专题08 分式压轴题（5种类型30道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

专题08 分式压轴题 （5种类型30道） 地 城 类型01 分式相关代数操作题 1．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】（1）结合给出的新运算T，T（2，1）=2，T（-1，2）=-8建立关于a和b的二元一次方程组，解之可得；（2）把m，n代入新运算即可；（3）若m为整数，则分别必须是分子的约数，一一列出并求解即可；（4）可利用作差法比较式子大小进行比较；（5）根据新运算列出等式，整理可求出． 【详解】由题意可知，T（2，1）=2a+2b-4=2，T（-1，2）=-2a-b-4=-8， 即， 解得，故（1）正确； a＝1，b＝2； T（x，y）=xy+2x-4， ∴T（m，n）=mn+2m-4=0（n≠-2），则；故（2）正确 ∵m、n均取整数，， ∴n+2的取值为-4，-2，-1，1，2，4； 当n+2=-4，即n=-6时，m=-1； 当n+2=-2，即n=-4时，m=-2； 当n+2=-1，即n=-3时，m=-4； 当n+2=1，即n=-1时，m=4； 当n+2=2，即n=0时，m=2； 当n+2=4，即n=2时，m=1； 故（3）不正确， ， 当时c-d＜0， ；故（4）正确； ， ，， ， ， ， 对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 故（5）正确 故选C 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，作差法比较分式大小等内容，理解题意是解题的关键． 2．当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解运算方式是解题的关键． 根据运算方式分类讨论的值，列出分式方程运算即可． 【详解】解：当时，则，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，此情况不成立； 当时，则，， ∴， 解得：， 检验：把代入可得：， 故是原方程的解； 故选：B． 3．定义一种新运算：，，例如：当时，，．下列说法正确的有（   ） ①；②当时，；③当，时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①当时，，因此该项错误，不符合题意； ②由题意得：，即， 解一元二次方程得， ∴，因此该项错误，不符合题意； ③∵， ∴， 同理可得， ∴得：，即， 得：，即， ∴，因此该项正确，符合题意， 综上，正确的有③，一共1个， 故选：B． 4．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 6．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，可设，则，由可得，可得，再根据新定义计算得到结果． 【详解】解：设，则， 则， ， 则的值为． 故选：C 7．已知，则= ．地 城 类型02 分式与完全平方式综合 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，完全平方公式，掌握算理灵活变形是解决问题的关键．将已知方程两边同除以进行变形，然后将所求代数式取倒数，将已知式子代入求解即可． 【详解】解：∵，方程两边同除以得： ， 即， ∴， 则， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 8．已知，则 ， ． 【答案】 6 【分析】本题考查完全平方公式，分式的运算，掌握算理是解决问题的关键．将两边进行平方，整理可求得的值，然后可求的值，求其平方根题目可解． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ． 故答案为：6，． 9．已知，则 的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由得到，然后等号两边同时平方得到，然后由得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：1． 10．已知，则 ， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了因式分解的应用、分式的值，解决本题的关键是将式子进行变形，利用整体代入思想解决问题． （1），我们通过对已知方程变形，构造出与所求分式相关的形式，再代入计算； （2），同样根据已知方程对所求代数式进行变形，然后整体代入求值． 【详解】解：因为， 若，代入方程可得：，等式不成立， 所以， 方程两边同时除以x，得： ， 移项可得：， ； 由得：， ， 故答案为：；． 11．已知，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，分式化简．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．已知等式两边同时除以，得到，进而得出，再平方后利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 12．已知：， ． 【答案】7 【分析】本题考查分式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，灵活变形，求出所求式子的值． 根据，可以得到，然后变形即可求得所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 13．已知，则分式的值为 ．地 城 类型03 整体代入求值 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ． ． 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 由已知可以得到，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式= 故答案为：6 15．如果，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】该题主要考查分式的化简及求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键．先将原分式进行化简，然后将已知式子变形代入求解即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 16．已知，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将化简为，根据，得出，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， 原式． 故答案为：． 17．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将条件式进行整理然后整体代入是解此题的关键． 去分母求出，变形后整体代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 18．已知时，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出，再把所求式子中小括号内的式子通分并把分子分解因式，再约分得到，据此代入值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 19．若，求的值为 ．地 城 类型04 利用分式恒等求待定参数 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 20．已知，其中A，B，C为常数，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了分式的加法、三元一次方程组的应用，熟练掌握分式的加法法则是解题关键．根据分式的加法法则可得，则可得，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 又∵都为常数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：13． 21．若恒成立，则 ． 【答案】4 【分析】根据分式的性质，将等式的右边进行分式的加法运算，再比较两个分式，即可求得的值，再计算即可． 【详解】， ， 解得． ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 22．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 23．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 24．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 25．观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）．地 城 类型05 分式相关规律性问题 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 26．观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 27．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则： （1）= ， （2）当时．求x= ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可； （2）根据新定义运算，把原式化成分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得：=； （2）由可得， 方程两边同乘以3（x+1）得：3（x+1）=1， 解得：x=， 经检验，x=是原分式方程的解． 故答案为：（1），（2）． 【点睛】本题考查了新定义运算、分式乘法、分式方程的解法；根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算和解分式方程是解题关键． 28．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 29．下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为 ，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于 ． 【答案】 或 【分析】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解，找到规律是解题关键．根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得 解得 故分式方程的解为， 由①得得， 由②得得， 由③得得， 可得第个方程为， 解得 将变形， 或 方程的解为 当时， 当时， 的值为10或9． 故答案为：，10或9． 30．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：， ， ， ， 每3个数为一周期循环， ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08分式压轴题 (5种类型30道) 类型分式相关代数操作题 类型2分式与完全平方式综合 分式压轴题 类型野整体代入求值 类型4利用分式恒等求待定参数 类型5分式相关规律性问题 目目 类型01 分式相关代数操作题 1.对x、y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=axy+bx-4(其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通 常的四则运算，例如：T(0,)=a×0×1+b×0-4=-4,若T(2,1=2,T(-1,2)=-8,则结论正确的个数为 () (1)a=1,b=2; (2)若T(m,m川=0(n≠-2)，则m=4 +2 (3》若Tm,=0叫n-2,m、n均取整数，则m=或 m=2=4 ns2或 0或 (n=-1 (4)若T(m,n)=0(n≠-2)，当n取s、t时，m对应的值为c、d,当t<s<-2时，c<d; (5)若T(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x、y都成立（这里T(x、y)和T(yx)均有意义），则k=0 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 2.当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)= a-b(a>b) 26 F13品-12清若 (a<b): b-a 4 F(m,2)-F(2,m)=1，求m的值.小明的答案是m=3,小亮的答案是m=0.下列判断正确的是（） A.只有小明的答案正确 B.只有小亮的答案正确 C.小明和小亮的答案合在一起才正确D.小明和小亮的答案都不正确 3定义一种新运第生，g,例如：当1时，刊-中-2g00.下 列说法正确的有() ①f(2)-g2)=2:②当f(m）=2时，gm=2;③当f(m)+fm2)+…fmn)=1024, g(m)+gm)+…g(mn）=1026时，（m1+m2+…+mn) =-1025 m m2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.新定义：若两个分式A与B的差为n(为正整数)，则称A是B的“圈分式”.例如：x,-1 则称分式是分式】的”1圈分式”，根据以上定义，下列选项中说法错误的是《) x-1 x-1 A. 4x+3是-3的3圈分式” x+2 x+2 B.若a的值为-3，则)2+是r+6的2圈分式” 3+2x3+2x 若。2的是0的”1圈分式”，则d3沙 a-2b 0.若a与b亚为衡藏，测则，是，的②分式 a2+b 定义运第：心2，且华玫，若/亚 1 3+1 2-3 x+31 37: 2 /s)=3 、3x3 32=3,化简：f（x）+25-2) 2+33 A.1 8.n-5 D.n+5 n-5 n2-25 n+5 n2-25 6,对于任意实数x,y,?,定义运算“体”为：x*y= 3x3y+3x2y2+xy3+45 (x+1+(y+1-60’且x*y*z=(x*)*z,则 2/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2013*2012*.*3*2的值为（) A. 607 B. 1821 c. 5463 0 16389 967 967 967 967 目目 类型02 分式与完全平方式综合 7.已知x2+3x-1=0,则 2 x4+4x2+1 1 已知x2,则十+ 9.已知a2-a-1=0,则a a4-2a2+1 的值为一 10.已知x2-5x+1=0,则 x2 x4+x2+1 =—,x3-2x2-14x+3=_ 11.已知2+3x+1=0,则r+的值是一 1 12.已知：2-3x+1=0,×+7— 1 目目 类型03 整体代入求值 13.已知1=3，则分式 x+3xy-2y x-2xy-y 的值为」 x y 14.已知}4，则20-2ab-6 a b 2a-2b+7ab 15.如果m2+3m-3=0,那么㎡+6m+9÷m+3的值为。 m m 16.已知2+x-3=0,则代数式1+3) 3 的值为 x-1x2+4x+4 17.已知上1=3，则分式5y-”-5的值为」 x V y-xv-x 18.已知m2+2m-3=0时，则代数式m+ 4m+42m2 m m+2的值为 目目 类型04 利用分式恒等求待定参数 3x-4 、A B 19.若x-x-2x2求44-8的值为 20.已知 2x2+x-11A,B,C P(x-)x++一，其中4，B,C为常数，则A+B+C= 21有+相立.则48一 3/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.若5r-7 x2-4x-5x+1x-51 A,B为常数，则2A-B的值为 23.已知A+ B2x+8 x-2x+2x2-4 ,且A、B为常数，则A+3B=一 3x-4 24. 若x--22则8= 目目 类型05 分式相关规律性问题 111111111 25.观察下列各等式： 1×212’2x323’3x434' ,根据你发现的规律计算： 3 3 3 3 1×2+2x33x4 …十 n(n+1) 一(n为正整数). 26.观察下列分式： 25101726 x’x2x’x4x …,按此规律第100个分式是 27.正数范围内定义一种运算”*，其规律是a*b=1 a6,则： (1)(x+1)*1 +2 (2)当3*(x+1)=1时.求x=· 28限察以下等式：第1个等式：呈}第2个等2式号名号第3个等式号子：第4个等 3124 式子名号一按熙以上规体，写出第如个等式 29.下列一组方程：①x+2=3,②x+6=5,③x+12=7,小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并 顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x=1,x,=2;第②个方程的解为x1=2,x2=3;第③ 个方程的解为 ,若n为正整数，且关于x的方程x+”+”=2n-2的一个解是x=7,则n的值 x+3 等于一 0,根据a=1,4上，a1-石，Q,1’所蜜含的规律可得a等于了 a a 4/4