重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

重庆市南开中学高 2026 届高三第二次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. 已知一扇形的周长为 ,弧长为 ,则该扇形的面积为 A. B. C. D. 4. 已知 的内角 所对的边分别为 ,则 的面积为 A. B. C. 1 D. 5. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生, 在某次月考的数学成绩中, 男生的平均分比女生的平均分多 5 分, 则男生的平均分比全班的平均分 A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分 6. 已知 ,则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 7. 已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于 对任意 恒成立,则实数 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设 且 ,若函数 的最小值为 2,则 A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 已知函数 的部分图象如图所示,将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象, 则以下说法正确的有 A. B. 图像关于直线 对称 C. D. 在 上单调递增 10. 定义在 上的偶函数 的导函数为 ,且满足 ,则下列说法正确的有 A. 为奇函数 B. 的图象关于直线 对称 C. 是周期函数且一个周期为 4 D. 是 的一个极值点 11. 在 中, 为边 上一点, ,则 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 当 面积最小时, 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知 ,则 _____. 13. 在锐角 中,内角 所对的边分别为 ,且 , 则 的取值范围为_____。 14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇,记为 . 例如: 是一个函数簇. 若函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ,且当参数 变化时,由所有的点 构成一条曲线 ,则称函数簇 存在包络函数 . 已知函数簇 ,若 “ ” 是 “ 存在包络函数 ” 的充要条件,则 _____；函数 的表达式为_____ 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校, 中央电教馆在我校举办项目启动活动, 并特设南开专场活动. 为了了解 AINK 人工智能对学生学习的助力情况, 学校组织了高一学生参加 “ AINK 人工智能” 知识竞赛 (满分 100 分), 并从中随机抽查了 100 名学生的成绩 (单位: 分),将他们的成绩分成以下 6 组: ,统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 [90,100] 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩 近似服从正态分布 ,其中 近似取为样本平均数 的整数部分, 近似取为样本标准差 的整数部分,并已求得 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间 内的概率 (结果保留一位小数). (2)现从高一年级随机选取 名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在 范围内的概率不低于 ,求 的最大值 ( 为正整数) 参考数据: 若 ,则 . 16.如图 1,在平行四边形 中, . 现将 沿着 翻折至 , 使得点 到达点 的位置且平面 平面 (如图 2),点 是线段 的中点,点 在线段 上. (1) 求证: 平面 平面 ; (2)若 平面 ,求二面角 的余弦值. 图 1 图2 17.过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点,线段 的中点为 . (1)求点 的轨迹 的方程； (2)设 为轨迹 上的两点,且 ,设轨迹 在 处的切线交于点 ,若 在直线 上,求直线 的斜率. 18.如图,在平面四边形 中, , 为线段 上一点,且 . (1)若 ,求 ； (2)记 , ( i ) 证明: ; (ii) 求 的值. 19. 已知函数 . (1) 当 时,求函数 在区间 的最值; (2)若 ,求 的取值范围； (3) 当 时,求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $重庆市高2026届高三第二次质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号1 2 3 4 7 8 10 11 选项 D D B D BC AC BCD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B【解析】因君<1<号<3，版AnB=1,》 2.A【解折】原式=c0s105c0s450-sin105°sin45=o1500=- 2 3【舒折】由盟盒得半经=受做面双为S==写 4.D【解析】由余弦定理得2=a2+2-2ab0s60°=a2+b2-ab,所以3a6=12,ab=4,所以面积 5-ubsin C-3. 5.C【解析】设男牛的平均分为，则女牛的平均分为-5，个班的平均分为5+8女-5)=- 故男什比全班的平均分多3.5分 6.D【解析】选项A:函数y=sinx在区间(-1,1)单调递增，故A误； 选项B:函数y=cosx在区间(-1,1)不单调，B错误； 选项C:因x2≤y曰|xl≤|yl,且y=sin2x都是偶函数，当x∈[0,1)时，y'=sin2x≥0，函数 y=sim2x在[0,1)单调递增，所以(lx|-lyl)(sim2x-si2y)=(lxl-lyl)(sin21x|-sim2ly|)≥0， 所以(x2-y2)(sinx-sin2y)≥0，故C借误； 选项D:类似选项C,对于函数y=c0s2x,当xe[0,1)时，y=-sin2x≤0，函数y=cos2x在0,1) 单湖递减，所以(x2-y)(cs2x-cs2y)≤0，成D正确 7.B【解桥1易知)=2smor+引，所以c2,则w>1:又八)f(》-2m受w+引村成立， 所以受0+号=7+2m,kEZ,所以=2+24，kcZ,听以0的最小为2 8D【解桥y=log(u+a+9）-x=1og.+a+9=pa@+9 a" +2+a,令t=a+9+ 2* 因。>0，假≥25+a=a+6,做∈[a+6.+),A于y有最小值2，所以0>1 a+6=2,解行a=3. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 只C【解析】向图可町知：2×石+9=2m→9=2m-7,又市1g<m→0=-，放A储： 因为2×沿-号=受，所以B正确：由伸缩变换规则可灯C正确； 区间[2025π，2026π]为T,为肉个周期的K度，显然在该区间上g(x)不单调，D错. 数学试题参考答案第1页（共6页） 10.AC【解析】因f代x)为偶函数，故f(x)=f(-x),得f'(x)=-f'(-x),即f'()为奇函数，故A正确； 中f代x+2)=-f(x)=-f(-x)知，y=f(x)的图象关于点(1,0)对称，故B错误； 由(x+4)=-(x+2)=(x)知，(x)是周期函数且一个周期为4，故C正确： 因为代)的图象关于(1,0)对称且是偶函数，放y=(x)的图象关于点(-1,0)对称，x=-1 不会是(x)的极值点，D错误. 1.BCD【解析对于AB:9=120°，4=90°，B=5,smB=sim(45-30)二6,2，A错深 APCp m4sP改入恶B确 对于C:,SAe=SABPC,.AC·CP·sin30°=BC·CP·sin45°，∴.AC=V2BC,C正确； 对于D:in9（日-309）AC=s1n& sin 0 =sim(6-30°)-5 1 2 sin 0-2cos 0 .BC CP sin 0 ”9n(0+45yBc=8+4y2 sin 0 in 2c0s0 Sac=21C·BC·sin75,△4B面积最小时，即AC·BC最小， AC·BC= sin A sin sin 3 s五互2—，② sin 2 2 c08 0 (3sin 0-cos 0)(sin 0+cos 0) .当co19=8,pan6=3+1时，4C·BC最小，△A5C面 2(-m01+l0叭 最小时，D止确。 另解：记a=BC,b=AC,需求ab的最小M值。由S△c=S6+S6cr,得absin75°=bsin30°+asin45°， 故6+2b=6+2a≥2W26,当且仅当6=2a=2(3-1)时，(b)m=8w2-46. 2 作合C山上线定莲2容。”0)化商际a6=方山 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 解折1l+到=cne君引=me+君}=分 1g- 【绎行1山题设条件和正装定理可得：a+6a-分=c-6),整理得.8。=mA=}- 2bc 4=子因为么nc为随角么，放有0<G号0<B=m-号-c<牙=6=69=0msG=0,}, 所以as26-3casG=2asc-3csC-1e[-号，-l 数学试题参考答案第2页{共6页) 14.(-,0)U(e,+∞）8(x)=1-e(第-空2分第二空3分) 【舒析】h题意知，两数f)-。-如2存在极小佰点0，f()=e-:,在问一个坐标系中作出 y=ey=x的图象知，当素<0，y=e与y=x的图象有一个交点A(xo,y),几当x∈(-c,x） 刑，f'(x)<0,当xe(,+o)时，f'(x)>0,故f(x)有极小伯点xw;当>e时，y=e与y=x的 图象有两个交点(o,o)和C(1y)(x1<),同理可知代x)在1处取极大值，在处取极小值. 又H图可知，当x∈[0，e]时，f(x)不行在极小伯点.故参数的取伯池周为(-∞，0)U(e,+oo), 「x=x0 M=(-x,0Ue,+=.设l线y=g)上任意一点的坐标为P(,,则有仔=e-26,消大 e0-kx=0, k利得y=1-e,即g(x=1-e,其中x∈(-，0)U1,+). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 解：(1)x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故=70…3分 所以P(56<X≤98)=P(-σ<X≤u+2o) _P(2-2g<X≤4+20)-P(4-0<X≤+C）+P(4-0<X≤u+σ） 2 _P(u-2o<X≤4+2a）+PL-0<K≤u+o-0.6826+0.954=0.8185=0.8…7分 2 (2)由题可得：0.8“≥0.01，两边取对数得2lg0.8≥-2，…10分 -2 -2 则a≤g028三32-13x0.301-20.6,所以n的最大佰为20.13分 16.(15分) 解：(1)H题可知，△ABD与△BCD均为等腰直角三角形，.1 B L BD. ,平面PBD⊥平面BLDC,平面PBD∩平面BDC=BD,PB 1BD,PBC平面PBD .PB⊥平面BDC,又DWC平面BDU,∴.PB⊥DN. 又在Rt△BCD巾，N为BG中点，DB=DC,“.DN⊥B( 义PB∩BG=B,PB,BGC平面PBG,.DN⊥平而PBG.又.DNC平面DMN, .平面DMWL平面PBG… 6分 (2),PB∥平面DMN,PBC平面PBC,平面DMN∩平面PBC=MN, ∴.PB∥MV.∴.M是P中点… …8分 以D为坐标原点，DC,DB,BP分别为xy,z轴正方向建立空间直布坐标系如图所示。 则南题时知D0.0,0y.P0,1)B01,0,c10.0)22, Dm-01,0.0m-22,D6-0.10) 设平面PDM的一个法向量为1=（x1y1,3),， rn1·DP=y1+名=0 ,=+分+7=0暇=(0.，-1〉 1 数学试题参考答案第3页{共6页) 设平面DMB的一个法向量为2=（x2,y2,2), 「2·DB=y2=0 {,丽=2+2+2=0 .1 ，1 。,取元2=(1,0，-1)）. .之图可肉二商角P-M-8平矿角为税角 cs(元1,0》=12=1 二而角P-DM-B的余弦值为2 …15分 17.(15分) (1)法：设Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则2x=x1+x2,2y=1+y2 由A,B在血线父=4y上可得：=41，号=4，两式相减整理得：*，+，=4”，即2x=4k, 无1一2 又=2所以2=4之之2整理得y=分- …5分 又hQ(x,y)在州线=4y内部可知：<4y=42-x→x<0或x>4, 所以Q的轨迹方程为：y=2-x(xe(-0,0)U(4,+x) …7分 法二：设：x=y+2(1≠0)，A(x11）,B(x2,y2),Q(x,y)则2x=x1+x2,2y=1+2 联立=2y+(4-4y+4=0,听以4=16(1-2)>0<分且0 1x2=4y 1*g42=4y-24 t2, +-2x=(+)+4-=2代人上式可得： 2-2.2 1一x …5分 又=子<分<0或>4，所以Q的轨边方程为=2女-(xe(-0,0U(4,+)…7分 2)h(1)可设名，2号-xf,考-，（≠4且，c(-”,0U(4,+0) 所以威财.丽-（名-2）-2)+7(%-2)24-2)=0 -(-29(-2)1+4=0→=-4 …9分 对y=-x求导可得：y=-1, 放M处切线：-（行-=(-1）x-名，整理得：y+7=(x,-1① 问理可得N处切线订+行号=(-1x②… 11分 数学试题参考答案第4页{共6页) + y 由①②两式可得： 2+)花1面题知y=y=4,代人整理结个戏4=一4可求得：+4=4…13分 2号--(2-4 12 所以MV的斜无aw= 3一无4 2(+4）-1=1.…15分 18.(17分) 解：(1)在等腰△BCD中，BC=2D(·cos∠BCD, 在等腰△BCE巾，GE=2BC·Gos∠BCD=4DG·c0s2∠BCD=4cos275° =2(1+c0s150)=2-√3 .D兆=D儿-CE=3-】…4分 (2)(i)法：在等腰△ABD中，AD=2BD·cos=2cOsx 在等腰△DE中，DE=2D·c0s(+B)=4 cos ac0s(a+B)…7分 H(1)知，CE=2BC·cos∠BCD=4DC·cos2∠BCD=4cos2y 10分 .DE DC-CE=1 -4cos2y,.'.1 -4cos2y =4cos acos(a+B) 11分 法二：设AD=AE=,BC=BE=y 在△BD中，州余弦定理：sa-+1-1= 2x 在△AED中，由众弦定埋：0as(a+B)=2+DF父_D5 2x·Dp-2x 故4c0saL·c0s(Q以+B）=DE…7分 在△BCD巾，有B+2y=π，由止孩定理y 1 6mB-sm2y→y=sinB-sin22Y2c0s》 sin y sin y 在△BCE巾，由止孩定理CE。-”=0E=2sy=2(2csy)csy=46os2y …10分 sin B sin y h题可知：1-(CE=DE,故1-4c0s2y=4cos以·c0s(x+B)成立…11分 (ⅱ)在等腰△BCD中，.2y+B=T ..1-4cos2y=1-2(1 +cos 2y)=-1-2cos 2y=-1-2cos(T-B)=2cos B-1 ..2cos B-1 =4cos acos(a+B),..2cos(a+B-a)-1 =4cos acos(a+B), B2cos(a+B)cos a +2sin(a +B)sin a-1 =4cos acos(a+B) 2cos(a +B)cos a-2sin(@+B)sin a -1,cos(2a+)=, 15分 又在等腰三布形AB和AD5中，0<a<T0<a+B<, 0<2a+B<T,2+B=2m 3 17分 19.(17分) 解：1)当=-1叶，-三，-m,当e0引时，令r()≥0,405<寻 故x)在0，平递增，在平，递减，又f(0)=0<f）=e,最小伯为(0)=0，最大伯为 ∫到--4分 数学试题参考答案第5页{共6页) (2)g(x)=f(x)-kx =e sin x-kx,g(0)=0,g'()=e (ksin x+cos x)-k,g(0)=1-k, g”(x)=e·[(k2-1)sinx+2kwsx] ①当k≤0时，因x∈[0，，故e>0,sin≥0，-c≥0，所以g()≥0恒成立，满足题意； ②当0<k<1时，在区间0，引上，今g(>≥0，得an<2令0=0，)且me=1p, 2k 2k 则0<x<p,故g()在(0，p)递增，在(e,}递减.又g'(0）=1->0,g'{）=(e-1)>0, 战g(x)>0恒成立，g(x)单诮递增，所以g(x)≥g(0)=0,满足题意： ③当=1时，在区间0，引上，e()=2as≥0，g()单闲递增，g（x)≥g'(0)=0,g()单湖递增， 听以g(x)≥g(0)=0,满足题意； ④当>1时，在区间0，上，g(x)>0,g()单调递增g'(0）=1-<0,g)=(e-1)>0, 故3∈(0，)，使得g'(x）=0,且当x∈(0，)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，g()<g(0)=0, 不满足题意 综上，飞的取值范围为(-∞，1]. 11分 (3)法一：因x+1>0,即证simx≥n(x+1) x+1 首先证明当x∈(-1,1)时，sinx≥x. 当xe[0,1)时，由(2)令k=1,得e"sin≥→sinx≥x 当x∈(-1,0)时，0<e<1,令m(x)=x-sinx,m'(x)=1-cosx>0,故m(x)递增，从而m(x)<m(0)=0, 故<sinx→g<<sinx 于是只需证明生=lne产ln(x+1) x+1■ 令(e,'()-1>00<1<e,放)在0，e)单调送蜡，在(e,+}单调递减 2 令p(x)=e-x-1,9'(x)=e-1>0→x>0,故o(x)在(-1,0)递诚，(0,1)递增，0(x)≥p(0)=0, 故当xe(-1,1)时，0<x+1≤e<e,所以b(a+1)≤(e),即≥血(x+1). x+11 综上，当x∈(-1,1)时，(x+1)sinx≥ln(x+1）.…17分 法二：令F(x)=(x+I)sinx-ln(x+1),xe(-1,1),则F(0)=0,F(x)=sinx+(x+1)sx-1 x+1 ①y(-10)时血c0a+1e0.1),0<s<1>1,断以<1-十 +<0,F() 单调递减，战F(x)>F(0)=0: ②当e[0,1)时，x+1≥l,60se>0,放F'(x)≥int+0s-1=2sinx+平）-1≥1-1=0， (x)单调递增，故F(x)≥(0)=0. 综上，当x∈(-1，l)时，(x+1)sinx≥ln(x+1）.…17分 数学试题参考答案第6页{共6页)