专题11 旋转相关动点问题（4种类型32道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题11 旋转相关动点问题 （4种类型32道） 目录 【题型1动点定值问题】 1 【题型2 动点探究线段数量关系】 16 【题型3 动点探究角的数量关系】 40 【题型4 动点最值问题】 60 【题型1动点定值问题】 1．如图 ，点，且a、b满足． (1)如图1 ，求的面积 ； (2)如图2 ，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且， 猜想线段之间的数量关系并证明你的结论 ； (3)如图3 ，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点 ，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q ，当P点在x轴正半轴上移动时 ，线段和线段中哪一条线段长为定值 ，并求出该定值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)线段是定值，2 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图，则：， ∵旋转， ∴且， ，， ∵在轴上移动， ∴随着点的移动而变化， ∴也随着点的移动而变化，不是定值， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 2．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE(含30°)，将三角板ABC(含45°)绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角(0<<180°)，试问: (1)如图2，当=15°时，指出图中AB与DE的位置关系，并说明理由; (2)当旋转到AB与AE重叠时(如图3)，则=_______度 (3)当△ADE的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角的所有可能的度数 (4)当0°<≤45”时，连接BD(如图4)，探求∠DBC+∠CAE+∠BDE是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程;如果不是，请说明理由． 【答案】（1）AB∥DE；理由见解析；（2）45；（3）15°，45°，105°，135°，150°；（4）∠DBC+∠CAE+∠BDE=105°，保持不变；理由见解析. 【详解】（1）AB∥DE ∵∠BAC=45°，∠CAE=15°， ∴∠BAE=∠E=30°， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行） 故答案为：AB∥DE； （2）当旋转到AB与AE重叠时，∠α=∠BAC=45°， 故答案为：45； （3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数为15°，45°，105°，135°，150°．如图a-e所示： ①当AD∥BC时，α=15°；②当DE∥AB时，α=45°；③当DE∥BC时，α=105°；④当DE∥AC时，α=135°；⑤当AE∥BC时，α=150°． （4）如图4，当0°＜α≤45°时，∠DBC+∠CAE+∠BDE=105°，保持不变； 理由如下：设BD分别交AC、AE于点M、N， 在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°， ∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC， ∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°， ∵∠C=30°，∠E=45°， ∴∠DBC+∠CAE+∠BDE=180°-75°=105°． 3．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F． （1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF； （2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 【答案】（1）证明见解析；（2）是，2. 【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点， ∴∠B=∠C=60°，BD=CD， ∵DF⊥AC， ∴∠DFA=90°， ∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°， ∴∠AED=90°， ∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC， ∴△BDE≌△CDF（AAS） （2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， 则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°． ∵∠A=60°， ∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°． ∵∠EDF=120°， ∴∠MDE=∠NDF． 在△MBD和△NCD中， ， ∴△MBD≌△NCD（AAS） BM=CN，DM=DN． 在△EMD和△FND中， ， ∴△EMD≌△FND（ASA） ∴EM=FN， ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2. 4．将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°） （1）当DE∥AC时（如图2），求α的值； （2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值； （3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由． 【答案】（1）60°； （2）105°； （3）不变，其值为105°． 【分析】（1）由DE∥AC可得∠DCA＝∠D＝30°，则可求∠α＝∠DCB＝60°； （2）由DE∥AB可得∠E＝∠AFC＝60°，根据三角形内角和可求∠FCA＝75°即可求∠ACD＝15°，则可求∠α； （3）根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出∠1，∠2，∠3关系式可求∠1+∠2+∠3的值. 【详解】（1）∵DE∥AC， ∴∠D＝∠ACD＝30°， 又∵∠BCA＝90°， ∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝60°，即α＝60°； （2）∵DE∥AB， ∴∠E＝∠CFA＝60°， 又∵∠CFA＝∠B+∠BCE， ∴∠BCE＝15°， ∴∠BCD＝∠ECD+∠BCE＝105°，即α＝105°； （3）大小不变，其值为105°， ∵∠ACD+∠CAB＝∠D+∠AFD，∠CAB＝45°，∠D＝30°， ∴∠AFD﹣∠ACD＝15°， 又∵∠1+∠2＝∠AFD，∠3＝90°﹣∠ACD， ∴∠1+∠2+∠3＝∠AFD+90°﹣∠ACD＝90°+15°＝105°. 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 5．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索： （1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由； （2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°； （3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围． 【答案】（1）∠BAE+∠CAD＝150°，理由见解析；（2）见解析；（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化，∠MAN＝75°． 【分析】（1）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角的和差即可得到结论； （2）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到结论； （3）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）∠BAE+∠CAD＝150°．理由如下： ∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝150°； （2）∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°； （3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化．理由如下： 如图，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD． ∵AM，AN分别是∠BAD和∠CAE的平分线，∴∠MAD∠BAD＝30°∠CAD，∠NAC∠CAE＝45°∠CAD． ∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°∠CAD+∠CAD+45°∠CAD＝75°． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 6．【特例感知】 （1）如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可； （2）过点作于点，于点，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论； （3）过点作于点，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：根据旋转可知：，， ， ，， 平分， ； （2）解：；理由如下： 过点作于点，于点，如图2所示： 根据旋转可知：， ，，， ， ，， 平分， ； （3）解：的值为定值；；理由如下： 过点作于点，如图3所示： 根据旋转可知：，， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质以及角平分线的判定． 7．如图1，等边中，分别交、于点D、E． (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①固定不变；②或8 【分析】（1）先判断出，进而得出，，即可得出结论； （2）①先判断出，得出，进而得出答案； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．过点作于，求出，，进而求出，即可得出答案； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案． 【详解】（1）是等边三角形， ， ∵， ，． 是等边三角形； （2）①的度数是定值，理由如下：如图2， 在和中， ， ， ， 又， ； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．如图3， 过点作于， 在中，，． ∴ ∴，； 在中，， ； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，如图4， 过点作于， ． 同理可得， 综上所述，或8． 8．如图，连接，点D在边上（点D不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． (1)求证： (2)①若且与的数量关系满足求的面积． ②若连接，则的面积是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②的面积是一个定值为 【详解】（1）解：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， 又， ． （2）解：①， ， ， ， ． 在中，， ． 设，则． ， ． ． 在中，由勾股定理，得，解得． ， ． ②的面积是一个定值，为． 当时，和都是等边三角形， 由（1）同理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作于G，于H，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是一个定值为． 【题型2 动点探究线段数量关系】 9．在中，，，过点A作直线平行于，点D是直线上一动点，连接，射线绕点D顺时针旋转交直线于点E． (1)如图1，若，当点E在线段上时，请直接写出线段，，之间的数量关系，不用证明； (2)如图2，若，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)如图3，若，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)不成立， (3)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）证明是等边三角形，得出，，由边角边的证明方法证明，由全等三角形的性质可得出，即可得出结论； （2）在的延长线上取点F，使，连接，由角边角的证明方法证明，由全等三角形的性质得出，由此可得结论； （3）分两种情况讨论，由边角边的证明方法证明与全等，根据全等三角形的性质与直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 连接，如图， ∵线段绕点D顺时针旋转交直线于点E．且， 又∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：不成立，， 在的延长线上取点F，使，连接，如图， 当使，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵，， 在与中， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：的长或， 当点E在线段上，过点D作直线l的垂线，交于点F，如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵直线， ∴， ∵直线l， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点D作直线l的垂线，交于点M，如图所示， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴; 综上，的长或． 10．（1）如图①，在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．并说明理由； 小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决，请你参考小明的思路解决问题：探究线段、、三条线段的数量关系，并说明理由； （2）如图②，当点在线段上，点在的延长线上时，若（1）中其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），详见解析；（2）关系式仍然成立，详见解析 【分析】本题考查旋转的知识，三角形全等的判定方法和性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据绕点顺时针旋转得到根据旋转的性质，可知得到，，，，根据中的，得到所以，证，利用得到； （2）关系式仍然成立，可类比（1）的证明方法求证即可． 【详解】（1）猜想：， 证明：将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ，， ，， 在中， ， ， ， 即， ， 又， ， ， 即， ， ， ； （2）结论：关系式仍然成立． 证明：作，且截取，连接，连接， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在中， ， 即． 11．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，利用菱形性质和角度关系进行推理计算． （1）通过旋转性质得，结合，从而求出度数； （2）在直线上截取（点不与点重合），连接，利用菱形性质，证明，结合已知边长和线段长度求； （3）需要分情况讨论，情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上．分别画出图形，构造全等三角形，通过线段等量转化即可求解． 【详解】（1）解：∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ； （2）如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， ∴在中，， ， ∴的长为3； （3）或， 理由如下： （1）当点在线段上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）当点在延长线上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ， ， ， 综上所述，之间的数量关系为或． 12．如图，正方形，点是边上的动点，点在延长线上，连接、． (1)若． ①求证：平分； ②连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1)①见详解 ②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①延长至点，使，证明得，，，再证明为等腰直角三角形，进而可证平分； ②过点作交于，连接，证明为等腰直角三角形得，．证明，进而可得； （2）将绕点逆时针旋转得，求出，当、、三点共线时，可求出的最大值． 【详解】（1）解：延长至点，使， 四边形为正方形， ，． ， ． ， ． ． ，， 即，为等腰直角三角形． ， 平分． ． 理由如下： 过点作交于，连接， 由得． 为等腰直角三角形， ，． 在正方形中，，． ，． ， ， ， ． （2）将绕点逆时针旋转得， ，，． ， ． 当、、三点共线时，为等腰直角三角形， ． 的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及等腰三角形的性质等知识，解答本题的关键是合理作出有效的辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 13．正方形中，点是边上一动点，连接． (1)如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）作于点H，则是等腰直角三角形，是含30度角的直角三角形，结合即可求解； （2）延长至点N，使，连接，证明，进而得出，，再证，可得； （3）设正方形边长为a，，则，分两种情况：当时，作于O，作交的延长线于点P，连接，得到矩形， 由等腰三角形的性质可得，进而可得，再证，推出，进而可得 的值；当时，作交的延长线于点Q，连接，同理可证，则，，可得，进而可得 的值． 【详解】（1）解：如图，作于点H， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 即正方形的边长为； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点N，使，连接， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：设正方形边长为a，，则， 分两种情况： 当时，作于O，作交的延长线于点P，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 由旋转知，， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ， ； 当时，作交的延长线于点Q，连接， 同理可证， ，， ， ， ． 综上可知，的值为1或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 14．如图与为等边三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，射线与直线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在，上，试探索和的数量关系并说明理由； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，，，三条线段之间的数量关系； (3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)4或2或6 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质，证明即可得到结论； （2过点O作交于点H，得证是等边三角形，接着证明，即可得证； （3）过点B作于点H，利用分类思想，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：与为等边三角形， ，，， ， ∵射线绕点O逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：．理由如下： 过点O作交于点H， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵射线绕点O逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：过点B作于点H， ∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 如图③-1，当点O在上，点E在上，点F在上时， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点Q， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵射线绕点O逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； 如图③-2，当点O在上，点E在上，点F在上时， 同理可证，， 由， ∴， ∴； 如图③-3，当点O在上，点E在上，点F在上时， 同理可证，， 由， ∴， ∴； 如图③-4，当点O在上，点E在上，点F在上时， 同理可证，， 由， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为4或2或6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 15．如图，中，，，点D是边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，与交于点M． (1)如图①，连接，则　　　　；（填度数）图中与相等的角是　　　　；（用三个字母表示且不添加任何字母） (2)求证：M为的中点． (3)直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)45； (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等腰直角三角形的性质即可求出，根据三角形外角的性质即可得到； （2）过点E作于点F，首先证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明； （3）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵中，，， ∴； ∵线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴； ∵， ∴； （2）证明：过点E作于点F 由旋转的性质得， 又 在和中 又 在和中 为中点； （3）． 证明：由得 由得．即 ． 16．在中，，，点是的中点，，垂足为E，连接． (1)如图1，与的数量关系是__________． (2)如图2，若P是线段上一动点（点P不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由，得到，根据直角三角形斜边上中线性质得到，则可判断为等边三角形，由于，可得； （2）根据旋转的性质得到，易得，则可根据“”判断，则，利用，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）．理由如下： ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型3 动点探究角的数量关系】 17．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)8 (3)或． (4)或 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律、三角形面积、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据平移的方式求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）首先求出，，，然后根据三角形与三角形的面积相等得到，然后分情况讨论求解即可； （4）如图所示，过点P作，根据题意分两种情况讨，然后分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B， ∴ ∵将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C， ∴； （2）∵， ∴，轴 ∵ ∴三角形的面积； （3）∵，， ∴，， ∵三角形与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴当时，，解得，不符合题意，应舍去； ∴当时，，解得，符合题意； ∴当时，，解得，符合题意； 综上所述，或． （4）如图所示，过点P作，当点P在线段上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点P在射线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，、、之间的数量关系为或． 18． 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，若，则___________．（用含的式子表示）； (3)将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与的数量关系，并予以证明． 【答案】(1) (2) (3)或，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）设交点为M，根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）如图，设交点为M，根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】（1）解：如图，设交点为M， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图，设交点为M， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：或，证明如下： 当交点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当交点F在线段上时，如图4， 同理可得：； 当交点F在线段上时，如图5， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 19．已知是等边三角形，于点D，点E是直线上的动点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，． (1)问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是 ； (2)结论证明：如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点E在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）分点E在点A的下方和点A的上方两种，由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点B顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点B顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①点E在点A的下方时，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点E在和点A的上方时，如图： 同理， 综上，或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 20．已知：在中，，动点D绕的顶点A逆时针旋转，且，连接．过、的中点E、F作直线，直线与直线、分别相交于点M、N． (1)李明研究如图1，发现当点D旋转到的延长线上时，点N恰好与点F重合，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，得出结论与关系式____________________（不需证明）； (2)当点D旋转到图2位置时，与有何数量关系？李明只证明了一部分，请你接着补充证明过程： 证明：取的中点，连接、． 是的中点，H是的中点， ，，． (3)图3中的位置时，请直接写出与数量关系____________________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形中位线的性质：三角形的中位线平行并且等于第三边的一半．理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形中位线定理和平行线的性质，可知，，，，由，可知，得，进而可得答案； （2）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，，，，可知，即可证得； （3）同（2）即可求解． 【详解】（1）解：∵、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， 则，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 故答案为：； （2）证明：取的中点，连接、． 是的中点，H是的中点， ，， ． 同理，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）取的中点，连接、． ∵F是的中点，H是的中点， ∴，， ∴， 同理，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系． 【深入研究】 （2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）是定值，理由见详解 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由外角的性质可证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 将绕点按顺时针方向旋转，得到． ，， ， ； （2）如图，在上截取，连接， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ； （3）的周长是定值，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 的周长， 的周长是定值． 22．已知是等边三角形，于点，点是直线上的动点，将绕点顺时针方向旋转60°得到，连接，，． （1）问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是_________； （2）结论证明：如图2，当点在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论； （3）拓展延伸：若点在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）55°；（2），见解析；（3）15°或75° 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）分点在点A的下方和点A的上方两种，由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）55°，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转60°得到， ∴，， ∴， 在△ADC和△BDA中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）结论：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转60°得到， ∴，， ∴， 在△ADC和△BDA中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或75°分两种情况： ①点在点A的下方时，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点在和点A的上方时，如图： 同理可得． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 23．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【答案】(1)15；见解析 (2) (3)3秒或9秒或21秒或27秒或30秒 【分析】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，． （1）先根据平行线的性质可求出，再根据角的和差即可得出的度数，然后画图即可； （2）根据角的和差关系可得，据此可得结论； （3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ； （2）解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知，， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则 ∴（秒）； ③当时，此时，， 则， ∴（秒）； ④当时，此时，与重合 则， ∴（秒）； ⑤当时 则， ∴（秒）； 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 24．如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动． (1)如图2，若时，___________； (2)如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是 ． (3)如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． (4)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①求为何值时，； ②在转动过程中，请求出当为何值时，是的倍． 【答案】(1) (2) (3)成立，证明见解析 (4)① 或；②    或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及角的计算，正确的用表示出目标角是本题解题的关键． （1）先求出的度数，然后除以转动速度； （2）根据、、之间的数量关系求解即可； （3）同（2）的方法，即可求解； （4）先求出的取值范围； ①用表示出和，的位置分类讨论； ②用表示出，根据位置分类讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）， ， ， ， ； 故答案为：； （3）仍然成立，理由如下： ，， ； （4）旋转至射线上时，停止转动， ； 当重合时， 解得： ①， 当＜时，， 解得：； 当＞时，， 解得：； 或； ②依题意得：， 绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动， 每秒增加， ， 当时， 解得： 当＜时，， ， 解得：； 或． 【题型4 动点最值问题】 25．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 （2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 【答案】（1）与，见解析；（2）见解析；（3）当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，最小值为 【分析】对于（1），由旋转的性质，根据“边角边”证明，即可得出答案； 对于（2），先说明是等边三角形，进而得，再由（1）中，可得，接下来说明，则结论可得； 对于（3），当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，由前两问可得，可知当最小时，的周长最小，此时， 再结合勾股定理求出，可得答案. 【详解】（1）解：. 理由是：由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ； （2）证明：平分 理由是：∵绕点A逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ． 由（1）的证明可得，， ， ， ， 即平分； （3）解：当点D在运动到的中点位置时，的周长最小 连接AE，由（1）的证明可得，， . 是等边三角形， ， ， ∴当最小时，的周长最小，此时， 是等边三角形，边长为2， ， 的周长最小值为． 即当点D在运动到BC的中点位置时，的周长最小，最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，确定最小值是解题的关键. 26．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值：;最大值： 【详解】（1）解：∵将绕绕顶点顺时针旋转，旋转角为且， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，三个内角都为， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 又∵为的直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 过点作的高， ， ∴． （3）∵为中点， ∴， 最小值： 点到直线的垂距。由旋转性质，到的距离为， 当、与垂足共线时，垂距为：． 最大值： 到的最远距离。当在正下方且、、共线时， 距离为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质。掌握旋转前后对应边相等、对应角相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键． 本题主要考查旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、直线方程求解及三角形面积计算。掌握旋转前后点坐标的计算方法、直线方程联立求交点，以及准确利用几何性质转化角度和边长关系是解题的关键． 本题主要考查点到直线的距离公式、旋转的性质及线段最值问题。掌握利用直角三角形面积法求高，以及三点共线时线段和差的最值判定方法是解题的关键． 27．如图，等边的边长为4，P是边上的一动点，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，D是边的中点，连接． (1)求的度数． (2)点P在边上运动的过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （1）根据旋转的性质及等边三角形的性质即可得到的度数； （2）当时，的长最小，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：绕点A按逆时针方向旋转，得到， ． 是等边三角形， ， ． （2）解：由（1），可知， 点Q在射线上运动， 当时，的长最小． D是边的中点， ． ， ． 在中， ， 的最小值是． 28．（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 【答案】（1）；等边；90 ；；（2），（或），见解析；（3）最小值为 【分析】本题考查了旋转三角形的问题，等边三角形，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可． （2）将绕A点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接、，证明是等边三角形，得，则，当点、、、四点共线时，最小，证明，在中 ，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：（1）  等边  90   （2），（或） 证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、． ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、、四点共线时，最小 ∵， ∴， 在中， 即的最小值为． 29．在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）线段长度的最小值为． 【分析】（1）结合旋转性质推得，，即可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，再由中位线定理可得； （2）延长至点，使得 ，连接，利用“边角边”证明，结合全等三角形性质和中位线定理即可证得； （3）取的中点，连接，作于，利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，即点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小，结合含的直角三角形特征即可得． 【详解】解：（1）依题得：，，， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接， ， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的定直线上运动， 当点在处时，最小， ， ， 又， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 30．是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、． (1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度． (2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】(1)可得是等腰直角三角形，从而得出和的长，进而在直角三角形中求得，进一步得出结果； (2)可证得，从而，可证得是的中位线，从而，进一步得出结论； (3)以为边，在上方作等边三角形，作平分，并延长至，使，连接，，作于，连接，可证得，从而．从而得出点在与成的直线上运动，可证得点、、共线，求得，解三角形，求得的值，进一步得出结果. 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， 在中， ，， ， ； （2）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ， ∴， ； （3）解：如图， 以为边，在上方作等边三角形，作平分，并延长至W，使，连接，，作于T，连接， ，， ， 绕点G顺时针旋转到， ，， ， ， ， ， ， ∴点M在与成的直线上运动， 由（2）知， 是的中位线， ， ， ， ， ， ∴点W、M、E共线， 是的垂直平分线， ， ， ， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， （舍去）， ， ∴当M在T处时，最小． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 31．如图1，在中，，，点为边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设． (1)的最小值为 ，此时 ； (2)当时， ； (3)当点落在上时，求的值； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)． 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题的关键． （1）当时，的值最小，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到； （2）如图1，如图2，根据旋转的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （3）作于点，如图2所示，由题意可知，根据勾股定理得到，求得，解方程得到 （4）如图5，以为直角边作等腰直角三角形，以为边向下作等腰直角三角形，补全矩形，连接，得出点在定直线上运动，当时，最小，作，根据等面积法即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，的值最小， 在中，，， ， ， ， ，． 故答案为：，； （2）如图1， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， 如图， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：或； （3）作于点，如图所示， 由题意可知， 则 ∴，即 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ 即， 解得 （4）如图5，以为直角边作等腰直角三角形，以为边向下作等腰直角三角形， 补全矩形，连接， 当从运动到点，点从运动到点，即点在定直线上运动，当时，最小，作， ，， ∴ ∴ 即的最小值为． 32．如图，在直角中，为线段上一动点（不包含端点），连接，将绕点顺时针旋转得到，过点作的垂线，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，连接，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接． ①按要求补全图3，并求证： ②若，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①图见解析，证明见解析；② 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作，交的延长线于点，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：①补全图形如图所示： ∵翻折， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点M，则：， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，的值最小，此时：， ∴， ∴的最小值为． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题11 旋转相关动点问题 （4种类型32道） 目录 【题型1动点定值问题】 1 【题型2 动点探究线段数量关系】 4 【题型3 动点探究角的数量关系】 7 【题型4 动点最值问题】 12 【题型1动点定值问题】 1．如图 ，点，且a、b满足． (1)如图1 ，求的面积 ； (2)如图2 ，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且， 猜想线段之间的数量关系并证明你的结论 ； (3)如图3 ，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点 ，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q ，当P点在x轴正半轴上移动时 ，线段和线段中哪一条线段长为定值 ，并求出该定值． 2．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE(含30°)，将三角板ABC(含45°)绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角(0<<180°)，试问: (1)如图2，当=15°时，指出图中AB与DE的位置关系，并说明理由; (2)当旋转到AB与AE重叠时(如图3)，则=_______度 (3)当△ADE的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角的所有可能的度数 (4)当0°<≤45”时，连接BD(如图4)，探求∠DBC+∠CAE+∠BDE是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程;如果不是，请说明理由． 3．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F． （1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF； （2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 4．将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°） （1）当DE∥AC时（如图2），求α的值； （2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值； （3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由． 5．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索： （1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由； （2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°； （3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围． 6．【特例感知】 （1）如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由． 7．如图1，等边中，分别交、于点D、E． (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 8．如图，连接，点D在边上（点D不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． (1)求证： (2)①若且与的数量关系满足求的面积． ②若连接，则的面积是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【题型2 动点探究线段数量关系】 9．在中，，，过点A作直线平行于，点D是直线上一动点，连接，射线绕点D顺时针旋转交直线于点E． (1)如图1，若，当点E在线段上时，请直接写出线段，，之间的数量关系，不用证明； (2)如图2，若，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)如图3，若，，，请直接写出的长． 10．（1）如图①，在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．并说明理由； 小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决，请你参考小明的思路解决问题：探究线段、、三条线段的数量关系，并说明理由； （2）如图②，当点在线段上，点在的延长线上时，若（1）中其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 11．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，正方形，点是边上的动点，点在延长线上，连接、． (1)若． ①求证：平分； ②连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的最大值． 13．正方形中，点是边上一动点，连接． (1)如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 14．如图与为等边三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，射线与直线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在，上，试探索和的数量关系并说明理由； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，，，三条线段之间的数量关系； (3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 15．如图，中，，，点D是边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，与交于点M． (1)如图①，连接，则　　　　；（填度数）图中与相等的角是　　　　；（用三个字母表示且不添加任何字母） (2)求证：M为的中点． (3)直接写出线段与的数量关系． 16．在中，，，点是的中点，，垂足为E，连接． (1)如图1，与的数量关系是__________． (2)如图2，若P是线段上一动点（点P不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； 【题型3 动点探究角的数量关系】 17．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 18． 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，若，则___________．（用含的式子表示）； (3)将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与的数量关系，并予以证明． ∵， ∴， ∵， ∴， 19．已知是等边三角形，于点D，点E是直线上的动点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，． (1)问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是 ； (2)结论证明：如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点E在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数． 20．已知：在中，，动点D绕的顶点A逆时针旋转，且，连接．过、的中点E、F作直线，直线与直线、分别相交于点M、N． (1)李明研究如图1，发现当点D旋转到的延长线上时，点N恰好与点F重合，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，得出结论与关系式____________________（不需证明）； (2)当点D旋转到图2位置时，与有何数量关系？李明只证明了一部分，请你接着补充证明过程： 证明：取的中点，连接、． 是的中点，H是的中点， ，，． (3)图3中的位置时，请直接写出与数量关系____________________． 21．如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系． 【深入研究】 （2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由． 22．已知是等边三角形，于点，点是直线上的动点，将绕点顺时针方向旋转60°得到，连接，，． （1）问题发现：如图1，当点在线段上时，且，则的度数是_________； （2）结论证明：如图2，当点在线段的延长线上时，请判断和的数量关系，并证明你的结论； （3）拓展延伸：若点在直线上运动，若存在一个位置，使得是等腰直角三角形，请直接写出此时的度数． 23．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 24．如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动． (1)如图2，若时，___________； (2)如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是 ． (3)如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． (4)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①求为何值时，； ②在转动过程中，请求出当为何值时，是的倍． 【题型4 动点最值问题】 25．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 （2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 26．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 27．如图，等边的边长为4，P是边上的一动点，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，D是边的中点，连接． (1)求的度数． (2)点P在边上运动的过程中，求的最小值． 28．（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 29．在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 30．是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、． (1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度． (2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值． 31．如图1，在中，，，点为边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设． (1)的最小值为 ，此时 ； (2)当时， ； (3)当点落在上时，求的值； (4)连接，直接写出的最小值． 32．如图，在直角中，为线段上一动点（不包含端点），连接，将绕点顺时针旋转得到，过点作的垂线，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，连接，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接． ①按要求补全图3，并求证： ②若，直接写出的最小值． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $