3.5.2 线段的长短比较 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

3.5.2线段的长短比较 学习目标 1. 理解线段的基本概念，掌握线段长短的两种比较方法：叠合法和度量法。 2. 会用数学符号（>、<、=）表示线段的长短关系。 3. 理解线段的和与差的意义，能进行简单的线段长度计算。 4. 理解线段中点的概念，能运用中点的性质解决相关计算问题。 5. 培养观察、比较、分析和动手操作的能力，体会数形结合的思想。 知识点讲解 1. 线段的概念：线段是直线上两点间的部分，有两个端点，具有确定的长度。 2. 线段长短的比较方法： · 叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一条直线上，根据另一个端点的位置关系来比较长短。 例如，比较线段AB与线段CD的长短： 1. 将点A与点C重合。 2. 使线段AB与线段CD在同一条直线上。 3. 若点B与点D重合，则AB = CD； 若点B落在CD的延长线上，则AB > CD； 若点B落在CD上（不与D重合），则AB < CD。 · 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的数值大小来比较线段的长短。线段的长度单位通常有厘米（cm）、毫米（mm）、米（m）等。 3. 线段的和与差： · 在同一条直线上，如果点C在线段AB上，那么： 线段AC与线段CB的和等于线段AB，记作：AC + CB = AB。 · 类似地，如果AC + CB = AB，且点C在线段AB上，那么线段AB与线段AC的差等于线段CB，记作：AB - AC = CB；线段AB与线段CB的差等于线段AC，记作：AB - CB = AC。 · 线段的和与差的结果仍然是一条线段，其长度等于对应线段长度的和与差。 4. 线段的中点： · 定义：如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫做这条线段的中点。 · 性质：若点M是线段AB的中点，则，或 AB = 2AM = 2MB。 例题解析 例1： 已知线段a、b（a > b），用叠合法比较它们的长短，并说明步骤。 例2： 用刻度尺量得线段AB的长度为5.2cm，线段CD的长度为4.8cm，比较线段AB与CD的长短，并表示出来。 例3： 已知线段AB = 8cm，点C在线段AB上，且AC = 3cm，求线段CB的长度。 例4： 已知线段MN = 10cm，点P是线段MN的中点，求线段MP和PN的长度。 例5： 已知线段AB = 12cm，点C是线段AB上一点，且BC = 4cm，点M是AC的中点，求线段AM的长度。 巩固练习 一、选择题 1. 下列图形中，可以比较长短的是 A. 两条直线 B. 两条射线 C. 两条线段 D. 直线和射线 2. 用叠合法比较线段AB和CD的长短，若将点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，则 A. AB > CD B. AB = CD C. AB < CD D. 无法确定 3. 点M是线段AB的中点，则下列结论不一定成立的是 A. AM = MB B.. AB = 2MB D. AM + MB = AB 4. 已知线段AB = 6cm，点C在直线AB上，且BC = 2cm，则线段AC的长度为 A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 无法确定 二、填空题 1. 比较两条线段的长短，常用的方法有 （ ） 和（ ） 。 2. 线段OE上有两点F、G，且从左到右依次为O、F、G、E，则OF + FG =（ ） ；OG - FG =（ ） ；OE - OG =（ ） 。 3. 若点C是线段AB的中点，AB = 10cm，则AC =（ ） cm。 4. 已知线段AB = 7cm，在线段AB的延长线上取一点C，使BC = 4cm，则线段AC =（ ） cm。 5. 已知线段AB = 14cm，点M、N分别是线段AB上的两点，且AM = 3cm，BN = 5cm，则线段MN = （ ） cm。 三、解答题 1. 已知线段a = 4cm，b = 6cm，c = 3cm。 （1）用度量法比较a、b、c的长短，并按从小到大的顺序排列。 （2）通过计算，求a + c与b的大小关系。 2. 点P是线段AB的中点，AP = 5cm，求线段AB的长度。 3. 已知线段AB = 15cm，点C在线段AB上，且AC : CB = 2 : 3，求线段AC和CB的长度。 4. 已知线段MN = 8cm，点A是线段MN的中点，点B是线段AN的中点，求线段BM的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5.2线段的长短比较 学习目标 1. 理解线段的基本概念，掌握线段长短的两种比较方法：叠合法和度量法。 2. 会用数学符号（>、<、=）表示线段的长短关系。 3. 理解线段的和与差的意义，能进行简单的线段长度计算。 4. 理解线段中点的概念，能运用中点的性质解决相关计算问题。 5. 培养观察、比较、分析和动手操作的能力，体会数形结合的思想。 知识点讲解 1. 线段的概念：线段是直线上两点间的部分，有两个端点，具有确定的长度。 2. 线段长短的比较方法： · 叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一条直线上，根据另一个端点的位置关系来比较长短。 例如，比较线段AB与线段CD的长短： 1. 将点A与点C重合。 2. 使线段AB与线段CD在同一条直线上。 3. 若点B与点D重合，则AB = CD； 若点B落在CD的延长线上，则AB > CD； 若点B落在CD上（不与D重合），则AB < CD。 · 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的数值大小来比较线段的长短。线段的长度单位通常有厘米（cm）、毫米（mm）、米（m）等。 3. 线段的和与差： · 在同一条直线上，如果点C在线段AB上，那么： 线段AC与线段CB的和等于线段AB，记作：AC + CB = AB。 · 类似地，如果AC + CB = AB，且点C在线段AB上，那么线段AB与线段AC的差等于线段CB，记作：AB - AC = CB；线段AB与线段CB的差等于线段AC，记作：AB - CB = AC。 · 线段的和与差的结果仍然是一条线段，其长度等于对应线段长度的和与差。 4. 线段的中点： · 定义：如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫做这条线段的中点。 · 性质：若点M是线段AB的中点，则，或 AB = 2AM = 2MB。 例题解析 例1： 已知线段a、b（a > b），用叠合法比较它们的长短，并说明步骤。 解答： 步骤如下： 1. 将线段a的一个端点与线段b的一个端点重合（例如，将线段a的左端与线段b的左端重合）。 2. 使线段a和线段b处于同一条直线上。 3. 观察线段a的另一个端点与线段b的另一个端点的位置关系。 因为已知a > b，所以线段a的右端点会落在线段b右端点的右侧。 从而得出结论：a > b。 解析：叠合法是比较线段长短的基本方法之一，关键在于使两条线段的一个端点重合，并让它们在同一直线上，通过观察另一个端点的相对位置来判断长短。 例2： 用刻度尺量得线段AB的长度为5.2cm，线段CD的长度为4.8cm，比较线段AB与CD的长短，并表示出来。 解答： 因为 AB = 5.2cm，CD = 4.8cm。 5.2cm > 4.8cm 所以 AB > CD。 解析：度量法是通过测量线段的具体长度（数值），然后比较数值的大小来确定线段的长短。数值大的线段较长。 例3： 已知线段AB = 8cm，点C在线段AB上，且AC = 3cm，求线段CB的长度。 解答： 因为 点C在线段AB上， 所以 AC + CB = AB。 所以 CB = AB - AC。 AB = 8cm，AC = 3cm， CB = 8cm - 3cm = 5cm。 答：线段CB的长度为5cm。 解析：本题考查线段的差。根据线段和的定义，已知总长AB和其中一部分AC，可以通过减法求出另一部分CB的长度。 例4： 已知线段MN = 10cm，点P是线段MN的中点，求线段MP和PN的长度。 解答： 因为 点P是线段MN的中点， 所以。 MN = 10cm， 。 PN = MP = 5cm。 答：线段MP的长度为5cm，线段PN的长度为5cm。 解析：本题考查线段中点的性质。中点将线段分成两条相等的线段，每条线段的长度是原线段长度的一半。 例5： 已知线段AB = 12cm，点C是线段AB上一点，且BC = 4cm，点M是AC的中点，求线段AM的长度。 解答： 因为 点C在线段AB上， 所以 AC + CB = AB。 所以 AC = AB - CB。 AB = 12cm，CB = 4cm， AC = 12cm - 4cm = 8cm。 因为 点M是AC的中点， 所以。 。 答：线段AM的长度为4cm。 解析：本题综合考查了线段的差以及线段中点的性质。首先需要根据AB和BC的长度求出AC的长度，然后再利用中点的性质求出AC的一半，即AM的长度。 巩固练习 一、选择题 1. 下列图形中，可以比较长短的是 A. 两条直线 B. 两条射线 C. 两条线段 D. 直线和射线 2. 用叠合法比较线段AB和CD的长短，若将点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，则 A. AB > CD B. AB = CD C. AB < CD D. 无法确定 3. 点M是线段AB的中点，则下列结论不一定成立的是 A. AM = MB B.. AB = 2MB D. AM + MB = AB 4. 已知线段AB = 6cm，点C在直线AB上，且BC = 2cm，则线段AC的长度为 A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 无法确定 二、填空题 1. 比较两条线段的长短，常用的方法有 （ ） 和（ ） 。 2. 线段OE上有两点F、G，且从左到右依次为O、F、G、E，则OF + FG =（ ） ；OG - FG =（ ） ；OE - OG =（ ） 。 3. 若点C是线段AB的中点，AB = 10cm，则AC =（ ） cm。 4. 已知线段AB = 7cm，在线段AB的延长线上取一点C，使BC = 4cm，则线段AC =（ ） cm。 5. 已知线段AB = 14cm，点M、N分别是线段AB上的两点，且AM = 3cm，BN = 5cm，则线段MN = （ ） cm。 三、解答题 1. 已知线段a = 4cm，b = 6cm，c = 3cm。 （1）用度量法比较a、b、c的长短，并按从小到大的顺序排列。 （2）通过计算，求a + c与b的大小关系。 2. 点P是线段AB的中点，AP = 5cm，求线段AB的长度。 3. 已知线段AB = 15cm，点C在线段AB上，且AC : CB = 2 : 3，求线段AC和CB的长度。 4. 已知线段MN = 8cm，点A是线段MN的中点，点B是线段AN的中点，求线段BM的长度。 巩固练习答案 一、选择题 1. C 解析：直线没有端点，无限长；射线有一个端点，向一方无限延伸，也无限长；只有线段有两个端点，长度有限，可以比较长短。 2. A 解析：叠合法中，点A与点C重合，线段AB与CD在同一直线上，点B落在CD的延长线上，说明AB比CD长，即AB > CD。 3. D 解析：若点M是线段AB的中点，则，AB = 2AM = 2MB，所以A、B、C选项均成立。D选项“AM + MB = AB”对于线段AB上任意点M都成立，不仅仅是中点，所以“不一定成立”的说法错误，题目问的是“不一定成立的是”，所以选D。 4. C 解析：点C在直线AB上，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上。 当点C在线段AB上时，AC = AB - BC = 6cm - 2cm = 4cm； 当点C在线段AB的延长线上时，AC = AB + BC = 6cm + 2cm = 8cm。 所以AC的长度为4cm或8cm，选C。 二、填空题 1. 叠合法，度量法 解析：比较两条线段长短的常用方法是叠合法和度量法。 2. OG，OF，GE 解析：根据线段的和差关系，OF + FG = OG；OG - FG = OF；OE - OG = GE。 3. 5 解析：因为点C是线段AB的中点，所以。 4. 11 解析：点C在AB的延长线上，所以AC = AB + BC = 7cm + 4cm = 11cm。 5. 6 解析：因为AM = 3cm，BN = 5cm，AB = 14cm，所以MN = AB - AM - BN = 14cm - 3cm - 5cm = 6cm。 三、解答题 1. 解： （1）已知a = 4cm，b = 6cm，c = 3cm。 因为 3cm < 4cm < 6cm 所以 c < a < b。 （2）a + c = 4cm + 3cm = 7cm。 b = 6cm。 因为 7cm > 6cm 所以 a + c > b。 2. 解： 因为点P是线段AB的中点， 所以 AB = 2AP。 AP = 5cm， AB = 2 × 5cm = 10cm。 答：线段AB的长度为10cm。 3. 解： 设AC = 2x cm，CB = 3x cm。 因为点C在线段AB上， 所以 AC + CB = AB。 AB = 15cm， 2x + 3x = 15 5x = 15 x = 3。 AC = 2x = 2 × 3cm = 6cm。 CB = 3x = 3 × 3cm = 9cm。 答：线段AC的长度为6cm，线段CB的长度为9cm。 4. 解： 因为点A是线段MN的中点，MN = 8cm， 所以。 因为点B是线段AN的中点， 所以。 所以 BM = BA + AM。 又因为 AM = AN = 4cm（A是MN中点），BA = AB = 2cm， BM = 2cm + 4cm = 6cm。 答：线段BM的长度为6cm。 学科网（北京）股份有限公司 $