专题06 二次函数综合题线段周长面积最值问题（6种类型46道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题06 二次函数综合题线段周长面积最值问题 （6种类型46道） 地 城 类型01 线段相关最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B． (1)求点A的坐标． (2)当时． ①求抛物线C的解析式； ②连接，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作于点N．当的长度最大时，求点M横坐标的值． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段，且轴，点Q在点的右侧．若线段沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为． ①若抛物线C与线段有公共点，求d的取值范围； ②若抛物线C与线段没有公共点，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②点横坐标的值为 (3)①的取值范围是或；②的取值范围是或或 【详解】（1）解：对于， 令，则或3， 故点A的坐标分别为； （2）解：①对于， 令， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点M作轴于点E，交于点D， 则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时， 有最大值， 故点M横坐标的值为； （3）解：①∵长度为2的线段轴，点Q在点的右侧． ∴， 对， 当时，， 解得或， ∴线段沿着x轴方向向右平移时，过抛物线于点与， ∵平移距离为，抛物线与线段有公共点， ∴， 即， 或， 即； 综上，或； ②∵抛物线与线段没有公共点， ∴， 即； 或， 即； 或， 即． 综上或或． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： (3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设与直线平行的直线的函数解析式为， ∵， ∴当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点． 联立方程组，整理，得， 则，解得， ∴方程为，即， 解得，此时， ∴点P坐标为； （3）证明：点在直线上， ， ， 直线， 直线交抛物线于点E、F， 联立， 整理得：， ， 点M为线段的中点， ， 将代入直线，则， ， 同理可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必经过一定点，该定点坐标为． 3．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．    （1）求抛物线的解析式； （2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当m＝时，PM有最大值；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）． 【详解】解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5， 故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5）， 则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5）， ∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+， ∴当m＝时，PM有最大值； （3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，    设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5）， ∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|， ∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO＝45°， ∴∠HGQ＝∠BGE＝45°， ∴△QHG是等腰直角三角形， 当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH＝HG＝3， ∴QG＝×3＝6， ∴|﹣x2+5x|＝6， 当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3， ∴Q（2，9）或（3，8）， 当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6， ∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7）， 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为，的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①当时，， 解得，， ∴， ∵、， ∴，， ∴， 设， ∵点在第一象限内， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； ②如图，过点作于点，使得，过点作轴交于点，则，，， ∵，， ∴， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时，， ∴当线段最大时，点的坐标为，的最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，在范围内，随的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 当，，即时，在范围内，函数的最大值为，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 当，即时，在范围内，随的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 5．如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 6．如图，抛物线与x轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作于点，当线段的长最大时点坐标为多少？ (3)如图，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，直接写出以点、、、组成的四边形为平行四边形时点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为； (2)当线段的长最大时，点坐标为； (3)点的坐标为，，． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，当时，， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为， ∵于点， ∴， 设，，作轴，交于点，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴当线段的长最大时，的长取得最大值， ∵，， ∴当时，的长最大，此时，，， ∴当线段的长最大时，点坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线，即， 设，， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴ 解得， ∴， ∴点的坐标为， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴ 解得， ∴， ∴点的坐标为， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，，． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为 【详解】（1）解：把点，代入，得： 解得： 抛物线的表达式为； （2）设直线的表达式为， 把，代入，得： 解得 直线的表达式为． 点的横坐标为， ， （3）如图 点，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，则时有最大值 此时 当取最大值时，点的坐标为，的最大值为． 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点和另一个顶点均在轴上，，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是斜边上一动点不与、重合，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)若点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：，， ， ， ， 把，代入得： ， ， ； （2）解：设直线的解析式为：， 把，代入得： ， ， ∴直线的解析式为， 设，， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：设，， ， ∵，， ， 当时， ，， 当时，， ， 当时，， ， 当时， ，， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：或或或 9．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点．地 城 类型02 求线段的和差的最值（不含系数）    (1)求二次函数的解析式； (2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标； (3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)M点的坐标为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为点； （3）利用中点坐标公式结合平行四边形的性质，分三种情况，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，连接，    由对称性得， ∴，三点共线时，有最大值， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴； （3）解：∵点，，，    ∴， 当为对角线时，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为； 综上，M点的坐标为或或． 10．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为 (3)，的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 11．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点． (1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ； (2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大为8，点M的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，面积问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解； （2）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解； （3）由于线段为定值，所以当M点在抛物线的顶点上的面积最大，由A、B、M三点的坐标即可得出及高，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 把代入 得， ， 故答案为：； （2）解：连接，交对称轴于点， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，此时点即为所求 对于，令，则， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 设直线的关系式为：， 把，代入 得， 解得， 直线的关系式为， 当时，， 点坐标为； （3）解：如图， 依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，的面积最大． ∵抛物线表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴的最大面积． 12．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 13．如图，抛物线与轴相交于两点，点在点的右侧，与轴相交于点. 求点的坐标； 在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标； 点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为，或. 【分析】（1）把y=0代入函数解析式，解方程可求得A、B两点的坐标；把x=0代入函数解析式可求得C点的坐标. （2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PB+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标； （3）分两种情况： ①当存在的点N在x轴的上方时，根据对称性可得点N的坐标为（4，）； ②当存在的点N在x轴下方时，作辅助线，构建三角形全等，证明得，即N点的纵坐标为-，列方程可得N的坐标． 【详解】（1）当时， 当时，，化简，得 . 解得. 连接，交对称轴于点，连接. 点和点关于抛物线的对称轴对称， .要使的值最小，则应使的值最小， 所以与对称轴的交点使得的值最小. 设的解析式为. 将代入， 可得， 解得， 抛物线的对称轴为直线 当时，， ①当在轴上方， 此时，且.则 四边形是平行四边形. ②当在轴下方; 作，交于点. 如果四边形是平行四边形. . . 又， . 当时， ， 综上所述，点的坐标为，或. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．轴对称的性质、平行四边形的判定、三角形全等的性质和判定等知识，难度适中，第2问解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，采用分类讨论的思想和数形结合的思想解决问题． 14．如图，抛物线经过（），（），（）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2）（）．（3）符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）． 【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可； （2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可； （3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论． 试题解析：解：（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过（），（），（）三点， 解得 ∴所求抛物线的解析式为 （2）如图，连结， 则与对称轴的交点就是所求的点． 设直线的解析式为， ∵（），（）， 解得 ∴直线的解析式为 ∵抛物线的对称轴为直线 把代入中，得， ∴（）． （3）存在， ． ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）； ②当点N在x轴上方时， 如图，过点N作ND⊥x轴于点D， 在△AND与△MCO中， ∴△AND≌△MCO（ASA）， ∴ND=OC=，即N点的纵坐标为． ∴x2﹣2x﹣=， 解得x=2+或x=2﹣， ∴N2（2+，），N3（2﹣，）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）． 考点：二次函数综合题 15．如图，抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且过点． (1)求抛物线解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的一点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出，则有直线解析式为；再求出对称轴为直线；连接，由对称性可得，则，当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案； （3）分点M在x轴上方和下方两种情况，根据构造角平分线讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，且过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； 如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 在中，当时，， ∴当的值最小时， 点P的坐标为； （3）解：如图所示，当点M在x轴上方时，设交x轴于G，过点G作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 如图所示，当点M在x轴下方时，如图所示，取，连接，设直线交于L， ∴， ∴， 同理可得平分， ∴同理可得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 17．如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，地 城 类型03 求线段的和差的最值（含系数）    (1)求抛物线解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)存在， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，    ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，    ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 19．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或4或 【分析】（1）利用待定系数法，将、坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数，确定抛物线解析式； （2）先求抛物线对称轴与直线解析式，设坐标，通过作辅助线表示出的面积，利用二次函数性质求面积最大时坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，求的最小值； （3）先确定抛物线平移规律得到新抛物线，再分点在上方、下方两种情况，通过构造全等三角形、对称点等方法，结合直线与抛物线联立，求满足条件的点横坐标 ． 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是， 将点A，点C的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：点G在直线上， 设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于N， 设，则， ， ， ，其图象开口向下 当时，的面积有最大值，最大为，此时， 作交于H，交对称轴于G，交x轴于F， 直线的解析式为， ， ， ， 当M、G、F、H四点共线时，的值最小， ，的面积为， ， ， 的最小值为； （3）解：点K的横坐标为或或．理由如下： ，直线的解析式为， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，，即， 当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，满足题意， 设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点K的横坐标为4或； 如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得，， 此时，满足题意， 设，则 ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的横坐标为或， 综上所述，点K的横坐标为或或4或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数最值、几何变换（平移、对称）、全等三角形判定与性质、直线与抛物线联立等，熟练掌握二次函数性质、几何变换及方程思想是解题的关键． 20．已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在最小值，最小值为 【分析】本题主要考查二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、三角形面积最大值求解以及利用几何构造求线段和的最小值． （1）通过代入已知点坐标，求出解析式及顶点坐标； （2）作轴，交于点，设设，计算的长度，利用三角形面积公式求解．当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，通过构造含角的直角三角形，利用几何性质求解的最小值．当A、Q、N三点共线时，取得最小值，计算得到最小值为． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中， 点的坐标为， 将代入，解得：， ． 抛物线的解析式为． 对称轴为直线， 将代入，得：． 顶点的坐标为； （2）解：，， 直线的解析式为：． 点在抛物线上，且位于直线下方， 设，其中，． 如图所示，作轴，交于点， ． ． ，，， ． ． 整理可得：，其中． ， 当时，取得最大值． 将代入，得：， 此时点的坐标为； （3）解：存在最小值，理由如下： 如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，， 则，． 在中，． 随着点的运动，总有． ． 要使得取得最小值， 即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值， 此时，，， ， ，． ． ． ． 存在最小值，最小值为． 21．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的顶点为，则四边形的面积是_____；（直接写出结果） (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)补全图形见解析， 【分析】（1）根据抛物线的对称性，求出点A的坐标，再利用待定系数法进行求解即可； （2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，先求出点坐标，C点坐标，利用四边形的面积为即可求解； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设抛物线对称轴与x轴交于点E，则， 将代入，则， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积为， ； 故答案为：； （3）解：过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示， ∵抛物线解析式为， 设，则：， 设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作交AC于点D，过P作轴交x轴于点G、交于点E，点M为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点F是新抛物线上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，，得，代入，解方程组得即得； （2）证明是等腰直角三角形，设，求出直线表达式，得，当时，最大时，周长最大，此时, ，得，，过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点，证明出为等腰直角三角形，则，那么，当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为，此时，； （3）由轴对称知，，结合得， 由平移，得，过点C作，交直线于点P,过P作轴于点N，则，证明， ， ，得，可得，求出直线解析式，联立得 解得：，得；当F在右下侧时同理得，直线解析式为，联立得，解得，得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点，，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴轴, ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，直线表达式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大时，周长最大， 此时, ， ∴， ∴， 过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为， 此时 ∴； （3）解：由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位， ∴抛物线是向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， 过点C作，交直线于点P，过P作轴于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当F在直线左上侧时， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立得 解得：或（舍去）， ∴； 当F在直线右下侧时， 同理得，直线解析式为， 联立得。 解得或（舍去）， ∴； ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，三角形周长产生的二次函数的最值问题，轴对称性质，二次函数的平移性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 23．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①是直角三角形；②；③ 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 令，则， ∴ 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．地 城 类型04 周长相关最值问题 (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，是该抛物线的对称轴上的一个动点，求周长的最小值及此时点的坐标． (3)如图2，若为线段的中点，点在该抛物线上运动，则当点运动到何处时，？请求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为，此时 (3)或或或 【详解】（1）解：将，代入 解得： （2）解：∵ 抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，连接， ， ， 当、、三点共线时，的周长最小， ， ， ，， ， 周长的最小值为； 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时， ； （3）为线段的中点， ， ， ， ， ， ， 过点作轴，此时， ， 解得或， 或； 设直线与轴交于点， ， ， 在中，， ， 解得， ， 同理可得，直线的解析式为， 联立， 解得：． 或． 综上所述，或或或． 26．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 27．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； （3）解：设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，连接， 则， ∴当点M与点重合时，取得最小值，即为的长， ∵， 即取得最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 28．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，求线段的长度最大值． (3)点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，（即当线段的长度最大时），求的周长最小值． (4)在抛物线上找点P，x轴上找点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为2 (3) (4)或或 【详解】（1）解：直线过B、C两点， 当时，， ， 当时，， ， ， 把，分别代入得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）设，则， ， 当时，的值最大，最大值为2； （3）， 对称轴为， 如图，连接交抛物线的对称轴于点P，连接， ， 轴， ， 关于抛物线对称轴对称， 点P为抛物线对称轴上一动点， ， ， 点P为与抛物线对称轴交点时，最小， 此时， 的周长最小值为， ， ，， 的周长最小值为； （4）对于， 令，则，解得：，， ， 设，， 又， ①为对角线时，则互相平分， 则中点纵坐标为，的中点中坐标为， ， 解得：，（与C重合舍去）， ； ②为对角线时，则互相平分， 则中点纵坐标为，的中点中坐标为， ， 解得：，（与C重合舍去）， ； ③为对角线时，则互相平分， 则中点纵坐标为，的中点中坐标为， ， 解得：，， 或； 综上所述：或或． 29．如图，抛物线与y轴交于点，顶点为． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在x轴上有一点P，使得的周长取最小值，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【详解】（1）解：设抛物线为 ∵顶点为， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 即； （2）如下图，抛物线的对称轴上存在一点C，使的面积为3，理由如下： 由可知抛物线对称轴是直线， 过A作直线，垂足为D，则， 设点， ∴， 解得； ∴点C坐标为或； （3）如（2）图，设点关于x轴对称的点为E，则， ∵的长是定值，当的值最小时，的周长取最小值， 而，当P为直线与x轴的交点时，取最小值，即取最小值， ∴当P为直线与x轴的交点时，的周长取最小值， 设直线的解析式为：， 把和代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令代入， ∴， ∴点P的坐标为． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 31．如图，抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，求的面积． (3)要在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ， 解得， 把代入得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， ， 把，分别代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有， ， 此时的值最小， 此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，此时的周长最小． 32．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点（点在点的左侧），交轴于点．点是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，连接． （1）求直线的表达式； （2）在点运动过程中，运动时间为何值时，？ （3）在点运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在， 【详解】解：（1）∵抛物线与轴分别交于点和点，交轴于点， ∴当时，，即， 当时，，，，即，， 设直线的解析式为： 则， ∴， ∴直线的表达式：． （2）∵点沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴ ∵，， ∴，， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得：， ∵轴， 在中，， ∴△AEP也是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当时，即或时，． （3）在中，， ∴， ∴的周长：． ∴当最小时的周长最小． 当时，最小， ∵， ∴， 在中，，，，， ∴， ∴， ∴． 33．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．地 城 类型05 面积相关最值问题 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 34．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是，与y轴交于点D，且点D的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点F是的中点，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)最大值为； (3)． 【分析】（1）把点，点．代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴交于点Q，得出直线的解析式为，进而得出，，点，表示出，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得，进而根据中点坐标公式得出，然后勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：把点，点代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图所示，作轴交于点Q， 设直线的解析式为：， 代入，． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵在抛物线上， ∴，点， ∴， ∴ ∴时，的面积最大，最大值为； （3）解：由（2）可得， 则， ∴， ∵F是的中点，． ∴，即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 35．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点E坐标为时，面积最大，最大值为 (4)点N坐标为，，， 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一元二次方程，一次函数的图象和性质、轴对称图形的性质、菱形的判定及性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）根据点和点的坐标，采用待定系数法即可求得答案． （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，直线与对称轴的交点即为所求． （3）设过点与直线平行的直线的解析式为，根据题意可知，当直线的图象与抛物线的图象只有一个交点时，点到直线的距离最大，此时的面积最大，求得点的坐标，进而可求得的面积． （4）分两种情况讨论：①当点位于原点上方时，根据，，即可求得点的坐标；当点位于点下方时，先求得直线的解析式，根据，可求得点的横坐标，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线过点A，C， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为． （2）∵当时，， 解得，， ∴， 则抛物线对称轴为直线 ∵点D在直线上，点A、B关于直线对称 ∴， ∴当点B、D、C在同一直线上时，最小， 设直线解析式为，将代入，得 ∴， 解得 ∴直线 ∴ ∴ 故答案为． （3）过点E作轴于点G，交直线与点F 设，则 ∴ ∴ ， ∴当时，面积最大 ∴ ∴点E坐标为时，面积最大，最大值为． （4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形． ∵， ， ∴， ①为菱形的边长，如图， 则， ∴，，． ②若为菱形的对角线，如图，则， 设，则 ，， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，点N坐标为，，，． 36．如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)当 时， 有最大值为 ； (3)． 【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式． （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：将 ，， 代入 得： 将 代入前两个方程得： 化简得： 用 减去 得： 将 代入 得： ∴抛物线解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 设 ，过 作 轴交 于 则 ∴ ∵ ∴当 时， 有最大值为 ； （3）解：抛物线 ，顶点 点 关于直线 的对称点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求抛物线解析式、求三角形面积最大值以及利用对称求最短路径，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的解析式求解以及对称点的性质是解题的关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，，，根据等腰三角形的定义可得，即，则，解方程即可得到答案； （3）求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，则由平行四边形的性质可得，故当最大时，最大值，据此求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则，由轴对称的性质可得，证明四边形是平行四边形，得到，则，故当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是以底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴点M的坐标为或； （3）解；设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，最大值， ∴的最大值为； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 38．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②面积的最大值是8，此时点的坐标是 【详解】（1）解：令抛物线，即， 解得， ∴； （2）解：①∵， 当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是． 39．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)的坐标为：或或或 【详解】（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， 故答案为：． （3）过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴点． （4）存在，理由如下： ∵点，对称轴， ∴点， ∴， 设点， 设直线与轴交于点， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点； 延长交直线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形； 当， ∴， 解得：， ∴点或； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 40．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 41．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．地 城 类型06 最短路径问题 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)、，最短路径长6.5 (3)存在， 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴ 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则， 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，， 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5； （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3， 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点， 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点． 42．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于． （1）求函数表达式； （2）点是线段中点，点是上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，过点作轴垂线，垂足为，点为线段上一动点，将绕点顺时针方向旋转90°，点，，的对应点分别是，，，点从点出发，先沿适当的路径运动到点处，再沿运动到点处，最后沿适当的路径运动到点处停止．求面积的最大值及点经过的最短路径的长； 【答案】（1）；（2）最大面积为；点Q运动最短路径为 【详解】因为抛物线与轴交于，两点， 可设函数解析式为：， 根据题意得： 解得： ∴解析式为：； （2）∵点是线段中点 ∴ ∴当面积最大时，的面积最大； 过作轴的垂线，交于点， 易得直线的直线方程为： 设， ∴ 当时，有最大面积，最大面积为 ∴，， 作点关于的对称点， 连接交于一点，该点即为点运动路径最短时的点， 因为， ，所以 根据旋转的性质，，所以 因为与关于对称，所以 ∴在中， ∴点运动最短路径为.    43．抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC． （1）如图1，求直线BC的表达式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长； （3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，） 【详解】解：（1）令，得，∴，． ∴ A（，0），B（，0）． 令，得． ∴C(0,3)． 设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得． 解得，． 所以直线BC的函数表达式为． （2）过P作PD⊥轴交直线BC于M． ∵ 直线BC表达式为  ，   设点M的坐标为 ，则点P 的坐标为． 则． ∴． ∴此时，点P坐标为（，）． 根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上．如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于点G,交轴于点H．根据轴对称性可得，． 此时PG+GH+HF的最小值=． ∵ 点P坐标为（，），∴ 点的坐标为（，）． ∵ 点F是线段BC的中点， ∴  点F的坐标为（，）． ∴ 点的坐标为（，）． ∵ 点，P两点的横坐相同，∴⊥轴． ∵ ，P两点关于轴对称，∴⊥轴． ∴ ． ∴． 即点Q按照要求经过的最短路径长为． （3）如图2，在抛物线中， 令， ， 或， 由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，， 设点， 过点作轴交于， 直线的解析式为， ， 的面积等于的面积， ， 由（2）知，， ， ， 或或或（舍， ，或，或，． 综上所述，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C． (1)求直线AC解析式； (2)过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点(点F在AD上方)，作EF平行于y轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积； (3)若动点P先从(2)中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长. 【答案】(1)y＝﹣x+5；(2)点F(，)；四边形AFDE的面积的最大值为；(3)点N(0，)，点P的运动路径最短距离＝2+. 【详解】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C. ∴当x＝0时，y＝5，则点A(0，5) 当y＝0时，0＝﹣x2+4x+5， ∴x1＝5，x2＝﹣1， ∴点B(﹣1，0)，点 C(5，0) 设直线AC解析式为：y＝kx+b， ∴ 解得： ∴直线AC解析式为：y＝﹣x+5， (2)∵过点A作AD平行于x轴， ∴点D纵坐标为5， ∴5＝﹣x2+4x+5， ∴x1＝0，x2＝4， ∴点D(4，5)， ∴AD＝4 设点F(x，﹣x2+4x+5)，则点E坐标为(x，﹣x+5) ∴EF＝﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)＝﹣x2+5x， ∵四边形AFDE的面积＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2(x﹣)2+ ∴当x＝时，四边形AFDE的面积的最大值为， ∴点F(，)； (3)∵抛物线y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9， ∴对称轴为x＝2， ∴MN＝2， 如图，将点C向右平移2个单位到点H(7，0)，过点F作对称轴x＝2的对称点G(，)，连接GH，交直线x＝2于点M， ∵MN∥CH，MN＝CH＝2， ∴四边形MNCH是平行四边形， ∴NC＝MH， ∵动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH， ∴当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小， ∴动点P的运动路径最短距离＝2+＝2+， 设直线GH解析式为：y＝mx+n， ∴， 解得， ∴直线GH解析式为：y＝﹣x+， 当x＝2时，y＝， ∴点N(0，). 45．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； （3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）N（0，），；（3）E′（，5），（，），或（，），（，）． 【详解】试题分析：（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形； （2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可； （3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可． 试题解析：解：（1）△ABC为直角三角形，当y=0时，即，∴，，∴A（，0），B（，0），∴OA=，OB=，当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，根据勾股定理得，=12，=36，∴=48，∵==48，∴=，∴△ABC是直角三角形； （2）如图，∵B（，0），C（0，3），∴直线BC解析式为，过点P作∥y轴，设P（a，），∴G（a，），∴PG=，设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC，S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=，∵0＜a＜，∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，），将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，∴P（，），∴P′（，），∵点A（，0），∴直线AP′的解析式为，当x=0时，y=，∴N（0，），过点P′作P′H⊥x轴于点H，∴AH=，P′H=，AP′=，∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN==； （3）在Rt△AOC中，∵tan∠OAC==，∴∠OAC=60°，∵OA=OA1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=60°，∴∠BOC1=30°，∵OC1=OC=3，∴C1（，），∵点A（﹣，0），E（，4），∴AE=，∴A′E′=AE=，∵直线AE的解析式为，设点E′（a，），∴A′（，） ∴==， ==. ①若C1A′=C1E′，则=，即：=，∴a=，∴E′（，5）； ②若A′C1=A′E′，∴=，即：=28，∴=，=，∴E′（，），或（，）； ③若E′A′=E′C1，∴=，即：=28，∴=，=（舍），∴E′（，）． 即，符合条件的点E′（，5），（，），或（，），（，）． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D． （1）求平行线AD、BC之间的距离； （2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长； （3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值． 【答案】（1）AD与BC之间的距离为；（2）点Q经过的最短路径的长为+；（3）. 【详解】试题分析：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，先求得点A、B、C的坐标，即可得OA、OB、OC的长，根据勾股定理求得BC的长，利用S△ABC=•AB•CO=•BC•AH，即可求得AH的长，从而求得平行线AD、BC之间的距离；（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），由S△PBC=S△POB+S△PCO﹣S△BOC可得S△PBC与m之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得点P的坐标，作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN的值最小．求得PM+MN+BN的值即可；（3）如图3中，作DG⊥A′C′于G，AH⊥BC于H，A′K⊥BC于K．分两种情况求DK2的值即可. 试题解析： （1）如图1中，作AH⊥BC于H． 对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3， ∴A（﹣，0），B（3，0）， 令x=0，得到y=3， ∴C（0，3）， ∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3， ∵S△ABC=•AB•CO=•BC•AH， ∴AH==， ∵AD∥BC， ∴AD与BC之间的距离为． （2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3）， S△PBC=S△POB+S△PCO﹣S△BOC =×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3 =﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，）， 作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN的值最小． ∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，AD∥BC， ∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1， ∵BB′⊥BC， ∴直线BB′的解析式为y=x﹣6， 由，解得， ∴K（，﹣）， ∴直线PK的解析式为y=﹣x+， 由，解得， ∴M（，）， ∴点Q经过的最短路径的长=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK， ∵MN=，PK==， ∴点Q经过的最短路径的长为+． （3）如图3中，作DG⊥A′C′于G，AH⊥BC于H，A′K⊥BC于K． ∵A′B=A′C′，AC=A′C′，AA′∥BC， ∴四边形AA′BC是等腰梯形，易知△ACH≌△A′BK， ∴CH=BK=KC′， 由（1）可知，CH===， ∴BC′=， ∴CC′=，易知C′（，），A′（，﹣）， ∴直线A′C′的解析式为y=x﹣， ∵DG⊥A′C′， ∴直线DG的解析式为y=﹣x﹣1， 由，解得， ∴G（，﹣）， ∴DG=， 如图4中，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转一周的过程中，△DKI是以KI为底边的等腰三角形用图中四种情形，根据对称性可知，DK2的值有两种情形． 作DG′⊥KL于G′，则DG′=DG=，作CQ平分∠OCB， ∵OC：CB=OQ：QB，BC===3， ∴OQ：QB=3：3=1：， ∴OQ=×3=， 在Rt△COQ中，CQ==， ∵DK=DL，DG′⊥KL， ∴∠G′DK=G′DL， ∵BC∥AD， ∴∠G′DK=∠OCQ，∵∠COQ=∠DG′K=90°， ∴△DG′K∽△COQ， ∴=， ∴DK2===， 同法当△DK′L′是等腰三角形时，作DG″⊥K′L′，易证△DK′G″∽△QCO， ∴=， ∴DK′2===． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数综合题线段周长面积最值问题 (6种类型46道) 类型线段相关最值问题 类型2求线段的和差的最值（不含系数） 类型求线段的和差的最值（含系数） 二次函数综合题线段周长面 积最值问题 类型4周长相关最值问题 类型5面积相关最值问题 类型6最短路径问题 目目 类型01 线段相关最值问题 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax2-2ax-3a与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点 B B p见 (1)求点A的坐标. (2)当0B=0A时. ①求抛物线C的解析式； ②连接BA,M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作MN⊥BA于点N.当MN的长度最大时， 求点M横坐标的值. 1/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段P2,且PQ∥x轴，点Q在点P(-4,-1)的 右侧.若线段PQ沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为d(d>0). ①若抛物线C与线段PQ有公共点，求d的取值范围： ②若抛物线C与线段PQ没有公共点，直接写出d的取值范围. 2.己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，y轴交于点C(0,-3). O A B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为直线BC下方抛物线上一点，PQ⊥BC于点Q,当PQ长度最大时，求点P的坐标： 3)如图2，过点D(1,a分别作直线EF:y=kx+b,(k,≠0)交抛物线于点E、F,直线GH:y=kx+b, (k2≠0，且k2≠k)交抛物线于点G、H,点M、N分别为线段EF、GH的中点，k,k2=2a,求证：直线 MN必经过一定点，并求该定点坐标. 3.如图，直线y=-x+5与x轴交于点B,与y轴交于点D,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+5交于B, D两点，点C是抛物线的顶点， D P A 备用图 (1)求抛物线的解析式； 2/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m,过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P, 当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值： (3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为3√2，若存在求出点Q的坐标； 若不存在请说明理由， 4.如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1,0)、B,与y轴 相交于点C(0,3). 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)点P是抛物线上一点，且在第一象限内， 2 ①若Sa1-S6c,求点P的坐标： ②设点P关于直线BC对称点为点P,当线段PP'最大时，求点P的坐标及PP'的最大值； (3)当t-1≤x≤t+1时，y的取值范围是n≤y≤m,且m-n=6,请直接写出t的值， 5.如图，点A-1,0)、B(3,0)、C(2,m在抛物线y=x2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式， (2)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE长度最大时点P的坐标， 3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A，C,D,F为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由 6.如图①，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，与y轴交于点C. 3/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图① 图② (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D,当线段PD的长最大时P点坐标 为多少？ (3)如图②，点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，直接写出以点A、C、M、N组成的四边形为 平行四边形时点N的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-3,0),B(1,0)两点，点P是直线 AC上方的抛物线上的一个动点（不与点A,C重合），过P作x轴的垂线，垂足为E，,交直线AC于点D. B E (1)求抛物线的表达式： (2)若点P的横坐标为m,用含m的代数式表示PD: (3)过点P作PQ⊥AC于点Q,当PQ的值最大时，求点P的坐标及P?的最大值 8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角ABC的直角顶点C和另一个顶点A(-1,0)均在x轴上， AC=BC=5,抛物线y=ax2-2ax+c经过A、B两点. 备用图 4/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，当线段 PO的长度最大时，求点P的坐标； (3)若点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,是否存在点P,使以P、Q、B、C为 顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标：如果不存在，请说明理由. 目目 类型02 求线段的和差的最值（不含系数） 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A-1,0),B(2,0),交y轴于点C(0,-2): A B (1)求二次函数的解析式： (2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使PB-PC最大，求点P的坐标； (3)在平面内是否存在一个点M,使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点 的坐标；若不存在请说明理由 10.如图，直线y=-x+4与抛物线y=- 于4，B两点，点A在y轴上， A B (1)求抛物线的解析式： (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形OAPB面积最大，此时P点的坐标为一， 四边形OAPB的面积的最大值为一· (3)在(2)的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使BQ-PQ值最大，求Q点坐标及BQ-PQ的最大值. 5/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.抛物线y=(x+)2+k与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,-3) B (1)抛物线的对称轴是直线_，k的值是-； (2)若抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最 大面积及此时点M的坐标. 12.已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为-3,0)，与y轴交于点C ,点D(-2,-3在抛物线上 B (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P,若PA+PD最小，求P的坐标； (3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q,使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标， 及△BDQ的最大面积；若不存在，请明理由， 13.如图，抛物线y三-5x+2x+ 与x轴相交于么B两点，点台在点A的右侧，与y轴相交于点C: 6/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B (1求点A,B,C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若 存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由. 14.如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-2.5)三点. 0 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标， 15.如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3),且过点(-2,5). 7/25 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线解析式： (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使PA+PC最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理 由 (3)点M是抛物线上的一点，连接BC、CM,当∠ABC=2∠BCM时，求点M的坐标. 16.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0),B两点，与y轴交于点C ,其对称轴为直线x=1. O B末 备用图 (1)求a,b的值，并根据图象写出y>0时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点A.若点A向右平移n个单位，将与抛物线上的点A重合；若点A向右平 移(n+3)个单位，将与抛物线上的点A重合，其中m>0,n>0,求m,n的值； (3)抛物线上是否存在点P,使得PB-PC最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 目目 类型03 求线段的和差的最值（含系数） 17.如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与y轴相交于点C(0,-2),与x轴分别交于点B(3,0)和点A,且 tan∠CA0=1, 8/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求抛物线解析式. (2)抛物线上是否存在一点Q,使得∠BAQ=∠ABC,若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由， )抛物线的对称轴交x轴于点D,在y轴上是否存在一个点P,使5PC+PD的值最小，若存在，请求出 最小值，若不存在，请说明理由. 18.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(-l,0) ,抛物线的对称轴是直线x=1, V B B 备用图 (1)直接写出点B的坐标： (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补 全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标. 19.如图，己知抛物线y=a2+bx-3(a≠0)与x轴交于A、B两点，过点A的直线1与抛物线交于点C,其 中A点的坐标是(1,0)，C点坐标是(4，-3). 9/25 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图1 备用图2 (1)求抛物线解析式： (2)点G是(1)中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是(1)中抛物线上的一动点且位于 直线4C上方.当△ACM面积最大时，求MG+GF+ AF的最小值 2 (3)将(1)中抛物线沿射线AC平移2√2个单位长度得到新的抛物线y,点K为新抛物线上一点，使得 ∠KAC+∠AE0=45°，请直接写出所有满足条件的点K的横坐标 20.已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3), OA D 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (2)点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； 间若点0为战段0C上的一动点，闻：AQ+5c0是香存在最小值？若存在，求这个侵小值：若不形在. 请说明理由 21.综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,己知点B的坐标是3,0)，抛 物线的对称轴是直线x=1. 10/25