专题07 因式分解压轴题（8种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07因式分解压轴题 (8种类型48道) 类型利用因式分解求参数 类型2因试分解相关简便运算 类型3实数范围内因式分解 类型4分组分解法 因式分解压轴题 类型5拆项法 类型6十字相乘法 类型虹利用配方法求值 类型8因式分解与图形面积 目目 类型01 利用因式分解求参数 1.如果二次三项式x2-x+12在整数范围内可因式分解为x-3)(x+m),那么m的值为() A.4 B.-4 C.7 D.-7 2.已知多项式2x2+3x-b分解因式的结果为(2x-5)(x+c,，则b,c的值分别为() A.3,-5 B.-5,4 C.20,4 D.20,-4 3.如果把二次三项式x2-Cx-3因式分解得x2-cx-3=(x-1)(x+3),那么常数c的值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 4.如果二次三项式x2+ax-2可分解为x-2)(x+b),那么a+b的值为() 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.-1 C.1 D.0 5.已知多项式x+81b可以分解为4a2+9b2)(2a+3b)(3b-2a,则x的值是() A.16a B.-16a c.42 D.-4a2 6.若x2-4x+m=(x+3)(x+n),则m+n等于(） A.21 B.-28 C.1 D.2 目目 类型02 因式分解相关简便运算 7.设A=48× 1 1 1 32-4+4-4+52-4 一十 +…+1 +1002-4 则与A最接近的正整数是() A.25 B.26 C.27 D.28 8.若算式5×17-45×1的结果为整数，则整数的值不可能是() n A.100 B.50 C.17 D.3 9.(-2)2024+(-2)2025=() A.-22024 B.-22025 C.22024 D.-2 10.计算： 2-3-4-10-的值为() 12×22×32×…×102 A.99 100 B. c. 20 11.与3952+2×395×5+52相等的是（) A.(395-5)2 B.(395+5)(395-5) C.(395+5)1 D.(395+10)2 12.运用因式分解计算：39×3.14+85×3.14-24×3.14的结果为() A.314 B.264 C.256 D.300 二、填空题 13.在实数范围内分解因式：x‘-4x2+3= 14.在实数范围内因式分解：3x2-9= 目目 类型03 实数范围内因式分解 15.在实数范围内分解因式：x2-6x+1= 2/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.在实数范围内分解因式：4x2-2y2= 17.在实数范围内分解因式：x4-4y= 18.在实数范围内分解因式：2x3-18x= 目目 类型04 分组分解法 19.阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如 x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部 分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下： x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2）-(2x-4y) =x+2y)(x-2y)-2(x-2y =(x-2y)x+2y-2. 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法. 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：a2-ab+3a-3b; (2)若多项式ax2-9y2+bx+3y利用分组分解法可分解为2x+3y)(2x-3y+1,求ab的值、 20.【阅读材料】分解因式：mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny) =xm+n+ym+n=(m+n(x+y).以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可 以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”.根据以上方法分解因式： (1)m2-n2+(m-n= (2)4x2-2x-y2-y=- (3)a2+b2-9+2ab= 21.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如： a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c). 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：1-m2-n2+2mn; (2)已知m+n=7,m-n=1,求m2-n2+2m-2n的值 22.整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到： ac+ad+bc+bd=(ac+ad)+(bc+bd)=ac+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d).这样该多项式就被分解为若干 个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法. 例：x2-y2-2y-1 =x2-（y2+2y+1 第一步 =x2-(y+12 第二步 =(x+y+1)(x-y-).第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了_ (填乘法公式的名称). (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①y2-x2+6x-9; ②a2+2ab+ac+bc+b2. 23.在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分 解，具体如下： 甲：x2-xy+4x-4y 乙：a2-b2-c2+2bc =(x2-y)+4x-4y)(分成两组) =a2-（b2+c2-2bc(分成两组) =xx-y)+4(x-y)(直接提公因式) =a2-(b-c)2(直接运用公式) =(x-y(x+4). =(a+b-c)(a-b+c). 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：4a2-b2+1+4a: (2)因式分解：a2-ac-ab+bc. 24.阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很 多的多项式只用上述方法无法分解，如m2-mn+2m-2,细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公 因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成整个式子的因式分解了，过程为 m2-mn+2m-2n=m2-mn+(2m-2n=m(m-n)+2(m-n=(m-n(m+2）.将此种因式分解的方法叫做 "分组分解法”。 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)a3-4a2+3a-12; (2)m2-n2+2m-2n. 目目 类型05 拆项法 25.请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)a2-b2+2a+6b-8; (2)x4-23x2+1. 26.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分 组分解法、拆项法等等. ①分组分解法： 例如：x2-2y+y2-4=(x2-2y+y2）-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2). ②拆项法： 例如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2=(x-1)(x+3). 仿照以上方法分解因式： (1)4x2+4x-y2+1: (2)x2-6x+8. 27.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解 因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.如： x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：x2-6x-7: (2)分解因式：a2+4ab-5b2 28.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式 的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等.分组分解法是将一个多项式适当分组后，再 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用提公因式或运用公式继续分解的方法， 如①和②： ①ax+by+bx+ay =(ax+bx+(ay+by) =x(a+b+y(a+b) =(a+b)(x+y) ②2xy+y2-1+x2 =(x2+2xy+y2)-1 =(x+y2-1 =(x+y+1)(x+y- 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：a2+a-b2-b; (2)两个不相等的实数m,n满足m2+n2=40.若m2-6m=k,n2-6n=k,求m+n和k的值. 29.对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： x2-2ar-3a2=x2-2ar+a2-a2-3a2=(x-a2-4a2=(x-a-(2a月 =(x-a+2a)(x-a-2a=(x+a(x-3a,像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法.请用以上方法分解因 式： (1)x2+2ax-15a2: (2)x4+x2+1. 30.综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行 因式分解的方法.这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项 和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式 例如，分解因式x2+4x-5,可将4x拆分成5x,-x,两项，原多项式变为x2+5x-x-5.然后恰当分组 (x2+5x)-(x+5),对每组分别提取公因式后原式变形为 再提取公因式(x+5),最终分解为 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把x2+5x+6因式分解 (3)问题拓展 若多项式ax2+bx+c通过拆项分组法分解为(r+p)(x+q)(m、n、p、q为常数). 因为(mx+p)(nx+q)=mnx2+mqx+pnx+pq=mnx2+(mq+pn)x+pq,与ax2+bx+c对应. 所以，b=mq+pn,c=P9,在拆项分组过程中，要将bx拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步 分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解 试一试，把3x2-11x+6因式分解. 目目 类型06 十字相乘法 31.阅读与思考：将式子x2-x-6分解因式.这个式子的常数项-6=2×(-3)，一次项系数-1=2+(-3)，这 个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如 图所示： 1×(-3)+1×2=-1 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”.请认真观察，分析理解后，解答下列问题， (1)分解因式：x2+7x-18; (2)填空：若x2+px-8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 32.某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分解因式.十字相乘法：先分解二次项系数，分 别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉 相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如：将式子x2+3x+2和2x2+x-3分解因式，如图， x2+3x+2=x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3) 1×1+1×1=3 -1×2+1×3=1 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)x2+5x+6; (2）2x2-7x+3. 33.探究：将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：2x2=x·2x,-2=(-2)×1 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： X 2x x·1+2x(-2)=-3x ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(x-2)(2x+1. 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2-3x+2=0: (2)2x2+x-6=0. 34.等式(x+p)x+q)=xD+(p+q)x+pq是数学学习中常见的代数模型. (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式： (2)若x、p、9都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）： (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 例如：分解因式2.x2+3x+2. 2 1×2+1×1=3 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上 角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数.（如图） 这样，我们也可以得到x+3x+2=(x+1)(x+2). 请根据上述方法，将多项式a+3a-10分解因式. 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 35.阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子x2+3x+2分解因式. 解：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=x+1)(x+2). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x2+2x-8 (2)分解因式：2x3-10x2+12x (3)若2x2+px+6可进行因式分解，求整数p所有可能的值. 36.下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式 分解中有一类形如二次三项式x2+(p+q)x+pq的分解因式的方法叫"十字相乘法”，因式 分解二次三项式的公式为x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q.例如：将二次三项式 x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10=2×5，一次项系数 7=2+5,则x2+7x+10=(x+2)x+5),如图所示. 1、 --2 1-- -.5 1X5+1×2=7 任务： (1)因式分解：x2-9x+20= (2)若二次三项式x2+ax-10可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值. 目目 类型07 利用配方法求值 37.先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若m2+2mn+2n2-6n+9=0求m和n的值. 方法介绍：看到m2+2mn,想：如果添上n2,恰好就是m2+2mn+n2=(m+n)2，这个过程叫作“配方”， 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：m2+2mn+2n2-6n+9=0, ∴.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0, m+n2+(n-32=0, ∴.m+n=0,n-3=0, ∴.m=-3,n=3 方法运用： (1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x'的值. (2)己知a、b、c是ABC的三边长且各边不相等，其中a2+b2=10a+8b-41,c是ABC中最长的边，求 C的取值范围. 38.阅读下列材料，并完成相应学习任务， 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是 将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的 例如解方程x2-4x+4=0,则(x-2=0.x=x2=2;x2-2x+y2+4y+5=0,求x、y,则有 (x2-2x+1+(y2+4y+4)=0(x-1)2+(y+2)2=0解得x=1,y=-2.x2-2x-3=0,则有 x2-2x+1-1-3=0,.(x-1)2=4.解得x=3或x=-1.根据以上材料解答下列问题： (1)若a2+4a+4=0,求a的值 (2)x2-4x+y2+6y+13=0,求(x+y)2021的值. (3)若a2-2a-8=0,求a的值. (4)若a、b、c表示ABC的三边，且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,试判断ABC的形状，并说明理由 39.在人教版八年级数学第十四章14.3.2这一节内容中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平 方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题， 这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求 最值，求a2-4a+3的最小值. 解：a2-4a+3=a2-4a+22-22+3=(a-2)2-1: :不论a取何值，(a-2)2总是非负数，即(a-2)2≥0 ∴(a-2)2-1≥-1；即当a=2时，a2-4a+3有最小值-1 根据上述材料，解答下列问题： 10/15 专题07 因式分解压轴题 （8种类型48道） 地 城 类型01 利用因式分解求参数 1．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 2．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 3．如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D ． 4．如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查多项式的乘法运算，熟记运算法则是关键． 5．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 6．若，则m+n等于（    ） A．21 B．-28 C．1 D．2 【答案】B 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴n+3=-4，m=3n， 解得：m=-21，n=-7， 则m+n=-21-7=-28， 故选：B 【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 7．设，则与最接近的正整数是(      )地 城 类型02 因式分解相关简便运算 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 8．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 9．（ ） A． B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 10．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 11．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 12．运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 二、填空题 13．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，平方差公式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再用平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 15．在实数范围内分解因式： ．地 城 类型03 实数范围内因式分解 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 16．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 17．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 19．阅读下面的材料：地 城 类型04 分组分解法 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 20．【阅读材料】分解因式： ．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．根据以上方法分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法，提取公因式法，分组分解法因式分解是解题的关键． （1）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （2）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （3）先“三、一分组”，再利用完全平方公式计算，最后根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 21．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 22．整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到：．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法． 例：      第一步           第二步 ． 第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了______（填乘法公式的名称）． (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①； ②． 【答案】(1)完全平方公式 (2)①；② 【分析】（1）该步是完全平方和公式的运用； （2）①按题干方法即可分解因式；②分组分解因式即可：． 本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种因式分解方法并灵活选用是解题的关键． 【详解】（1）是完全平方和公式的应用， 故答案为：完全平方公式； （2）①原式； ②原式． 23．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 25．请利用拆项法分解因式完成下列题目：地 城 类型05 拆项法 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式． 27．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b) 【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可； （2）仿照例题方法分解因式即可； 【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7 = x2﹣6x+9－16 =（x－3）2－42 =（x－3+4）(x－3－4) =(x+1)(x－7)； （2）a2＋4ab﹣5b2 = a2＋4ab+4b2﹣9b2 =（a+2b）2－(3b)2 =（a+2b +3b）(a+2b－3b) =(a+5b)( a－b)． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键． 28．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法． 如①和②： ① ② 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：； （2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）先分组得，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键． 29．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 30．综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解. （1）根据题干过程作答即可； （2）仿照（1）作答即可； （3）仿照题干所给示例得到，，，合理拆项计算即可 【详解】（1）解： ∴对每组分别提取公因式后原式变形为，再提取公因式，最终分解为 故答案为：， （2） （3）将多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数） 因为，与对应， 所以，，， 所以， 即或或或 因为 所以 则可分为， 即. 31．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示：地 城 类型06 十字相乘法 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】(1) (2)7，，2， 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 32．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 33．探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 34．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 35．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 36．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为a的值即可． 【详解】（1）解：一次项为，常数项为， 则； （2）解：若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， 则整数a的所有可能的值：， 即整数a的所有可能的值：． 37．先阅读下面的内容，再解决问题，地 城 类型07 利用配方法求值 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，求整式的值，构成三角形的条件；掌握完全平方公式，构成三角形的条件是解题的关键． （1）根据已知同理可求，求出、的值，代入计算，即可求解； （2）同理求出，，由构成三角形的条件得，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ，， ，， ， ， a、b、c是的三边长且各边不相等， c是中最长的边， ． 38．阅读下列材料，并完成相应学习任务． 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如解方程，则∴；，求、，则有∴解得，．，则有，∴．解得或．根据以上材料解答下列问题： （1）若，求的值． （2），求的值． （3）若，求的值． （4）若、、表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）-2；（2）-1（3）4或-2；（4）等边三角形 【分析】（1）先对方程左边按完全平方公式进行因式分解，再根据乘方的意义将方程转化为一元一次方程进行解答； （2）用完全平方公式对方程左边进行因式分解，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （3）仿样例，先化成完全平方等于一个非负数的形式，再开方求解； （4）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出a=b=c，再由此判定三角形的形状． 【详解】解：（1）∵a2+4a+4=0， ∴（a+2）2=0， ∴a+2=0， ∴a=-2； （2）∵x2-4x+y2+6y+13=0， ∴（x-2）2+（y+3）2=0， ∴x-2=0，y+3=0， ∴x=2，y=-3， ∴（x+y）2021=（2-3）2021=-1； （3）∵a2-2a-8=0， ∴a2-2a+12-12-8=0， 即（a-1）2=9， ∴a-1=±3， ∴a1=4，a2=-2； （4）△ABC是等边三角形．理由如下： ∵a2+b2+c2-ac-ab-bc=0， ∴2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0， ∴（a-c）2+（b-c）2+（a-b）2=0， ∴a-c=0，b-c=0，a-b=0， ∴a=b=c， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判定．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． 39．在人教版八年级数学第十四章14.3．2这一节内容中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即 ；即当时，有最小值 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最大值； (2)若，比较的大小（写出比较过程）； (3)若等腰三角形中两边满足，则它的周长是_______． 【答案】(1)26 (2) (3)17 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再结合等腰三角形的定义、三角形三边的关系求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最小值26； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 若为腰，为底时，，此时三角形不存在，故舍去； 若为底，为腰时，，此时三角形存在， ∴等腰三角形的周长为． 40．原题呈现：若，求、的值． 方法介绍：①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经典运用： (1)若，则__________，__________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可； （2）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2）， ， ， ∴， ∴， ∴． 41．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 42．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值， （1），仿照例题配方即可； （2），将等式的左边化成3个完全平方公式和的性质，再求出字母的值，然后代入计算． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）， 整理，得， 则， 即， ，，， ，，， ． 43．阅读材料：地 城 类型08 因式分解与图形面积 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为24 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为24． 44．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 45．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 46．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论； （2）利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论； （3）①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合（1）中结论，进行求解即可；②根据（2）中结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴关于a，b的等式为：， 故答案为：． （2）解：由题意，得： ； 故答案为：； （3）解：① . ② ． 47．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． 尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解． (2)若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． (4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ． A．4             B．0              C．有限个             D．有无数个 【答案】(1) (2) (3)0或 (4)D 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解； （2）把展开，即可求解； （3）由，进而即可求解； （4）根据“和为的两个整数有无数组”，进而即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴， ∴或， 故答案为：或 （4）∵和为的两个整数有无数组， ∴整数的值有无数个， 故选D． 48．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1 【详解】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2， 9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2， 阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc， ∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc； （3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴ab+bc+ca=0； ②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc， 1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴a3+b3+c3-3abc=1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $