精品解析：甘肃省定西市渭源县第三中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷

2025-2026甘肃省定西市渭源县第三中学 第一次阶段考试（范围：集合-不等式） 高一数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的概念求出，再由交集的概念求出即可． 【详解】∵或， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 2. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求的取值范围. 【详解】由； 又， 两式相加得：， 即. 故选：C 3. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故不等式解集为. 故选：A 4. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合B的补集，再利用并集的结果求出的范围. 【详解】由，得或，而，， 则，所以的取值范围是. 故选：A 5. 已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为列不等式，即可求解. 【详解】由于是的充分不必要条件，故且由题可知， 所以（第2、3个不等式等号不能同时成立），得. 故选：A 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 7. 已知，均为正数，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据换元法，将方程进行换元，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程有正根，求出代数式的最大值. 【详解】令，则， 代入得，化简得， 可知， 因为方程有实数根，所以，解得， 当时，根据韦达定理可知两根之和，两根之积， 此时有正数根，符合题意，所以的最大值为. 故选：C. 8. 设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论． 【详解】、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以． 故选：A． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，判断选项即可. 【详解】根据元素与集合的关系可知，是正确的，故A正确； 根据集合与集合的关系可知，是不正确的，应为， 是正确的，是正确的，故B不正确，CD正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，化简集合A，利用公式计算；对，利用充分、必要条件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A：集合，且， 所以集合A的真子集个数为，A错误； 对于B：若“方程有一个正根和一个负根”,则， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确； 对于C：解，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D：若，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：BD. 11. 已知，关于的不等式恰有3个整数解，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】因式分解求的解集，再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再建立不等式求解即可. 【详解】关于x的不等式，即， 因为，故二次函数开口向下， 又因为，所以，因为不等式有3个整数解， ∴不等式的解为， 所以解集里的整数是三个， ∴, ∴. 故选：AB 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 集合的非空真子集的个数是______ 【答案】14 【解析】 【分析】先求出集合中的元素，再求出其非空真子集的个数. 【详解】因为，所以集合的非空真子集个数为. 故答案为：14. 13. 命题，则是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题，即可得. 【详解】由全称量词命题的否定形式知： 命题的否定为. 故答案为： 14. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以方程的两根为，其中， 所以，即，所以， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，解得． 【小问2详解】 ①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知集合．若，则的取值集合为． （1）求集合． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合； （2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 若，则，解得， 所以的取值集合为； 【小问2详解】 若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 17. 已知集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求出集合A和B，根据交集和补集的运算法则即可计算； （2）求出，根据题意可知集合A是的真子集，根据集合的包含关系即可求解． 【小问1详解】 当时，，或， ， ； 【小问2详解】 “”是“”的充分不必要条件， 是的真子集． ， （等号不同时成立），解得， 的取值范围是． 18. （1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 【答案】18. ； 19. 证明如下： 由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可； （2）利用分析法，分解因式证明即可. 【18题详解】 易知， 因为，所以，则上式大于0， 故 【19题详解】 略 19. 已知关于的不等式，其中． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 【答案】（1）； （2）； （3）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得，代入所求不等式求解即可； （2）由一元二次不等式在R上恒成立列不等式求解即得； （3）由题设，讨论参数求对应的解集即可. 【小问1详解】 由一元二次不等式的解集知，可得， 又由，可得，即， 解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 由条件知，不等式在R上恒成立， 当时，显然恒成立； 当时，需使，解得， 综上； 【小问3详解】 由题设，，则有， ① 当时，不等式可化成 若，即时，解集为 若，即时，无解； 若，即时，解集为. ② 当时，则，解集为; ③ 当，则，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026甘肃省定西市渭源县第三中学 第一次阶段考试（范围：集合-不等式） 高一数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 7. 已知，均为正数，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 已知，关于的不等式恰有3个整数解，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 集合的非空真子集的个数是______ 13. 命题，则是__________． 14. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为______． 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 16. 已知集合．若，则的取值集合为． （1）求集合． （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围． 18. （1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 19. 已知关于的不等式，其中． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $