专题03 与全等三角形有关的七大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题03 与全等三角形有关的七大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用全等三角形的判定与性质证明…………………………………… 2 题型2：利用全等三角形的判定与性质求解…………………………………… 5 题型3：全等三角形中动点问题………………………………………………… 7 题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解…………………………………… 9 题型5：利用全等三角形旋转模型求解………………………………………… 11 题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解………………………………… 12 题型7：全等三角形综合性问题………………………………………………… 14 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 17 知识梳理 1、倍长中线模型： 条件：在△ABC中，AD是边BC上的中线 作法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE 结论：△ACD≌△EBD，AC∥BE 2、手拉手模型： 条件：在等腰三角形OAB和等腰三角形OCD中，∠AOB=∠COD，OA=OB，OC=OD 结论：① △AOC≌△BOD，AC=BD； ② EO平分∠AED； ③ ∠AEB=∠AOB。 3、一线三垂直模型： 两条手臂之间的距离=长手十短手， 两条手臂之间的距离=长手一短手， 即DE=AD+CE 即DE=AD－CE 重难点题型分类 【题型1：利用全等三角形的判定与性质证明】 【例1】如图，，，，，垂足分别是，求证：． 【变式1-1】如图，平分，．求证：． 【变式1-2】如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【例2】如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 【变式2-1】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【变式2-2】如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【例3】如图，点B在上；点D在上，，添加的条件不能证明，，的是（   ） A． B． C． D． 【例3-1】如图，在四边形 中，， 是边的中点， 是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．求证：． 【例3-2】如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【题型2：利用全等三角形的判定与性质求解】 【例1】如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【例2】如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 【变式2-2】如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知 求两个滑梯底部的长度． 【例3】如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式3-1】如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E、F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3-2】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型3：全等三角形中动点问题】 【例1】现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（     ）    A． B． C．或 D．无法确定 【变式1-1】在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【变式1-2】如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【变式1-3】中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证：； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 【题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解】 【例1】（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【变式1-1】在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 【变式1-3】【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【题型5：利用全等三角形旋转模型求解】 【例1】（1）如图1，与均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______． 【变式1-1】如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解】 【例1】如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【变式1-1】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【变式1-2】我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验： （1）请写出证明过程； 类比应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 【题型7：全等三角形综合性问题】 【例1】如图，在中，是边上的高线，是的角平分线，平分交BC于点E，交于点M，连接，交于点N，且．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有 ．（只填序号）    【变式1-2】某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点E，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点D，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A，B两点间的距离． 【变式1-3】已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 能力提升 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在五边形中，若，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 8．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为2米和米，则F、E两点的高度差即的长为 米． 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 11．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 三、解答题 12．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，求的度数； (2)当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 13．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 14．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图1，点O在射线上，点 C 在线段上，点D在线段上，，，连接，． (1)求证：； (2)判断，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将两根长度相等的木棍，的一端固定在点O处，．与是两根弹力绳，将弹力绳的端点A，E固定，弹力绳的另外两个端点 C，D 始终在木棍， 上，且保持（假设弹力绳始终处于绷直状态）．若增加了，与原来相比，的度数增大了还是减少了?增大或减少多少度?（直接写出结果） 16．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 17．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 18．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 19．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 20．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．； B．； C．； D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．； B．； C．； D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 21．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数 (4)如图4，在中，，是边上的高，，E是外一点且满足．记，求y与x的关系式． 22．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 23．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 24．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 25．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，，令，，将称为点与点的特征值．对于图形和图形，若点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且点与点的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形与图形的特征值． (1)已知点． ①点与点的特征值为_______； ②已知点在轴上，若点与点的特征值为，则点的坐标为_______； (2)已知点，将线段以每秒个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段． ①已知点，，求点与线段的特征值的取值范围； ②已知面积为的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形与线段的特征值为，则的最小值为_________； 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题03 与全等三角形有关的七大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用全等三角形的判定与性质证明…………………………………… 2 题型2：利用全等三角形的判定与性质求解…………………………………… 8 题型3：全等三角形中动点问题………………………………………………… 14 题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解…………………………………… 24 题型5：利用全等三角形旋转模型求解………………………………………… 31 题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解………………………………… 35 题型7：全等三角形综合性问题………………………………………………… 40 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 50 知识梳理 1、倍长中线模型： 条件：在△ABC中，AD是边BC上的中线 作法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE 结论：△ACD≌△EBD，AC∥BE 2、手拉手模型： 条件：在等腰三角形OAB和等腰三角形OCD中，∠AOB=∠COD，OA=OB，OC=OD 结论：① △AOC≌△BOD，AC=BD； ② EO平分∠AED； ③ ∠AEB=∠AOB。 3、一线三垂直模型： 两条手臂之间的距离=长手十短手， 两条手臂之间的距离=长手一短手， 即DE=AD+CE 即DE=AD－CE 重难点题型分类 【题型1：利用全等三角形的判定与性质证明】 【例1】如图，，，，，垂足分别是，求证：． 【分析】要证 ，考虑利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ），所以先连接 ，证明 平分 即可证明．本题主要考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形判定定理（ 等 ），以及角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）是解题的关键． 【详解】证明：连接 ． ∵ ，， ∴ （ ） ∴ ，即 平分 又 ∵ ， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等 ）． 【变式1-1】如图，平分，．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据角平分线得到，再根据等角的补角相等得到，即可根据证明，进而得到结论即可． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练相关的判定公理是解题的关键．由可推得，根据平行线的性质推出，运用判定两三角形全等，进而根据全等性质得到对应边相等． 【详解】证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， 在和中 ∵ ∴， ∴ 【例2】如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据角平分线的性质，可以得到，，然后根据可以得到和全等，从而可以得到． 【详解】证明：是的平分线，，，垂足分别为、， ，，， 又， ， 在和中， ， ， ． 【变式2-1】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键，直接证明，得． 【详解】证明：在与中， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由中点定义得出，再用“”证明，即可由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【例3】如图，点B在上；点D在上，，添加的条件不能证明，，的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；具体选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据题意得到， ，然后根据全等三角形的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴添加，可利用证明， 添加，可利用可以证明， 添加，或，可利用证明， 故答案为C． 【例3-1】如图，在四边形 中，， 是边的中点， 是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，线段中点定义，平行线的性质，由，即有，所以，通过中点定义可得，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，即有， ∴， ∵是边的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴． 【例3-2】如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】解：， ， 选择：， ， 在和中， ， ∴， ， ； 选择：无法求解； 选择： 在和中， ， ∴， ， ； 故答案为：或． 【题型2：利用全等三角形的判定与性质求解】 【例1】如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质，根据三角形的内角和求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明，得到，角的和差关系求出，8字型图，得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ． ，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【例2】如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，BE=CD ∴； 故选A． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， , ∴， 故选：B． 【变式2-2】如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知 求两个滑梯底部的长度． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 在和Rt中， ， ． ， ， ， 两个滑梯底部的长度为． 【例3】如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由垂直的意义得出，继而求出，再利用证明，即可得到； （2）由全等三角形的性质和对顶角相等，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E、F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及等腰三角形，三角形内角和定理等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据，求出的值，然后根据三角形内角和即可求出． 【详解】（1）证明：， ． D是的中点， ． 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ， ， ， ， ， 中，， ． 【变式3-2】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）根据题意，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型3：全等三角形中动点问题】 【例1】现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（     ）    A． B． C．或 D．无法确定 【分析】设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，分两种情况，当时，当时，求出结果即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， 设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上分析可知，妞妞的运动速度为或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，注意分类讨论． 【变式1-1】在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接，证明，得出，根据即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵点P到，的距离与相等， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为。 则， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为， 则， 解得：； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 【变式1-2】如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 【变式1-3】中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证：； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的平移，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握点的平移，全等三角形，图形的翻折变换及其性质是解决问题的关键． （1）由点，点的平移得，进而可依据“”判定和全等 （2）利用尺规作图，作的平分线交于点即可； （3）先求出，由翻折的性质得，，则，由此得经过点；先求出，再由三角形外角性质得，进而可得出的度数； 依题意有以下两种情况：（Ⅰ）当点在上时，点在的下方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系；（Ⅱ）当点在上时，点在的上方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示： 由点，点的平移得：， 在和中， ， ； （2）解：以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点， 分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于点，则点为所求，如图2①所示： 理由如下： 由作图可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 当点在上，点在上时，如图2②所示： 此时， ； 当点在上，点在上时，如图2③所示： 此时， ， 综上所述：点为所求作的点； （3）①解：经过（2）中所作的点，此时的度数为，理由如下： 如图3所示： 由（2）可知：，， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质得：，， ， 经过点； 在中，， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：经过；； ②、、之间的数量关系是：或，理由如下： 依题意有以下两种情况： （Ⅰ）当点在上时，点在的下方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得： ， ， ， 即； （Ⅱ）当点在上时，点在的上方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， ． 【题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解】 【例1】（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）由（1）中结论：，即可得到：，，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到． 【详解】（1）解：将延长至，使，连接，如下图所示： 在和中 ， ， 在中 ． （2）证明：将延长至，使，连接，如下图所示： 由（1）中结论： ， 又， ， ， 即． 【变式1-1】在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题． 【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接， 是的内角平分线， 可设AB＝2k，AC＝3k， 在△ABC中，BC＝5， ∴5k＞5，k＜5， ∴1＜k＜5， 由三角形三边关系可知， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 【变式1-3】【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【题型5：利用全等三角形旋转模型求解】 【例1】（1）如图1，与均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______． 【分析】（1）根据顶角为40°，可得，进而证明即可得证； （2）根据等边三角形的性质可得，，方法同（1）求得，证明，可得，根据点A，D，E在同一直线上，即可求得，根据全等的性质即可得，进而可得 【详解】（1）证明∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴． （2）解：和均为等边三角形， ∴，，． ∴，即． 在和中， ∴，，， ∴． ∴，． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论； （2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG=AC，FH=ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC； （3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出FG的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC=BC， 由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°， ∴∠BAC=∠EAD， ∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE=CD， ∴BC=BE+EC=CD+EC， ∴AB=EC+CD； （2）FG=FC， 理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF， ∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴∠CAE=∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC， ∵∠EAD=60°，AD=AE， ∴∠CAD=30°，△ADE是等边三角形， ∴DE=AE，∠ADE=60°， ∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，   ∴HG∥AC，HG=AC，FH∥ED，FH=ED， ∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE， ∴∠FHG=∠BEF=90°， 在△BEF和△GHF中， ， ∴△BEF≌△GHF（SAS）， ∴FB=FG， ∵AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴FB=FC，   ∴FG=FC； （3）FG长度发生变化，3≤FG≤3， 理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图， ∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点， ∴AF=AB=×6=3， ∴， 当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图， ∵点F是AE的中点，点G是CD的中点， ∴FG=AD=AC=×6=3， ∴． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键． 【题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解】 【例1】如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 【变式1-1】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 【变式1-2】我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验： （1）请写出证明过程； 类比应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 【分析】（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明△ADC≌△CEB，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明△AOC≌△CEB，进而得出CO=BE，再根据点C的坐标即可得到结果； （3）过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明△CDB≌△AEC，进而得出BD=CE，AE=CD，最后根据点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)即可求出点B坐标． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴； （2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴， 又∵点C的坐标(1，0)， ∴， ∴，即点B到x轴的距离是1； （3）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，   在和中，， ∴≌， ∴， 又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)， ∴，， 设B点坐标为(a，b)， 则a=4－1=3，b=2+2=4， ∴点B的坐标为(3，4)． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型7：全等三角形综合性问题】 【例1】如图，在中，是边上的高线，是的角平分线，平分交BC于点E，交于点M，连接，交于点N，且．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和即可判断①；根据是的高，得到，结合分别是的角平分线，平分，得到，从而确定，判断②错误；证明得，由此可对结论③进行判断；利用全等三角形判定推出，得到，再判定推出，判断④． 【详解】解：① 因为，， 所以． 又， ，结论①正确． ②解：∵是的高， ∴， ∴， ∵分别是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ③∵是的高，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④是的高，， ， 又， ， 又， ， 又，， ， ， 又，， ， ∴， 故④错误； 综上，正确结论是①③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线和高、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键． 【变式1-1】如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有 ．（只填序号）    【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等，由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义得，即可得，即可判定①；进而可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即得，可得，即可判定③；由平行线的性质和三角形内角和定理可得，即可判定④；延长交于，可证，得到，，可得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故④)错误； 如图，延长交于，    ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确结论是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【变式1-2】某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点E，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点D，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A，B两点间的距离． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， （）， ， ， ， 故A，B两点间的距离为． 【变式1-3】已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形，分类讨论是解题的关键． （1）①先证明，得出，再得出，在 中，，即可的得出结论； ②在上截取，使，证明，得出，根据，得出时，即时，； （2）分两种情况，当点F在A点右边时，过点D作，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；同理，当点F在A点左边时，通过证明三角形全等即可得出结论． 【详解】（1）①解：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∵， ∴ ， 在 中，， ∴； ②在射线上截取，使，如图所示， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，即时，， ∴； （2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 能力提升 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在五边形中，若，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和定理得出，证明，得出，再根据即可得出答案． 【详解】∵， ， 在和中，， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本选项的说法错误； B、若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，故本选项的说法正确； C、若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本选项的说法正确； D、若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，故本选项的说法正确． 故选：A． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 8．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为2米和米，则F、E两点的高度差即的长为 米． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，求出即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 11．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，求的度数； (2)当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 【分析】本题考查的是角的和差运算，内角和定理的应用，全等三角形的判定； （1）直接利用平角的定义求解即可； （2）先证明，再结合即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：当时，． 当时， 在中，． ∵， ∴． 在和中， ∴． 13．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）证明，结合已知条件即可证明； （2）证明，则，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 14．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图1，点O在射线上，点 C 在线段上，点D在线段上，，，连接，． (1)求证：； (2)判断，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将两根长度相等的木棍，的一端固定在点O处，．与是两根弹力绳，将弹力绳的端点A，E固定，弹力绳的另外两个端点 C，D 始终在木棍， 上，且保持（假设弹力绳始终处于绷直状态）．若增加了，与原来相比，的度数增大了还是减少了?增大或减少多少度?（直接写出结果） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解答本题的关键． （1）根据证明即可证明结论成立； （2）由可得，结合三角形外角的性质即可求出，和三者间的数量关系； （3）根据（2）的结论，结合三角形外角的性质可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴增加了，则减少10度． 16．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 17．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明，得出，证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ，， ； 故答案为： ． （2）证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 19．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 20．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．； B．； C．； D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．； B．； C．； D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数 (4)如图4，在中，，是边上的高，，E是外一点且满足．记，求y与x的关系式． 【分析】（１）①求出，得；②根据，，得； （２）根据．，得，由，，得； （３）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得； （４）法一：， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得．法二：，过点B作交延长线于点N，证明，，得，可得，得，得，即得． 【详解】（1）解：①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ， 故答案为：． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． 故答案为：． （2）解：证明：∵， ∴． ∵ ∴ 在和中 （3）设， 则，， ∴． ∴． 情况1： ∴， 解得． ∴，， ∴． 情况2： ∴，解得． ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． （4）解：(法 1) ∵ ∴， 在 上截 ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ∴， ∴ ． （法2）， 过点B作交延长线于点N， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了对顶三角形．熟练掌握对顶角性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，全等三角形判定，等腰三角形性质，折叠性质，直角三角形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 22．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 23．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论仍然成立，证明如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 24．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在延长线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 25．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，，令，，将称为点与点的特征值．对于图形和图形，若点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且点与点的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形与图形的特征值． (1)已知点． ①点与点的特征值为_______； ②已知点在轴上，若点与点的特征值为，则点的坐标为_______； (2)已知点，将线段以每秒个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段． ①已知点，，求点与线段的特征值的取值范围； ②已知面积为的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形与线段的特征值为，则的最小值为_________； 【分析】本题考查了平面直角坐标系中新定义下的几何动点问题，绝对值的几何意义，平行线的性质和判定，三角形全等的判定和性质，理解题干中的新定义，灵活运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）① 根据特征值的定义即可求； ② 根据特征值的定义即可求； （2）① 线段经过秒后得到线段，．设点为线段上的任意一点， 点与的特征值为：，的最大值为点与线段的特征值．的几何意义为与点之间的距离，故在运动过程中，特征值的最小值是当线段的中点在时取得，而最大值是在线段的端点取得，可求得当，在端点时，特征值取得最大值，由此求得其取值范围； ② 先根据已知条件，得到正方形的边长为，当变化时，该正方形的中心在一三象限角平分线上运动，证明对于在正方形上（包含边和内部）的任意一点，横纵坐标差的绝对值，且在点和取得最大值，得到，设线段上任意一点为，点与点的特征值为：，的最大值为正方形与线段的特征值为．当线段运动时，把看成一个整体，则相当于在原来线段的基础上，点向左平移个单位，点向右平移个单位，即对应为端点，，经过时间，，，长度为的线段在轴上向左运动，的几何意义则是线段在轴上向左运动过程中，线段上点与原点的距离，当线段的中点位置在原点时，正方形与线段的特征值取得最小值． 【详解】（1）解：①∵． ∴， ∴点与点的特征值为， 故答案为：． ②设的坐标为， ∴， ∵点与点的特征值为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． （2）①∵，将线段以每秒个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段 ∴， 设点为线段上的任意一点， 则 . ， 点与的特征值为：. 的最大值为点与线段的特征值. ， ， . 当时，取得最大值6 . 点为线段上的任意一点，且的长度为2. 当点和点关于对称时，即. 此时取得最小值1. 点与线段的特征值的取值范围为：. ② 已知面积为2的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行， 正方形的边长为，当变化时，该正方形的中心在一三象限角平分线上运动， 作一三象限角平分线的平行线，当平行线在下方时，在直线上，且在正方形上（除点和点外，包含正方形的边和正方形内部）任取点，过分别作轴，轴垂线，连接，如图所示， ， ， ，， 又， ， ， ， 又在一三象限角平分线上， ， ， 同理可得， ， 当平行线在一三象限角平分线上方时， 同理可证，， 此时， 当点在线段上时，有， 当正方形上（除点和点外，包含正方形的边和正方形内部）任意一点，横纵坐标差的绝对值小于正方形边长，即， 当在点时，有，当在点时，有， 综上所述，对于在正方形上的任意一点，横纵坐标差的绝对值，且在点和取得最大值，在线段上时取得最小值0，即． 设线段上任意一点为， 则，， 点与点的特征值为：， 的最大值为正方形与线段的特征值为． 线段长度为2，当时，即线段还未开始运动时，此时在线段上，，而， ， 当线段运动时，把看成一个整体，则相当于在原来线段的基础上，点向左平移个单位，点向右平移个单位，即对应的端点，，经过时间，，，长度为的线段在轴上向左运动，如图所示， 的几何意义则是线段在轴上向左运动过程中，线段上点与原点的距离，在这个过程中，的最大值中的最小值，即正方形与线段的特征值的最小值，是当线段的中点位置在原点时，此时端点、与原点距离都为， 正方形与线段的特征值为最小值为． 故答案为：． 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $