专题14 代数操作题分类训练（4种类型40道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题14 代数操作题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1方程相关代数操作题】 1 【题型2函数相关代数操作题】 3 【题型3 定义新运算相关代数操作题】 6 【题型4数字类代数操作题】 9 【题型1方程相关代数操作题】 1．已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法： ①若，则方程的解为； ②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9； ③若为整系数多项式，则这样的有19个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知整式M：，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（   ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数根记为，，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B=10，则； ②，则x需要满足的条件是； ③，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5． 上面说法正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（    ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知整式，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【题型2函数相关代数操作题】 11．已知：，下列说法： ①当时，的值为−4或； ②若关于的方程恰有3个不同的实数根，则的值为3； ③无论取任何实数，关于的函数的最小值都不可能是8． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为6； ②当时，函数与直线（k为常数）至少有3个交点，则k的取值范围是． ③当时，若，则x的取值范围是； 以上说法中正确的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 13．已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为3036； ②当时，关于的方程有两个实数根； ③当时，若，则的取值范围是或； ④当时，函数与直线（为常数）至少有3个交点，则的取值范围是．以上说法中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．在数轴上，若点、分别表示数、，则表示点到原点的距离，表示、两点间的距离．以下说法正确的有（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④函数与函数有三个交点． A．个 B．个 C．个 D．个 15．已知函数，，当时，，．则以下结论正确的有（    ） ①若函数的顶点在x轴上，则； ②无论取何值，总有； ③若时，的最小值为7，则； ④当时，令，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：①；②若，则；③的解为；④函数与轴交于和．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 17．关于一次函数，，下列说法： ①函数与的图象关于y轴对称； ②若，则此关于x的方程有且仅有两个相等的实数根； ③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　） ①方程的解为或； ②关于的方程有三个解，则； ③当时，随增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．给定正整数，令表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如，，若对任意正整数n，二次函数满足当时，，则称该二次函数为“k号函数”．例如：，满足：当k＝3时，，因此，称为“3号函数”．现有如下结论：①；②当k＝1时，是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④ 20．已知三个函数，下列说法正确的个数有（   ） ①时，的值为4或； ②对于任意的实数，若，则； ③若则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型3 定义新运算相关代数操作题】 21．定义两个新运算，，且，下列说法正确的有（   ） ①若，则或； ②若，则； ③若，，当时，则； ④若，，则的最小值为2025． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 23．对于实数，定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①当时，； ②； ③若是关于的一元二次方程的两个根，则或； ④若是关于的一元二次方程的两个根，，则的值为或 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．若定义一种新运算：，例如：，．下列说法： ①； ②若，则或2； ③若，则或； ④与直线（m为常数）有1个交点，则． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 25．对于实数a，b，定义新运算，下列结论： ①； ②若，则； ③若为关于x的一元二次方程．的两根，且满足（），则； ④若函数的图象与直线有三个不同的交点，则． 其中正确的有（     ）个； A．1 B．2 C．3 D．4 26．对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若，是一元二次方程的两个根，则； ③若的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则或． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为； ③代数式取得最小值时，；④函数，函数，当时，． 以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．若定义一种新运算：，例如：，，下列说法： ①； ②若，则，； ③的解集为或； ④函数与直线（为常数）有3个交点，则． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 29．对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 30．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4数字类代数操作题】 31．若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足，，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论： ①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9 ②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为 ③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数 ④2022级浪花数中的所有数之和为0 下列说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是（　　） ①若，则m的值为6； ②若从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则； ③若从这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种； 如果从中任取两数之和大于的取法恰好有B种，则的最大值为12． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 33．对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；……依次类推，若，则下列说法 ①当时，；    ②当时，； ③点一定在抛物线上； ④当，2，3，…，n时，对应b的值分别为，，，…，，若则n的值为42：其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 35．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 36．从三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．则下列结论正确的个数是（   ） ①若，则三个数中最大的数是4； ②若，且中最小值为，则； ③给定三个数，将第一次操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果,，以此类推，第2024次操作的结果是，则的值为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 37．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 38．已知两个实数、，可按如下规则进行运算：若为奇数，则计算的结果；若为偶数，则计算的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作．对于给定的两个实数、，操作一次后得到的数记为；再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去……以下结论正确的个数为（    ） ①若，，则； ②若、为方程的两根，则； ③若、均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 39．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（    ） ①当原数取50时，原数与对应新数的差最大 ②原数与对应新数的差不可能等于零 ③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 ④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70 A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 40．已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（   ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数： ④若，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题14 代数操作题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1方程相关代数操作题】 1 【题型2函数相关代数操作题】 16 【题型3 定义新运算相关代数操作题】 30 【题型4数字类代数操作题】 47 【题型1方程相关代数操作题】 1．已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法： ①若，则方程的解为； ②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9； ③若为整系数多项式，则这样的有19个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化规律探究、整式运算、一元二次方程的根的判别式等知识．①根据题意得到，推出，即可求得方程的解为；②方程整理得，利用根的判别式列式计算可求得，，据此计算可求解；③求得，分、1、2、3、4五种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，为自然数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ②若，则， ∵， ∴， 整理得， ∵方程有两个不等实根， ∴，， ∴，， ∵，均为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为2， ∴的最大值为9，②正确； ③∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则，，，，，（舍去）， ∴， 当时，，是单项式，不符合题意； 当时，， ∵是多项式， ∴， ∴时，可取2、3、4，有3个； 时，可取3、4，有2个； 时，可取4，有1个； 故：当时，共6个； 当时，， ∴时，取1，可取2、4，有2个；取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个； 时，取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个； 时，可取3，可取4，有1个； 故：当时，共7个； 当时，， 只有，取1，取2，取3，这1种； 同理，当时，， 只有，取1，取2，取3，取4，这1种； 综上，共个，故③错误， 故选：C． 2．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，约分，根的判别式，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题．利用整式运算的相关法则，约分及根的判别式对各选项进行分析即可求解． 【详解】解：① ， 中不含项， ， 解得：， 故①说法正确； ②， 当时， 原式 ， 故②说法正确； ③， ， ， 或， ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根； ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根， 无论取何值，关于的方程始终有4个不相等的实数根， 故③说法正确， 正确的有①②③，共3个． 故选：D． 4．已知整式M：，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（   ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数根记为，，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的拓展应用，韦达定理，解一元一次不等式组．令和，可判断①；根据抽屉原理，可判断②；根据韦达定理得出，根据为正整数，通过解不等式组求出整数n，可判断③． 【详解】解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ，故①正确； ，，，，，均为自然数， ，，，，，被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 根据抽屉原理，必有2个数的余数相同，这两个数的差肯定是5的倍数，故②正确； 当时，该方程存在5个实数根记为，，，，， ， 由等式两边常数项相等，可得：， ， 存在整数n，使为正整数， ， 或 解得， n为整数， ， ， ， ，故③正确； 综上可知，正确的个数为3个， 故选A． 5．已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】将数值代入方程，判断①，设四个连续的奇数分别为，代入方程判断②，利用配方法将方程转换为：，得到当时，方程成立，判断③和④． 【详解】解：把，，，，代入方程，得：， 方程的左边等于右边；故①正确； 设四个连续的奇数为，代入方程得： 方程左边等于， 方程右边 左边不等于右边；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，方程成立， 且m，n，p，q为正整数时： 当时，，为别为：或或或或共5组方程的解； 当时，，为别为：或或或共4组方程的解； 当时，，为别为：或或共3组方程的解； 当时，，为别为：或共2组方程的解； 当时，，为别为：共1组方程的解； 综上：当时，共有组方程的解；故③正确； 由③可知：当时，方程成立， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组， 又∵， ∴这一组数不是方程的解， ∴共有503组解；故④错误； 综上：正确的是①③，共2个； 故选B． 【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 6．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B=10，则； ②，则x需要满足的条件是； ③，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5． 上面说法正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用可求出，故①错误；对分情况讨论可知②正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故③正确；由为整数，可得是整数，可求出，2，4，5，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴①当时，则，解得：，故①错误； ②当，则， 当时，，解得：； 当，，解得：； 当，，解得：（舍去）； 综上所述：，故②正确； ③若，则或， 当时，，，无解； 当时，，，无解； ∴，关于x的方程无实数根；故③正确； ④∵， 若为整数，则是整数， ∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确； ∴正确的有②③④ 故选：C 【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键． 7．已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（    ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，先解方程得到或，则不妨设，据此根据定义求出，进而求出，即可判定①；根据定义可得，解方程即可判断②；每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3，故要使得成立时，n最小，那么每次操作都要使对应的最大，，且k为正整数，故每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数，据此可判断③． 【详解】解：①解方程得，或， ∵为方程的两个根， ∴不妨设， ∴， ∵， ∴从中任选两个数，只有两种情况，即选择或， 当选择时，则， 当选择时，则， 综上所述，，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3， 要使得成立时，n最小，那么每次操作都要使对应的最大，，且k为正整数， ∴每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴若，要使得成立，则至少为5，故③正确， 故选：D． 8．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查单项式，一元二次方程的解，整式，根据题中所给规定，对每种情况进行分析，再进行判断即可．解题的关键是掌握相关知识的运算和推理． 【详解】解：， 这个单项式不满足条件， 满足条件的整式的单项式为这三种， 故①不正确； ， ， 则可得， 解得， ， ， 方程一定有实数解，故②正确； 当时，只有这一种情况， 当时，此时中有一个数是，其余三个是，则有4种情况， 满足条件的整式共有5个； 故③正确， 故选：C． 9．已知整式，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】表示出当时，当时的值，再进行加法运算即可判断①；令，则，令，则，表示出，，结合题意即可判断②；由题意结合一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系得出，即，从而得出，计算即可判断③，从而得解． 【详解】解：①当时，，即， 当时，，即， ∴由可得：， ∴，故①错误； ②令，则， 令，则， 令，则， ∴，， ∵，，，，，均是自然数， ∴，均为整数， ∴与必有一个为5的倍数， ∴，，，，，中必有两个数的差是5的倍数，所以②正确； ③由题意，得，，，，为方程的五个解， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当或时，有最大值25， ∵， ∴当时，的最大值为25， 所以③正确， 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，正确计算是解此题的关键． 10．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 【题型2函数相关代数操作题】 11．已知：，下列说法： ①当时，的值为−4或； ②若关于的方程恰有3个不同的实数根，则的值为3； ③无论取任何实数，关于的函数的最小值都不可能是8． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．解方程或，即可判断①，画出函数图象，可得恰有3个不同的实数根，则必过原点或，得出或，即可判断②，求得最小值，解方程即可判断③． 【详解】解：①， ∴或， ∴或 解得：或或；故①不正确， ②如图所示，， 若恰有3个不同的实数根，则必过原点，或 ∴或 解得：或，故②不正确 ③ 最小值为 当 解得：或，故③不正确； 故选：A． 12．已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为6； ②当时，函数与直线（k为常数）至少有3个交点，则k的取值范围是． ③当时，若，则x的取值范围是； 以上说法中正确的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，解不等式，二次函数的性质，利用上述性质对选项逐一判断即可，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，，可得， ，故①正确； ②当时，， ， 当时，解得， ， ，即中间部分图象的最高点纵坐标为9， 函数与直线（k为常数）至少有3个交点， k的取值范围是，故②正确； ③当时，， ， ， ， 当时，即时，原式， ，解得（舍去）； 当时，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式， ，解得（舍去）； 综上，，则x的取值范围是，故③错误， 故正确的是①②， 故选：B． 13．已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为3036； ②当时，关于的方程有两个实数根； ③当时，若，则的取值范围是或； ④当时，函数与直线（为常数）至少有3个交点，则的取值范围是．以上说法中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】①当时，得到，然后代入求解判断即可；②当时，得到，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可；③当时，根据题意得到，然后分情况讨论即可判断；④当时，得到函数，然后画出图象求解判断即可． 【详解】①当时， ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ②当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴有两个实数根，故②正确； ③当时， ∵ ∴ 整理得， ∴ ∴表示数轴上表示x的点到的距离加上x到1的距离大于等于7.5 当时， 解得 当时，，不符合题意； 当时， 解得 综上所述，的取值范围是或，故③错误； ④当时， ∵函数与直线（为常数）至少有3个交点， 函数的图象如图所示， ∴由图象可得， 当时，函数与直线（为常数）至少有3个交点，故④错误． 综上所述，正确的有2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的求值，一元二次方程根的判别式，绝对值不等式，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．在数轴上，若点、分别表示数、，则表示点到原点的距离，表示、两点间的距离．以下说法正确的有（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④函数与函数有三个交点． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用非负数的性质得出，，代入即可判断①；解绝对值方程求得的值即可判断②；由知，，或，，或，，，分别求解即可判断③；作出函数与函数的图像，根据函数的图像即可判断④． 【详解】解：①∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故说法①正确； ②∵， ∴或， 当时，方程无解； 当时，， 故说法②错误； ③若，则，，或，，或，，， 当，，时，则，，， ∴； 当，，时，则，，， ∴； 当，，时，则，，， ∴； 故说法③正确； ④当时，即，； 当时，即或，； 作出函数的图像如图： 由图像可知，函数与函数有三个交点，故说法④正确， ∴说法正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的性质，解绝对值方程，绝对值的代数意义，分式的化简求值，二次函数的图像及一次函数的图像．作出分段函数的图像，采用数形结合的方法确定答案是解题的关键． 15．已知函数，，当时，，．则以下结论正确的有（    ） ①若函数的顶点在x轴上，则； ②无论取何值，总有； ③若时，的最小值为7，则； ④当时，令，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、一元二次方程的判别式及分式的约分，根据函数的顶点在x轴上得出一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求出值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④，综上即可得答案．熟练掌握相关性质及运算法则是解题关键． 【详解】①∵函数的顶点在x轴上， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得，故①错误； ②∵ ＝ ＝， ∴当，时，，即， 故②错误； ③∵ ＝ ＝， ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值， ∴， 解得：，故③正确； ④当时，＝＝＝＝， ∴ ＝ ＝，故④正确． 综上所述：正确的结论有③④，共2个， 故选：B． 16．若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：①；②若，则；③的解为；④函数与轴交于和．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据新运算，判断各项即可． 【详解】解：， ，故①正确； ，， ， ，故②正确： 当时，，，即，解得， 当时，，，即，解得， 故③错误； ， 令，即，该方程无解， 该函数与轴没有交点， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键在于弄清新运算的运算法则，注意分情况讨论． 17．关于一次函数，，下列说法： ①函数与的图象关于y轴对称； ②若，则此关于x的方程有且仅有两个相等的实数根； ③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出图象，根据图象即可解答； ②将和代入中，令，根据二次函数的性质可知，所以，即，解得，即可解答； ③将和代入函数中，且函数的图象过点 ，进而求出，所以，则函数的图象必过一、三象限． 【详解】解：①一次函数，如下图所示： ， 可知函数与的图象关于y轴对称，故①正确； ②将和代入中， 得：， 整理得：， 令， ∵，， ∴是与x轴没有交点，且开口向上的抛物线， ∴， ， 整理得：， 解得：， ∴有且仅有两个相等的实数根， 故②正确； ③将和代入函数中， 得：， ∵函数的图象过点， ∴， 即， ∴， ∴函数的图象必过一、三象限； 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程，二次函数，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键． 18．对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　） ①方程的解为或； ②关于的方程有三个解，则； ③当时，随增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则，列出一元二次方程，解出即可得出符合题意的解，即可判断结论①；根据新定义运算法则，得出二次函数，然后根据函数解析式得出二次函数图象，即可判断结论②；根据新定义运算法则，结合二次函数的性质，即可判断结论③④，综合即可得出答案． 【详解】解：在方程中， 当时，即，则， 解得：或， 当时，即，则， 解得：或（都不符合题意，舍去）， ∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确； 当时，即，则，即， 当时，即，则，即， 如图，当时，方程没有三个解，故结论②错误；    函数中， 当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确； 当时，函数，当时，函数有最小值，最小值为，故结论④错误， 综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论． 故选：B 【点睛】本题考查了新定义运算、二次函数的图象与性质，解本题的关键在理解新定义运算法则，并熟练掌握二次函数的图象与性质． 19．给定正整数，令表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如，，若对任意正整数n，二次函数满足当时，，则称该二次函数为“k号函数”．例如：，满足：当k＝3时，，因此，称为“3号函数”．现有如下结论：①；②当k＝1时，是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则逐一可判断①，②，③，再证明二次函数为“k号函数”时，，从而可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由新定义运算法则可得：，正确，故①符合题意； 当k＝1时，则当时， 故②符合题意； 所以原函数解析式为： 对称轴为 故③不符合题意； 二次函数满足当时，，则称该二次函数为“k号函数”． 当时， 则 而正整数， 越大，则越小， 所以k值越大，则“k号函数”开口越大．故④符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是新定义运算，二次函数的性质，理解新定义，再根据新定义进行运算与判断是解本题的关键. 20．已知三个函数，下列说法正确的个数有（   ） ①时，的值为4或； ②对于任意的实数，若，则； ③若则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，利用二次函数的性质解决最值问题，解题的关键是掌握各运算法则． 分别验证四个说法的正确性： ①解分式方程，检验根是否有效； ②利用完全平方公式变形，代入已知条件计算； ③解方程并代入表达式化简，判断结果； ④构造二次函数，利用顶点式求最大值． 【详解】①：由得，化简为，解得或，均满足，故①正确，符合题意； ②：，由，，得，故，故②正确，符合题意； ③：由得，解得，，则，，，，代入化简得，，与题目结果不符，故③错误，不符合题意； ④：令，当和时，，即，解得，其最大值为顶点处，故④正确，符合题意； 综上，正确的有①、②、④，共3个， 故选：B． 【题型3 定义新运算相关代数操作题】 21．定义两个新运算，，且，下列说法正确的有（   ） ①若，则或； ②若，则； ③若，，当时，则； ④若，，则的最小值为2025． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义运算，熟练掌握新定义是解题的关键．根据题中的新定义得出，然后求出m、n的值即可判断①；根据题中的新定义得出，然后分，讨论求出k，即可判断②；根据新定义可求出，然后根据二次函数的性质即可判断③；先根据新定义求出，，然后分当，，，，讨论，利用不等式的性质和绝对值的意义求出的取值范围，即可判断④． 【详解】解：， 即，则或，故①正确； ， 即， ， 即， 当时， ， 当时，， ， 综上，的值为或2，故②错误； ，， ， ， ∴抛物线开口向下， ，， 当时，有最大值为9，当时有最小值为5， ，故③错误； 若，， ，， ∴， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时，； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 综上，，当时，有最小值为4050，故④错误． 故选：A． 22．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据新定义得，则得出或，代入，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【详解】解：①， 整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故①正确，符合题意； ②， ∵方程的解为、， ∴，， ∴， ∴，则 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故②不正确，不符合题意； ③∵，方程有两个不相等的实数解， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故③不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：，；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 23．对于实数，定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①当时，； ②； ③若是关于的一元二次方程的两个根，则或； ④若是关于的一元二次方程的两个根，，则的值为或 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程，整式的加减混合运算知识，正确理解新定义下的运算法则是解题关键．根据已知新定义运算计算，即可判断①②结论；利用因式分解法解二元一次方程，再结合新定义运算计算，即可判断③④结论． 【详解】解：①当时，， ， ， ， 即当时，，①结论正确；； ②当时，此时， ， 当时，此时， ， 即，②结论正确； ③， ， 或， 或， 是关于的一元二次方程的两个根， 当，时， ； 当，时，， 即或，③结论正确； ④， ， ， 或， 或， 若，则， 此时， 解得：； 若若，则， 此时， 解得：，不符合题意，舍去； 的值为，④结论错误， 结论正确的有①②③，共3个， 故选：C． 24．若定义一种新运算：，例如：，．下列说法： ①； ②若，则或2； ③若，则或； ④与直线（m为常数）有1个交点，则． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据新运算可判断①正确；根据新运算分两种情况结合一元二次方程可判断②正确；根据新运算分两种情况结合一元一次不等式可判断③正确；根据新运算分两种情况结合抛物线的性质可判断④正确，即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若，则， 解得：或2， 当时，， 当时，； 若，则， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去； ∴若，则或2，故②正确； ③若，即， 此时， 解得：， ∴， 若，即， 此时， 解得：， ∴， ∴若，则或，故③正确； ④若，即或， 此时， 如图， 此时与直线（m为常数）不可能有1个交点； 若，即， 此时， 如图， 当时，， 当时，， ∴若抛物线与直线（m为常数）有1个交点，则，故④正确． ∴正确的个数是4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式，二次函数的图象和性质，理解新运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 25．对于实数a，b，定义新运算，下列结论： ①； ②若，则； ③若为关于x的一元二次方程．的两根，且满足（），则； ④若函数的图象与直线有三个不同的交点，则． 其中正确的有（     ）个； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了新定义实数的运算，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，理解题意，分两种情况分别计算是解决本题的关键．根据定义新运算逐一判断即可． 【详解】解：根据题意：，故①错误； 当时，， ， ， 或； 当时，， ， ，即， 为任何数， 当时，， ， ， 或；故②错误； 为关于x的一元二次方程．的两根， ， ， ，， ，， ，故③正确； 当时， 解得， 当时，， ， 即， 函数图象如图所示， 函数的图象与直线有三个不同的交点， ，故④正确； 故选：B． 26．对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若，是一元二次方程的两个根，则； ③若的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则或． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键．根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，逐一对选项进行判断即可解答． 【详解】解：当时，，故①不正确； 由题意可得， 根据，可得，， 原式，故②错误； ， 当时，解得， 存在两种情况，使得直线与有三个交点， ①当经过点时，直线与有三个交点， 把代入，可得， 解得； ②当与只有一个交点时，直线与有三个交点， 可得， 经整理可得， ， 解得， 综上所述，的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或，故③正确， 故正确的有1个， 故选：B． 27．定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为； ③代数式取得最小值时，；④函数，函数，当时，． 以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可． 【详解】解：①由题意得：，，解得：，； 检验：当，时，； ，是原分式方程的解， 故①正确； ②当时，，，此情况成立； 当时，， ，故， ， 解得：， 综上所述：，故②正确； ③由题意得：， 取得最小值时，，故③错误； ④，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，   ，当时，，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键． 28．若定义一种新运算：，例如：，，下列说法： ①； ②若，则，； ③的解集为或； ④函数与直线（为常数）有3个交点，则． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据新定义，分类计算判断即可． 【详解】因为，且， 所以， 故①正确； 当时，， 解得，，符合题意； 当即时，， 所以，此时即，显然不成立， 所以②正确； 当即时，，得到， 解得， 所以不等式的解集是； 当即时，，得到， 解得， 所以不等式的解集是或； 所以③不正确； 当即时，此时 因为， 图像为抛物线上的一部分； 当即时，此时或， 因为， 图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下： 故当时，函数与直线（为常数）有3个交点． 所以④正确； 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算和二次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键． 29．对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据新定义的运算法则，将♣1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得♣，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④． 【详解】解：①♣，解得：或1； 故①正确，符合题意； ②♣，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故②正确，符合题意； ③♣， ∵方程的解为、， ∴， ∴，则 当时，♣， 当时，♣， ∴♣的值为或， 故③不正确，不符合题意； ④∵♣， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 30．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键． 当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④． 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：B． 【题型4数字类代数操作题】 31．若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足，，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论： ①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9 ②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为 ③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数 ④2022级浪花数中的所有数之和为0 下列说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”，进行一一判断即可 【详解】解：①∵12，3，a为三级浪花数， ∴a+12=3， 解得：a=-9， 故①正确； ②设这四级浪花数分别为1，x+1，x，-1， 则其积为：， 当x=时，其积最大值为， 所以这列数的积的最大值不可能为， 故②错误； ③设任意组100级浪花数中第一个数为x，第二个数为y， 由题意得这一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，…… 可以看出每六个数一次循环， 36÷6=6，所以第36个数为x-y， 63÷6=10余3，所以第63个数为y-x， 所以第36个数和第63个数一定互为相反数， 故③正确； ④2022级浪花数中第一个数为x，第二个数为y， 则一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……， 可以看出每六个数一次循环， 这六个数的和为：x+y+y-x-x-y+x-y=0，且2022÷6=337， 所以2022级浪花数中的所有数之和为0 由④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键． 32．在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是（　　） ①若，则m的值为6； ②若从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则； ③若从这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种； 如果从中任取两数之和大于的取法恰好有B种，则的最大值为12． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应m值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，； 当为奇数时，； ①当，则m的值为6；正确． ②当时，若为偶数，则，解得；若为奇数，，此时非整数．故，故②正确； ③当为偶数时，；为奇数，， ∴， ∵为偶数， ∴当或时，最大为12，故③正确； 故选D． 33．对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；……依次类推，若，则下列说法 ①当时，；    ②当时，； ③点一定在抛物线上； ④当，2，3，…，n时，对应b的值分别为，，，…，，若则n的值为42：其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，首先找出a，b之间的关系式，然后逐个分析找出规律，即可得解. 【详解】由题意得， 且 ,, 则当时,, ∴①正确. 当时,或, ∴②错误. 将P的坐标代入抛物线得, ∴式子成立，③正确. 当时,. 当时,. 当时,. 当时,. 即 ， ， ， ， ∴. ∴④错误. 故选: . 【点睛】本题考查了规律性探索问题，解题时需要分析题意，学会转化，灵活变形. 34．将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究、一次函数的应用、勾股定理、解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题中操作可判断①；根据题中操作，发现规律可判断②；根据题中操作可得，，，，利用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，可得两直线相交于坐标原点，则有，然后利用勾股定理列方程求解a值即可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到， 则由题意，得，解得，故①错误； ②经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推， 经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确； ③经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即， 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推，，，，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 可得两直线相交于坐标原点， 若直线与直线互相垂直时，则有， ∵， ∴，， 由得：， 整理，得， 解得，故③错误， 综上，正确的有1个， 故选：B． 35．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键． 【详解】解：①若，，，则有：，，，所以，，为0、4、6三个数中的一个数，故，，三个数中最大的数是6，说法错误； ②若，，， 当时，即，则△，所以原方程无解； 当时，即，则△，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； 综上所述：若，，，且，，中最小值为，则，；故原说法错误； ③由题意的值为定值，只需检验即可，依题意可设，则有，，，且， 又有， ， ， ，显然， 给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值，说法正确； 综上所述，以上说法正确的是③， 故选：C． 36．从三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．则下列结论正确的个数是（   ） ①若，则三个数中最大的数是4； ②若，且中最小值为，则； ③给定三个数，将第一次操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果,，以此类推，第2024次操作的结果是，则的值为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解．熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键． 【详解】解：①若，有： ；；； 三个数中最大的数是4，故①正确； ②若，有： ；；； 当时，即，则，原方程无解； 当时，即，则，原方程无解； 当时，即，则，解得：或； ∴综上所述：若，且中最小值为，则或，故②错误； ③依题意可设，则有，且， 又有， ， ， ∴， 显然， 给定三个数，将第一次操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果,，以此类推，第2024次操作的结果是，则的值为，故③错误； 综上所述，结论正确的是①，共1个． 故选：C． 37．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键． 【详解】解：①∵，，， ∴，，， ∴，，为、、三个数中的一个数， ∴，，三个数中最大的数是，故①错误． ②∵，，，且，，中最小值为， ∴当时，即， ∴，原方程无解， 当时，即， ∴，原方程无解， 当时，即， ∴， 解得：，， ∴若，，，且，，中最小值为，则或； 当时，，，， ，，， ∴，，为、、三个数中的一个数，最小值为， 同理：当时，，，， ∴，，为、、三个数中的一个数，最小值为， 故或均符合题意，②错误． ③∵给定a，b，c三个数， ∴， ∵将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，， ∴， …… ∴， ∴给定a，b，c三个数，的值为定值，故③正确． 综上所述：正确的个数是个． 故选：B． 38．已知两个实数、，可按如下规则进行运算：若为奇数，则计算的结果；若为偶数，则计算的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作．对于给定的两个实数、，操作一次后得到的数记为；再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去……以下结论正确的个数为（    ） ①若，，则； ②若、为方程的两根，则； ③若、均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新规则下的实数运算及一元二次方程根与系数关系，正确理解题意是解题关键，根据新规则，先判断为奇数还是偶数，再按照相应的算式计算即可判断结论． 【详解】解：①若，，则，故①正确； ②若、为方程的两根，则，两数和是偶数， ，故②错误； ③若、均为奇数，两数和必是偶数，则中、均是偶数，则必是奇数， 再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，同理，必是奇数， 故无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数，故③正确； ④若，，则为偶数，， 再从、、中任选两个数，选两个绝对值较大的，操作一次得到的数记为， 则， 同理，，故④错误； 结论正确的个数为2个， 故选：B． 39．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（    ） ①当原数取50时，原数与对应新数的差最大 ②原数与对应新数的差不可能等于零 ③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 ④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70 A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】解：设原数为a，则新数为a2， 设原数与新数的差为y，则y=a-a2=-a2+a， 易得，当a=0时，y=0，则②错误； ∵-＜0， ∴当a=-=50时，y有最大值．则③错误，①正确． 当y=21时，-a2+a=21， 解得a1=30，a2=70，则④正确． 综上，正确的是①④ 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号． 40．已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（   ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数： ④若，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①∵，为方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， ∴， 解得：（舍）或， 故②正确； ③若为奇数，则为一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数， 则为一个奇数，2个偶数，任选两个数则为一奇一偶或两个偶数， 而两个偶数得到也必为偶数， 故得到的一定为偶数， 故③正确； ④若， 则， ， ， ， ∴至少为4， 故④正确． 故选：C． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $