4.1.2 垂线 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

4.1.2垂线 学习目标 1. 理解垂线的概念，能准确表述垂线的定义。 2. 掌握垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3. 理解点到直线的距离的概念，并能运用其解决简单问题。 4. 能够运用垂线的性质进行简单的计算和推理。 知识点讲解 1. 垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂直用符号“⊥”表示，读作“垂直于”。例如，直线AB垂直于直线CD，可记作AB⊥CD，垂足为O。 2. 垂线的性质1： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。“有且只有”包含两层含义：“有”表示存在性，“只有”表示唯一性。） 3. 垂线的性质2： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 4. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是一个数量，而不是垂线段本身。 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直。 （2）过直线l外一点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离。 例题2：已知点P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PA = 5cm，PB = 3cm，PC = 4cm，求点P到直线l的距离d的取值范围，并说明依据。 例题3：直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠COE = 35°，求∠AOD的度数。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 在同一平面内，直线m与直线n不垂直，那么过直线m上一点P作n的垂线，这样的垂线 A. 有且只有一条 B. 有两条 C. 不存在 D. 无数条 2. 点到直线的距离是指 A. 从直线外一点到这条直线的连线 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段 C. 从直线外一点到这条直线的垂线的长度 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3. 下列生活实例中，没有应用“垂线段最短”性质的是 A. 从一楼到三楼乘电梯最近 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 体育课上，测量跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 D. 木匠师傅用角尺在工件上画线时，角尺的一边紧贴工件边缘 二、填空题 1. 若直线AB与直线CD互相垂直，垂足为O，则可记作_____________。 2. 在同一平面内，若直线a⊥b，直线b⊥c，则直线a与直线c的位置关系是_________（填“平行”或“垂直”或“相交但不垂直”）。 3. 已知点M是直线l上一点，点N是直线l外一点，若点N到直线l的距离是4cm，则线段MN长度的最小值是_________cm。 4. 直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若OE⊥OF，∠COF = 50°，则∠BOD的度数是_________。 三、解答题 1. 直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOD = 150°，求∠EOF的度数。 2. 已知：点P是直线l外一点，过点P作PA⊥l于点A，点B是直线l上一点，且AB = 3cm，PA = 4cm。 （1）求PB的长； （2）若点C也是直线l上一点，且AC = 2cm，求PC的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2垂线 学习目标 1. 理解垂线的概念，能准确表述垂线的定义。 2. 掌握垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3. 理解点到直线的距离的概念，并能运用其解决简单问题。 4. 能够运用垂线的性质进行简单的计算和推理。 知识点讲解 1. 垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂直用符号“⊥”表示，读作“垂直于”。例如，直线AB垂直于直线CD，可记作AB⊥CD，垂足为O。 2. 垂线的性质1： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。“有且只有”包含两层含义：“有”表示存在性，“只有”表示唯一性。） 3. 垂线的性质2： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 4. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是一个数量，而不是垂线段本身。 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直。 （2）过直线l外一点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离。 解答： （1）正确。 理由：对顶角相等。设这组对顶角的度数为x。 因为它们互补，所以x + x = 180°。 即 2x = 180°。 解得 x = 90°。 所以这两条直线相交所成的角为90°，根据垂线定义，它们互相垂直。 （2）错误。 理由：线段AB的长度才是点A到直线l的距离，而线段AB是一个几何图形，不是距离。 例题2：已知点P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PA = 5cm，PB = 3cm，PC = 4cm，求点P到直线l的距离d的取值范围，并说明依据。 解答： 点P到直线l的距离d的取值范围是 d ≤ 3cm。 依据： 根据垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长度。 因为PB = 3cm是PA、PB、PC中最短的线段，所以垂线段的长度d一定小于或等于PB的长度。 即 d ≤ PB = 3cm。 又因为距离不能为负数，所以 d ≥ 0cm。 综上，0cm ≤ d ≤ 3cm。 例题3：直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠COE = 35°，求∠AOD的度数。 解答： 因为OE⊥AB于点O， 所以∠AOE = 90°（垂直的定义）。 即∠AOC + ∠COE = 90°。 已知∠COE = 35°， 所以∠AOC = 90° - ∠COE。 ∠AOC = 90° - 35°。 ∠AOC = 55°。 因为直线AB与直线CD相交于点O， 所以∠AOD与∠AOC互为邻补角。 即∠AOD + ∠AOC = 180°。 所以∠AOD = 180° - ∠AOC。 ∠AOD = 180° - 55°。 ∠AOD = 125°。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 在同一平面内，直线m与直线n不垂直，那么过直线m上一点P作n的垂线，这样的垂线 A. 有且只有一条 B. 有两条 C. 不存在 D. 无数条 2. 点到直线的距离是指 A. 从直线外一点到这条直线的连线 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段 C. 从直线外一点到这条直线的垂线的长度 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3. 下列生活实例中，没有应用“垂线段最短”性质的是 A. 从一楼到三楼乘电梯最近 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 体育课上，测量跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 D. 木匠师傅用角尺在工件上画线时，角尺的一边紧贴工件边缘 二、填空题 1. 若直线AB与直线CD互相垂直，垂足为O，则可记作_____________。 2. 在同一平面内，若直线a⊥b，直线b⊥c，则直线a与直线c的位置关系是_________（填“平行”或“垂直”或“相交但不垂直”）。 3. 已知点M是直线l上一点，点N是直线l外一点，若点N到直线l的距离是4cm，则线段MN长度的最小值是_________cm。 4. 直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若OE⊥OF，∠COF = 50°，则∠BOD的度数是_________。 三、解答题 1. 直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOD = 150°，求∠EOF的度数。 2. 已知：点P是直线l外一点，过点P作PA⊥l于点A，点B是直线l上一点，且AB = 3cm，PA = 4cm。 （1）求PB的长； （2）若点C也是直线l上一点，且AC = 2cm，求PC的长。 巩固练习参考答案与解析 一、选择题 1. A 解析：根据垂线的性质1，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的点P在直线m上，直线n是已知直线，无论直线m与n是否垂直，过点P作n的垂线都有且只有一条。 2. D 解析：点到直线的距离的定义是：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。A选项是连线，不是距离；B选项是垂线段，是图形不是长度；C选项是垂线的长度，垂线是直线，无限长，错误；D选项正确。 3. B 解析：A选项，电梯轨道可以近似看作是铅垂线，从一楼到三楼乘电梯，路径近似为垂线段（在竖直方向），应用了垂线段最短；B选项，把弯曲的公路改直缩短路程，应用的是“两点之间，线段最短”，而非垂线段最短；C选项，测量跳远成绩，皮尺与起跳线垂直，测量的是垂线段的长度，应用了垂线段最短；D选项，角尺的一边紧贴工件边缘，另一边画出的线与边缘垂直，利用了垂直的性质。 二、填空题 1. AB⊥CD，垂足为O (或 CD⊥AB，垂足为O) 解析：垂直的符号表示为“⊥”，需注明垂足。 2. 平行 解析：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。因为a⊥b，c⊥b，所以a//c。 3. 4 解析：点N到直线l的距离是4cm，即点N到直线l的垂线段长为4cm。点M是直线l上任意一点，当点M与点N到直线l的垂足重合时，MN的长度最小，即为4cm。 4. 80° 解析：因为OE⊥OF，所以∠EOF = 90°。 ∠COE = ∠EOF - ∠COF = 90° - 50° = 40°。 因为OE平分∠AOC，所以∠AOC = 2∠COE = 2×40° = 80°。 ∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD = ∠AOC = 80°。 三、解答题 1. 解： 因为OE⊥AB，OF⊥CD， 所以∠AOE = 90°，∠DOF = 90°（垂直的定义）。 因为∠AOD = 150°，且∠AOD + ∠AOC = 180°（邻补角互补）， 所以∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 150° = 30°。 ∠EOC = ∠AOE - ∠AOC = 90° - 30° = 60°。 又因为∠EOC + ∠EOF + ∠FOD = 180°（平角的定义）， 所以∠EOF = 180° - ∠EOC - ∠FOD = 180° - 60° - 90° = 30°。 （或：∠AOD = 150°，∠DOF = 90°，所以∠AOF = ∠AOD - ∠DOF = 150° - 90° = 60°。∠AOE = 90°，所以∠EOF = ∠AOE - ∠AOF = 90° - 60° = 30°。） 2. 解： （1）因为PA⊥l于点A，所以∠PAD = 90°。 在Rt△PAB中，PA = 4cm，AB = 3cm， 根据勾股定理，得 PB² = PA² + AB²。 PB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25。 所以 PB = √25 = 5cm。 （2）点C是直线l上一点，AC = 2cm。 当点C在点A的左侧时， BC = AB + AC = 3 + 2 = 5cm。 在Rt△PAC中，PA = 4cm，AC = 2cm， PC² = PA² + AC² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20。 PC = = 2 cm。 当点C在点A的右侧时， AC = 2cm，AB = 3cm，若点C在A、B之间， BC = AB - AC = 3 - 2 = 1cm。 在Rt△PAC中，PA = 4cm，AC = 2cm， PC² = PA² + AC² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20。 PC = = 2 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $