专题03 一元二次方程应用题分类训练2（增长率围栏道路销售方案5种类型40道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题03 一元二次方程应用题分类训练2 （增长率围栏道路销售方案5种类型40道） 目录 【题型1增长率问题】 1 【题型2围栏问题】 7 【题型3铺路问题】 13 【题型4 销售和利润】 20 【题型5方案选择】 28 【题型1增长率问题】 1．某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元， (1)求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率， (2)若保持（1）中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意建立方程求出对应的增长率是解题的关键． （1）设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x，根据六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元建立方程求解即可； （2）根据（1）所求结合八月份的工业产值可求出九月份的工业产值，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为； （2）解：预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元，理由如下： 亿元， ∵， ∴预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元． 2．某市投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，预计2020年投资1210万元，若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． (1)求平均每年投资增长的百分率； (2)已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2020年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，那么河道治污面积最多为多少平方米？ 【答案】(1) (2)河道治污面积最多为平方米 【详解】（1）解：设平均每年投资增长的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：平均每年投资增长的百分率为． （2）解：设河道治污面积为平方米，则园林绿化面积为平方米， 由题意得：， 解得， 答：河道治污面积最多为平方米． 3．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （）设月平均增长率为，已知月份销售量是万件，根据增长率公式，月份销售量为万件，3月份销售量为万件，列方程，即可解答； （）设售价应降低元，已知进价为每件60元，原售价为每件元，原每天销售件，售价每降价1元，每天可售出件； 则降价后售价为元，每天销售量为件， 根据每天获利元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程即可解答； 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 可得方程， 因为增长率， 所以舍去， 解得， 即， 答：月平均增长率是； （2）设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低元． 4．某商场经销一种高档水果，原售价每千克40元，连续两次降价后每千克售价元；每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)已知这种水果每千克进价30元，每天可售出48千克，经市场调查发现，若每千克降价元，日销售量将增加4千克，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，那么每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)2.5元 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意得：， 解得，（舍）， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每千克应降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 要尽快减少库存， 每千克应降价2.5元． 5．江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌的头盔每个应涨价4元． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价4元． 6．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】（1）月平均增长率是；（2）每件的售价应降低20元 【详解】解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 7．电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1) (2)2500000张 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． 8．火锅和串串是重庆特有美食，“五一黄金周”期间，到洪崖洞景区选择品尝火锅和串串的游客共2500人，其中火锅和串串的人均消费分别为80元和60元． (1)“五一”期间，若选择火锅的人数是串串人数的1.5倍，求有多少人选择串串？ (2)随着“五一”的结束，前来重庆游玩的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择火锅的人数下降了，选择串串的人数不变，但选择火锅的人均消费增长了，选择串串的人均消费增长了，销售总额为18万元，求a的值． 【答案】(1)1000人选择串串 (2)10 【分析】（1）设有x人选择串串，则有人选择火锅，根据选择火锅的人数是串串人数的1.5倍列出方程，即可求解； （2）根据最终销售总额为18万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：设有x人选择串串，则有人选择火锅， 依题意，得：， 解得：． 答：1000人选择串串； （2）解：依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：a的值为10． 【题型2围栏问题】 9．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)木栏的长为10米 (3)矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据矩形围栏的面积为210平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据矩形围栏的面积为240平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：的长为x米，则（米）， 故答案为：； （2）由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：木栏的长为10米； （3）矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由如下： 由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 矩形围栏的面积不可能达到240平方米． 10．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用：首先设出鸡场宽为米，长为米，然后根据矩形的面积长宽，用未知数x表示出鸡场的面积，根据面积为列出方程，解方程即可； 【详解】设宽为米，长米， 根据题意得：， 解得：，， 由得， 故， ∴鸡场靠墙的一边长为：（m）． ∴鸡场两边的长分别是． 11．某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． (1)请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 【答案】(1) (2)宽为16米 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）利用栏杆的总长度减去3个矩形的宽，再加上2个小门的宽即可得； （2）根据矩形的面积公式建立方程，解一元二次方程，再根据操场东北角的一面最大长度为36米的围墙确定的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，矩形场地的宽为米， ∴米， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：宽为16米． 12．如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），设花圃垂直于墙的边长为x米．当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ 【答案】当为7米时，所围成花圃面积为105平方米 【分析】用篱笆的总长减去3段垂直于墙的边长，然后加上两个门的长可表示出的长，然后再根据长方形面积公式列一元二次方程求解即可；本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出的长是解答本题的关键． 【详解】 解：设花圃垂直于墙的边长为x米，则长（米）， 由题意可得， 整理得， 因式分解得， 解得， ∵当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，符合题意， ∴（米）． 答：当为7米时，所围成花圃面积为105平方米． 13．国庆节期间，西安某广场打造一个“陕西特色食品展”．如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便游客出入．若围成展示区的面积为，求的长． 【答案】的长为米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题的关键．设，则由题意得，根据矩形面积得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，，符合题意， 答：的长为米． 14．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且．设的长为． (1)用含x的代数式表示 ； (2)x为何值时，区域③的面积为180平方米． 【答案】(1) (2)1或3 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式． （1）将、以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以2可得的长度； （2）将区域图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：，的长为， ， 区域为正方形， ， 区域和为矩形， ，， ，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知：，， 则区域的面积为：， 当时， 解得：，， 所以当x为1或3时，区域的面积为． 15．如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 16．列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． (1)_________米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【答案】(1) (2)10米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门； （2）根据长宽之积为180列一元二次方程，求出解后判断是否小于墙的最大可用长度即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 故宽为10米． 【题型3铺路问题】 17．某校计划在一块长为30米，宽为20米的矩形 地面上铺设同样宽的两条通路（图中阴影部分），设每条通路的宽为x米，剩余部分计划绿化，若绿化的面积为551平方米，求通路的宽x 的值． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的应用，由平移性质得到平移道路后总种植花草的边长及形状是解决本题的突破点． 将横向和纵向的两条道路平移，表示出剩余的长和宽，然后根据面积列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得∶， （不合题意，舍去）． 答：通路的宽x的值为1． 18．如图，长，宽的矩形场地中间有横竖三条等宽的道路，三条道路的总面积为，那么道路的宽为多少米？ 【答案】路宽2米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—与图形有关的问题，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．设道路的宽为x米，根据空白部分面积总面积三条道路的总面积列出方程，再解方程即可求出道路的宽． 【详解】解：设路宽为x米， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：路宽2米． 19．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 20．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？    【答案】道路的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得： ，     整理得，     解得，（不符合题意，舍去），     答：道路的宽为 21．有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．    (1)已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？ (2)若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ (3)已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则__________（直接写出答案）． 【答案】(1)2米 (2)原来矩形场地的长为26米，宽为13米 (3)25 【分析】（1）将四块矩形场地拼成一个长方形，表示出长和宽，根据面积为264平方米列一元二次方程，解方程即可； （2）由题意，四块矩形场地可拼合成一个长为米，宽为的矩形，根据面积为264平方米列一元二次方程，解方程即可； （3）草坪可拼合成相邻两边分别为的矩形，根据题意列出方程，再将33分解为，根据，求出m和n的值，再根据题意进行取舍即可． 【详解】（1）解：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形． 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：每条道路的宽x为2米； （2）解：， ， 又道路的宽度米， 四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形． 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ． 答：原来矩形场地的长为26米，宽为13米． （3）解：草坪可拼合成相邻两边分别为的矩形．依题意，得 ， 即． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，因式分解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 22．有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口、、、、、的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度． 【答案】2米 【分析】设入口的边的长度为米，根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设入口的边的长度为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍）， 即道路出入口的边的长度为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意正确列方程即可得到答案． 23．（1）如图1，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为，宽为的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横、两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】（1）；（2）横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为 【分析】（1）利用平移的性质得到等式，求解即可； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程解答． 【详解】解：（1）设道路的宽度是，则 ， 整理得， 解得（舍去）， 答：道路的宽度为； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，则 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 【答案】(1)， (2)1米 【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解； （2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为m，宽为m的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）解∶道路①的面积为平方米，道路②的面积为平方米 （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：道路的宽度为1米． 【题型4 销售和利润】 25．某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到1300元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1)； (2)销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次函数、一元二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1300元，列出方程，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元销售， ∴， ∴每天的销售利润为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； （3）解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 则， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到1300元． 26．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】(1)这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【详解】（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； （2）解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 27．2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 【答案】(1)每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键，注意单位的统一． （1）设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元，根据总成本合计 880 元，列出方程，求解即可； （2）先求出每件配件的成本为万元，再根据销售利润销售收入总成本，列出关于a的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元， 根据题意，得， 解得：， ∴， ， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． （2）解：每件配件的成本为：（元）（万元）； 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为． 28．“双”即将到来，某网上微店准备销售一种服装，每件成本为元．市场调查发现其日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，经试销后发现，当销售价定为元时，日销售量为件；当销售价定为元时，日销售量为件． (1)试求出日销售量y（件）与销售价x（元）之间的函数关系式； (2)若该网上微店为尽快减少库存积压利用“双”促销这批服装，打算日获利达到元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据时及时，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； （2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将、代入， ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 减少库存积压， ． 答：这种服装每件售价是70元． 29．某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划去甲商店购买一批笔记本用于摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买9个A型笔记本与3个型笔记本共54元 信息②：A型笔记本的单价比型笔记本的单价贵2元 信息③：购买一本A型笔记本与1本型笔记本共8元 (1)在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求型笔记本和型笔记本的单价； (2)甲商店平均每周售出A型笔记本300本，据销售经验发现：每涨价1元，A型笔记本销售量就会减少20本．A型笔记本应该定价多少元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元？ 【答案】(1)①③；A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； (2)A型笔记本应该定价元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元． 【详解】（1）解：选①③，设A型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； 故答案为：①③； 选①②，设A型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； 故答案为：①②； 选②③，设A型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； 故答案为：②③； （2）解：设A型笔记本定价为m元/本，根据题意得 ． 化简方程得：． 解得． 答：A型笔记本应该定价元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元． 30．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 (2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． （2）解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 31．列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． (1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ (2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 【答案】(1)甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制 (2)需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出 【详解】（1）解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制； （2）解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出． 32．湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？ 【答案】(1)每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元 (2)文化衫应降价8元或者2元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （）设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，根据采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．列出分式方程求解并检验即可； （）先求出降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据平均每天的总利润达到400元，列出关于x的一元二次方程求出的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，文化衫的数量为件，书签的数量为个， 由题意得，， 解得，   经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元； （2）解：降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， 答：文化衫应降价8元或者2元． 【题型5方案选择】 33．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 34．某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【答案】(1)①；②， (2)应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元二次方程根的判断式、列代数式， （1）①根据总利润等于一件的利润乘以总销售量列代数式即可；②若，利用线下销售总利润等于一件的利润减去赠送礼品的成本，再乘以销售总量列式即可；若，总利润为前400件的利润与超出400件部分的利润之和，再减去广告成本，即可； （2）设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件，分两种情况：当时或当，根据总销售利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：①线上销售的a件产品的利润为：元， 故答案为：； ②由题意得，若，则线下销售的b件产品的利润为：元， 若，则线下销售的b件产品的利润为：元； 故答案为：；； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时，， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根， 当，即时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件，使得销售总利润为46200元． 35．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 【答案】(1) (2)方案②更优惠 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ()设出平均每次下调的百分率为，第一次下调后 的价格为元，第二次下调后的价格为元，根据已知销售价格列方程解答即可． ()分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 第一次下调后的价格为元，第二次下调后的价格为元， 根据题意，可列方程： ， ， 当时，， 当时，（下调百分率不能大于，舍去）， 所以，平均每次下调的百分率为． （2）方案①： 住房面积是平方米，开盘均价为每平方米元，打折销售， 那么总房款为：(元) ； 方案②： 不打折，一次性送装修费每平方米元， 那么实际支付款为： (元) ∵， ∴方案②更优惠． 36．为了加强学生体育运动，某中学计划购进篮球和排球两种球（两种球都需要买），每个排球的售价是50元，每个篮球的售价是40元，由于商场促销，篮球的售价经两次调价后调至每个32.4元，每个排球的售价不变． (1)若该商场篮球两次调价的降价率相同，求篮球的降价率； (2)学校现计划购买篮球和排球两种球共20个，篮球按调价后的价格进行购买，且购买篮球的数量不多于排球的数量，设购买篮球a个，购买两种球所需费用为w元，请给学校一种购买费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) (2)最省钱的方案为买篮球10个，排球10个，所需费用824元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题关键是找准数量关系，正确列出方程和不等式． （1）设该商场篮球两次调价的降价率为，则，再解方程即可； （2）设购买篮球a个，则购买足球总数为个，根据题意列不等式，求得，设购买篮球和足球的费用为元，再由题意列出关于a的一次函数，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设该商场篮球两次调价的降价率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：篮球的降价率为. （2）解：设购买篮球a个，则购买排球数为个， 依题意，得：， 解得：， 设购买篮球和排球的费用为元， 由题意得：， ∵随的增大而减小， ∴当时，的值最小， 此时，， 答：费用最少的购买方案为购买篮球个、排球个，所需费用为元． 37．我县某楼盘准备以每平方米元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)刘女士准备购买一套平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案．方案一：每平方米在开盘价基础上先降价元，再打折销售，总房款还少元；方案二：不打折，一次性每平方米送元装修费．当两种优惠方案一样时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． （1）设平均每次下调的百分率为x，利用每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝每平方米销售价格列方程解答即可； （2）分别计算两种方案的优惠价格，根据两种优惠方案一样列方程解方程即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为x， 则， 即： 解得（舍去）， 故平均每次下调的百分率为； （2）由题意可得， 整理得， ． 解得（不合题意，舍去） 即的值为． 38．某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)甲、乙的说法都是正确的，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①根据每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ②根据某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ③根据当销售价每上涨元时，其销售量将减少个，列出代数式即可； （2）根据该台灯的销售利润平均每月达到元，列出一元二次方程，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：①涨价后，每个台灯的销售价格为元， 故答案为：； ②涨价后每个台灯的利润为元，即元， 故答案为：； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为个， 故答案为：； （2）解：甲、乙的说法都是正确的，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 即商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，在原销售价每个元的基础上再上涨元或元， ∴甲、乙的说法都是正确的． 39．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个； (2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； (3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 40．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． (1)求李明平均每次下调的百分率； (2)小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】(1) (2)方案一，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设平均每次下调的百分率为x，根据经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售列出方程求解即可； （2）根据所给优惠方案分别求出两个方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得， 解这个方程，得， ∵降价的百分率不可能大于1， ∴不符合题意， 符合题目要求的是， 答：平均每次下调的百分率是． （2）解：小刘选择方案一购买更优惠， 理由：方案一所需费用为：（元）， 方案二所需费用为：（元）， ∵， ∴小刘选择方案一购买更优惠． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题03 一元二次方程应用题分类训练2 （增长率围栏道路销售方案5种类型40道） 目录 【题型1增长率问题】 1 【题型2围栏问题】 7 【题型3铺路问题】 13 【题型4 销售和利润】 20 【题型5方案选择】 28 【题型1增长率问题】 1．某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元， (1)求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率， (2)若保持（1）中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？请判断并说明理由． 2．某市投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，预计2020年投资1210万元，若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． (1)求平均每年投资增长的百分率； (2)已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2020年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，那么河道治污面积最多为多少平方米？ 3．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 4．某商场经销一种高档水果，原售价每千克40元，连续两次降价后每千克售价元；每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)已知这种水果每千克进价30元，每天可售出48千克，经市场调查发现，若每千克降价元，日销售量将增加4千克，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，那么每千克应降价多少元？ 5．江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 6．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 7．电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 8．火锅和串串是重庆特有美食，“五一黄金周”期间，到洪崖洞景区选择品尝火锅和串串的游客共2500人，其中火锅和串串的人均消费分别为80元和60元． (1)“五一”期间，若选择火锅的人数是串串人数的1.5倍，求有多少人选择串串？ (2)随着“五一”的结束，前来重庆游玩的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择火锅的人数下降了，选择串串的人数不变，但选择火锅的人均消费增长了，选择串串的人均消费增长了，销售总额为18万元，求a的值． 【题型2围栏问题】 9．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 10．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 11．某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． (1)请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 12．如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），设花圃垂直于墙的边长为x米．当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ 13．国庆节期间，西安某广场打造一个“陕西特色食品展”．如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便游客出入．若围成展示区的面积为，求的长． 14．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且．设的长为． (1)用含x的代数式表示 ； (2)x为何值时，区域③的面积为180平方米． 15．如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 16．列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． (1)_________米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【题型3铺路问题】 17．某校计划在一块长为30米，宽为20米的矩形 地面上铺设同样宽的两条通路（图中阴影部分），设每条通路的宽为x米，剩余部分计划绿化，若绿化的面积为551平方米，求通路的宽x 的值． 18．如图，长，宽的矩形场地中间有横竖三条等宽的道路，三条道路的总面积为，那么道路的宽为多少米？ 19．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 20．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？    21．有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．    (1)已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？ (2)若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ (3)已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则__________（直接写出答案）． 22．有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口、、、、、的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度． 23．（1）如图1，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为，宽为的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横、两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？ 24．如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 【题型4 销售和利润】 25．某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到1300元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 26．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 27．2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 28．“双”即将到来，某网上微店准备销售一种服装，每件成本为元．市场调查发现其日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，经试销后发现，当销售价定为元时，日销售量为件；当销售价定为元时，日销售量为件． (1)试求出日销售量y（件）与销售价x（元）之间的函数关系式； (2)若该网上微店为尽快减少库存积压利用“双”促销这批服装，打算日获利达到元，问这种服装每件售价是多少元？ 29．某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划去甲商店购买一批笔记本用于摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买9个A型笔记本与3个型笔记本共54元 信息②：A型笔记本的单价比型笔记本的单价贵2元 信息③：购买一本A型笔记本与1本型笔记本共8元 (1)在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求型笔记本和型笔记本的单价； (2)甲商店平均每周售出A型笔记本300本，据销售经验发现：每涨价1元，A型笔记本销售量就会减少20本．A型笔记本应该定价多少元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元？ 30．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 31．列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． (1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ (2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 32．湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？ 【题型5方案选择】 33．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 34．某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 35．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 36．为了加强学生体育运动，某中学计划购进篮球和排球两种球（两种球都需要买），每个排球的售价是50元，每个篮球的售价是40元，由于商场促销，篮球的售价经两次调价后调至每个32.4元，每个排球的售价不变． (1)若该商场篮球两次调价的降价率相同，求篮球的降价率； (2)学校现计划购买篮球和排球两种球共20个，篮球按调价后的价格进行购买，且购买篮球的数量不多于排球的数量，设购买篮球a个，购买两种球所需费用为w元，请给学校一种购买费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 37．我县某楼盘准备以每平方米元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)刘女士准备购买一套平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案．方案一：每平方米在开盘价基础上先降价元，再打折销售，总房款还少元；方案二：不打折，一次性每平方米送元装修费．当两种优惠方案一样时，求的值． 38．某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 39．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 40．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． (1)求李明平均每次下调的百分率； (2)小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $