专题08 二次函数压轴应用题（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08二次函数压轴应用题 (5种类型40道) 类型运动轨迹与二次函数 类型2抛物线型拱的建筑 二次函数压轴应用题 类型坚多动点几何函数相关 类型4销售中的最大利润 类型5函数相关方案设计 目目 类型01 运动轨迹与二次函数 1.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目.如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行， 直至落在着陆坡BC上的点P处.地面OB为80m,腾空点A到地面OB的距离OA为70m,坡高OC为 60m,以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知这 段抛物线经过点47)，(878) 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1i11 助滑道 0 B (1)求这段抛物线表示的二次函数表达式： (2)在空中飞行过程中，直接写出运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离： (3)落点P与坡顶C之间的距离为_一m. 2.乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号.发球机成为 乒乓球爱好者的热门训练器.如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长OB为274cm,球网CD高15.25cm】 发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分. -B C 某次训练，发球机从球台边缘0点正上方28.75cm的高度A处发球（即OA的长为28.75cm),乒乓球到球 台的竖直高度记为y(单位：cm),乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm),测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 x/cm 竖直高度 28.75 33 45 49 n 33 0 y/cm 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是cm,表格中n的值为 (2)求出满足条件的函数表达式： (3)若发球机的发球高度增加l5cm,其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_落到对面 球台上（填“能”或“不能”） 3.某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习.如图 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,将篮球从4点掷出，篮球在8处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线'=+r+3 一部分. 为研究这个过程，小明以水平地面为x轴建立如图的平面直角坐标系，点A与y轴的水平距离为4，且距 离水平地面(x轴)为lm,点B与y轴的水平距离为6m,抛物线与y轴交于点C. C A。 A。 B 0 EBF大 (1) (2) (1)请直接写出：①抛物线的解析式为： ②求抛物线的顶点坐标为」 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点B为中心放置一个高为0.5m,直径为2m的圆柱形球 筐，其截面为矩形DEFG,若抛物线恒过A、C两点（落地点会发生变化）· ①求出解析式中a与b之间满足的关系式： ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中b的取值范围 4.如图，小林和小伟在玩沙包游戏.沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分， 小林和小伟分别站在点O和点A处，测得OA距离为8m.若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1m的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中 ；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中G. /m C B m 图1 图2 )轨迹S中， 测得沙包的水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)的几组数据如下： 水平距 0 2 4 6 8 离x/m 竖直高 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度ylm 请根据以上数据，解决问题： 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是 m ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C,近似满足函数关系式：y =+br+2.小伟在x轴上方1m的 高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则b的取值范围是一· 5.某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA,安装在水管顶端A处的圆形喷头向 四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同.如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x 轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.x轴上的点C,D为水柱的落水点，若落地直径 3 25 CD=8m,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高兮m, Ay(m) Ay(m) D x(m) D x(m) 图1 图2 (1)求图1中右边抛物线的解析式： 2)计划在图1中的线段0D上的点B处竖立一座雕像，雕像高BE= 8m，若想雕像不碰到水柱，请求出线 段OB的取值范围： (3)圆形水池的直径为12m,喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图 25 25 2),若右侧抛物线顶点始终在直线少=2x上，当喷出的抛物线水柱最大高度为4m时，水柱会喷到圆 形水池之外吗？请说明理由 6.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部0处，以点0为原点，水 平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可 以近似看作抛物线'=a(x-20)+ 的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD, 墙宽 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米.已知发射石块在空中飞行 的最大高度为10米 A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 7.原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球被掷出后的运动 路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系O少，实心球从出手到陆的过程中，它 的直高度y(单位：m)与水距x(单位：m)近似满足函数关系=a-)'+k(a<0) y/m 运动路线 着陆点 x/m 示意图 小明进行了两次掷实心球训练。 (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 3 6 m 竖直高度以 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是 m; ②求出函数解析式 2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系”=-0,09(x-4+3.6,记第一次训 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 练实心球的者陆点的水平距离为4，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则“ d d,(填“> ”,“=”或“<”) 8.如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地 面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x=10.用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高 度'（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离（单位：米之间的函数关系式为'=ar+hr+a≠0）， 其 图像如图②所示.已知坡地OB所在直线经过点(10,1). 10 20x 图① 图② (1)C的值为 (2)若“=20，求水柱与坡面之间的最大铅直高度： (3)若=~20时，到喷水头水平距离为16米的4处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置 水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由. 目目 类型02 抛物线型拱的建筑 9.赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥， xOy 图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系 桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系， 水面的宽度OA为60m: 拱桥最高处到水面的距离BC为9米. C 9m B A衣 图1 图2 (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：)与到点O的水平距离x(单位：m)满足的二次函数解析 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式： (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m.龙舟最高处距离水面2.5m: 为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为2.5m.问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间 隔)是否可以同时通过桥洞？ 10.根据以下素材，探索完成任务 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米. 据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高 5m 20m 图1 图2 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼.如图3，为了安全，灯笼底部距离 水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布. 桥横 40cm 5m 安全距离 最高 20m 水位 图3 图2 问题解决： (1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽 8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行 (2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是个 11.悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结 构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把 桥面吊住某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图小明在游览该大桥 时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上 方的曲线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直 主桥Ac的长为600m,引桥CE的长为124m.缆索最低处的吊杆MN长为3m,桥面上与点M相距100m 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 处的吊杆PQ长为13.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标 系，求出索塔顶端D与锚点E的距离。 图1 M 图2 12.某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点B为棚顶外沿， MN为斜拉杆.棚顶的竖直高度y单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关 系y=x-8+人其图象如图2所示，且点B(7,3.26)和点6,32在图象上. N B B A F D 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长 CD=5.5m,高DE=2.8m的矩形.通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计 算说明理由： (3)小俊提出，若要使(2)中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点F与顶棚的竖直距离至 少为0.5m,现需要将顶棚整体沿支柱AO(支柱可加长)向上至少提升hm,求h的值. 13.综合与实践 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题情境 如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息.为响应国家乡村振 兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴.当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃 窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风. 方案设计 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形ABCD和 抛物线组成的封闭图形.已知AB=4米，BC=2米，窑洞口的最高点P到地面CD的距离为4米，其中点 H,G在AB上，点E,F在抛物线上 P 图1 图2 图3 方案实施 在图2中，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为'轴建立平面直角坐标系.请按照以上方法解 决问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式. (2)当FG=2EF时，求EF和FG的长. (3)如图3，在矩形EFGH两侧分别作两个正方形HK和正方形LMNG,其中，点J,M在抛物线上，点 K,L在AB上，点I,N分别在EH和FG上.若将抛物线和AB构成的封闭区域内的线段定制为木质框架 (不含抛物线和AB,不考虑木质框架宽度)，当矩形EFGH所需的木质框架总长度最长时，请直接写出 封闭区域内木质框架的总长度： 14.悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要 承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊 住，某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被 这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲 线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直，主 桥AC的长为600m,索塔顶端D与锚点E的距离DE为155m.缆索最低处的吊杆MN长为3m,桥面上与 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 100 PO 13 点M相距m处的吊杆长为.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题。 M 图1 图2 B D 图3 (1)根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标： (2)求这条抛物线的解析式： (3)求引桥CE的长 15.拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式.现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m,拱顶C离 地面高l8m,拱桥的形状是一条抛物线： 拱桥 (1)以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式： (2)当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施.现在水面距离拱顶为4m,是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶c处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m,竖直距离为6m,已知足球的运动轨迹 为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 目目 类型03 多动点几何函数相关 16.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P在线段AB上从点A向点B以lcm/s的速度移动： 同时，点Q在线段BC上从点B向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点运动时间为x(秒).其中任何 一点运动到线段端点时停止运动. 10/22 专题08 二次函数压轴应用题 （5种类型40道） 地 城 类型01 运动轨迹与二次函数 1．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡上的点处．地面为，腾空点到地面的距离为，坡高为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点，．    (1)求这段抛物线表示的二次函数表达式； (2)在空中飞行过程中，直接写出运动员到坡面竖直方向上的最大距离； (3)落点与坡顶之间的距离为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴交直线于点N，设，列出关于a的二次函数关系式，求出最大值即可； （3）设抛物线与直线交于点P，过点P作轴于点D，将抛物线与直线的解析式联立，求出点P的坐标，再用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：， ， 设这段抛物线表示的二次函数表达式为， 将，，代入，得： ， 解得， 这段抛物线表示的二次函数表达式为； （2）解：如图，设M表示运动员的位置，作轴交直线于点N，则为运动员到坡面竖直方向的距离．    ，， ， ， 设直线的函数解析式为，将， 代入，得： ， 解得， 直线的函数解析式为， 设，则， ， 当时，取最大值，最大值为30.25， 运动员到坡面竖直方向上的最大距离为； （3）解：如图，设抛物线与直线交于点P，过点P作轴于点D，    将与联立，得： ， 解得，（舍去）， 当时，， ， ，， ， ， 落点与坡顶之间的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、勾股定理等知识点，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型． 2．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； （2）解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 3．某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）①运用待定系数法求函数解析式即可； ②把解析式配方为顶点式，得到顶点坐标即可； （）①把点的坐标代入解析式得到和的关系式即可； ②分别求出点、的坐标，代入解析式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①由抛物线，过点，， 得， ∴ ∴； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①∵点的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴，整理得：； ②∵，圆筐的截面为矩形， ∴，， 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 综上可得：， 4．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是_______； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包，则b的取值范围是_______． 【答案】(1)①3；②； (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①g根据表中数据即可得到结论； ②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到点B的坐标范围是～，把代入函数解析式得到，解方程得到，把代入函数解析式得到，解方程得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为的， 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 设抛物线的解析式为； （2）解：小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包， 此时，点B的坐标范围是～， 当经过时，， 解得：， 当经过时，， 解得：， ， 的取值范围是． 故答案为：． 5．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 6．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； （2）∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 7．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可； ②用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． 【详解】（1）解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ②由①可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； （2）解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 8．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为__________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)米 (3)不能 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用 （1）把点代入即可； （2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可； （3）根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 故答案为：1； （2）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为， 即， 坡地经过点， 的解析式为， 如解图， 设抛物线上一点，过点作轴交于点， 则，的长为， ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值为， 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）解：不能； 理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ， 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 9．赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为；地 城 类型02 抛物线型拱的建筑 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】(1) (2)5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 10．根据以下素材，探索完成任务． 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： (1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行． (2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)8 【详解】（1）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 则点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∵ ∴该货船能顺利通行； （2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最多8个灯笼， 故答案为：8． 11．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离. 【答案】索塔顶端D与锚点E的距离为155米. 【分析】先建立适当的平面直角坐标系,AC所在直线为x轴，MN所在直线为y轴， 再由已知条件和抛物线的对称性确定出点坐标：. 设抛物线的表达式为.     将Q的坐标带入.，解得a的值，就可得出抛物线的表达式.     当MC=时，带入抛物线的表达式，得出y值就是CD 的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理得出DE的长度. 也就是塔顶端D与锚点E的距离 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系. ． 依题意可知, . 由抛物线的对称性可知，.则可得点坐标：. 设抛物线的表达式为.     因为抛物线经过点Q， 所以将点Q的坐标带入得. 解得. 得抛物线的表达式为.     当时，得.     因为, 所以. 所以. 答：索塔顶端D与锚点E的距离为155米. 12．某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)米 【详解】（1）解：把点和点代入得， ， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：不能，理由： 由题意得，点F的横坐标为， 当时，， 故校车不能完全停到车棚内； （3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为， 当时，， 则， 故米， 13．综合与实践 问题情境 如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风． 方案设计 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上． 方案实施 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)当时，求和的长． (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】(1)图见解析，抛物线的函数表达式为； (2)，； (3)封闭区域内木质框架的总长度为米． 【详解】（1）解：坐标系如图所示， 由题意得，抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得四边形为矩形，设， ∵， ∴， ∴，， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴，； （3）解：如图，设，， ∵四边形为矩形，且点和在抛物线上， ∴，， ∴矩形所需的木质框架总长度 ， ∴当，∴矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5， 此时，， 设正方形和正方形的边长为，则，， 将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴封闭区域内木质框架的总长度米， 即，封闭区域内木质框架的总长度为米． 14．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即，两个索塔均与桥面垂直，主桥的长为m，索塔顶端与锚点的距离DE为m．缆索最低处的吊杆长为m，桥面上与点M相距m处的吊杆长为m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题．    (1)根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标：______，______ (2)求这条抛物线的解析式； (3)求引桥的长． 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．    依题意可知m，13m，m，m 故可得 （2）解：∵主桥的长为m ∴由抛物线的对称性可知(m)， ∴可得 设抛物线对应的函数表达式为 ∵抛物线经过点， ∴将点的坐标代入得 ， 解得 ∴ 故这条抛物线的解析式为： （3）解：∵抛物线对应的函数表达式为 当时， ,即m ∵ ∴， 在中， ∴(m) 答∶引桥的长为m． 15．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线； (1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施； (3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【答案】(1) (2)所以需要采取紧急措施 (3)球会落在桥上 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到此时水面宽度为，与比较即可求解； （3）设足球轨迹抛物线表达式为：，再将代入，求得足球轨迹抛物线表达式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； （2）解：将代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为， 又， 所以需要采取紧急措施； （3）解：若人朝轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：， 代入得：， 解得：， ， 令，得， 所以球会落在桥上． 16．如图，在矩形中，，，点P在线段上从点A向点B以的速度移动；同时，点Q在线段上从点B向点C以的速度移动，设P、Q两点运动时间为x（秒）．其中任何一点运动到线段端点时停止运动．地 城 类型03 多动点几何函数相关 (1)请用x表示出下列线段的长： ______cm；_______cm；________cm； (2)求的面积S关于时间x的函数解析式及x的取值范围． (3)当x为何值时，的面积为8cm2？ 【答案】(1)x，， (2) (3)当或时，的面积为 【分析】（1）根据运动与速度表示出长度，列出代数式即可． （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）把代入（2）中函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为x（秒）， 则，， 又， ∴， 故答案为：x，，； （2）解：由题意得， 即； （3）解：解：当时，， ∴， ∴， ∴，， 答：当或时，的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确找出的面积S与时间x的关系是解题的关键. 17．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当__________时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）当时，，由此构建方程即可解决问题． （2）证明，由此构建方程即可解决问题． （3）证明，得，得出，根据得二次函数关系式，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴时，是直角三角形． 故答案为：2； （2）解：是等边三角形，四边形为平行四边形 若点F在的平分线上，则平分 ， ， ， 由已知可得， 在中得出， ， ，， ， 解得， （3）解：过点P作平行于，交于点G，如图示， 是等边三角形， ∴， 是等边三角形 ， ， ， ∵， ∴, 又, ∴， ´ ∴， ∴抛物线开口向下， ∵ ∴当时，最大值． 18．已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)设四边形的面积为，求与的关系式． 【答案】(1)当的值为1秒或2秒时，是直角三角形 (2)当的值为秒时，是等腰三角形． (3) 【分析】（1）分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． （2）根据构建方程即可解决问题． （3）先用的面积的面积表示出四边形的面积，即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 中，，， ， 中，，若是直角三角形，则或， 当时，， 即， 解得：（秒）， 当时，， 即， 解得：（秒）， 答：当的值为1秒或2秒时，是直角三角形； （2）解：，是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 则秒时，是等腰三角形． （3）解：如图，过P作于，过A作于， 在中，， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式，图形面积的求法、勾股定理等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 19．如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（）． (1)求的长度．（用含的代数式表示） (2)连接、，当为直角三角形时，求的值． (3)设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示． (4)当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)或． 【分析】（1）在上和在上两种情况讨论求解即可； （2）由当为直角三角形时，只有，此时，重合，求解即可； （3）分在上，且点在点的左侧，即时，在上，且点在点的右侧，即时，以及当在上，即时，三种情况讨论求解即可； （4）分在上，且点在点的左侧，即时，和当在上，且点在点的右侧，即时，两种情况列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当在上，即时，（）， 当在上，即时，（）， ∴的长度为； （2）解：如图，由题意可得，， 又∵， ∴当为直角三角形时，，此时，重合， ∴当为直角三角形时，； （3）解：如图，当在上，且点在点的左侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，且点在点的右侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，即时， ∵，，， ∴， ∴（）， 综上可得， （4）解：以、、、为顶点的四边形为梯形时，在上， 当在上，且点在点的左侧，即时，由（）得 ， 解得， 当在上，且点在点的右侧，即时，由（）得 ， 解得， 综上的值为或． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，直角三角形，绝对值，熟练掌握面积公式是解题的关键． 20．如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），如果分别从同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ，． ． （2）解：， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在自变量x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 21．如图1，在正方形中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：），四边形的面积为y（单位：），y与x之间的函数图象如图2所示． (1)正方形的边长为 ，点P的运动速度为 ； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若P在上运动时，点P，Q的位置记为，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为，且点P从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了二次函数动点问题，正确求得函数的解析式是关键，还应注意分类讨论思想在解题中的运用． （1）根据题意结合函数图象进行解答即可； （2分为当点在上运动时及当点在上运动时两种情况进行讨论，，分别求得函数关系式； （3）设点位于时，运动时间为，则点位于时，运动时间为，六边形的面积为，求出二次函数关系式并求出其最值即可； 【详解】（1）由题意得：当点在起点时，四边形的面积最大，为8， 则有，得． 当点分别运动到点时，四边形的面积最小，为0， 则点的运动速度为． 故答案为：； （2）①当点在上运动时， 正方形的边长为， ， ②当点在上运动时， ， 与之间的函数关系式为 （3）设点位于时，运动时间为，则点位于时，运动时间为，六边形的面积为， 可得， 所以，当时，的最大值为12，即六边形面积的最大值为12． 22．如图，在中，，点D为边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒. (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当线段被边平分时，求t的值； (3)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出时t的值. 【答案】(1)当时，，当时，； (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况进行求解即可； （2）设与相交于点F，求出，由平行四边形的性质得到，又有，则，解方程即可得到答案； （3）过点Q作于点H，分和两种情况求解，再分两种情况代入进一步求解即可. 此题考查了列函数关系式、等腰直角三角形的性质、二次根式运算等知识，数形结合和分类讨论是是解题的关键. 【详解】（1）解：∵点D为边的中点， ∴， 当时，， 当时，； （2）如图1， 设与相交于点F， 在中， ， ∴， ∵以为邻边作， ∴， 又∵， ∴， 解得； （3）如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， 当时，， ∴， 当时，； ∴， ∴， 当时，若，解得（不合题意，舍去）， 当时，若，方程无解， ∴ 23．如图1，梯形中，，，．动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止运动，点沿运动到点时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设出发s时，的面积为．已知与的函数图象如图2所示，其中曲线为抛物线的一部分，为线段． 请根据图中的信息，解答下列问题： (1)________cm；________cm； (2)求的值并用文字说明点所表示的实际意义； (3)求出当自变量为何值时，函数的值等于2.5． 【答案】(1)2，5 (2)点所表示的实际意义：当点运动7s时到达点，此时点沿已运动到点并停止运动，这时的面积为 (3)或 【详解】（1）解：由图可知： 在之间，在线段上运动，在这个区间运动了2秒，所以， 段为抛物线，此时点分别在运动， 当重合，重合时，s， ， 故答案为：2，5； （2）解：如图所示，过作，为垂足， 由已知，， ， 当点分别运动到时的面积为：， 即的值为10， 点所表示的实际意义：当点运动时到达点，此时点沿已运动到点并停止运动，这时的面积为； （3）解：当点在上运动时，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得， ， 当点在上运动时，设直线的解析式为， 把，代入，得，，解得，， 所以， 把分别代入和得，和， 解得：或． 24．如图，四边形为直角梯形， ， ，．点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连接交于，连接．    (1) 求的面积与运动时间的函数关系式， 并写出自变量的取值范围， 当为何值时，的值最大？ (2)是否存在点，使得为直角三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3) 当为以为底的等腰三角形时，求值． (4) 是否存在这样的值，使直线将的周长和面积同时平分?若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】（1），当时，有；（2）或；（3）；（4）存在，当时，直线将的周长和面积同时平分. 【详解】解：（1）过点B作BD⊥x轴于D    易知：四边形COPN、四边形NPDB和四边形CODB均为矩形 ∴BN=PD=t，OD=BC=3 ∴AD=OA－OD=1 点M从点O到点A所需时间为：OA÷2=2s，点N从点B到点C所需时间为：BC÷1=3s， ∴ 化为顶点式，得，其中-1＜0 ∴当时，有 （2）①当时， ∴△AQM为等腰直角三角形 ∵QP⊥AM ∴QP为△AQM的中线 解得： ②时，此时M与P重合 ∴ 解得 综上，或 （3）∵为以为底的等腰三角形 在Rt△AQP中 ∵ ∴ 解得： （4）面积平分时，即S△APQ=S△AOC 即 解得：或（不符合实际，故舍去） 周长平分时：． 即 解得 综上所述：当时，直线将的周长和面积同时平分． 25．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系．地 城 类型04 销售中的最大利润 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ (3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)18元； (3)售价为28元时，每天获利最大为2210元． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把代入得： ， 解得：， y与x的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得： 解得：或， 要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为18元； （3）解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，W随x的增大而增大， 时，W最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 26．涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)结合图象求y与x之间的函数关系； (2)求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？ (3)去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客户购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润总销售额总成本广告费） 【答案】(1) (2)，定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元 (3)当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元 【分析】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值等知识． （1）根据函数图象可得经过点，，利用待定系数法求解析式即可． （2）表示出w与x之间的函数关系式，然后利用配方法可确定答案； （3）先求出潜在客户的购买量，根据②、③的要求可得出a的值，结合二次函数的性质确定最大利润． 【详解】（1）解：设，将点，代入得：， 解得：， 故； （2）解：， 当时，， 答：定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元； （3）解：当时，，则潜在客户购买量为万盒， ， 由题意：， 整理得：， 解得或， 又， ， 在中，当时，w随a的增大而增大， 故当时，． 答：当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元． 27．某种蔬菜的销售单价与销售月份x之间的关系如图①所示，成本与销售月份x之间的关系如图②所示（图①的图象是线段，图②的图象是抛物线），已知6月份这种蔬菜的成本最低． (1)直接写出与x以及与x之间的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（收益=售价一成本） (3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克． 【答案】(1)与x的函数解析式为，与x之间的函数解析式为 (2)5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大 (3)4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数表达式； （2）根据（1）中求出的、关于的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）求出当时，的值，设4月份的销售量为万千克，则5月份的销售量为万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设与x的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与x的函数表达式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴设与x之间的函数解析式为， 又当时，， ∴，解得：， ∴与x之间的函数解析式为； （2）∵； ． ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大； （3）当时，， 设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为万千克， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式． 28．广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)每千克售价定为元时，利润可达到元； (3)当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可； （2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去； （3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润． 【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，， 设与的函数关系式为， 将代入， 得到：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大， 根据题意可得：， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 售价不低于成本价且不超过每千克元， 每千克售价定为元时，利润可达到元； （3）解：设利润为， ， 函数开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值， 此时， 当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润． 29．某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元 (2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台 【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解； （）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元， 再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元； （2）解：∵销售量台， ∴型电脑购进台 ， ∴型电脑购进台， ∴型电脑的利润为万元， 由图象可知，当时，与的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， 设总利润为万 元， 当时，总利润， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，(万元)； 当时，总利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，(万元)； ∵， ∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大． 30．某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． (1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【答案】(1)； (2)该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利 (3)该企业至少要筹集到80万元资金 【分析】本题考查了正比例函数、二次函数的应用； （1）由待定系数法即可求解； （2）当时，解方程，即可求解； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，进而求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设甲产品的利润为：， ∵在函数图象上， ∴，解得：， ∴甲产品的利润与投资之间的关系式为； 设乙产品的利润与投资金额的函数关系为： 将代入得， 解得： ∴， （2）当时，， 解得：． ∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过万元资金才能使企业获利； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元， ∴ 函数y的对称轴为直线， 当时，， ∴， 解得：， 答：该企业至少要筹集到80万元资金． 31．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1) (2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元 (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键． （1）设，将代入，求解即可； （2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最大值； （3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值． 【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当时， w最大，最大值为729． ∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元； （3）解：由题意得： ， 把代入， 得， 解得． 答：a的值是4． 32．某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到销售、两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式． （1）由商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量吨成正比可设，，将表格中数据代入计算求得、即可得出，，利用总利润销售额基础成本价精包装总费用即可得；根据“商品总利润销售收入基础成本费用月固定环保费固定加工总费用”得，利用表格得出关于、的方程组，解之可得； （2）由当时和当时分别求解可得． 【详解】（1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 33．某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中A城生产x件，A城生产产品的总成本y（元）与产品数量x（件）之间满足函数关系式，B城生产产品的成本为每件60元．地 城 类型05 函数相关方案设计 (1)若A城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本． (2)设A，B两城生产这批产品总成本共w元，求w关于x的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案； (3)在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往C，D两地，从A城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从B城运往C，D两地的费用分别为a元/件（a为常数，）和30元/件；C地需要150件，D地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案． 【答案】(1)11700元 (2)，城生产20件，城生产180件 (3)当时，从A城运往C地件，从B城运往C地130件，运往地50件，运费最小；时，从A城运往D地件，从B城运往C地150件，运往地30件，运费最小 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）分别求出两城各自的总成本，相加即可； （2）根据总成本等于两城各自的总成本之和，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求出最值即可； （3）设从A城运往C地件，总运费为元，列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当A城生产产品的件数为30件时，则：B城生产产品的件数为件， ∵， ∴当时，， ∴A，B两城完成这种产品生产任务的总成本为元； （2）由题意，得：， ∴， ∴当，即：城生产20件，城生产件时，总成本最低； ∴城生产20件，城生产180件； （3）设从A城运往C地件，总运费为元，则从城运往地件，从B城运往C地件，运往地件，由题意，得： ， ∵且， ∴， 当，即时，随的增大而减下， ∴当时，最小为：； 此时从A城运往C地件，从B城运往C地130件，运往地50件，运费最小； 当，即时，随的增大而增大， ∴当时，最小为， 此时从A城运往D地件，从B城运往C地150件，运往地30件，运费最小． 34．“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：，任务完成后，统计发现工人小王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元． (1)直接写出P与x之间的函数关系； (2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？ (3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？ 【答案】(1) (2)，小王第8天创造的利润最大，最大利润是元 (3)元 【分析】（1）结合图象，分段计算，当时，，当时，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意有：，结合（1）的结果和，即可求解，再分别求出当时和当时， W的最大值，二者比较即可作答； （3）根据题意可知：当时，即可获得奖励，当时，令，即有，解得或者，可得当时可以获得奖励；当时，，即有：，解得：，去除第10天重复计算的奖励，问题得解． 【详解】（1）解：结合图象，分段计算， 当时，， 当时，设P与x之间的函数关系为：， ∵，， ∴，解得， 即此时， 综上：； （2）根据题意有：， ∵，， ∴， 整理得：， 当时，， 即当时，W有最大值，最大值为， 当时，， 即W随着x的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴小王第8天创造的利润最大，最大利润是元； （3）根据题意可知：当时，即可获得奖励， 当时，令，即有， 解得或者， ∵，函数开口朝下， ∴当时，有， 即此时可以获得奖励为：（元）， 当时，， 即有：， 解得：， 即此时可以获得奖励为：（元）， ∵第10天重复计算， ∴总计获得的奖励为：（元）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键． 35．某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行销售，经过市场调查发现一部分数据如下： 销售价格x（元/千克） 40 50 60 月销售量p(千克) 6000 4800 3600 其中，月销售量是关于销售价格的一次函数． (1)请直接写出p与x之间的一次函数关系 (2)该农副产品经销商应如何确定这批农副产品的销售价格，才能使得月销售利润最大？ (3)在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运往A，B两个销售网点进行销售，根据市场要求，A销售网点的销量应不低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运使往A、B两个销售网点的运费分别为a元/千克（其中），3元/千克，请直接写出最优的调运方案． 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元； (3)①时，运往地，运往地， ②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以． 【分析】（1）射出函数关系式，用待定系数法即可求解； （2）设月销售利润为元，则，再把求出抛物线对称轴，利用函数的性质求出函数的最大值； （3）设运往网点，则运往网点，根据题意求出的取值范围，再根据总运费等于运往、两地的运费之和列出函数解析式，再根据的取值求函数的最值，从而得出最优方案． 【详解】（1）解：与成一次函数关系，设函数关系式为， 可选择，和，代入， 则：， 解得：， 所求的函数关系为； （2）解：设月销售利润为元， ， 即， 当时，有最大值，（元 答：这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元； （3）解：根据（2）得月销量为：， 设运往网点，则运往网点， 由题意得：， 解得：， 总运费， ①当时，取最小值1200时最小， 此时，运往地，运往地， ②当时，取最大值1800时最小， 此时运往地，运往地， ③时，在范围内的所有方案都可以． 综上所述，最优方案：①时，运往地，运往地， ②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们关键要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 36．因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用360万元购进甲型号汽车20辆和乙型号汽车30辆；第二次用260万元购进甲型号汽车10辆和乙型号汽车35辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商分别以每辆甲型号汽车14.3万元，每辆乙型号汽车5.8万元的价格销售． ①经销商发现乙种型号新能源汽车销售较好，每月能售10台，市场调查发现售价每降低0.2万元，销售量会增加2台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ ②根据销售情况，经销商决定再次购进甲、乙两种型号的新能源汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，若两种型号汽车每辆的进价不变，甲型号汽车的售价不变，而乙型参照①中最大利润的定价销售，请你求出获利最大的购买方案，并求出此批100辆汽车销售完的最大利润是多少． 【答案】(1)甲种型号汽车每辆的进价为12万元，乙种型号汽车每辆的进价为4万元． (2)①5.4万元；②获利最大的购买方案为：购买甲种型号汽车33辆，则购买乙种型号汽车67辆，此批100辆汽车销售能获得最大利润为169.7万元． 【分析】（1）设甲种型号汽车每辆的进价为万元，乙种型号汽车每辆的进价为万元，根据“第一次用360万元购进甲型号汽车20辆和乙型号汽车30辆；第二次用260万元购进甲型号汽车10辆和乙型号汽车35辆．”列出相应的二元一次方程组，解方程组即可求出答案； （2）①根据题意可得到利润与购买乙种型号汽车数量的函数关系式，再根据二次函数的性质可得出利润的最大值； ②根据乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，可得到购买甲种型号汽车数量的取值范围，然后再根据一次函数的性质，即可得到最大利润和此时的购买方案． 【详解】（1）设甲种型号汽车每辆的进价为万元，乙种型号汽车每辆的进价为万元， 依题意，得， 解得； 答：甲种型号汽车每辆的进价为12万元，乙种型号汽车每辆的进价为4万元． （2）①设乙种型号新能源汽车定价为万元，月销售乙种型号新能源汽车的利润为万元，则： ∴当万元时，最大为19.6万元 ②设购买甲种型号汽车辆，则购买乙种型号汽车辆，获得的利润为万元，依题意得： ， 因为，所示的值随的增大而增大． 由题意得，解得，则b取33时，最大， （万元）． 答：获利最大的购买方案为：购买甲种型号汽车33辆，则购买乙种型号汽车67辆，此批100辆汽车销售能获得最大利润为169.7万元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数和二次函数的性质和不等式性质是解本题的关键． 37．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类；B类杨梅深加工后再销售，A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨， （1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式； （2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的总利润为w万元，求w关于x的函数关系式； （3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】（1）y＝；（2）w＝；（3）购买杨梅共吨，B类吨，最大毛利润为64万元 【分析】（1）分段求解：①当2≤x＜8时，设直线AB解析式为：y＝kx+b，用待定系数法求解；②当x≥8时，y＝6； （2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．根据利润等于销售总收入减去经营总成本，分段求解：①当2≤x＜8时，②当x≥8时，分别求得wA与wB并求和即可； （3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，用含m的式子表示出x，根据利润等于销售总收入减去经营总成本，分段求解：①当2≤x＜8时，②当x≥8时，分别求得wA与wB并求和，根据二次函数和一次函数的性质可求得最大利润，从而问题得解． 【详解】解：（1）①当2≤x＜8时，设直线AB解析式为：y＝kx+b， 将（3，12），（8，6）代入得： ， 解得， ∴y＝﹣x+14（2≤x＜8）； ②当x≥8时，y＝6． ∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝； （2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨． 当2≤x＜8时， wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x； wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x， ∴w＝wA+wB﹣3×20 ＝（﹣x8+13x）+（108﹣6x）﹣60 ＝﹣x2+7x+48； 当x≥8时， wA＝6x﹣x＝5x； wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x， ∴w＝wA+wB﹣3×20 ＝（5x）+（108﹣6x）﹣60 ＝﹣x+48． ∴w关于x的函数关系式为：w＝； （3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m-x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元， ∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132， 化简得：x＝3m﹣60． ①当2≤x＜8时， wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x； wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12， ∴w＝wA+wB﹣3×m ＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m ＝﹣x2+7x+3m﹣12． 将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64， ∴当x＝4时，有最大毛利润64万元， 此时m＝，m﹣x＝； ②当x≥8时，wA＝6x﹣x＝5x； wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12， ∴w＝wA+wB﹣3×m ＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m ＝﹣x+3m﹣12． 将3m＝x+60代入得：w＝48， ∴当x＞8时，有最大毛利润48万元． 综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元． 【点睛】此题考查分段函数，利用待定系数法求函数解析式，二次函数与实际问题，二次函数的最值问题，正确理解题意及函数图象是解题的关键． 38．某客商准备购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元． （1）求一件，型商品的进价分别为多少元？ （2）若该客商购进，型商品共件进行试销，若型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，设购进型商品件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． （3）若该客商购进，型商品共件进行试销，设购进型商品件，经市场调查发现：型商品的售价的一半与型商品销量的和总是等于；型商品的售价降为元件，若两种商品全部售出，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 【答案】（1）一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元；（2）商场销售这批商品的最大利润为元，此时的进货方案：商品进件，商品进件；（3）这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是商品进件，商品进货件． 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题； （2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； （3）设利润为w元．则w，根据二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元． 由题意：， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元； （2）设商场销售这批商品的利润为元，根据题意得， ， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值为（元）， 此时进货方案是：商品进件，商品进件， 答：商场销售这批商品的最大利润为元，此时的进货方案：商品进件，商品进件； （3）设A型商品的售价为y，由题意可知： ， 设总利润为元，根据题意得， ， 当时，随的增大而减小， ， 当时，有最大值为 此时进货方案为：商品进件，商品进货件， 答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是商品进件，商品进货件． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数和二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型． 39．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十三•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）． （1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？ （2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ （3）根据（1）、（2）该方案是否具有实施价值？ 【答案】（1）205万元；（2）3175万元；（3）有 【分析】（1）由获得利润与投入的函数关系式：，可得每年获得利润的最大值，从而可得答案； （2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，即可得函数y=P+Q，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值； （3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值． 【详解】解：（1）当x＝60时，P的最大值为41万元， ∴5年所获利润的最大值是：41×5＝205（万元）； （2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大， ∴x＝50时，P最大为：（万元）， 后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100﹣a， ∴ ， ∴当a＝30时，y最大为1065， ∴这三年的获利最大为1065×3＝3195（万元），              ∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2＝3175（万元）． （3）有很大的实施价值．                                  规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法． 40．某企业对一种设备进行升级改造，并在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x，现有甲、乙两种改造方案. 甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用由材料费和施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2500元，（利润=生产营销利润-改造支出费用）.设甲方案的利润为（元），经过统计，得到如下数据： 改造设备台数x（台） 20 40 利润（元） 9500 5500 乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，但改造支出费用与x之间满足函数关系式：（a为常数，），且在使用过程中一共还需支出维护费用，（利润=生产营销利润-改造支出费用-维护费用）.设乙方案的利润为（元）. （1）分别求出，与x的函数关系式； （2）若，的最大值相等，求a的值； （3）如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大. 【答案】（1）.；（2）；（3）①时，选择甲方案获得的利润较大；②当，选甲方案或乙方案获得的利润相同；③时，选择乙方案获得的利润较大. 【详解】解：（1）设材料费，施工费, 由题意，得 ∵时，；时，， ∴， 解得， ∴. ；       （2）∵，∴的最大值为10000. ∵，的最大值相等， ∴，解得，. ∵， ∴； （3）当时，；；        ①当时，解得，即时，选择甲方案获得的利润较大；        ②当时，解得，选甲方案或乙方案获得的利润相同；       ③当时，解得，即时，选择乙方案获得的利润较大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $