成本元，其中甲种蔬菜种植面积为乙种蔬菜面积的，并且每平方米的乙的种植成本比甲的种植成本倍少元． (1)则甲、乙两种蔬菜的种植成本（元/）？ (2)学校计划今后在基地内，均按（）中的种植方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？ 32．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润销售价进货价） (1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数； (2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程压轴应用题分类训练 （4种类型32道） 地 城 类型01 多格围栏和围栏开门 1．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 2．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 3．如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平行于围墙的一边长；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平行于围墙的一边长围栏的总长度门的宽度垂直于墙的一边长，即可用含的代数式表示出平行于围墙的一边长； （2）根据生态园的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：平行于围墙的一边长为米． 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得，． ∵垂直于墙的一边长不超过6米， ． 故的值为4． 4．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． (1)要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ (2)鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 【答案】(1)鸡场的长应为20米； (2)鸡场的面积不能达到210平方米，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设鸡场的长为x米，则宽为米，根据鸡场面积200平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据鸡场面积210平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设鸡场的长为x米，则宽为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：鸡场的长应为20米； （2）解：鸡场的面积不能达到210平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴鸡场的面积不能达到210平方米． 5．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1)这个增长率为 (2)场地的宽为10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这个增长率为，根据该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建后面积是250平方米，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是250平方米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，的长为：（米）米，不合题意，舍去： 当时，的长为：（米）米，符合题意： 米， 答：场地的宽为10米． 6．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边___________米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积能达到平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． (4)请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米2． 【答案】(1) (2)边的长为米． (3)不能，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，列方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式判断即可； （4）根据题意列出一元二次方程，通过配方法将变形为即可求解． 【详解】（1）解：（米）； 故答案为：． （2）解：设米， 米， 根据题意，得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为米． （3）解：设米， 米， 根据题意，得：， 整理，得：， ， 该方程没有实数根， 该饲养场的面积不能达到平方米． （4）解：设米， 米， ， 当时，米， ，， 此时平方米， 当米，时，围成饲养场面积的最大值为平方米． 故答案为：． 7．云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 8．月日中华人民共和国国家勋章和国家荣誉称号颁授仪式在人民大会堂隆重举行，我国小麦远缘杂交育种奠基人和农业发展战略专家李振声，在祖国西北耕耘载，培育推广抗病、高产的远缘杂交小麦，被授予“共和国勋章”．某校八年级学生利用课余时间进行劳动实践，准备种植远缘杂交小麦，试验田一边靠学校的墙（墙的最大可用长度为），其他边用长为的篱笆（篱笆正好全部用完，且不考虑接头的部分）围成中间隔有一道篱笆的长方形，在试验田的前端设计了两个宽的小门，供同学们进出．设试验田的一边的长为． (1)求当为何值时，围成的试验田面积为； (2)能围成面积为的试验田吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)当为时，围成的试验田面积为 (2)不能围成面积为的试验田，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设试验田的一边的长为，则，根据长方形的面积列方程即可求解； （2）根据题意列出方程，再利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：设试验田的一边的长为，则， 根据题意可得：， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， 当为时，围成的试验田面积为； （2）不能围成面积为的试验田，理由如下： 根据题意可得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即不能围成面积为的试验田． 9．在Rt△ABC中，∠B=900，AC=60cm, ∠A=600,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF．地 城 类型02 几何多动点问题 （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求相应的t值，若不能，请说明理由． （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）能，10；（2） 或12,理由见解析. 【分析】（1）首先根据题意计算AB的长，再证明四边形AEFD是平行四边形，要成菱形则AD=AE，因此可得t的值. （2）要使△DEF为直角三角形，则有两种情况：①∠EDF=90°；②∠DEF=90°，分别计算即可. 【详解】解：（1）能， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB=AC=×60=30cm． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t．∴DF=AE． ∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形． 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10． ∴当t=10时，AEFD是菱形． （2）若△DEF为直角三角形，有两种情况： ①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC， 则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t= ． ②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC， 则AE=2AD，即 2t =2×60-8t，解得：t=12． 综上所述，当t= 或12时，△DEF为直角三角形 【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键在于第二问中直角的确定,这类问题是分类讨论的思想，应当掌握. 10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm， (1)当x为何值时，点P，N重合； (2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1) 当时，P，N重合;(2) 当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 【详解】试题分析：（1）当P、N重合时有：AP+DN= 20,解方程可得. (2)MQ=PN,时PQMN是平行四边形,其中不确定P，N的位置关系，所以需要分类讨论. 试题解析： (1)当P、N重合时有：AP+DN=AD=20, 即：x2+2x-20=0，解得：（舍去）, 所以当时，P，N重合. (2) 因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧． 当P点在N点的左边时有方程： 20-2x-=20-x-3x, x2-2x=0 解得：x=2或x=0(舍去). 当P点在N点的右边时有方程： 2x+x2-20=20-x-3x, x2+6x-40=0,解得：x=4或x=-10(舍去). ∴当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 11．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交于点，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）设的面积为，求与的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的； （4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）；（2）；（3）当或时，的面积为矩形面积的；（4）当时，点在线段的垂直平分线上 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得由得四边形为平行四边形，即，列式，计算可解. （2）由，得，代入时间，得解得， 再通过梯形构建联系，可列函数式. （3）由的面积为矩形面积的得，可解 当或时，的面积为矩形面积的． （4）当点在线段的垂直平分线上时，，得，由与可得，，，即，代入，，， 可得，计算验证可解. 【详解】（1）当四边形是平行四边形时，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即， ∴ （2）∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ， 梯形， ∴梯形 （3）由题意， 解得， 所以当或时，的面积为矩形面积的． （4）当点在线段的垂直平分线上时，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即 解得，（舍） 所以当时，点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略. 12．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8） (1)当t＝1时，试求PE的长； (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得出EM是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM=BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE即可； （2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为BC的中点，得出EQ是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF的长； （3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）作于交于点M，如图1所示： ∵四边形是正方形，E是对角线的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， 当时，， ∴， ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， 当点F恰好落在线段上时，， ∴， ∴Q为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C， ∴， ∴ ∴ （3）当为菱形时，，分四种情况： ①当时，作于M，于N，如图2所示： ∵， ∴， 解得：（舍去），或（舍去）； ②当时， 同①得：， 解得：（舍去），或 ∴ ③当时，作于M，于N，如图3所示： ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴ ④当时， 同③得：， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：在整个运动过程中，当为菱形时，t的值为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果． 13．如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，问： (1)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】（1）如图1，作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （2）分情况讨论，如图3，当时，如图4，当时，如图5，当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）解：如图1，作于E， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 当时，图（1）满足， 当时，图（2）满足， 综上所述：，； （2）如图3，当时，作于E， ∴  ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∵， ∴ ， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 如图4，当时， 作于E， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5，当时， ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得，（舍去）． 综上所述：，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 14．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，BP=_______，BQ=                     (2)经过几秒△BPQ的面积等于10？ (3)经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)6cm；12cm； (2)2秒 (3)6秒， 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论； （2）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可； （3）由（2）求出△BPQ面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，得， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：6cm；12cm； （2）作于D， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵由题意得：AP=x,PB=12-x，， ∴， 解得， ∵时，，故舍去， ∴． ∴经过2秒的面积等于； （3）∵的面积， ∴当时，的面积最大，此时最大值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键． 15．如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题： (1)当点F运动到中点时，求的长； (2)连接，当的面积为时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 或 【分析】（1）勾股定理求出，求出，即可求出； （2）过点E作EM⊥CB于M，表示出，过点P作，交的延长线于G，四边形是矩形，得出，根据面积求出即可解得； （3）分两种情况：①若时，证明求得；②当时，，求出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点E作于M， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点P作，交的延长线于G， ∵，， 四边形是矩形， ∴（cm）， ∵， ∴， 解得， ∴当时，的面积为； （3）存在． 分两种情况： ①若时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时， 过点E作，过点P作，交的延长线于G， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，或时，为直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形相似、一元二次方程，解题的关键是熟悉勾股定理、三角形相似、一元二次方程相关知识． 16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒． (1)求梯形ABCD的高和∠A的度数； (2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值； (3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)梯形ABCD的高为cm，∠A=60° (2) (3)存在为时，使四边形的面积是梯形面积的一半 【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，证Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再证∠ADE=30°，则∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可； （2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解； （3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分两种情况：①若点Q在CD上，即0≤t≤2；②若点Q在AD上，即2＜t≤4；分别由面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示： ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AD=BC，AB∥CD， ∴DE⊥CD，CF⊥CD， ∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE=CF，DC=EF=2cm， 在Rt△ADE和Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）， ∴AE=BF， ∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm）， ∵AD=6cm， ∴AE=AD， ∴∠ADE=30°， ∴∠A=60°， DE=（cm）， ∴梯形ABCD的高为cm； （2）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示： 同（1）得：四边形CDEF是矩形， 当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形， ∵CQ=t， ∴DQ=EP=2-t， ∵AP=AE+EP， ∴2t=3+2-t， 解得：t=； （3）解：存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下： ∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2）， 当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时， ①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示： 则CQ=t，BP=8-2t， S四边形PBCQ=（t+8-2t）×3=， 解得：t=3（不合题意舍去）； ②若点Q在AD上，即2＜t≤4， 过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示： 则AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t， 在Rt△AGQ中，∠A=60°， ∴∠AQG=90°-60°=30°， ∴AG=AQ， ∴QG=， 同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2）， ∵S四边形PBCQ=S梯形ABCD， ∴S△APQ+S△CDQ=S四边形PBCQ， ∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=， 整理得：t2-9t+17=0， 解得：t1=（不合题意舍去），t2=， 综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半． 17．某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传地 城 类型03 销售利润 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【答案】(1)①；②， (2)应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件 【详解】（1）解：①线上销售的a件产品的利润为：元， 故答案为：； ②由题意得，若，则线下销售的b件产品的利润为：元， 若，则线下销售的b件产品的利润为：元； 故答案为：；； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时，， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根， 当，即时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件，使得销售总利润为46200元． 18．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 19．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 20．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 21．重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元． (1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？ (2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？ 【答案】(1)普通席280元，嘉宾席320元； (2)160元． 【分析】（1）设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，根据题意可得方程，求解即可得到答案； （2）设普通席普通票增加张数为张，根据题意可得方程：，得到答案． 【详解】（1）解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元， 依题意得：， 解之得：， ∴嘉宾席单张票价为元， 答：普通席280元，嘉宾席320元． （2）设普通席普通票增加张数为张， 则，依题意得：， 解之得：， ∴12月份普通席的票价是元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，正确列出方程是解题得关键． 22．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍． （1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？ （2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值． 【答案】（1）150千克；（2）30 【详解】解：（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）． 解得：x≥150， 答：原计划今年6月至少购进“仙粉黛”150千克； （2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克． 设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040， ∴m=2． 则7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克． 列方程为：50(1+2a%)×8(1−a%)+150(1+a%)×6(1−a%)=1040+535． 令a%=t，则：80t2-134t+33=0， ∴t1=，t2=． 又∵当t=时， a%=＞，舍去． ∴t=． ∴a=30． 答：a的值是30． 23．作为巴渝文化的发源地，重庆在许多领域都首屈一指，而其中最具代表性的，当然还是它的美食．在无数美食中，最具地域特色的，非重庆火锅莫属．近年来，随着重庆市成为网红城市，许多游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．11月，洪崖洞附近一特产店购进A、B两种品牌火锅底料共450袋，其中A品牌底料每袋售价20元，B品牌底料每袋售价30元．11月全部售完这批火锅底料，所得总销售额不低于11500元． （1）A品牌火锅底料最多购进多少袋？ （2）为了促进销量，12月，该店开展了优惠活动，A品牌底料的售价比11月的价格优惠，B品牌底料的售价比11月的价格优惠，结果12月售出的A品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的A品牌底料数量增加了，售出的B品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的B品牌底料数量增加了，结果12月的总销售额比11月最低销售额增加了，求a的值． 【答案】（1）200袋；（2）40 【分析】（1）设A品牌火锅底料购进x袋，则B品牌火锅底料购进（450-x）袋，根据总销售额=销售单价×销售数量，结合总销售额不低于11500元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总销售额=销售单价×销售数量，结合12月的总销售额比11月最低销售额增加了，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A品牌火锅底料购进x袋，则B品牌火锅底料购进（450-x）袋， 依题意得：20x+30（450-x）≥11500， 解得：x≤200． 答：A品牌火锅底料最多购进200袋． （2）依题意得： 20（1-a%）×200（1+a%）+30（1-a%）×（450-200）（1+a%）=11500（1+a%）， 整理得：0.5a2-20a=0， 解得：a1=40，a2=0（不合题意，舍去）． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24．苹果能够生津止渴、健脾养心、补血安神，水果超市的红苹果与青苹果这两种水果很受欢迎，红苹果售价为12元/千克，青苹果售价为9元/千克． （1）若第一周红苹果的销量比青苹果的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红苹果多少千克？ （2）若该水果超市第一周按照（1）中红苹果和青苹果的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红苹果售价降低了，销量比第一周增加了，青苹果的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果这两种苹果第二周的总销售额比第一周的最低销售总额6600元增加了，求的值． 【答案】（1）第一周至少销售红苹果400千克；（2）的值为45． 【分析】（1）设第一周销售红苹果千克．则青苹果（）千克，根据总价=单价×数量结合总销售额不低于6600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论； （2）根据总价=单价×数量，结合两种苹果第二周的总销售额比第一周增加了，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设第一周销售红苹果千克．则青苹果（）千克， 根据题意得：， 解得：． 答：第一周至少销售红苹果400千克； （2）根据题意得：， ∴，（舍去）． 答：的值为45． 25．环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示：地 城 类型04 方案问题 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 【答案】(1)， (2)小李家1月的月分类垃圾总量是千克 (3) 【详解】（1）解：∵超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴当时，（分）， 当时，（分）， 故答案为：，； （2）解：已知超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴每千克积分， 已知超过300千克的部分，每20千克积15分， ∴每千克积分， 设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，， ∴小李家1月的月分类垃圾总量是千克； （3）解：月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分， ∴每千克积（分）， 由（2）可知，小李家1月的月分类垃圾总量是千克，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克， ∴小李家2月的月分类垃圾总量是千克， 设2月份的A类垃圾为千克， ∴， 解得，， ∴（千克）， ∴小李家2月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∵3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加， ∴小李家3月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∴ 解得，． 26．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问电器商社有几种进货方案?如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润. (3)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【答案】（1）每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）x可取3，4，5三种方案．当x=6时，y最大=15000元. （3）如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元． 【详解】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元， 由题意得，=， 解得：x=1200， 经检验x=1200是原方程的根， 则x+300=1500， 答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器（10-x）台 由1500x+1200（10-x）≤14000和10-x＜2x得x的范围＜x≤，x可取3，4，5三种方案．当x=6时，y最大=15000元. （3）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200， 解得：x=1600， 答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元． 27．果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，价格连续两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． （1）求李明平均每次下调的百分率； （2）小刘准备到李明处购买吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：在原下调后价格的基础上，再次以相同的百分率降价；方案二：不打折，每吨优惠现金元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】（1）；（2）方案一所需费用元，方案二所需费用元，，故选择方案一 【详解】试题分析：（1）设出平均每次下调的百分率，根据从20元下调到12.8列出一元二次方程求解即可； （2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 试题解析（1）设平均每次下调的百分率为．由题意，得， 解这个方程，得，， 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意， 符合题目要求的是， 答：平均每次下调的百分率是20%． （2）小刘选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：12.8×0.8×2000=20480（元）， 方案二所需费用为：12.8×2000-1800×2=22000（元）． ∵20480＜22000，∴小刘选择方案一购买更优惠． 考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题． 28．2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1400元； (2)不能，理由见解析； (3)存在，（）． 【分析】本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可； （2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可； （3）根据题意建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元； （2）不能，由题意可得：， 解得或， 因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去， 所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等； （3）存在，由题意可得：， 整理得， 解得使两种方案的销售额相等，此时． 29．大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 【答案】(1) (2)单位面积大豆应种植60株 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，及一元二次方程的应用． （1）设单株的平均产量为y，由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数．设y与x的关系式为，在表格中取两组值代入，求出k、b的值，即可得到单位面积试验田单株的平均产量； （2）根据题意列出一元二次方程，求出x的值，再根据题意选取合适的值即可． 【详解】（1）解：设单株的平均产量为y， 由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数． 设y与x的关系式为， 将，；，代入得 ， 解得， ∴y与x的关系式为：， 单位面积试验田单株的平均产量粒； （2）解：根据题意可列方程：． 整理，得， 解得． ∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去， ∴． 答：单位面积大豆应种植60株． 30．甲、乙两汽车出租公司均有40辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租金2500元，那么40辆汽车可以全部租出。如果每辆汽车的月租金每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租金3000元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租金月维护费； ③两公司月利润差月利润较高的公司的利润月利润较低的公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______元；当每个公司租出的汽车为27辆时，两公司的月利润相等，则______； (2)在（1）的条件下，求两公司月利润差的最大值； (3)某公司准备组织34名员工外出参加业务培训，拟单程租用甲公司或乙公司的车，询问得知甲公司只有5辆6座的商务车未出租，乙公司只有9辆4座的轿车未出租，经协商，商务车每辆租金300元，轿车每辆租金240元，在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【答案】(1)； (2)两公司月利润差的最大值是元， (3)选择甲公司5辆，乙公司1辆的方案，所付租金最少 【分析】（1）根据“每辆汽车的月租金每增加50元，那么将少租出1辆汽车”，“当每个公司租出的汽车为27辆时，两公司的月利润相等”，分别列式，即可求解， （2）设每个公司租车汽车辆，列出两公司利润的函数关系式，根据函数的增减性，得出，在当，或当时，利润差最大，计算后，即可求解， （3）先算出甲、乙两公司租车的人均费用，尽量选择甲公司的车，剩余的人租乙公司的车，即可求解， 本题考查了，一元二次方程的实际应用，解题的关键是：根据题意列出关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∵每个公司租出的汽车为27辆时，两公司的月利润相等， ∴，解得：（元）， 故答案为：；， （2）解：设每个公司租车汽车辆，两公司的利润分别为，， 则，，， 在时，随增大而减小，随增大而增大， 由（1）可知当时，两公司的月利润相等， 当时，两公司利润差为：（元）， 当时，两公司利润差为：（元）， ∵， ∴两公司利润差最大值是元， 故答案为：两公司月利润差的最大值是元， （3）解：甲公司商务车人均费用：（元/座）， 乙公司轿车人均费用：（元/座）， ∴租用甲公司商务车，人均费用更低，优先租用甲公司的商务车， ∵甲公司只有5辆， ∴选择甲公司5辆，剩余人数为：，再租用乙公司1辆， 故答案为：选择甲公司5辆，乙公司1辆的方案，所付租金最少． 31．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年将基地内的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经测算种植甲种蔬菜总成本元，种植乙种蔬菜总成本元，其中甲种蔬菜种植面积为乙种蔬菜面积的，并且每平方米的乙的种植成本比甲的种植成本倍少元． (1)则甲、乙两种蔬菜的种植成本（元/）？ (2)学校计划今后在基地内，均按（）中的种植方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？ 【答案】(1)元，元； (2)． 【分析】（）根据题中等量关系列出分式方程，求解即可； （）根据题中等量关系列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种蔬菜的种植成本为元，则乙种蔬菜的种植成本为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴乙种蔬菜的种植成本为（元）， 答：甲、乙两种蔬菜的种植成本分别为元，元； （2）年甲种蔬菜种植成本为（元）， ∴年甲种蔬菜种植成本为， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：当为时，年的总种植成本为元． 32．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润销售价进货价） (1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数； (2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件 (2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元 (3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元 【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进件和件， 由题意得：， 解得， 答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件． （2）解：设购进A种苹果件，则购进B种苹果件， 由题意得：， ， 设利润为元， 则， ， 随的增大额增大， 当时，． 故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元． （3）解：设B种苹果降价元销售，则每天多销售件，每天每件利润为元， 由题意得：， 解得，或， 为了尽快减少库存， ， ， 答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $