专题01 一元二次方程含参运算（9种类型54道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题01 一元二次方程含参运算 （9种类型54道） 目录 【题型1 利用一元二次方程定义求参数】 1 【题型2 已知一个方程的根推测另一个方程的根】 1 【题型3 整体代入】 2 【题型4 利用根的判别式确定参数范围】 3 【题型5 根与系数的关系】 3 【题型7 不计算直接得到方程的根】 4 【题型7 已知方程的根求参数】 4 【题型8 不等式与一元二次方程综合含参问题】 5 【题型9 分式方程与一元二次方程综合含参问题】 5 【题型1 利用一元二次方程定义求参数】 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 2．关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 3．若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 5．若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 6．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．±3 C．3 D．－3 【题型2 已知一个方程的根推测另一个方程的根】 7．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 8．若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 11．若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【题型3 整体代入】 13．已知一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 15．已知是方程的根，则代数式a3-2a+1的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 16．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 17．若一元二次方程的一个根为m，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．若m是方程的根，则的值为（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【题型4 利用根的判别式确定参数范围】 19．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 20．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 21．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 22．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 24．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（  ） A． B． C． D．且 【题型5 根与系数的关系】 25．已知关于x的一元二次方程有两根为和，求的值是（   ） A． B． C． D．1 26．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．6 B． C． D．8 27．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 28．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 29．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 30．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【题型7 不计算直接得到方程的根】 31．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 32．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D． 33．下列关于的方程中，、、满足和，则方程的根分别为（    ）． A．、 B．、 C．、 D．、 34．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（    ） A．1，3 B．1， C．，3 D．， 35．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 36．在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（　　） A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定 【题型7 已知方程的根求参数】 37．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 38．若是方程的一个根，则的值等于 ． 39．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 40．若是一元二次方程的解，则k的值是 ． 41．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 42．若是一元二次方程的一个根，则c的值为 ． 【题型8 不等式与一元二次方程综合含参问题】 43．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为 ． 44．若关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数的和为 ． 45．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 46．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 ． 47．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则关于x的一元二次方程有实数根的所有满足条件的整数a的值有 个． 48．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【题型9 分式方程与一元二次方程综合含参问题】 49．若关于的方程有两个实数根，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 50．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 51．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ． 52．已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 53．若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 54．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的积为 ． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题01 一元二次方程含参运算 （9种类型54道） 目录 【题型1 利用一元二次方程定义求参数】 1 【题型2 已知一个方程的根推测另一个方程的根】 3 【题型3 整体代入】 7 【题型4 利用根的判别式确定参数范围】 9 【题型5 根与系数的关系】 12 【题型7 不计算直接得到方程的根】 15 【题型7 已知方程的根求参数】 17 【题型8 不等式与一元二次方程综合含参问题】 19 【题型9 分式方程与一元二次方程综合含参问题】 24 【题型1 利用一元二次方程定义求参数】 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 2．关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义即可求得的值． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，且， ∴，， ∴， 故选：B． 3．若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 4．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 5．若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．±3 C．3 D．－3 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程”，分析判断即可． 【详解】解：若方程是一元二次方程， 则有且， 解得且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 【题型2 已知一个方程的根推测另一个方程的根】 7．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 8．若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 10．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论． 【详解】解：由得到， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：B． 11．若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，设，得到，所以，即可得到进而得到答案． 【详解】解：由得到， 对于一元二次方程， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解答本题的关键． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设t＝x＋2，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为t＝2022， 所以x＋2＝2022， 解得x＝2020， 所以一元二次方程必有一根为x＝2020， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【题型3 整体代入】 13．已知一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程，再通过变形求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程可得： ， ∴， 观察，可以变形为， ∴， 即的值为． 故选：B． 14．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 可得：，， ． 故选：A． 15．已知是方程的根，则代数式a3-2a+1的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得出，进而得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，且， ∴， ∴． 故选：C． 16．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行变形是解题的关键．先将方程的解代入方程，得到关于和的关系式，再对代数式进行变形，代入求值． 【详解】解：把代入，得， ， 所以 ， 故选：D． 17．若一元二次方程的一个根为m，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据m是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求得． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 18．若m是方程的根，则的值为（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】根据题意，m是方程的根，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4 利用根的判别式确定参数范围】 19．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键． 方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则，， 解得：且 故选：A． 20．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的一元二次方程有两个实数根，可得：，又因为一元二次方程的二次项系数不能为，可得：实数的取值范围是且． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 又二次项系数不能为， ， 实数的取值范围是且． 故选： C． 21．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数的取值范围．先根据一元二次方程的判别式求出k的取值范围，再结合一元二次方程的定义确定不能为0，从而得出k的最终取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：，． 故选：D． 22．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的一元一次不等式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：． 23．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根得出判别式是解题关键．注意分类讨论，避免漏解．关于的方程有实数根，那么分两种情况：①当时，方程一定有实数根；②当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围． 【详解】解：分类讨论： ①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根； ②当，即时，此时方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． ∴的取值范围为． 故选：A． 24．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（  ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟记一元二次方程根的判别式并能熟练运用求解． 根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”列出关于的不等式求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：D． 【题型5 根与系数的关系】 25．已知关于x的一元二次方程有两根为和，求的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴ ． 故选A． 26．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而代值求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 27．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 28．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：D． 29．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系． 根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可． 【详解】解：，， 将代入方程可得， ． 故选：B． 30．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 【详解】若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 【题型7 不计算直接得到方程的根】 31．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 32．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立和，前式减后式，可得，前式加后式，可得，将、代入原方程计算求出方程的根． 【详解】∵根据题意可得：， ①－②＝，得， ①＋②＝， ∴解得：，． 将、、代入原方程可得， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于、、的方程组，由方程组推出、、的数量关系是解题关键． 33．下列关于的方程中，、、满足和，则方程的根分别为（    ）． A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【详解】∵，， ∴，， 故选． 34．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（    ） A．1，3 B．1， C．，3 D．， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 【详解】解：由题意可知，当时，； 当时，； ∴该方程的根是1，， 故选：B 35．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 36．在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（　　） A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定 【答案】B 【分析】能使方程等号成立的未知数的值叫做方程的解，据此分别令，，可求此一元二次方程的根，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的根分别为1或． 故选：B． 【题型7 已知方程的根求参数】 37．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，能使一元二次方程左右两边的未知数的值是一元二次方程的解，将代入一元二次方程得：，再解关于的方程即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：将代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 38．若是方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，解一元一次方程，熟练掌握相关知识的是解题关键． 将代入方程即可求出的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得． 故答案为：． 39．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将已知根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得，即， ， 解得． 故答案为：． 40．若是一元二次方程的解，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴． 解得． 故答案为：． 41．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 42．若是一元二次方程的一个根，则c的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 把代入方程即可求解． 【详解】因为是一元二次方程的一个根， 所以， 解得． 故答案为： 【题型8 不等式与一元二次方程综合含参问题】 43．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟练掌握各自运算方法． 表示出不等式组的解集，由不等式有且只有3个整数解确定出的取值，再由关于y的一元二次方程有两个实数根，求出满足题意整数的值，进而求出和． 【详解】解：， 由①得， 由②得． ∴原不等式组的解集为 方程组有且只有3个整数解， ∴可取5、4、3． ， ． 关于y的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 且， 整数的取值为5，7，8 所有整数的和为． 故答案为：20． 44．若关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，正确求得m的取值范围是解答的关键．先根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到且求得m的取值范围，再根据一元一次不等式组的解集求得m的取值范围，进而由m的取值范围求得所有m值即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且； 解不等式组，得， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴且， ∴所有整数的值为、、、、、、0、1、3、4、5、6， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 45．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 46．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元二次方程的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．先求得不等式组的解集为；由不等式有且只有四个整数解，则，解得，那么可以为，，，，然后根据一元二次方程的判别式进行判断即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ； 不等式组有且仅有四个整数解， ， 解得：； 关于的一元二次方程有实数根， ，， ，； 为整数，且， 可以是，，， 则符合条件的所有整数的和为； 故答案为：0． 47．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则关于x的一元二次方程有实数根的所有满足条件的整数a的值有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的范围，再根据判别式和一元二次方程的定义得到，解得且，综上所述，且，据此可得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴； ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 综上所述，且， ∴符合题意的整数a的值为， 故答案为：4． 48．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查解不等式组，一元二次方程根的判别式，掌握不等式组的解法和根的判别式是解题的关键． 先求解不等式组，再根据不等式组有且仅有4个整数解，求出a的取值范围，然后根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，最后根据两个取值范围求整数a的值，即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴ 解得：； ∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴且， ∴整数a的值为，0，2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和． 故答案为：8． 【题型9 分式方程与一元二次方程综合含参问题】 49．若关于的方程有两个实数根，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根的判别式，解分式方程，利用根与系数的关系得到且，解得且，通过去分母得到，再利用分式方程有整数解，则，所以，利用有理数的整除性得到此时整数为0、1、2、5，然后利用分式方程中得到，最后确定符合条件的整数的值，从而得到它们的和，熟练进行计算是解题的关键． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 且，解得且； 把分式方程去分母得， 整理得， 分式方程有整数解， ， ，此时整数为， 而， ， 且； 符合条件的整数为0，2，5，它们的和为7． 故答案为：7． 50．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或1或2或5或10，即可得或9或6或5或3或2或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得，且，进而得到满足条件的所有整数a，进而即可求解．根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， ∵使得关于的分式方程有整数解， ∴或或或或1或2或5或10， ∴或9或6或5或3或2或或， 又∵， ∴， 解得， ∴或9或6或5或3或2或， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴，且， ∴ 或， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：． 51．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式，先解分式方程得出，结合题意得出或或或或或或，根据一元二次方程根的判别式求出且，从而得出或或，求和即可． 【详解】解：解方程得：， ∵a使得关于x的分式方程有整数解，且， ∴或或或或或或， ∵关于y的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 52．已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 53．若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 54．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其定义，根据分式方程的解的情况求参数，先根据判别式和一元二次方程的定义得到，则且；再解分式方程得到，根据分式方程有非负整数解，得到是非负整数，且，进而推出且a是偶数，且，据此确定出或，由此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且； 去分母得：， 解得， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴是非负整数，且 ∴且a是偶数，且， ∴且a是偶数，且， 综上所述，且a是偶数，且， ∴或， ∴满足条件的所有整数a的积为， 故答案为：． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $