第三单元 倍数与因数（知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共73题）-2025-2026学年北师大版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第三单元 倍数与因数 （知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共73题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：整数和自然数 2 知识点梳理02：倍数与因数 2 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 3 知识点梳理04：找因数 3 知识点梳理05：质数与合数 3 高频考点讲练1：因数和倍数的认识 4 高频考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 4 高频考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 5 高频考点讲练4：2、5的倍数特征 5 高频考点讲练5：奇数与偶数的认识 6 高频考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 6 高频考点讲练7：3的倍数特征 7 高频考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 8 高频考点讲练9：9的倍数特征 8 高频考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 9 高频考点讲练11：根据因数的特征解决问题 9 高频考点讲练12：倍数和因数的综合应用 10 高频考点讲练13：质数与合数的认识 10 高频考点讲练14：质数与合数的综合应用 11 高频考点讲练15：质因数的含义 12 高频考点讲练16：分解质因数 13 升学真题 实战演练 13 优选题型 培优强化 14 基础夯实 能力提升 14 创新拓展 拔尖冲刺 16 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：整数和自然数 整数：像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，整数包括正整数、0和负整数，没有最大或最小的整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数，自然数包括正整数和0，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 知识点梳理02：倍数与因数 倍数与因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。例如3×4=12，则3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 两者关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如不能说“12是倍数”“3是因数”，而应表述为“12是3和4的倍数”“3是12的因数”。 研究范围：在研究倍数和因数时，所说的自然数指的是不包括0的自然数。 求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。例如，3的倍数有3×1=33×1 = 33×1=3，3×2=63×2 = 63×2=6，3×3=93×3 = 93×3=9……所以3、6、9等都是3的倍数。 判断两个数成倍数关系的方法： 列乘法算式：看能否通过两个数相乘得到另一个数，用积来判断。 列除法算式：如果商是整数且没有余数，那么这两个数就成倍数关系，反之则不是。例如24÷6=424÷6 = 424÷6=4，商是整数且没有余数，所以24是6的倍数。 倍数与因数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如10、12、14等都是2的倍数。 奇数和偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。例如2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。如10、15、20等都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如123，各位数字之和为1+2+3=61 + 2 + 3 = 61+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 知识点梳理04：找因数 列乘法算式：从1开始，一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数。例如找12的因数，因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式：用这个数除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 知识点梳理05：质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。例如2、3、5、7等，它们都只有1和自身两个因数。 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。例如4、6、8、9等，4的因数有1、2、4，除了1和4还有因数2。 特殊数：1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 高频考点讲练1：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）已知m＝2n（m，n都是非零的自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．m是n的因数 B．n是2的倍数 C．m是n的倍数 D．m是2的因数 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一批牛奶的包装情况如下。 每箱盒数 是否有剩余 甲包装 10盒 没有剩余 乙包装 12盒 没有剩余 (1)甲包装每10盒牛奶装一箱，结果没有剩余，说明这批牛奶的盒数是( )的倍数。 (2)求4箱乙包装的牛奶一共有多少盒，列式计算为 ，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【变式训练2】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支4元，圆珠笔每支3元。那么王老师可能花了（    ）元钱。 A．48 B．38 C．28 高频考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（23-24五年级上·山西运城·阶段练习）十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 【变式训练1】（23-24五年级下·全国·课后作业）为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【变式训练2】（22-23五年级上·广东深圳·期末）一个数既是6的倍数又是54的因数，这个数最大是( )。 高频考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练1】（2023五年级上·辽宁·专题练习）耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是( )岁。 【变式训练2】（21-22五年级上·陕西咸阳·期末）五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 高频考点讲练4：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西西安·期中）五个连续自然数的和一定是5的倍数。( )（判断对错） 【变式训练1】（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在网络上，人们利用闲暇时间在蚂蚁森林收集绿色能量，然后选择保护地进行虚拟种树。现实生活中，园林工人在鞍子河保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 高频考点讲练5：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，如此翻动99次后，( )面朝上，翻动500次后，( )面朝上。 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁沈阳·期末）m表示不为0的自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 【变式训练2】（24-25五年级上·福建泉州·期中）欢欢、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 高频考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）妈妈为了激励两个小孩养成坚持跳绳锻炼的习惯。约定：每天发给先完成跳绳任务的孩子4张贴纸，发给后完成的孩子3张贴纸。经过几天的坚持与努力，其中一个孩子已经累积获得了26张贴纸，那么另一个孩子可能获得了多少张贴纸？展示你的思考过程。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）为了加强生活垃圾分类宣传教育，提高师生参与垃圾分类的积极性和主动性，学校举办了垃圾分类知识竞赛。五（1）班同学参加了这次竞赛，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（1）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？ 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）某场科技竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错或不答倒扣2分，扣完为止。那么每名参赛学生的总分一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 高频考点讲练7：3的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元测试）实验创新。 （1）图中虚线框里的三个数的和是（    ），这个数（    ）（填“是”或“不是”）3的倍数。 （2）请你用在数表中任意框出三个数，这三个数的和一定是3的倍数吗？请说明你的判断理由。 （3）请你用在上面的数表中任意框出三个数，这三个数的和一定是3的倍数吗？请说明你的判断理由。 【变式训练1】（23-24五年级下·安徽淮南·期末）立夏是24节气中第7个节气，与立春、立秋、立冬并称“四立”，代表着季节的转换与过渡。2023年的立夏在5月6日，天文科普专家表示，21世纪的100年内仅有9年的立夏与这一年的日期相同。画线的数字中，( )是奇数，( )是3的倍数，( )是5的倍数。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）500位同学站成一排，从左往右按“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报到3的留下。向左看齐并重复同样的报数过程，如此进行若干次后，只留下了两位同学，在开始的队伍中这两位同学分别在从左往右数的第多少位？ 高频考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西榆林·期末）一个三位数76□，同时是2和3的倍数，□里可能是（    ）。 A．2，5 B．5，8 C．2，8 D．2，6，8 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁营口·期中）用9，0，3，5中任意两个数字组成的两位数中，同时是2和3的倍数有( )，同时是2和5的倍数有( )，同时是2，3和5的倍数有( )。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）用下面卡片上的数字按要求组成一个四位数。 0     2     3     7 最大的奇数：( )；     最小的偶数：( )； 同时是2，3倍数的最大的四位数：( )； 同时是5，3倍数的最小的四位数：( )； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：( )。 高频考点讲练9：9的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期中）同学们学过3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。9的倍数有什么特征呢？请举例说明。 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁·期中）在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 【变式训练2】（24-25五年级上·辽宁·课后作业）一个数是3的倍数，这个数（　　）是9的倍数。 A．一定 B．不一定 C．一定不 高频考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）23□是3的倍数，□里最大可以填( )；24的最大因数是( )。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期末）淘气说找24的全部因数有很多种方法，但方法（    ）是不正确的。 A．在每格边长为1厘米的方格纸上画出面积为24平方厘米的所有长方形，记下长和宽 B．写出被除数为24的全部没有余数的整数除法算式，记下除数和商 C．写出积为24的全部整数乘法算式，记下两个乘数 D．在每格边长为1厘米的方格纸上画出周长是24厘米的全部长方形，记下长和宽 【变式训练2】（24-25五年级上·广东深圳·期中）儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 高频考点讲练11：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级上·福建泉州·期中）五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是( )行( )列，也可以是( )行( )列，最多可以排成( )个不同的队伍。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 【变式训练2】（24-25五年级上·甘肃定西·期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？ 高频考点讲练12：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级上·四川成都·期中）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 。（写出符合条件的所有数） 【变式训练1】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【变式训练2】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    高频考点讲练13：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）小均爸爸新购置了一把旅行箱密码锁，设置的3位数密码如图（从上到下读数），这个旅行箱的密码是（    ）。 A．249 B．247 C．207 D．129 【变式训练1】（2025六年级下·全国·专题练习）奇思的爸爸有一个密码箱，他忘记了密码，请你根据提示帮助他找到密码。密码是（    ）。 提示：密码是一个三位数。百位上是最小的质数，十位上的数比百位上的数多3，这个三位数既有因数5，又是3的倍数。 A．140 B．145 C．250 D．255 【变式训练2】（24-25五年级上·山西晋城·期末）天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是( )。 高频考点讲练14：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 【变式训练2】（23-24五年级上·浙江金华·期末）两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。 高频考点讲练15：质因数的含义 【典例精讲】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）猜数游戏。    我俩是 和 。 【变式训练1】．（22-23五年级上·黑龙江大庆·期末）甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质因数 D．无法确定 【变式训练2】（24-25五年级上·全国·课后作业）18的因数有 ，其中 是它的质因数，将18分解质因数是 。 高频考点讲练16：分解质因数 【典例精讲】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）把一个合数用质因数连乘的形式表示出来，叫作分解质因数，如：12＝2×2×3。请把下列各数分解质因数。 24＝ 60＝ 210＝ 【变式训练2】（22-23五年级上·广东揭阳·期末）填质数。 18＝( )＋( )        45＝( )×( )×( ) 【演练1】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数且相差2，那么3和5就是一对“孪生质数”。下面为“孪生质数”的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【演练2】（2025·吉林长春·小升初真题）三个连续自然数的和必定是3的倍数。( )（判断对错） 【演练3】（2024·福建泉州·小升初真题）有m、n两个数，数m除以5，余数是3；数n除以5，余数是2。以下说法正确的是（    ）。 A．m一定大于n。 B．m和n的和一定是5的倍数。 C．m和n的差一定是5的倍数。 D．当商都等于11时，n＝58。 【演练4】（2024·广东惠州·小升初真题）有三个连续偶数，中间的一个数是m，那么最小的偶数是（    ）。 A．m＋2 B．m－2 C．m－4 【演练5】（2022·河南鹤壁·小升初真题）小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·安徽淮南·期末）关于25这个数字，下列说法正确的是（    ）。 ①5是它的一个因数    ②125是它的一个倍数 ③25的倍数有无限多个   ④25的因数有无限多个 A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③ 2．（23-24五年级下·陕西西安·期中）已知1□0是一个三位数，要使1□0同时是2、3和5的倍数，□里有（    ）种不同的填法。 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25五年级上·陕西西安·期中）老师准备了32个礼盒，平均发给班里参与表演的同学。表演的人数不可能是（    ）人。 A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25五年级上·河南商丘·期末）在2、3、4、10、18、35、60、84中，( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数，( )同时是2，3和5的倍数。 5．（24-25五年级上·陕西铜川·期中）50以内最大的质数是( )。 6．（25-26五年级上·全国·课后作业）乐乐家的Wi－Fi（无线网络）密码是一串数字（ABCDEFGH），被乐乐编成了一道数学问题，每句话表示1个数字。根据下面的信息，可以破解出她家的Wi－Fi密码是( )。 7．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 8．（2024六年级下·江苏·专题练习）小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？ 9．（20-21五年级上·辽宁大连·期末）选哪种包装盒能正好把48瓶饮料装完？还有其他包装方式吗？如果有请写出来。 10．（24-25五年级上·浙江金华·期末）为了加强生活垃圾分类宣传教育，学校举办了一系列活动，每个班级师生积极参与其中。 （1）五（1）班同学们调查发现：一个人4周可产生约30.8千克生活垃圾。照这样计算，平均每人每天产生多少生活垃圾？（用两种方法解答） （2）五（2）班同学们调查汇报：一个小区周一到周五共产生生活垃圾约3.5吨，周末每天产生生活垃圾约1.3吨。与平时相比，这个小区周末每天要多处理多少吨生活垃圾？ （3）在垃圾分类知识竞赛中，五（3）班同学全员参加，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（3）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？（列表解答） 对几道 错几道 得多少分 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25六年级下·安徽淮南·期末）下列能被3整除的数为（    ）。 A．1122 B．1208 C．1793 D．1202 12．（2025六年级下·全国·专题练习）将1－9的数字卡牌放入学具袋，任意抽出一张卡牌，抽中（    ）的可能性最大。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 13．（23-24五年级上·陕西西安·期中）某月内有3个星期日的日期都是偶数，那么这个月的15日是星期（    ）。 A．一 B．五 C．六 14．（25-26五年级上·全国·随堂练习）回忆旧知：3的倍数的特征( )。 15．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）83至少要加上( )是2的倍数，至少减去( )是5倍数。 16．（24-25五年级上·甘肃定西·期中）在2、17、120、43、6.7、1、26、87中，质数有( )，合数有( )。 17．（20-21五年级上·辽宁·期中）商店里有6箱货物，分别重16、19、21、22、24、25千克两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重( )千克。 18．（2014五年级·全国·课后作业）如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )（判断对错） 19．（23-24五年级下·辽宁·假期作业）某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 20．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1、3、5、7、9、…擦去其中的一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2000，求擦去的奇数是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 倍数与因数 （知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共73题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：整数和自然数 2 知识点梳理02：倍数与因数 2 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 3 知识点梳理04：找因数 3 知识点梳理05：质数与合数 3 高频考点讲练1：因数和倍数的认识 4 高频考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 5 高频考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 7 高频考点讲练4：2、5的倍数特征 7 高频考点讲练5：奇数与偶数的认识 8 高频考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 10 高频考点讲练7：3的倍数特征 13 高频考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 16 高频考点讲练9：9的倍数特征 18 高频考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 19 高频考点讲练11：根据因数的特征解决问题 20 高频考点讲练12：倍数和因数的综合应用 21 高频考点讲练13：质数与合数的认识 23 高频考点讲练14：质数与合数的综合应用 24 高频考点讲练15：质因数的含义 26 高频考点讲练16：分解质因数 27 升学真题 实战演练 28 优选题型 培优强化 30 基础夯实 能力提升 30 创新拓展 拔尖冲刺 36 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：整数和自然数 整数：像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，整数包括正整数、0和负整数，没有最大或最小的整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数，自然数包括正整数和0，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 知识点梳理02：倍数与因数 倍数与因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。例如3×4=12，则3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 两者关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如不能说“12是倍数”“3是因数”，而应表述为“12是3和4的倍数”“3是12的因数”。 研究范围：在研究倍数和因数时，所说的自然数指的是不包括0的自然数。 求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。例如，3的倍数有3×1=33×1 = 33×1=3，3×2=63×2 = 63×2=6，3×3=93×3 = 93×3=9……所以3、6、9等都是3的倍数。 判断两个数成倍数关系的方法： 列乘法算式：看能否通过两个数相乘得到另一个数，用积来判断。 列除法算式：如果商是整数且没有余数，那么这两个数就成倍数关系，反之则不是。例如24÷6=424÷6 = 424÷6=4，商是整数且没有余数，所以24是6的倍数。 倍数与因数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如10、12、14等都是2的倍数。 奇数和偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。例如2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。如10、15、20等都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如123，各位数字之和为1+2+3=61 + 2 + 3 = 61+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 知识点梳理04：找因数 列乘法算式：从1开始，一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数。例如找12的因数，因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式：用这个数除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 知识点梳理05：质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。例如2、3、5、7等，它们都只有1和自身两个因数。 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。例如4、6、8、9等，4的因数有1、2、4，除了1和4还有因数2。 特殊数：1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 高频考点讲练1：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）已知m＝2n（m，n都是非零的自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．m是n的因数 B．n是2的倍数 C．m是n的倍数 D．m是2的因数 【答案】C 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，已知m＝2×n，所以m是2、n的倍数，2、n就是m的因数，据此解答即可。 【规范解答】A．由分析可知，m是n的倍数，不符合题意。 B．由分析可知，不能确定n是否是2的倍数，不符合题意。 C．由分析可知，m是n的倍数，符合题意。 D．由分析可知，m是2的倍数，不符合题意。 故答案为：C 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一批牛奶的包装情况如下。 每箱盒数 是否有剩余 甲包装 10盒 没有剩余 乙包装 12盒 没有剩余 (1)甲包装每10盒牛奶装一箱，结果没有剩余，说明这批牛奶的盒数是( )的倍数。 (2)求4箱乙包装的牛奶一共有多少盒，列式计算为 ，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】(1)10 (2) 4×12＝48（盒） 4和12 48 48 4和12 【思路引导】在算式a×b＝c（a，b，c均为非0自然数），c 是a和b的倍数，a和b是c的因数。或如果整数a除以整数 b（b≠0） 的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，a是b的倍数。 （1）甲包装每10盒牛奶装一箱，结果没有剩余，所以这批牛奶的盒数能被10整除，说明这批牛奶的盒数是10的倍数。 （2）4箱乙包装的牛奶一共有多少盒，用乘法计算，即4×12＝48（盒），在式子4×12＝48中，4和12是48的因数，48是4和12的倍数。 【规范解答】（1）由分析得：甲包装每10盒牛奶装一箱，结果没有剩余，说明这批牛奶的盒数是10的倍数。 （2）由分析得：求4箱乙包装的牛奶一共有多少盒，列式计算为4×12＝48（盒），4和12是48的因数，48是4和12的倍数。 【变式训练2】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支4元，圆珠笔每支3元。那么王老师可能花了（    ）元钱。 A．48 B．38 C．28 【答案】C 【思路引导】将钢笔的单价加上圆珠笔的单价求出单价和，由于钢笔和圆珠笔的支数相同，那么王老师花的钱数是单价和的倍数。整数a除以整数b，商是整数且没有余数，那么a是b的倍数。据此解题。 【规范解答】4＋3＝7（元） A．48÷7＝6……6，所以48不是7的倍数； B．38÷7＝5……3，所以38不是7的倍数； C．28÷7＝4，所以28是7的倍数； 那么，王老师可能花了28元钱。 故答案为：C 高频考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（23-24五年级上·山西运城·阶段练习）十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 【答案】49张 【思路引导】由题可知，如果每4张分为一组，那么还多1张，即把照片总数去掉1张后照片总数就是4的倍数，因为原照片总数比40张多，比50张少，所以，照片的总数可能是4×11＋1或4×12＋1，再根据每5张分为一组，那么还少1张确定张数即可。 【规范解答】4×11＋1 ＝44＋1 ＝45（张） 4×12＋1 ＝48＋1 ＝49（张） 45÷5＝9（组） 49÷5＝9（组）……4（张） 所以，这些照片是49张。 答：这些照片是49张。 【变式训练1】（23-24五年级下·全国·课后作业）为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【答案】42 【思路引导】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出50以内14的倍数，50以内最大的倍数就是女孩收入的钱数。 【规范解答】14×1＝14（元） 14×2＝28（元） 14×3＝42（元） 14×4＝56（元） 50以内14的倍数有：14、28、42 女孩收入的钱数是42元。 【变式训练2】（22-23五年级上·广东深圳·期末）一个数既是6的倍数又是54的因数，这个数最大是( )。 【答案】54 【思路引导】 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数，据此解答。 【规范解答】54（包括54）以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54； 所以，一个数既是54的因数又是6的倍数，这个数最大是54。 【考点剖析】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法。 高频考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【思路引导】每9名排成一队，每队人数一样多，人数应是9的倍数，据此解答。 【规范解答】19÷9＝2（队）……1（名） 9－1＝8（名） 舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来8名同学才能排好队形。 故答案为：B 【变式训练1】（2023五年级上·辽宁·专题练习）耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是( )岁。 【答案】64 【思路引导】由题意可知：奶奶的年龄在60~70之间，且是8的倍数。列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答即可。 【规范解答】8×7＝56，8×8＝64，8×9＝72，其中60＜64＜70，所以奶奶今年64岁。 【考点剖析】此题考查了找一个数的倍数的方法。 【变式训练2】（21-22五年级上·陕西咸阳·期末）五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【答案】47名 【思路引导】根据题意可知，这个班的学生人数在40~50人之间，而这个班的学生比40~50人之间的8的倍数少1，根据求一个数的倍数方法解答。 【规范解答】在40－50人之间8的倍数是48， 48－1＝47（人） 答：五（1）班有47名学生。 【考点剖析】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。 高频考点讲练4：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西西安·期中）五个连续自然数的和一定是5的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【规范解答】五个连续自然数的和＝中间数×5，五个连续自然数的和一定是5的倍数，说法正确。 故答案为：√ 【变式训练1】（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 【答案】40 【思路引导】个位上是0或5的数是5的倍数，各个数位上的和是4，由此可知，这个两位偶数的个位是0，再用4减去0即可求出十位上的数是几。 【规范解答】根据5的倍数的特征可知，个位是0； 4－0＝4 所以这个两位偶数是40。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在网络上，人们利用闲暇时间在蚂蚁森林收集绿色能量，然后选择保护地进行虚拟种树。现实生活中，园林工人在鞍子河保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【答案】最少：103棵 最多：198棵 【思路引导】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【规范解答】100到200之间大于100的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 高频考点讲练5：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，如此翻动99次后，( )面朝上，翻动500次后，( )面朝上。 【答案】 反 正 【思路引导】一张扑克牌正面朝上放在桌上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，翻动3次反面朝上，翻动4次正面朝上……也就是扑克牌翻动1次、3次……反面朝上，翻动2次、4次……正面朝上，即翻动奇数次后，扑克牌的反面朝上，翻动偶数次后，扑克牌的正面朝上；结合奇数和偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；判断99和500分别是奇数还是偶数，即可判断扑克牌是哪个面朝上。 【规范解答】由分析可得：99是奇数，因此翻动99次后，扑克牌的反面朝上；500是偶数，因此翻动500次后，扑克牌的正面朝上。 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁沈阳·期末）m表示不为0的自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 【答案】B 【思路引导】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数； 奇数和偶数的运算性质： ①偶数±偶数＝偶数 ②奇数±奇数＝偶数 ③偶数±奇数＝奇数 ④任意个偶数相加得偶数 ⑤偶数个奇数相加得偶数 ⑥奇数个奇数相加得奇数 ⑦偶数×奇数＝偶数 ⑧奇数×奇数＝奇数 ⑨偶数×偶数＝偶数 【规范解答】A．2m＋2；2是偶数，2m是偶数，2m＋2表示偶数； B．2m＋1；2是偶数；2m是偶数；1是奇数；2m＋1表示奇数； C．m＋1；如果m＝3；3＋1＝4，4是偶数，m＋1不一定奇数； D．m－1；如果m＝5；5－1＝4；4是偶数，m－1不一定表示奇数。 m表示不为0的自然数，那么2m＋1一定表示奇数。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25五年级上·福建泉州·期中）欢欢、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【答案】 10 14 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，用三人的年龄总和除以3，求出平均数，即是中间的年龄，再用中间的年龄分别减2、加2，求出三人中最小的年龄和最大的年龄。 【规范解答】36÷3＝12（岁） 12－2＝10（岁） 12＋2＝14（岁） 他们三人中最小的是10岁，最大的是14岁。 高频考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）妈妈为了激励两个小孩养成坚持跳绳锻炼的习惯。约定：每天发给先完成跳绳任务的孩子4张贴纸，发给后完成的孩子3张贴纸。经过几天的坚持与努力，其中一个孩子已经累积获得了26张贴纸，那么另一个孩子可能获得了多少张贴纸？展示你的思考过程。 【答案】23张或30张；思考过程见详解 【思路引导】根据“每天发给先完成跳绳任务的孩子4张贴纸，发给后完成的孩子3张贴纸”，设已经累积获得了26张贴纸的孩子有a个4张和b个3张，也就是说可以4a＋3b＝26，根据偶数的意义可知，4a和26都是偶数，则3b一定是偶数，3是奇数，那么b一定是偶数。 然后分情况讨论，当b等于哪些偶数时，a是整数，据此得出这个孩子拿了几次第一，几次第二；由此推导出另一个孩子拿了几次第一和几次第二，进而求出另一个孩子可能获得贴纸的数量。 【规范解答】设已经累积获得了26张贴纸的孩子有a个4张和b个3张； 4a＋3b＝26 4a和26都是偶数，则3b一定是偶数，3是奇数，那么b一定是偶数。 ①当b＝2时 4a＋3×2＝26 解：4a＋6＝26 4a＋6－6＝26－6 4a＝20 4a÷4＝20÷4 a＝5 即这个孩子拿到5次第一，2次第二； 那么另一个孩子就拿到2次第一，5次第二；他获得贴纸： 4×2＋3×5 ＝8＋15 ＝23（张） ②当b＝4时 4a＋3×4＝26 解：4a＋12＝26 4a＋12－12＝26－12 4a＝13 4a÷4＝13÷4 a＝3.25 a的值不是整数，不符合题意； ③当b＝6时 4a＋3×6＝26 解：4a＋18＝26 4a＋18－18＝26－18 4a＝8 4a÷4＝8÷4 a＝2 即这个孩子拿到2次第一，6次第二； 那么另外一个孩子就拿到6次第一，2次第二；他获得贴纸： 4×6＋3×2 ＝24＋6 ＝30（张） ④当b＝8时 4a＋3×8＝26 解：4a＋24＝26 4a＋24－24＝26－24 4a＝2 4a÷4＝2÷4 a＝0.5 a的值不是整数，不符合题意； ⑤当b＝10时，3×10＝30（张） 30＞26，超过总数，不符合题意。 答：另一个孩子可能获得了23张或30张贴纸。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）为了加强生活垃圾分类宣传教育，提高师生参与垃圾分类的积极性和主动性，学校举办了垃圾分类知识竞赛。五（1）班同学参加了这次竞赛，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（1）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？ 【答案】偶数；原因见详解 【思路引导】答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，根据奇偶的运算性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，如果答对是奇数，那么答错就是偶数，得分和扣的分数一定是一个奇数一个偶数，所以差也是偶数。 【规范解答】假设全答对： 40×3＝120（分），得分为偶数； 假设答对39道题： 39×3－1×1＝117－1＝116（分），得分为偶数； 假设答对38道题： 38×3－1×2＝114－2＝112（分），得分为偶数； …… 由于答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，总题数是40道，属于偶数。那么答对数量和答错数量肯定一个是奇数、另一个是偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，那么最后两个积相减得到总分，这两个积一定一个是奇数、另一个是偶数，所以结果也是偶数。 答：五（1）班同学所得总分是偶数。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）某场科技竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错或不答倒扣2分，扣完为止。那么每名参赛学生的总分一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【思路引导】分两种情况：①如果答对的题数是偶数，则答错的题数也是偶数；②如果答对的题数是奇数，则答错的题数也是奇数；根据偶数－偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；据此解答。 【规范解答】①如果答对的题数是偶数，10－偶数＝偶数，则答错的题数也是偶数。 偶数×10＝偶数，偶数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 ②如果答对的题数是奇数，10－奇数＝奇数，则答错的题数也是奇数。 奇数×10＝偶数，奇数×2＝偶数， 偶数－偶数＝偶数，因此最终得分是偶数。 因此每名参赛学生的总分一定是偶数。 高频考点讲练7：3的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元测试）实验创新。 （1）图中虚线框里的三个数的和是（    ），这个数（    ）（填“是”或“不是”）3的倍数。 （2）请你用在数表中任意框出三个数，这三个数的和一定是3的倍数吗？请说明你的判断理由。 （3）请你用在上面的数表中任意框出三个数，这三个数的和一定是3的倍数吗？请说明你的判断理由。 【答案】（1）156；是； （2）见详解；一定是；三个数的和是3a，3a一定是3的倍数； （3）见详解；一定是；三个数的和是3a，3a一定是3的倍数 【思路引导】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答即可。 【规范解答】（1）42＋52＋62＝156、1＋5＋6＝12，图中虚线框里的三个数的和是156，这个数是3的倍数。 （2） （答案不唯一） 23＋33＋43＝99、9＋9＝18，这三个数的和是3的倍数； 36＋46＋56＝138、1＋3＋8＝12，这三个数的和是3的倍数； 58＋68＋78＝204、2＋4＝6，这三个数的和是3的倍数。 假设中间数是a；a＋（a－10）＋（a＋10）＝ a＋a－10＋a＋10＝3a 竖着框出连续的三个数的和一定是3的倍数；因为如果中间数是a，这三个数的和是3a。 （3） （答案不唯一） 24＋25＋26＝75、7＋5＝12，这三个数的和是3的倍数； 38＋39＋40＝117、1＋1＋7＝9，这三个数的和是3的倍数； 71＋72＋73＝216、2＋1＋6＝9，这三个数的和是3的倍数。 假设中间数是a； a＋（a＋1）＋（a－1）＝a＋a＋1＋a－1＝3a 横着框出连续的三个数的和一定是3的倍数；因为如果中间数是a，这三个数的和是3a。 【变式训练1】（23-24五年级下·安徽淮南·期末）立夏是24节气中第7个节气，与立春、立秋、立冬并称“四立”，代表着季节的转换与过渡。2023年的立夏在5月6日，天文科普专家表示，21世纪的100年内仅有9年的立夏与这一年的日期相同。画线的数字中，( )是奇数，( )是3的倍数，( )是5的倍数。 【答案】 7、2023、5、21、9 24、6、21、9 5、100 【思路引导】奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数； 3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数。据此解答。 【规范解答】24：2＋4＝6，是3的倍数； 2023：2＋0＋2＋3＝7，不是3的倍数； 21：2＋1＝3，是3的倍数； 立夏是24节气中第7个节气，与立春、立秋、立冬并称“四立”，代表着季节的转换与过渡。2023年的立夏在5月6日，天文科普专家表示，21世纪的100年内仅有9年的立夏与这一年的日期相同。画线的数字中，（7、2023、5、21、9）是奇数，（24、6、21、9）是3的倍数，（5、100）是5的倍数。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）500位同学站成一排，从左往右按“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报到3的留下。向左看齐并重复同样的报数过程，如此进行若干次后，只留下了两位同学，在开始的队伍中这两位同学分别在从左往右数的第多少位？ 【答案】243位和486位 【思路引导】从左往右按“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报到3的留下，先用500除以3求出有多少组零几个，每组有2位同学离开，再加上余数里离开的同学，用500减去离开的同学，求出剩下的同学，同理求出剩下的同学，直到找出最后留下的同学； 从左往右数，首次报数留下的同学是第3，6，9，12，…位同学，恰好是3的倍数；第二次报数留下的同学是开始队伍中的第9，18，27，…位同学，恰好是（3×3）的倍数；第三次报数留下的同学是开始队伍中的第27，54，81，…位同学，恰好是（9×3）的倍数；……依此类推即可解答。 【规范解答】500÷3＝166……2 所以第一次报数后离开了166×2＋2＝334（位），留下的同学是第3，6，9，12，…位同学，恰好是3的倍数； 留下500－334＝166（位）， 166÷3＝55……1 所以第二次报数后离开了55×2＋1＝111（位），留下的同学是开始队伍中的第9，18，27，…位同学，恰好是（3×3）的倍数； 166－111＝55（位） 55÷3＝18……1 所以第三次报数后离开了18×2＋1＝37（位），留下的同学是开始队伍中的第27，54，81，…位同学，恰好是（9×3）的倍数； 55－37＝18（位） 18÷3＝6（位） 6×2＝12（位） 所以第四次报数后离开了12位，留下的同学是开始队伍中的第81，162，324，…位同学，恰好是（27×3）的倍数； 18－12＝6（位） 6÷3＝2 2×2＝4（位）第四次报数后离开了4位，留下的同学是开始队伍中的第243，486，…位同学； 6－4＝2（位） 答：在开始的队伍中这两位同学分别在从左往右数的第243，486位同学。 【考点剖析】本题主要是考查3的倍数的应用，重复利用3的倍数解决问题。 高频考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西榆林·期末）一个三位数76□，同时是2和3的倍数，□里可能是（    ）。 A．2，5 B．5，8 C．2，8 D．2，6，8 【答案】C 【思路引导】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】7＋6＝13，如果76□是3的倍数，□最小填15－13＝2，可以填2、5、8，如果同时是2和3的倍数，□里可能是2，8。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁营口·期中）用9，0，3，5中任意两个数字组成的两位数中，同时是2和3的倍数有( )，同时是2和5的倍数有( )，同时是2，3和5的倍数有( )。 【答案】 90、30 90、30、50 90、30 【思路引导】根据搭配问题的解题方法，先确定十位，其中0不能在最高位，再将其余数字依次放在个位，写出所有不同的两位数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】90、93、95、39、30、35、59、50、53 同时是2和3的倍数有90、30，同时是2和5的倍数有90、30、50，同时是2，3和5的倍数有90、30。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）用下面卡片上的数字按要求组成一个四位数。 0     2     3     7 最大的奇数：( )；     最小的偶数：( )； 同时是2，3倍数的最大的四位数：( )； 同时是5，3倍数的最小的四位数：( )； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：( )。 【答案】 7203 2370 7320 2370 7320 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】最大的奇数：7203；     最小的偶数：2370； 同时是2，3倍数的最大的四位数：7320； 同时是5，3倍数的最小的四位数：2370； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：7320。 高频考点讲练9：9的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期中）同学们学过3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。9的倍数有什么特征呢？请举例说明。 【答案】9的倍数的特征是各个数位上的数字之和是9的倍数；说明见详解 【思路引导】9的倍数有9、18、27、36…99等，因为1＋8＝9，2＋7＝9，3＋6＝9，9＋9＝18，9和18都是9的倍数，即9的倍数的特征是各个数位上的数字之和是9的倍数。 【规范解答】通过分析可得： 9的倍数的特征是各个数位上的数字之和是9的倍数。如18，1＋8＝9，再如99，9＋9＝18，9和18都是9的倍数，说明9的倍数的特征是各个数位上的数字之和是9的倍数。 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁·期中）在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 【答案】 0 1、4、7 3 【思路引导】（1）要使24□是5的倍数，则□是0或5，由于24□又是3的倍数，则2＋4＋□的和是3的倍数，所以□只能填0。 （2）5□0的个位上是偶数，所以5□0是2的倍数，要使5□0是3的倍数，则5＋□＋0的和是3的倍数，所以□里可以填1、4、7。 （3）要□69是9的倍数，则□＋6＋9的和是9的倍数，所以□里只能填3，9是3的倍数，所以369是9的倍数就一定是3的倍数。 【规范解答】（1）根据分析可知，24□，□内填0既是3的倍数又是5的倍数。 （2）根据分析可知，5□0，□内填1、4、7既是2的倍数又是3的倍数。 （3）根据分析可知，□69，□内填3既是3的倍数又是9的倍数。 【变式训练2】（24-25五年级上·辽宁·课后作业）一个数是3的倍数，这个数（　　）是9的倍数。 A．一定 B．不一定 C．一定不 【答案】B 【思路引导】各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，各个数位上数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数，据此即可解答。 【规范解答】1101各个数位上数字之和是3的倍数，但不是9的倍数，所以1101是3的倍数，但不是9的倍数，18090各个数位上数字之和是3的倍数，也是9的倍数，所以18090既是3的倍数，也是9的倍数；所以一个数是3的倍数，这个数不一定是9的倍数。 故答案为：B 高频考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）23□是3的倍数，□里最大可以填( )；24的最大因数是( )。 【答案】 7 24 【思路引导】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。据此2＋3＝5，5加一个一位数结果是3的倍数有：5＋1＝6，5＋4＝9，5＋7＝12，选出最大的即可。 一个数的最大因数是它本身，据此解答。 【规范解答】2＋3＝5 5＋7＝12 据分析可知，23□是3的倍数，□里最大可以填7；24的最大因数是24。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期末）淘气说找24的全部因数有很多种方法，但方法（    ）是不正确的。 A．在每格边长为1厘米的方格纸上画出面积为24平方厘米的所有长方形，记下长和宽 B．写出被除数为24的全部没有余数的整数除法算式，记下除数和商 C．写出积为24的全部整数乘法算式，记下两个乘数 D．在每格边长为1厘米的方格纸上画出周长是24厘米的全部长方形，记下长和宽 【答案】D 【思路引导】如果a×b＝c（a、b、c均为正整数），那么a和b是c的因数。或者如果a÷b＝c（a、b、c均为正整数），那么b和c是a的因数。根据因数的概念，一一分析各个选项中找因数的方法，找出错误的方法即可。 【规范解答】A．长方形面积＝长×宽，在方格纸上长和宽都取整数时，长和宽是长方形面积的因数，方法正确； B．整除算式中，除数和商是被除数的因数，方法正确； C．整数乘法算式中，两个乘数都是积的因数，方法正确； D．长方形周长＝（长＋宽）×2，那么周长是24厘米的全部长方形中，长和宽不是周长的因数，方法错误。 故答案为：D 【变式训练2】（24-25五年级上·广东深圳·期中）儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 【答案】5种；见详解 【思路引导】根据题意可知，包装袋的个数与每袋装的棒棒糖的个数都是总数32的因数，先列举出32的所有因数，因为包装袋的数量大于1，用32所有因数的个数减去1，即是有多少种方法，进而得出每种方法分几个袋子装，以及每个包装袋里有几支棒棒糖。 【规范解答】32的因数：1，2，4，8，16，32；共有6个因数； 6－1＝5（种） 答：老师有5种方法。①分2个袋子装，每个包装袋里有16支棒棒糖；②分4个袋子装，每个包装袋里有8支棒棒糖；③分8个袋子装，每个包装袋里有4支棒棒糖；④分16个袋子装，每个包装袋里有2支棒棒糖；⑤分32个袋子装，每个包装袋里有1支棒棒糖。 高频考点讲练11：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级上·福建泉州·期中）五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是( )行( )列，也可以是( )行( )列，最多可以排成( )个不同的队伍。 【答案】 3 15 5 9 6 【思路引导】五年级的学生的总人数是45名，排成队伍几行几列，就是用行数×列数＝45，即只需要列出两个整数的乘积是45。 1×45＝45，可以是1行45列，也可以是45行1列； 3×15＝45，可以是3行15列，也可以是15行3列； 5×9＝45，可以是5行9列，也可以是9行5列； 则一共有6种不同的队伍。 【规范解答】1×45＝45，可以是1行45列，也可以是45行1列； 3×15＝45，可以是3行15列，也可以是15行3列； 5×9＝45，可以是5行9列，也可以是9行5列； 五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是3行15列，也可以是5行9列，最多可以排成6种不同的队伍。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 【答案】4种 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和50之外50的所有因数即可。 【规范解答】50＝1×50＝2×25＝5×10 50的因数有1、2、5、10、25、50。 可以分成2堆，每堆25个；分成5堆，每堆10个；分成10堆，每堆5个；分成25堆，每堆2个。 答：共有4种分法。 【变式训练2】（24-25五年级上·甘肃定西·期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？ 【答案】6种 【思路引导】列乘法算式找出40的所有因数，即：40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，可得，40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，注意“40＝1×40”不符合题意，据此解题即可。 【规范解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 所以，可以排成：2行每行20人；20行每行2人；4行每行10人，10行每行4人；5行每行8人；8行每行5人； 答：一共有6种排法。 【考点剖析】找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个乘数都是这个数的因数。（2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 高频考点讲练12：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级上·四川成都·期中）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 。（写出符合条件的所有数） 【答案】9，18，27，54 【思路引导】先列举出54的因数，然后列举出54以内9的倍数，再找它们共同的数，这些数既是9的倍数，又是54的因数。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【规范解答】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； 9的倍数：9，18，27，36，45，54…； 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 【变式训练1】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【答案】A 【思路引导】根据求一个数倍数的方法，求出32以内8的倍数；根据求一个数因数的方法，求出32的因数，据此分析解答。 【规范解答】32以内8的倍数有：8，16，24，32 32的因数有：1，2，4，8，16，32 即一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的16。 故答案为：A 【变式训练2】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【答案】20 【思路引导】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【规范解答】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【考点剖析】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 高频考点讲练13：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）小均爸爸新购置了一把旅行箱密码锁，设置的3位数密码如图（从上到下读数），这个旅行箱的密码是（    ）。 A．249 B．247 C．207 D．129 【答案】A 【思路引导】最小的质数是2，最小的合数是4，一位数里最大的奇数是9，据此解答即可。 【规范解答】最小的质数是2，最小的合数是4，一位数里最大的奇数是9，所以这个旅行箱的密码是249。 故答案为：A 【变式训练1】（2025六年级下·全国·专题练习）奇思的爸爸有一个密码箱，他忘记了密码，请你根据提示帮助他找到密码。密码是（    ）。 提示：密码是一个三位数。百位上是最小的质数，十位上的数比百位上的数多3，这个三位数既有因数5，又是3的倍数。 A．140 B．145 C．250 D．255 【答案】D 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】百位上数字是最小的质数即2； 十位上的数比百位上的数多3，即十位上是2＋3＝5； 这个三位数既有因数5，又是3的倍数：个位是0时，2＋5＋0＝7，7不是3的倍数； 个位上是5时，2＋5＋5＝12，12是3的倍数，所以个位上是5； 这个三位数是255。 所以，密码是（255）。 故答案为：D 【变式训练2】（24-25五年级上·山西晋城·期末）天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是( )。 【答案】2951 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】最高位上的数既是偶数又是质数，即2； 百位上的数既是奇数又是合数，即9； 十位上的数比最小的合数大1，最小的合数是4，4＋1＝5，即十位上的数是5； 个位上的数既不是质数也不是合数，即1； 快递取件码是2951。 高频考点讲练14：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【答案】米米；因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【思路引导】从题目可知，果园里有几行果树，每行棵树相等，根据总棵数＝每行棵数行数，总棵数是一个合数，据此判断即可。 【规范解答】43的因数只有1和43，所以43是质数； 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，所以36是合数； 47的因数只有1和47，所以47是质数。 其中只有米米数对了，因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 【答案】 7 3 2 2 7 13 3 2 2 11 23 17 2 2 17 【思路引导】40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37；再根据10、16、40分别是两个质数的和，11、15、21分别是3个质数的和，从40以内的质数，找到合适的质数即可。 【规范解答】； （答案不唯一）；（答案不唯一） （答案不唯一）；（答案不唯一） 【考点剖析】本题考查质数，解答本题的关键是掌握质数的特征。 【变式训练2】（23-24五年级上·浙江金华·期末）两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。 【答案】 194 2257 【思路引导】质数中，除2以外都是奇数。因为99是奇数，“奇数＋偶数＝奇数”，故这两个质数中一定有一个是2，则另一个是99－2＝97，因此这两个质数的乘积是2×97＝194； 两个质数的和是98，找出和和98的两个质数，再分别计算出两个数的积，最后比较积的大小。 【规范解答】99＝2＋97，则2×97＝194； 98＝19＋79＝31＋67＝37＋61 19×79＝1501，31×67＝2077，37×61＝2257 1501＜2077＜2257 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是194；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是2257。 高频考点讲练15：质因数的含义 【典例精讲】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）猜数游戏。    我俩是 和 。 【答案】 5 7 【思路引导】根据题意，两个质数的积是35，则这两个数是35的质因数，那么把35分解质因数即可解答。 【规范解答】35＝5×7，而5＋7＝12，则这两个数是5和7。 【考点剖析】掌握质因数和分解质因数的意义是解题的关键。 【变式训练1】．（22-23五年级上·黑龙江大庆·期末）甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质因数 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】甲是乙的倍数，那么乙是甲的因数，丙是乙的因数，所以丙也是甲的因数，那么甲就是丙的倍数，质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数，据此选择。 【规范解答】根据分析可知，甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的倍数。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查了因数和倍数的认识，明确因数和倍数是相互依存的关系，也可通过举例子解答。 【变式训练2】（24-25五年级上·全国·课后作业）18的因数有 ，其中 是它的质因数，将18分解质因数是 。 【答案】 1、2、3、6、9、18 2、3 18＝2×3×3 【思路引导】所有能整除18的数都是18的因数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数连乘的形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】18的因数有：1、2、3、6、9、18，其中质因数有2、3，18＝2×3×3。 【考点剖析】本题考查求一个数因数额办法以及合数分解质因数的方法，解决此题的关键是熟练掌握这两类题的方法。 高频考点讲练16：分解质因数 【典例精讲】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【答案】 13 5 【思路引导】根据题意得：两个质数的和是18，积是65，可通过分解质因数的方法，可计算得出答案。 【规范解答】将65分解质因数为：，两个质因数之和为：，符合题干中的条件。即这两个数是13和5。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）把一个合数用质因数连乘的形式表示出来，叫作分解质因数，如：12＝2×2×3。请把下列各数分解质因数。 24＝ 60＝ 210＝ 【答案】 2×2×2×3 2×2×3×5 2×3×5×7 【思路引导】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数，据此解答。 【规范解答】由分析可得： 24＝2×2×2×3 60＝2×2×3×5 210＝2×3×5×7 【考点剖析】本题考查了质数和合数的概念，以及分解质因数的方法。 【变式训练2】（22-23五年级上·广东揭阳·期末）填质数。 18＝( )＋( )        45＝( )×( )×( ) 【答案】 11 7 3 3 5 【思路引导】在自然数中，除以1和它本身外，没有别的因数的数为质数； 18以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，从其中找出2个，并且它们的和是18即可； 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；一般先从简单的质数试着分解，据此把45分解成质因数的连乘形式。 【规范解答】18＝11＋7（答案不唯一） 45＝3×3×5 【考点剖析】熟练掌握质数的意义和分解质因数的意义是解答本题的关键。 【演练1】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数且相差2，那么3和5就是一对“孪生质数”。下面为“孪生质数”的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【答案】C 【思路引导】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。据此判断各组的两个数是不是质数，及两个数的差是不是2，据此解答。 【规范解答】A．2和3都是质数，但是3－2＝1，不符合“孪生质数”的概念； B．9的因数有1、3、9，不是质数；11是质数，虽然11－9＝2，但不符合“孪生质数”的概念； C．11和13都是质数，且13－11＝2，符合“孪生质数”的概念； D．15的因数有1、3、5、15，不是质数；13是质数，虽然15－13＝2，但不符合“孪生质数”的概念。 故答案为：C 【演练2】（2025·吉林长春·小升初真题）三个连续自然数的和必定是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】判断一个数是否为3的倍数，只需看它各个数位上的数字之和是否为3的倍数，数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以设三个连续自然数分别为n－1、n、n＋1（n为大于1的自然数）。然后计算判断即可。 【规范解答】假设三个连续自然数分别为n－1、n、n＋1（n为大于1的自然数）。 （n－1）＋n＋（n＋1） ＝n－1＋n＋n＋1 ＝3n－1＋1 ＝3n 因为3n÷3＝n，n是自然数，所以3n是3的倍数，原说法正确。 故答案为：√ 【演练3】（2024·福建泉州·小升初真题）有m、n两个数，数m除以5，余数是3；数n除以5，余数是2。以下说法正确的是（    ）。 A．m一定大于n。 B．m和n的和一定是5的倍数。 C．m和n的差一定是5的倍数。 D．当商都等于11时，n＝58。 【答案】B 【思路引导】已知数m除以5，余数是3，数n除以5，余数是2，根据“商×除数＋余数”计算出被除数，因为商未知，所以被除数不固定；如果a×b＝c（a、b、c均不为0），则c是a和b的倍数；最后对每个选项逐一进行分析判断即可。 【规范解答】A．除数固定，余数固定，商不固定，所以m和n的大小关系不确定，所以本选项错误； B．除数都是5，余数是3和2，2＋3＝5，5是5的倍数，所以m和n的和一定是5的倍数，本选项正确； C．若商是1，则m＝5×1＋3＝8，n＝5×1＋2＝7，8－7＝1，1不是5的倍数，所以本选项错误； D．当商都等于11时，则n＝11×5＋2＝57，所以本选项错误。 故答案为：B 【演练4】（2024·广东惠州·小升初真题）有三个连续偶数，中间的一个数是m，那么最小的偶数是（    ）。 A．m＋2 B．m－2 C．m－4 【答案】B 【思路引导】根据像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。“相邻的两个偶数相差2”可知：中间的一个偶数是m，则它前面的偶数是m－2，它后面的一个偶数是m＋2；进而得出结论。 【规范解答】据分析可知，有三个连续偶数，中间的一个数是m，那么最小的偶数是m－2。 故答案为：B 【演练5】（2022·河南鹤壁·小升初真题）小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】14岁  18岁 【规范解答】48÷3＝16(岁) 16－2＝14(岁) 16＋2＝18(岁) 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·安徽淮南·期末）关于25这个数字，下列说法正确的是（    ）。 ①5是它的一个因数    ②125是它的一个倍数 ③25的倍数有无限多个   ④25的因数有无限多个 A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③ 【答案】A 【思路引导】因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数。 倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的。 【规范解答】① 25÷5＝5，没有余数，所以5是25的因数，正确。 ② 125÷25＝5，能整除，所以125是25的倍数，正确。 ③一个数的倍数有无限多个，25的倍数如25、50、75…，无限个，正确。 ④一个数的因数是有限的，25的因数有1、5、25，错误。 ①②③正确 故答案为：A 2．（23-24五年级下·陕西西安·期中）已知1□0是一个三位数，要使1□0同时是2、3和5的倍数，□里有（    ）种不同的填法。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】1□0的个位是0，则1□0是2和5的倍数； 如果□＝2，1＋2＋0＝3，3是3的倍数，则120是3的倍数； 如果□＝5，1＋5＋0＝6，6是3的倍数，则150是3的倍数； 如果□＝8，1＋8＋0＝9，9是3的倍数，则180是3的倍数； 要使1□0同时是2、3和5的倍数，□里可以填2、5、8，共有3种不同的填法。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·陕西西安·期中）老师准备了32个礼盒，平均发给班里参与表演的同学。表演的人数不可能是（    ）人。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】由题意知：32个礼盒平均分给了参与表演的同学，则32一定能被表演的人数整除，即表演的人数一定是32的因数。将32的因数列举出来，结合选项做出选择即可。 【规范解答】32的因数有：1、2、4、8、16、32。选项中6不是32的因数。表演的人数不可能是6人。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·河南商丘·期末）在2、3、4、10、18、35、60、84中，( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数，( )同时是2，3和5的倍数。 【答案】 2、4、10、18、60、84 3、18、60、84 10、35、60 60 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数； 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数； 同时是2、3、5的倍数的特征：个位为0且各个数位上的数字之和是3的倍数。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 在2、3、4、10、18、35、60、84中，2、4、10、18、60、84是2的倍数，3、18、60、84是3的倍数，10、35、60是5的倍数，60同时是2，3和5的倍数。 5．（24-25五年级上·陕西铜川·期中）50以内最大的质数是( )。 【答案】47 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，列举出50以内的所有质数，再找出最大的质数，据此解答。 【规范解答】50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，所以50以内最大的质数是47。 6．（25-26五年级上·全国·课后作业）乐乐家的Wi－Fi（无线网络）密码是一串数字（ABCDEFGH），被乐乐编成了一道数学问题，每句话表示1个数字。根据下面的信息，可以破解出她家的Wi－Fi密码是( )。 【答案】59601961 【思路引导】一个数，它的最小倍数是它本身，据此求出5的最小倍数；一个数，它的最大的因数是它本身，据此求出最大一位数9的最大因数；一个数，它的最小倍数是和最大的因数都是它本身，据此求出既是6的倍数又是6的因数；最小的自然数是0；只有一个因数的自然数是1；16以内9的倍数只有9；20以内3的倍数有3、6、9、12、15、18，共6个；所有非零自然数的因数都有1。 【规范解答】5的最小倍数是5； 最大一位数的最大因数是9； 既是6的倍数，又是6的因数是6； 最小的自然数是0； 只有一个因数的自然数是1； 16以内9的倍数是9； 20以内3的倍数的个数是6； 所有非零自然数的因数是1； 所以乐乐家的Wi－Fi密码是59601961。 7．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 【答案】15个 【思路引导】由题可知，平均分给5个人或平均分给3个人都没有剩余，说明苹果的个数是3和5的倍数，求妈妈买的苹果至少有多少个，就是求3和5共同的倍数，据此解答。 【规范解答】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30… 5的倍数：5、10、15、20、25、30… 3和5的倍数：15、30… 所以3和5的共同的倍数是15、30… 答：妈妈买的苹果至少有15个。 8．（2024六年级下·江苏·专题练习）小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？ 【答案】14921000 【思路引导】八位数的每个数位的数字在0到9之间，第一位数既不是质数也不是合数的数是1；最小的合数是4；既是奇数又是合数是9；既是偶数又是质数是2，8的最小因数是1；最小的自然数是0。 【规范解答】第一位数既不是质数也不是合数的数：1； 第二位最小的合数：4； 第三位既是奇数又是合数：9； 第四位既是偶数又是质数：2； 第五位8的最小因数：1； 其他三位最小的自然数：0； 则小明家无线网的密码是多少14921000。 9．（20-21五年级上·辽宁大连·期末）选哪种包装盒能正好把48瓶饮料装完？还有其他包装方式吗？如果有请写出来。 【答案】见详解 【思路引导】如果要把正好把48瓶饮料装完，需要每盒能装的瓶数是48的因数，根据找一个数的因数的方法，求出48的因数，即可选出哪几种包装盒能正好把48瓶饮料装完，同时也能找出除了图中这几种包装盒外其他的包装方式，据此解答。 【规范解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 答：选择每盒装6瓶或每盒装3瓶或每盒装8瓶，还可以每盒装1瓶，2瓶，4瓶，12瓶，16瓶，24瓶，48瓶。 【考点剖析】此题的解题关键是灵活运用求一个数的因数的方法解决问题。 10．（24-25五年级上·浙江金华·期末）为了加强生活垃圾分类宣传教育，学校举办了一系列活动，每个班级师生积极参与其中。 （1）五（1）班同学们调查发现：一个人4周可产生约30.8千克生活垃圾。照这样计算，平均每人每天产生多少生活垃圾？（用两种方法解答） （2）五（2）班同学们调查汇报：一个小区周一到周五共产生生活垃圾约3.5吨，周末每天产生生活垃圾约1.3吨。与平时相比，这个小区周末每天要多处理多少吨生活垃圾？ （3）在垃圾分类知识竞赛中，五（3）班同学全员参加，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（3）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？（列表解答） 对几道 错几道 得多少分 【答案】（1）1.1千克 （2）0.6吨 （3）偶数；理由、填空见详解， 【思路引导】（1）第一种方法：用一个人4周产生的垃圾数量除以周数，求出一个人每周产生的垃圾数量，再用一个人每周产生的垃圾数量除以每周的天数，即可求出平均每人每天产生多少生活垃圾； 第二种方法：用产生垃圾的周数乘每周的天数，求出一个人4周产生垃圾的总天数，再用一个人4周产生的垃圾数量除以产生的总天数，即可求出平均每人每天产生多少生活垃圾； （2）先用周一到周五共产生生活垃圾除以5，求出周一到周五每天产生生活垃圾的数量，再用周末每天产生生活垃圾数量减去周一到周五每天产生生活垃圾的数量即可解答； （3）根据答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，再列出所有可能的答对和答错的组合，并计算每种组合的得分即可解答。 【规范解答】（1）第一种方法：30.8÷4÷7 ＝7.7÷7 ＝1.1（千克） 第二种方法：30.8÷（4×7） ＝30.8÷28 ＝1.1（千克） 答：平均每人每天产生1.1千克生活垃圾。 （2）1.3－3.5÷5 ＝1.3－0.7 ＝0.6（吨） 答：这个小区周末每天要多处理0.6吨生活垃圾。 （3）填空如下： 对几道 错几道 得多少分 40 0 120 39 1 116 38 2 112 37 3 108 36 4 104 35 5 100 34 6 96 33 7 92 32 8 88 31 9 84 30 10 80 29 11 76 28 12 72 27 13 68 26 14 64 25 15 60 24 16 56 23 17 52 22 18 48 21 19 44 20 20 40 19 21 36 18 22 32 17 23 28 16 24 24 15 25 20 14 26 16 13 27 12 12 28 8 11 29 4 10 30 0 答：五（3）班同学所得总分是偶数。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25六年级下·安徽淮南·期末）下列能被3整除的数为（    ）。 A．1122 B．1208 C．1793 D．1202 【答案】A 【思路引导】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】A．1＋1＋2＋2＝6，1122能被3整除； B．1＋2＋8＝11，1208不能被3整除； C．1＋7＋9＋3＝20，1793不能被3整除； D．1＋2＋2＝5，1202不能被3整除。 能被3整除的数为1122。 故答案为：A 12．（2025六年级下·全国·专题练习）将1－9的数字卡牌放入学具袋，任意抽出一张卡牌，抽中（    ）的可能性最大。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【思路引导】奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数，质数：除了1和它本身没有别的因数的数，合数：除了1和它本身还有别的因数的数；据此分别确定1－9中的奇数、偶数、质数、合数的个数，再根据哪种类型的卡牌最多，则抽中的可能性最大解答即可。 【规范解答】奇数：1，3，5，7，9，有5个； 偶数：2，4，6，8，有4个； 质数：2，3，5，7，有4个； 合数：4，6，8，9，有4个； 5＞4，1－9中奇数最多。 将1－9的数字卡牌放入学具袋，任意抽出一张卡牌，抽中奇数的可能性最大。 故答案为：A 13．（23-24五年级上·陕西西安·期中）某月内有3个星期日的日期都是偶数，那么这个月的15日是星期（    ）。 A．一 B．五 C．六 【答案】C 【思路引导】一个月内相邻的两个星期日的日期相差7，如果一个星期日的日期是偶数，因为偶数＋7＝奇数，偶数＋14＝偶数，说明下一个星期日是奇数，下下个星期日是偶数。某月内有3个星期日的日期都是偶数，则这3个星期日都不是相邻的，那么这个月有5个星期日。一个月最多有31日，4个星期一共有28日，所以这个月的第一个星期里本月最多有31－28＝3（日）。那么第一个偶数星期日就是2日，则第二个偶数星期日是2＋14＝16（日），第三个偶数星期日是16＋14＝30（日）。据此解答。 【规范解答】通过分析可知，这个月的16日是星期日，则这个月的15日是星期六。 故答案为：C 【考点剖析】明确日期都是偶数的3个星期日都不是相邻的是解题的关键。 14．（25-26五年级上·全国·随堂练习）回忆旧知：3的倍数的特征( )。 【答案】各位上的数的和是3的倍数 【规范解答】3的倍数的特征，即一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 例如12，各位上数字之和为1＋2＝3，3是3的倍数，所以12是3的倍数；再例如123，各位上数字之和为1＋2＋3＝6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。这表明一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 15．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）83至少要加上( )是2的倍数，至少减去( )是5倍数。 【答案】 1 3 【思路引导】2的倍数特征：一个数的个位数字是0、2、4、6、8的数就是2的倍数；5的倍数特征：个位上是0和5的数，据此解答即可。 【规范解答】83＋1＝84，84是2的倍数，则83至少要加上1是2的倍数； 83－3＝80，则至少减去3是5倍数。 16．（24-25五年级上·甘肃定西·期中）在2、17、120、43、6.7、1、26、87中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 2、17、43 120、26、87 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】在2、17、120、43、6.7、1、26、87中，6.7是小数不在质数和合数的研究范围，1既不是质数也不是合数，质数有2、17、43，合数有120、26、87。 17．（20-21五年级上·辽宁·期中）商店里有6箱货物，分别重16、19、21、22、24、25千克两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重( )千克。 【答案】22 【思路引导】其中一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么这两个顾客买的货物总重量是3的倍数，我们可以先从这一组数字（16＋19＋21＋22＋24＋25）÷3＝42……1，去掉一个除以3余1的数即可，只有22符合题意，由此列式解答即可。 【规范解答】根据分析可知，两个顾客拿走货物的总重量为： 16＋19＋21＋24＋25 ＝（16＋24）＋（19＋21）＋25 ＝105（千克） 105÷3＝35（千克） 35×2＝70（千克） 两个顾客拿走的重量分别是：21＋24＋25＝70（千克），16＋19＝35（千克） 那么商店剩下的一箱货物重22千克。 【考点剖析】解答此题的关键是分析出两位顾客买走的总重量是3的倍数，考查了学生分析问题的能力。 18．（2014五年级·全国·课后作业）如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据倍数的意义，如果数A能被数B整除（A、B都不为0），则A就是B的倍数；分解质因数是把一个合数分解成几个质数相乘的形式，据此把6分解质因数可得：6＝3×2，因为6是2和3的倍数，所以一个数如果是6的倍数，则也能被2和3整除，据此解答。 【规范解答】6＝2×3，6是2和3的倍数，所以一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。例如：12是6的倍数，也是2和3的倍数。 故答案为：√ 19．（23-24五年级下·辽宁·假期作业）某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 【答案】偶数 【思路引导】此题满分为（分），即总分为偶数，若错1题要从100分里面扣去5＋1＝6（分），6为偶数，若不答从中扣去5－1＝4（分），4也为偶数，根据偶数－偶数＝偶数可知，一人的得分总是偶数，再根据偶数×奇数＝偶数确定21名学生的总和是偶数。 【规范解答】如全对得（分），即总分是偶数；如答错1题要从100分中减去（分），即94分，94也是偶数；如有1题不答，要从100分中减去（分），即96分，96还是偶数。根据偶数－偶数＝偶数，以此类推，每名同学的分数肯定是偶数。 所以这21名同学分数的总和就是偶数。 【考点剖析】此题结合实际考查整数的奇偶性，完成本题的关键在与弄明白错题和不答题所扣的分数的奇偶性。 20．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1、3、5、7、9、…擦去其中的一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2000，求擦去的奇数是多少？ 【答案】25 【思路引导】首先设出n个奇数1、3、5、7、9…2n－1，然后通过1＝12，1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42…总结出前n个奇数的和是n2，根据452＝2025，得出擦去奇数25后，剩下的44个奇数的和是2000即可。 【规范解答】设有n个奇数1、3、5、7、9…2n－1； 根据1＝12； 1＋3＝4＝22 1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝42 … 可得这n个奇数的和是：1＋3＋5＋7…＋（2n－1）＝n2； 因为452＝2025，所以前45个奇数的和是2025，2025－2000＝45； 所以擦去奇数25后，剩下的44个奇数的和是2000。 答：擦去的奇数是25。 【考点剖析】此题考查了学生的奇数求和问题，关键是总结出前n个奇数的和是n2，然后解答即可。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $